DE2827712A1

DE2827712A1 - Einrichtung zum interpolieren eines bogens fuer eine nc-steuerung

Info

Publication number: DE2827712A1
Application number: DE19782827712
Authority: DE
Inventors: Yutaka Kakizoe; Jumio Onada
Original assignee: Oki Electric Industry Co Ltd
Current assignee: Oki Electric Industry Co Ltd
Priority date: 1977-06-28
Filing date: 1978-06-23
Publication date: 1979-01-18
Also published as: JPS5410875A; US4243924A; JPS597963B2

Description

Beschreibung

Die Erfindung betrifft eine Einrichtung zum Interpolieren eines Bogens für eine NC-Steuerung, und insbesondere eine Bogen-Interpolationseinrichtung, die die nächsten Interpolationskoordinaten entsprechend den gegenwärtigen Koordinaten und einer vorgegebenen Länge ermittelt.

Es ist bereits eine Bogen-Interpolationseinrichtung unter Ausnutzung des Prinzips des digitalen Integrators bekannt, bei dem der Bogen in dem ersten Quadranten im Uhrzeigersinn abgefahren wird. Der spezielle Aufbau dieser bekannten Einrichtung führt dazu, dass gewisse Berechnungsschritte erst dann durchgeführt werden können, wenn der Impulsgenerator dieser Einrichtung einen Impulszug vorgegebener Länge abgegeben hat, innerhalb derer der digitale Teil der Schaltung seine Funktion erfüllt haben muss. Dies bedeutet einen Engpaß bei der Optimierung der Arbeitsgeschwindigkeit der Einrichtung, so dass auch die NC-Steuerung nicht mit der gewünschten Geschwindigkeit arbeiten kann.

Demgegenüber liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, die Nachteile der bekannten Einrichtung, die im übrigen noch im einzelnen beschrieben werden, wenn möglich zu vermeiden und eine neue und verbesserte Bogen-Interpolationseinrichtung zu schaffen; und insbesondere soll eine Interpolationseinrichtung für eine NC-Steuerung geschaffen werden, bei der die Zeitdauer, die Zeit die für . jede Interpolationsberechnung zur Verfügung steht, verhältnismässig lang sein kann, v/obei ein glatter Bogen trotz der verhältnismässig grossen Länge zwischen den Berechnungspunkten erzielt werden kann.

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Diese Aufgabe wird durch Einrichtungen gemäss den Ansprüchen erfüllt. Dabei werden die Koordinaten (X . _Λ , Y ,..) eines nach-

n+ ι η+ι

zufahrenden Bogens an dem Zeitpunkt t .. vorläufig berechnet, wobei die Koordinaten (X , Y ) an dem Zeitpunkt t , der Radius r

η η η

des Bogens und eine gegebene Länge entsprechend der Zeitdauer t .. - t verwendet werden. Dadurch kann die Zahl der Berechnungen, die zum Nachfahren eines Bogens erforderlich sind, erheblich reduziert v/erden, so dass ein digitales Schaltungselement mit geringer Geschwindigkeit, welches kostengünstig ist, bei der erfindungsgemässen Bogen- Interpolationseinrichtung verwendet werden kann. Die Formel zur Ableitung der Koordinaten ist:

n+1 η η r/^Γ ~ η ^n /'-^r

^Yn₊1

Eine asymptotische Änderung der vorstehenden Formeln und eine Anpassung der erfindungsgemässeh Einrichtung an diese asymptotischen Formeln ist ebenfalls möglich.

Eine bekannte·Interpolationseinrichtung sowie Ausführungsbeispiele der erfindungsgemässen Interpolationseinrichtung werden nun anhand der beiliegenden Zeichnungen beschrieben. Es zeigen:

Fig.1 ein Blockdiagramm einer bekannten Bogen-Interpolationseinrichtung;

Fig.2 eine graphische Darstellung zur Erläuterung der Theorie für die erfindungsgemässe Interpolationseinrichtung;

Fig.3 ein Blockdiagramm eines ersten Ausführungsbeispiels der erfindungsgemässen Bogen-Interpolationseinrichtung; und

Fig.4 ein Blockdiagramm eines zweiten Ausführungsbeispiels der erfindungsgemässen Bogen-Interpolationseinrichtung.

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In Fig.1 ist eine bekannte Bogen-Interpolationseinrichtung gezeigt, die nach dem Prinzip eines digitalen Integrators (digitaler Differential-Analysator) arbeitet, wobei ein Bogen in dem ersten Quadranten im Uhrzeigersinn nachgefahren wird. In-Fig.1 sind eine Eingabeschaltung 1, ein X-Register 2 zum Speichern der Länge der X-Komponente zwischen dem Mittelpunkt des Bogens und dem Anfangspunkt des Bogens, ein Y-Register 3 zum Speichern der vertikalen Länge der Y-Komponente zwischen der Mitte des Bogens und dem Anfangspunkt des Bogens, ein Radiusregister 4, ein Vorschubgeschwindigkeitsregister 5, ein Impulsgenerator 6, ein Summandenregister 9 für die X-Achse, ein Summandenregister 1o für die Y-Achse, ein Restregister 13 zum Speichern des Restes (die weniger signifikanten Ziffern der Berechnung) der X-Achse, der in der Berechnung errechnet wird, ein Restregister 14 für die Y-Achse und Motorantriebsschaltungen 15 und 16 für die X-Achse bzw. die Y-Achse gezeigt.

Die Eingangsschaltung 1 beliefert zunächst den Wert IX₀/ der die horizontale Länge zwischen der Mitte des Bogens und dem Anfangspunkt des Bogens darstellt, an das Register 2, den Wert IY_Q/ der die vertikale Länge zwischen der Mitte des Bogens und dem Anfangspunkt des Bogens darstellt, an das Register 3, den Radius r an das Register 4 und den Vorschubgeschwindigkeitswert F an das Register 5. Der Impulsgenerator 6 erzeugt einen Impulszug, dessen Frequenz zE/r je nach den AusgangsSignalen der Register 4 und 5 ist. Es sei angenommen, dass die Ungleichung 2 — r befriedigt ist, wobei 2 entweder eine Konstante oder eine Funktion des Radius r ist. Der Inhalt (IX )

des Registers 2 wird an das Register 9 übertragen, und der Inhalt (IY ) des Registers 3 wird in das Register 1o übertragen, und zwar durch den Ausgangsimpuls des Impulsgenerators 6. Es ist zu beachten, dass der Anfangswert des Registers 2 gleich IX_Q ist, und der Anfangswert des Registers 3 gleich IY₀ ist, während der Anfangswert der Register 13 und 14 gleich Null ist.

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Der Inhalt (IY ) des Registers 1o und der Inhalt (RX ) werden addiert, und die weniger signifikanten m Bits (RX ..) der Addition((RX + IY )/2^m) werden erneut in dem Register 13 gespeichert. Das Überlaufbit (overflow bit) der genannten * Addition((RX + IY )/2^m) wird an die Motorantriebsschaltung 15 angelegt, um den Motor in der Richtung der X-Achse anzutreiben. Das genannte Überflussbit wird ferner zu dem Inhalt (IX ) des Registers 2 addiert, und die Summe (IX ..) dieser Addition wird in dem Register 2 gespeichert. Auf ähnliche Weise wird der Inhalt (IX ) des Registers 9 und der Inhalt (RY ) des Registers 14 addiert, und die weniger signifikanten in Bits (RY_n+1) der Summe bei der Addition ((RY_n + IX )/2^m) werden in dem Speicher 14 gespeichert. Das Überflussbit der Summe der Addition ((RY + IX )/2^m) wird an die Motorantriebsschaltung angelegt, um den Motor in der Richtung der Y-Achse anzutreiben. Das genannte Überflussbit wird ferner von dem Inhalt (IY ) des Registers 3 subtrahiert,und die Differenz wird in dem Register gespeichert. Die erwähnten Berechnungen werden wiederholt, um den Bogen nachzufahren. Die asymptotische Formel ist wie folgt:

IX - + RX . / 2^m = IX +(RX +IY ) / 2™ (l) n+1 n+1 ' u ^v η η/ ' ^κ '

IY , - RY . / 2^m = IY - (RY +IX ) / 2™ (2) n+1 n+1 ' η ^ν η η' ' ^v/

In der oben angegebenen Formel ist zu beachten, dass IX und IY den Vektor in der radialen Richtung darstellen.

Der Nachteil dieser bekannten Einrichtung liegt darin, dass die Berechnung während einer einzige Periode des Impulszuges von dem Impulsgenerator 6 abgeschlossen sein muss, und, wenn die Schaltungselemente langsam arbeiten, muss die Frequenz des Impulsgenerators 6 ebenfalls gering sein, so dass sich eine geringe Vorschubgeschwindigkeit F ergibt.

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Im folgenden wird zunächst das Arbeitsprinzip der erfindungsgemässen Einrichtung anhand von Fig.2 erläutert, in der ein Bogen mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r dargestellt ist, wobei der Punkt P zum Zeitpunkt t an den Koordinaten P (x ,y ) liegt. Der Punkt P soll sich um die Länge von dem Zeitpunkt t bis zu dem Zeitpunkt t ,. bewegen, und die Koordinaten des Punktes zum Zeitpunkt t .. sind P . (x .. , y ..) . Der Punkt Q (u , ν ) liegt auf der Tangente T* , die den r.ogen an dem

Punkt P berührt. Der Abstand zwischen den Punkten P und C η η η

ist . Ferner ist die gerade Linie P ^Q parallel zu der geraden Linie P 0. Folglich sind folgende Gleichungen (3) bis (7) befriedigt.

2-22

X_n + Y_n = r

U - η	χ = η	& τ
	^yn -
ν η
	η
^yn+l	IX —^yn

'X r η
^y _{n {}
χ ^ η

Durch Lösung dieser Gleichungen ergeben sich folgende Formeln:

(8) (9)

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Ferner ist £ ²/r² ergibt:

-9-

1 erfüllt, so dass sich die Formel (1o)

(10)

Indem man die Formel (1o) in den Abgleichungen (8) und (9) ersetzt, erhält man die Formeln (11) und (12):

2r

'n+1

η r

- Y

(12)

Es ist zu beachten, dass der Befehl, sich zu dem Zeitpunkt t zu dem Punkt P ₊. (x .. , Y₊₁) gemäss den vorstehenden Formeln zu bewegen, einen angenäherten Bogen ergibt, wobei die Bewegungsgeschwindigkeit gleich

- t ) ist.

Fig.3 ist ein Blockdiagramm eines ersten Ausführungsbeispiels der erfindungsgemässen Bogen-Interpolationseinrichtung, die nach den Formeln (11) und (12) arbeitet. In Fig.3 sind die Eingangsschaltung 1, das X-Register 2 zum Speichern der Werte X , das Y-Register 3 zum Speichern der Werte Y , das Radiusregister 4 zum Speichern des Radius r des Bogens, das Vorschubgeschwindigkeitsregister 5 zum Speichern der Vorschubgeschwindigkeit, der Impulsgenerator 8 zum Erzeugen der Taktimpulse (t ) und die Ausgangsschaltung 15 gezeigt, die die Motorantriebssignale für die X- und Y-Achse abgibt. Ferner sind Multiplier 2o, 21, 22 und 23 und Addierer 24 und 25 gezeigt.

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Als erstes liefert die Eingangsschaltung 1 die Werte X_ und Y_n/ die die Koordinaten der Anfangspunkte des Bogens sind, an die Register 2 bzw. 3. Ferner liefert die Eingangsschaltung

1 den Radius r und die Vorschubgeschwindigkeit F an die Register 4 bzw. 5. Der Impulsgenerator 26 erzeugt einen Impulszug, dessen Frequenz in Beziehung zu dem Wert F/r je nach den Ausgangssignalen der Register 4 und 5 steht. Die Impulszähler 27 und 28 zählen die Zahl der Ausgangsimpulse des Impulsgenerators 26

- 2 2 und liefern Ausgangs signale £ /r bzw. -- /2r , wenn die von dem Taktimpulsgenerator 8 vorgegebene Zeit den Zeitpunkt t erreicht. Dann liefert der Multiplier 2o das Produkt y ■ .. /r,

2 2 η η

der Multiplier 21 das Produkt χ . .-: /2r , der Multiplier 22 das Produkt χ . Z /r und der Multiplier 23 das Produkt y . /2r . Sodann liefern die Addierer 24 und 25 die durch die Gleichung (1o) bzw. (12) definierten Werte. Wenn die Werte χ .. und y .. errechnet sind, werden diese Werte an die Register

2 und 3 abgegeben, und ein neuer Satz von Koordinaten wird entsprechend den Gleichungen (11) und (12) durch den gleichen, oben erwähnten Vorgang errechnet. Wenn der Befehl, der die Position P .. zu dem Zeitpunkt t * darstellt, an die Einrichtung abgegeben wird, wird der Bogen mit der Nachführungsgeschwindigkeit S/(t ,_Λ - t ) nachgefahren,
η n+1 η

Im folgenden wird das zweite Ausführungsbeispiel der erfindungsgemässen Einrichtung erläutert. Die Gleichungen (11) und (12) werden in Differenzgleichungen (13) und (14) umgewandelt, und die Einrichtungen, die mit den Gleichungen (13) und (14) arbeiten, können dieselbe Funktionsweise erfüllen wie die Einrichtung, die nach den Gleichungen (11) und (12) arbeitet.

+ RX /2 = IX +(RX + IY -2 -t n+1 n+1' ti ^v α η ir

IX + RX /2ⁿⁱ = IX +(RX +IY · 2¹"· L /r

Π4.Ι rl J- I ' ΤΊ ^vn η ri'

,III

IY-RX ./2™ = IY - (RY + IX · 2™·ί /r n+1 n+1 Ii ^v Ii η rr

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Fig.4 zeigt das Blockdiagramm einer Bogen-Interpolationseinrichtung, die nach den Gleichungen (13) und (14) arbeitet. Fig.4 stellt ein Ausführungsbeispiel dar, bei dem der Bogen an dem ersten Quadranten auf der X-Y-Ebene im Uhrzeigersinn abgefahren wird. In Fig.4 sind eine Eingabeschaltung 1, Register 2 und 3 zum Speichern der Koordinaten (X , Y ) auf dem Bogen, ein Radiusregister 4, ein Vorschubgeschwindigkeitsregister 5, ein Impulsgenerator 6, ein Impulszähler 7, eine Taktgeberschaltung 8, Register 9 und 1o zum Berechnen und Speichern des Summanden des Terms der ersten Ordnung für die Y-Achse bzw. die X-Achse, Register 11 und 12 zum Berechnen und Speichern des Summanden des Terms zweiter Ordnung für die X-Achse bzw. die Y-Achse, Register 13 und 14 zum Berechnen und Speichern des Restes (der weniger signifikanten Bits) für die X-Achse bzw. die Y-Achse und eine Motorantriebsschaltung 15 gezeigt, um die Antriebssignale für die X-Achse und die Y-Achse an den Motor anzulegen.

Im folgenden wird die Arbeitsweise der Einrichtung von Fig.4 beschrieben. Die Eingangsschaltung 1 gibt die Anfangskoordinaten IX₀ und IY_Q des Bogens an die Register 2 bzw. 3 weiter. Die Eingangsschaltung 1 gibt auch den Radius r des Bogens an das Register 4 und die Vorschubgeschwindigkeit F an das Register 5. Der Impulsgenerator 6 erzeugt einen Impulszug, dessen Frequenz gleich 2^m . F/r entsprechend den Ausgangssignalen der Register 4 und 5 ist. Es sei angenommen, dass 2 <^ r erfüllt ist, wobei der Wert 2^m entweder eine Konstante oder eine Funktion des Radius r sein kann. Der Impulszähler 7 zählt die Ausgangsimpulse des Impulsgenerators 6 und liefert ein Ausgangssignal entsprechend dem gezählten Wert 2 . €. /r, wenn der Taktimpulsgenerator 8 den Zeitpunkt t erreicht. Der Inhalt des Zählers 7 kehrt auf Null zurück, wenn der Zähler 7 das genannte Ausgangssignal abgibt. Das Register 9 berechnet den primären

Summanden IX . 2^m . S /r der Y-Achse von dem Inhalt IX des η η η

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Registers 2 (Anfangswert dieses Inhalts ist IX_n) und dem Ausgangssignal 2^m . β> /r des Impulsgenerators 7, und das Resultat wird in dem Register 9 gespeichert. Das Register 1o berechnet den primären Summanden IY . 2^m . £. /r der X-Achse von dem Inhalt IY des Registers 3 (der Anfangswert dieses Inhalts ist gleich IY ) und dem Ausgangssinai 2^m. : /r des Impulszählers 7, und das Resultat wird in dem Register 1o gespeichert. Das Register 11 berechnet den sekundären Summanden IX .2 .S /2r der X-Achse von dem Inhalt des Registers 9 und dem Ausgangssignal des Impulszählers 7, und das Resultat wird in dem Register 11 gespeichert. Das Register 12 errechnet den sekundären Summanden

τη O O

IY .2 .8 /2r der Y-Achse von dem Inhalt des Registers 1o und dem Ausgangssignal des Impulszählers 7, und das Resultat wird in dem Register 12 gespeichert. Der Inhalt RX des Registers 13 und der Inhalt des Registers 1o werden addiert, und der Inhalt des Registers 11 wird von der Summe der Addition in dem Register 13 subtrahiert. Das Resultat dieser Addition und Subtraktion wird durch 2^m in dem Register 13 dividiert, und der Rest RX * der Division wird in dem Register 13 gespeichert, während der Quotient der Division an die Motorantriebsschaltung 15 abgegeben wird, um einen Antrieb in der positiven Richtung der X-Achse zu bewirken. Der Quotient wird ferner zu dem Inhalt des Registers 2 addiert, in dem die Summe (IX A als revidierter Wert von IX gespeichert ist. In ähnlicher Weise wird der Inhalt RY des Registers 14 und der Inhalt des Registers 9 addiert, und die Summe dieser Addition und der Inhalt des Registers 12 wird wiederum addiert. Die Summe dieser beiden Additionen wird durch 2^m in dem Register 14 dividiert, und der Rest RY ₊₁ der Division wird in dem Register 14 gespeichert, während der Quotient der Division an die Motorantriebseinrichtung 15 abgegeben wird, um den Antrieb in der negativen Richtung der Y-Achse zu bewirken. Der genannte Quotient wird auch an das Register 3 angelegt, und der Inhalt des Registers 3 wird von dem Quotienten subtrahiert. Die Differenz der Subtraktion (= ^IY _n+-|) wird in dem

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Register 3 gespeichert. Der oben beschriebene Vorgang wird wiederholt, und auf diese Weise wird der Bogen nachgefahren. Obwohl der Divisor in dem Ausführungsbeispiel gleich 2^m ist, ist eine Schaltung, die den Divisor r benutzt, ebenfalls "möglich.

Einige Abwandlungen der beschriebenen Ausführungsbeispiele sind selbstverständlich möglich. Wenn beispielsweise der Bogen im Gegenuhrzeigersinn abgefahren wird oder wenn der nachzufahrende Bogen in einem anderen als dem ersten Quadranten liegt, müssen nur die Verbindungen der Register 2, 9, 11 und 13 und die Verbindungen der Register 3, 1o, 12 und 14 geändert werden und/oder die Befehlsrichtung der Motorantriebsschaltung 15 muss geändert werden.

Ferner kann die Motorantriebsschaltung eine eine lineare Interpolation durchführende Schaltung enthalten, die das Befehlssignal für die Bewegung von dem gegenwärtigen Punkt auf dem Bogen zu dem nächsten Befehlspunkt auf dem Bogen ergibt.

Der Nachführungsfehler bei der erfindungsgemässen Einrichtung

λ 4 4

beträgt nur c /4r in der Gleichung (1o), was einen vernachlässigbar kleinen Fehler bedeutet. Obwohl die Länge & gross sein kann, kann ein genauer Bogen erzielt werden. Wenn beispielsweise r = 7o ooo Impulse und & - 25o Impulse ist und die Bogen-Interpolation in dem ersten Quadranten durchgeführt wird, ist der Fehler des Radius an dem Endpunkt des Bogens weniger als 1 Impuls. In diesem Fall sind bei der erfindungsgemässen Einrichtung nur 44o Berechnungen (#72 χ 7o ooo/25o = 44o) erforderlich. Demgegenüber wären bei der bekannten Bogen-Interpolationseinrichtung etwa 11o ooo Berechnungen erforderlich {■Υ/2 χ 7o ooo = 11o ooo). Es ist daher ersichtlich, dass bei der erfindungsgemässen Einrichtung für jede Berechnung 25o mal mehr Zeit zur Verfügung steht als bei der bekannten Einrichtung.

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Daher kann eine digitale Einheit mit langsamer Arbeitsgeschwindigkeit vorhanden sein, und doch ist eine hohe Interpolationsgeschwindigkeit bei der erfindungsgemassen Einrichtung gleichzeitig möglich.

Ferner können in der erfindungsgemassen Einrichtung programmierte Mikrorechner eingesetzt v/erden, die auf einem einzigen Chip vorgesehen sind."

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Claims

282771? KLAUS D. KIRSCHNER WOLFGANG GROSSE D I PL-PHYSIKER Dl PL.-I N G EN IEUR OKI ELECTRIC INDUSTRY CO., LTD. 7-12, Toranomon 1-chome, Minato-ku, Tokyo, Japan HERZOG-WILHELM-STR. 17 D-8 MÜNCHEN 2 IHR ZEICHEN: YOUR REFERENCE: UNSERZEicHEN: Y 3119* K/bö OUR REFERENCE: DATUM: 23. Juni 1978 Einrichtung zum Interpolieren eines Bogens für eine NC-Steuerung Pateritansprüche

1. Einrichtung zum Interpolieren eines Bogens für eine NC-Steuerung, gekennzeichnet durch eine

eine Speichereine Multiplikations-

Speichereinrichtung zum Speichern des Wertes X , einrichtung zum Speichern des Wertes Y , einrichtung zur Erstellung des Wertes Y . i. /r, ein Multiplikationseinrichtung zur Erstellung des Wertes X . i> /r, eine

χ η 2 2 Multiplikationseinrichtung zur Erstellung des Wertes X . ^ /2r , eine Multiplikationseinrichtung zur Erstellung des Wertes

eine Verarbeitungseinrichtung zur Erstellung des

2

'/2t , wobei das Resultat

und der dem-

η η
Wertes X

= ^Xn ^{+ Y}n

/r - X η' η

,. X Y . £ /r X n+1 η η η' η η

der Speichereinrichtung zum Speichern des Wertes X entsprechenden Multiplikationseinrichtungen verwendet wird, um die X-Koordinate des neuen Punktes auf dem Bogen zu liefern, eine Verarbeitungseinrichtung zur Erstellung des Wertes

Y
"l-i-1 η η η· η η '

und der ent-

n+1 η η * ' η'" η^η'" ' """" Speichereinrichtung zum Speichern des Wertes Y

sprechenden Multiplikationseinrichtungen ausgenutzt wird, um

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die Y-Koordinate des neuen Punktes auf dem Bogen zu liefern, eine Weitergabeeinrichtung, um die Werte X * und Y . an den Motor der NC-Steuerung weiterzugeben, und eine Wiederholungseinrichtung, um die oben erwähnten Vorgänge zu wiederholen, nachdem die Werte X und Y durch die Werte X ,. und Y , _Λ

η η n+i η+Ί

substituiert worden sind, wobei X und Y die Koordinaten des

η η

Bogens zum Zeitpunkt t , X .. und Y * die Koordinaten des Bogens zum Zeitpunkt t .., r der Ra'dius des Bogens und die Länge des Bogens in der Zeitperiode t ₁ - t ist, wobei angenommen wird, dass der Bogen die Formel χ + y = r erfüllt.

2. Einrichtung zum Interpolieren eines Bogens für eine NC-Steuerung, gekennzeichnet durch eine Speichereinrichtung zum Speichern des Wertes IX , eine Speichereinrichtung zum Speichern des Wertes IY , eine Verarbeitungseinrichtung zum Berechnen und Speichern des Wertes IX .2 . C /r, eine Verarbeitungsein-

TYJ

richtung zum Berechnen und Speichern des Viertes IY . 2^l . - /r, eine Verarbeitungseinrichtung zum Berechnen und Speichern des

TT· O O

Wertes IX .2 . C- /2r , eine Verarbeitungseinrichtung zum

^{n n} m - 2 2

Berechnen und Speichern des Wertes IY .2 . £ /2r , eine Verarbeitungseinrichtung zum Berechnen von (RX_n + IY_n . 2^m . e_n/r - IX_n . 2^m . £^/2T²)/2^m (1)

und zum Speichern des Restes der genannten Formel als RX . und zum Weitergeben des Quotienten der genannten Formel an den X-Achsen-Motor, eine Verarbeitungseinrichtung zum Berechnen von -(RY_n + IX_n . 2^m . £_n/r + IY_n . 2^m . β^/2τ²)/2™ (2)

und zum Speichern des Restes der genannten Formel als RX .. und zum Weitergeben des Quotienten der vorstehenden Formel an den Y-Achsen-Motor, eine Einrichtung zum Substituieren des Wertes IX mit der Summe von IX und dem Quotienten der Formel (1), und durch eine Einrichtung zum Substituieren des Wertes IY mit der Differenz zwischen dem Quotienten der Formel (2) und dem

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Wert IY der nachfolgenden Berechnung,· wobei X und Y die Koordinaten des Bogens zum Zeitpunkt t , IX und IY die ganzzeiligen Teile von X bzw. Y , RX und RY die Bruchteile

η η η η

von X bzw. Y / r der Radius des Bogens und C die Länge"des η η η

Bogens während der Zeitdauer t ₁ - t ist,und wobei angenommen wird, dass der Bogen die Formel χ + y = r erfüllt.

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