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Verzahnung für Zahngetriebe aller Art Alle in der heutigen Technik
gebräuchlichen Verzahnungen verwenden als Zahnflanke eine Kurve, welche durch Abwälzen
entweder einer Geraden oder eines Kreises auf dem Teilkreis des Zahnrades entsteht,
wobei sich aus dem Abwälzen der Geraden die Evolventenform, aus dem Abrollen des
Kreises die Zykloidenform ergibt. Beide Verzahnungen sind grundsätzlich verschieden,
sowohl in ihrer Entstehungsart wie auch in ihren technischen Herstellungs- und Verwendungsmöglichkeiten.
Weitere Verzahnungsformen lassen sich aus der Vorstellung des Entstehens einer Zahnflanke
durch Abrollen einer Geraden oder eines Kreises nicht entwickeln. Auch die in der
Uhrentechnik gebräuchliche Triebstockverzahnung ist nur die -Äquidistante einer
Zykloide. Legt man der Entstehung einer Zahnflanke eine neue Vorstellung zu Grunde,
so lassen sich daraus nicht nur die bisher bekannten, sondern auch eine Anzahl neuer
Verzahnungsarten entwickeln, und es läßt sich mathematisch zeigen, daß damit sämtliche
möglichen' Formen der Zahnflanke erfaßt werden.
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Die Verzahnung für Zahngetriebe aller Art gemäß der vorliegenden Erfindung
ist nun dadurch gekennzeichnet, daß man die Zahnflanken entstehen läßt als Hüllkurven
einer Erzeugerflanke mit dem Krümmungsradius 2 und mit dem Eingriffswinkel
a als Tangentenwinkel im Zentralpunkt C, die sich mit einem Erzeugerkreis
vom Radius RE so bewegt, daß die die Teilkreise mit dem Radius RI- für das eine
und dem Radius Rn für das andere Rad berührende Peripherie
des-
Erzeugerkriaises in, gleicher- Richtung und mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit
wie die Teilkreise umläuft, wobei dessen Mittelpunkt auf der Verbindungslinie der
beiden Teilkreismittelpunkte liegt, und daß dabei entweder o < RE
< + oo, o:2.5 a >< 2 jr, o oo, wobei beia-= ö- und
- p, RB RT ist, oder o<RE <+oo, o:#<>a und
e= ±oo, oder R-v =co, a=o und prl=o, oder RE = oo, o---a und o>Q>-cxD
ist.
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Beispielsweise Ausführungsformen der neuen Verzahnung werden an Hand
der Fig. i bis 4 der Zeichnung näher erläutert.
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In der Fig. i sind KT und Kn die Teilkreise von Trieb und Rad, die
sich im Zentralpunkt C berühren. Ihre Mittelpunkte sind Mp und MR. Auf der
Ver-, bindungslinie dieser Mittelpunkte liegt der Mittelpunkt M_v eines weiteren
Kreises, des Erzeugeikrei#es KE, dessen Peripherie ebenfalls durch. den Zentralpunkt
C geht. Die Radien der Teilkreise vor! Trieb und Rad sind Rp und RR" der
Radius des. Erzeugerkreises KE ist R_,. Auf dem Erzeugerkreis befindet sich7eine
Linie FE., die Erzeugerflanke, deren Tangente im Punkt C nüt der Mittelpunktverbindung
Mp-Hn den Winkel a, den Eingriffswinkel, einschließt und die den Krün-imungsradius
Q hat. Drehen sich die Kreise Kg" Ka und KE mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit
in der Pfeilrichtung, so rollen sie im. Punkt C ohne Schlupf aufeinander
ab, Hierbei bewegt sich, die Erzeugerflanke F_, mit dem Kreis KE in die Stellungen
F" F, F, nüt den zugehörigen Drehwinkeln y"
y, y, und
der Kreis K.T dreht sich um die Winkel ß, fl, ß, wobei infolge der gleichen
Umfangsgeschwindig-m keit der Kreise KT und K_" die Beziehung besteht:
Entsprechend bewegt sich der Kreis Kn um die WinkelßR, ߣ" AU3, mit der Beziehung:
Bei dieser Bewegung der ErzeugerflankeFE mit dem KreisK_" verschiebt sie sich gegenüber
den KreisenKT und Kn in einer solchen Weise, daß sie auf jedem Kreise eine neue
Kurve umhüllt, die nun für diesen Teilkreis die Zahnflanke darstellt. Für den Kreis
KI, entsteht dabei die Zahnfußflanke, während die -zugehörige Zahnkopfflanke
am Kreise K.R entsteht.
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- Der Vorgang des Entstehens der Zahnflanke als Hüllkurve durch
die Verschiebung der Erzeugerflanke F_r läßt sich anschaulich darstellen, wenn man
die einzelnen Stellungen F" F, F, in ihrer Lage zum -Teilkreis.KT oder KR
um deren DrehwinkeIßT1, ßT2, ßp3 oder ß.R,., ß-n" ßn, zurückklappt, Die Fig. 2 -zeigt
diese Darstellung für den Teilkreis KT, also für -die Zahnfußflanke des Triebes,
und die Fig. 3 für .den Teilkreis Kn, also für die zugehörige Zahnkopf-,flanke
des Rades.
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Die für die Verzahnung charakteristische Linie ist die Eingriffslinie,
Sie ist. der geometrische Ort aller der Punkte, in -denen sich die
- zugehörigen Flanken zweier miteinander im. Eingriff stehender Zahnräder
berühren. Errichtet man in diesen Flankenberührungspunkten das Lot auf die Flanken,
so geht es durch den Zentralpunkt C, da nur in diesem Fall die Bedingung
erfüllt ist, daß das durch die Verzahnung übertragene Drehmoment konstant ist. Meraus
läßt sich für die neue Vorstellung der Flankenentstehung als Hüllkurve sowohl mathematisch
als auch konstruktiv die Eingriffslinie definieren. Die Fig. 4 zeigt die Entstehung
der Eingriffslinie für die ErzeugerflankeFE. Die Bezeichnungen sind wie in Fig.
i. Der Radius der Flankenkrümmung 2 hat den Mittelpunkt Me, der sich mit
gleicher Winkelgeschwindigkeit wie der Erzeugerkreis KE auf dem Kreisbogen Ke bewegt
und dabei die Stellungen Me" MQ" Me, einnimmt. - Zieht man - von diesen
Stellungen die Krümmungsradien Q, e2, e, durch den Zentralpunkt C bis zu
den Flankenpunkten a" a, a., so ist nach der vorstehenden Defmition der Kurvenzug
al, a., a. die Eingriffslinie. Die Geraden C-al, C-a" C-a, sind die Leitstrahlen
rl, rg r, der Eingriffs-Enie und stehen'auf den zugehörigen Zahnflanken und der
Erzeugerflanke in den Punktena" a, a.
senkrecht.
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Die Zahnflankenform ist von drei Größen abhängig, die je nach
den gewünschten Eigenschaften der Verzalmung gewählt werden können; diese dreiGrößen
sind: i. R_, -- Radius des Erzeugerkreises, dessen Peripherie durch. den
Zentralpunkt C geht und der einen reellen Wert oder den Wert oo haben kann.
2. a = Eingriffswinkel der Erzeugerflanke Fr. --im Zentralpunkt
C, der entweder einen reellen Wert oder den Wert Null haben kann,
3. e = Krümmungsradius der ErzeugerflankeFlg, der einen reellen Wert
oder den- Wert oo haben kann. 2 kann auch negativ werden, j e nachdern nach.
welcher Seite die Flankenkrümmung verläuft. Im folgenden wird sie positiv gerechnet,
wenn der Drehpunkt - der Erzeugerflanke bei der Drehung des Erzeugerkreises
der Flanke nacheilt.
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Stellt man in einem Schema die verschiedenen möglichen Kombinationen
der drei veränderbaren Größen RIj, a,
2 zusammen, so -ergibt sich die folgende
Tabelle:
| Nr. 1 Rv J a |
| 1 00 a co Evolvente |
| 2 00 a Q Evolventische Ozoide |
| 3 00 0 00 |
| 4 W 0 Q - |
| 5 R_- o oo Zykloide |
| 6 RE o Q |
| 7 R_v a oo |
| 8 R_, a 9 |
| g- 00 a _Q |
| io Co 0 - Q |
| II RE o - Triebstock, wenn Rp,
Rp |
| 12 Rp a - |
Da in diesen- zwölf Verzahnungsarten alle Werte von
RE,
a und
2 in allen denkbaren Kombinationen enthalten sind, ist damit das ganze
Gebiet der Verzahnungen erschöpft sofern man für ein Zahngetriebe die Forderung
stell', daß das augenblickliche Übersetzungsverhältnis gleich dem Verhältnis der
Teilkreisradien ist, und daß die Zahndruckrichtung (die
gemeinsame Berührungsnormale der Zahnprofile) stets durch den Berührungspunkt der
Teilkreise geht. Hiernach fallen also Nockengetriebe, Malteserkreuze u. a. nicht
in das Gebiet der Verzahnungen.
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Untersucht man die zwölf Verzahnungsarten auf ihre Eigenschaften,
so ergibt sich folgendes: Der ,ersten Gruppe mit den Nummern i bis 4 ist gemeinsam,
daß der Radius des Erzeugerkreises :Do ist. Dies entspricht der Herstellung einer
Verzahnung durch einen Abwälzfräser, dessen Flanke dann gleich der Erzeugerflanke
ist. Hat diese Flanke im Punkt C
den Eingriffswinkel a und den Krümmungsradius
#o = -x-, d. h. die Flanke ist eine Gerade, dann ist dies die normale
Evolventenverzahnung, Nr. i. Gibt man den Flanken eine Krümmung, Q_= e, wie dies
seit 1913 in der -,>Ozoidenverzahnung« von B. Franz bekanntgeworden ist, so erhält
man Nr. 2. In den Nrn. 3 und 4 ist hingegen R_, = --x- und
a = o, während o einen endlichen oder unendlichen Wert haben kann.
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Für die Gruppe Nr. 5 bis 8 ist charakteristisch, daß
der Radius des Erzeugerkreises einen endlichen Wert RE hat. Wird der Radius RT des
Teilkreises gleich dem des Erzeugerkreises RE gewählt, so wird die Erzeugerflanke
unmittelbar zur Zahnfußflanke. Ist in Nr. 5 gleichzeitig a = o und
Q = -x-, so ist diese Zahnfußflanke eine radial verlaufende Gerade, wie sie
als Zykloidenverzahnung in der Uhrenindustrie gebräuchlich ist. In der bisherigen
Definition der Zykloidenverzahnung ist hierbei der Rollkreisdurchmesser gleich dem
halben Teilkreisdurchmesser. Daraus ergibt sich, daß der Rollkreis der Zykloidenverzahnung
in der bisherigen Definition halb so groß ist wie in der neuen Vorstellung
der Erzeugerkreis. #Veicht der Radius des Erzeugerkreises von dem des Teilkreises
ab, so ergeben sich alle übrigen, in der Technik bekannten Formen der Zykloidenverzahnung.
Da in Nr. 5 RL, alle Werte außer --x--, annehmen kann, enthält diese
Nummer alle Formen, die in der Zykloidenverzahnung vorkommen können. Die Nrn.
6,7
55 und für den Winkel ö gilt:
Hierbei bedeuten in diesen Formeln: a Eingriffswinkel der Erzeugerflanke im Zentralpunkt,
ß Dreh-und 8 ergeben neue Verzahnungen, die bisher nicht bekannt waren
und die sich aus der Vorstellung der Flankenentstehung durch Abwälzen von Geraden
oder Kreisen nicht ableiten lassen.
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Bei der Gruppe Nr. 9 bis 12 hat der Radius der Flankenkrümmung
einen endlichen, aber negativen Wert. Wird in Nr. ii der Radius des Erzeugerkreises
RB gleich dem Radius des Teilkreises Rp, so ist dies die in der Uhrentechnik häufig
verwendete Triebstockverzahnung. Formen -der Art R.E ='- R
T sind bisher unbekannt, ebenso wie die Verzahnungen Nr. 9 und 12.
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Zusammenfassend ergeben sich also aus der neuen Vorstellung der Erzeugung
einer Zahnflanke als Hüllkurve einer mit einem Erzeugerkreis umlaufenden Erzeugerflanke
zwölf mögliche Verzahnungsarten, von denen die vier in der oben angeführten Tabelle
angeschriebenen Verzahnungen bisher bekannt waren. Die acht neuen in der letzten
Kolonne nicht näher bezeichneten Verzahnungen schließen somit die große Lücke, die
bisher zwischen der Evolventen- und der Zykloidenverzahnung bestanden hat.
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Da alle zwölf Verzahnungen ausschließlich von den drei Größen R_r,
a und e abhängen, läßt sich aus der Definition der Flankenentstehung mathematisch
eine Formel für die Zahnfuß- und Kopfflanken sowie für die Eingriffslinie aufstellen,
aus der durch wahlweises Einsetzen - von R.E = -,o, a = o und
9 = -xD die richtige Formel für jede der zwölf Verzahnungen abgeleitet werden
kann. Diese Grundformel entspricht der Verzahnung Nr. 8 in der Tabelle und
lautet: A. Für die Eingriffslinie: X, = cos (a + y
TY, Y, = sin (a + -p TT', re = T;v.
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B. Für die Kopfflanken: Xl# = R.sin ß - cos (a
y ö) - TY, Ylz = R. (i - cos ß) - sin
(a + +
C. Für die Fußflanken: Xp = R.sin ß - cos
(a -ß + y + Ö) - TV,
Yp = R. (i - cos ß) + sin
(a -ß + y
Die Hilfsgröße TY ist dabei: winkel des Teilkreisradius (Rad oder
Trieb), y Drehwinkel des Erzeugerkreisradius, ö Drehwinkel
des Flankenkrümmungsradius f (y), RE Radius des Erzeugerkreises, R Radius
des Tellkreises (Rad oder Trieb), r Leitstrahl der Eingriffslinie, Q Krümmungsradius
der Erzeugerflanke, positiv zu rechnen, wenn die Erzeugerflanke im Drehsinn dem
Krümmungsmittelpunkt vorauseilt, und es bezeichnet der Index K Kopfflanke des Zahnes
(Rad oder Trieb),
F Fußflanke des Zahnes (Rad oder Trieb),
c Eingriffslinie.
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Es sei noch erwähnt, daß Q während der Drehbewegung des Erzeugerkreises
veränderlich gemacht werden kann und 2 dann eine Funktion f des Drehwinkels
-y darstellt. Wird 2 = f (,y) gesetzt, dann äußert sich
dies auch in der Formel für tg ö. An dem Prinzip des ganzen Verzahnungssystems
wird dadurch nichts geändert.
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In der Erfindung werden die bekannten Verzahnungen gemäß den Nrn.
1, 2, .5 und der Fall RB = R T in Nr. ii der Tabelle
nicht beansprucht, sondern nur die Fälle, wo für R_r, a und 9 die folgenden
Grenzen gelten: o < R-v < + oo, o:5 ", a:#'5
+ 2 n, o 5# oo ,
wobei bei a = o und -e, R_v z#
Rp ist (Nr. 6, 8,
ii und 12), oder o < R_v < +
oo, o:#< a und + co (Nr. oder R.E = oo, a = o und
Q --j= o (Nr. 3, 4 und io), oder RE= oo, o;##a und o> @>-oo (Nr.9).
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Die hergestellte Verzahnung kann eine Außen-, eine Innenverzahnung
und auch ein Schneckengetriebe sein. Auch kann die Verzahnung aus einer Zahnstange
und einem Rad bestehen.