DE2217574A1

DE2217574A1 - Schmalbandiges Digitalfilter

Info

Publication number: DE2217574A1
Application number: DE19722217574
Authority: DE
Inventors: Daniel Jacques La Gaude Esteban (Frankreich)
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 1971-05-13
Filing date: 1972-04-12
Publication date: 1972-11-16
Also published as: FR2137346A1; US3737636A; GB1358113A; DE2217574C3; DE2217574B2; FR2137346B1; IT950712B; JPS5414908B1; CA958077A

Description

Böblingen, 14. März 1972 gg-fr

Anmelderin: International Business Machines

Corporation, Armonk, N.Y. 10504

Amtl.-Aktenzeichen: Neuanmeldung

Aktenzeichen der Anmelderin: Docket FR 971 004

Schmalbandiges Digitalfilter

Die Erfindung betrifft ein schmalbandiges Digitalfilter, bei dem das gefilterte Signal aufgrund einer zeitlichen Transformation zwischen dem zu filternden Signal und der Impulswiedergabe erhalten wird.

Eine Annäherung an das gewünschte Ergebnis kann dadurch erzielt werden, daß die genannte Transformation in unterbrochener Folge durchgeführt wird. Zu diesem Zweck wird das zu filternde Signal getastet, die aufeinanderfolgenden Abtastwerte werden über eine Verzögerungsstrecke übertragen und die gefilerten Signalwerte werden durch Gewichtung der verzögerten Werte und durch Addierung der gewichteten Werte periodisch abgeleitet. Im Falle eines Transversalfilters entsprechen die Gewichtungsfaktoren den Abtastwerten der Impulswiedergabe des Filters. Daraus ist zu ersehen, daß die Genauigkeit der Filterung um so höher ist, je höher die Anzahl der Gewichtungsfaktoren ist. Im Prinzip wird die Tastung der Impulswiedergabe mit der gleichen Frequenz wie die Tastung des Signals vorgenommen. Jedem Faktor ist ein Abgriff an der Verzögerungsstrecke zugeordnet. Mit abfallender Impulswiedergabe des Filters nimmt auch der Wert der Gewichtungsfaktoren. ab. Die Gewichtungsfaktoren werden mehr und mehr unbedeutend und können ohne wesentliche Einbuße an Genauigkeit voa einem bestimmten fcang an vernachlässigt werden. Von wann ab dies geschehen ka,nn_f hängt

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jedoch von der erforderlichen Filtercharakteristik ab. In Wirklichkeit ist bei der gleichen Abtastfrequenz die Anzahl der bedeutenden Faktoren um so höher, je schmaler die Bandbreite des Transversalfilters ist. Aus diesem Grunde kann es von Vorteil sein, eine Anordnung zu verwenden, deren Bandbreite am Anfang groß und dann aufeinanderfolgend ohne Modifizierung der Anzahl der Gewichtungsfaktoren in einfacher Weise eingeengt werden kann.

Im Falle eines Rekursivfilters ist die Anzahl der Gewichtungsfaktoren von der Abtastfrequenz unabhängig, aber ihre Definition ist direkt mit dieser Frequenz verknüpft. Diese Definition ist um so genauer, je schmaler die Bandbreite oder je höher die Abtastrate ist.

Es ist die der Erfindung zugrundeliegende Aufgabe, ein schmalbandiges Digitalfilter unter Verwendung eines eine größere Bandbreite aufweisenden Filters anzugeben, dessen Bandbreite ohne Modifizierung der Anzahl oder der Werte der Gewichtungsfaktoren verringert werden kann.

Gemäß der Erfindung wird diese Aufgabe durch folgende Einzelmerkmale gelöst:

a) Filterung des Eingangssignals mit einem Filter, dessen Bandbreite um einen Faktor η größer als erforderlich ist,

b) erneute Tastung des gefilterten Eingangssignals mit einer um den Faktor η gegenüber der ersten Filterung erniedrigten Abtastfrequenz,

c) Rückführung der auf diese Weise gewonnenen Abtastwerte in dasselbe Filter und

d) N-malige Wiederholung der Merkmale (b) und (c).

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Die Erfindung wird nachstehend anhand der Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:

Fig. 1 die Impulswiedergabe des Filters bei verschiedenen Bandbreiten,

Fign. 2 u. 3 den Filterprozeß,

Fig. 4 ein Ausführungsbeispiel des erfindungsgemäßen

Filters und

Fign. 5 u. 6 eine frequenzmäßige Darstellung der erfindungsgemäßen Filterung.

Das erfindungsgemäße, schmalbandige Filter ist von einem Filter

N
mit einem η -mal breiteren, mit der Nyquist-Frequenz des Signals getasteten Frequenzband, wobei die Abtastwerte N-mal durch Η Zirkulationen im Filter gefiltert werden. Dabei werden bei jeder Zirkulation die Abtastwerte zum Filtereingang zurückgeführt und mit einer Frequenz getastet, die η-mal kleiner ist als die bei der vorausgegangenen Zirkulation.

Zum besseren Verständnis der Abläufe sei auf bestimmte mathematische Zusammenhänge hingewiesen. Zu diesem Zweck wird ein einfaches Beispiel gewählt. Angenommen, die Impulswiedergabe eines Filters sei durch die Beziehung gegeben:

f(t) = A.e~^at cos (nt + φ) (1)

Dieser Ausdruck zeigt, daß das durch einen Rechteckimpuls erregte Filter am Ausgang ein exponentiell abnehmendes, sinusförmiges Signal f(t) liefert, das folgende Charakteristiken aufweist:

Ursprungsamplitude: Ä

exponentieller Abnahmefaktor: α

Winkelfrequenz: Ω

Anfangsphase: φ

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Durch diese Parameter ist das Filter definiert.

Die Übertragungsfunktion des Filters erhält man aus der Laplace-Transformation H, j des Ausdrucks f(t) zu:

(P)

00

f(t) e"^pt dt

oder, führt man die Beziehung e^^x = cos χ + j sin χ ein,

H, . = Realteil

00

_e-at_e -jißt+φ) _m _e-pt

H. j = Realteil

Ae

-3Φ

H = δ ^α cos φ-Ω sin φ + ρ cos φ ^(P) ~ (ρ +α)² + Ω²'

(2)

Weitere brauchbare Parameter des Filters ergeben sich aus der Übertragungsfunktion (2) und Verwendung folgender Beziehungen

- Q-Faktor: - Mittenfrequenz: - Bandbreite:

Q =

ωο 2ÖT

+ α

Q π

Dies zeigt, daß eine schmalere Bandbreite einen kleineren Faktor α und damit eine längere Dauer von F(t) zur Folge hat. Wie bereits angedeutet, müssen bei einer Digitalisierung des Filters Gewichtungsoperationen auf das !Eingangssignal angewendet werden.

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2 0 9 8 ■■■ ./· / U 6 7

Bei einem Transversalfilter werden die Gewichtungsfaktoren durch Tastung der Impulswiedergabe f(t) ermittelt. Die Definition der Gewichtungsfaktoren bei einem Rekursivfilter sind komplexer, die Schlußfolgerungen der vorliegenden Analysis bleiben jedoch erhalten .

Aus der mit der Frequenz F = ,=■ getasteten Funktion f (t) erhält man:

+ 00

f_(t)* = f(t) χ I 6 (t-nT) , ^{1 ;} n=- oo

dabei ist δ (t-nT) das Kronecker-Symbol, das für t φ nT 0 und für t = nT gleich 1 ist, wobei η ganzzahlig ist. Zum besseren Verständnis dieser Darstellung sei Bezug auf verschiedene, bereits veröffentlichte Artikel genommen, insbesondere: "z-Transforms and their Applications in Control Engineering" veröffentlicht von Y. Azar in "The Radio and Electronic Engineer", Juli 1965, und "Programmable digital filter performs multiples functions" veröffentlicht in "Electronics", 26. Oktober 1970 (von A.T. Anderson) .

Die übertragungsfunktion des Filters erhält man durch die sogenannte Transformation ζ von f*(t), wobei ζ = e^p .

Diese übertragungsfunktion H*.. ergibt sich aus der Beziehung:

H*, , = Realteil A.e"^ \ _β"^{(α +} ^ ^nTz " ^nT. ^(z) n=0

Unter der Annahme α < 1 erhält man:

A p-J*

H*,. = Realteil

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—&T —1

- a ^CQS Φ " cos (ΩΤ - φ) x e χ ζ

^(Ζ) " l-2e-^a"^T.cos ΩΤ χ ζ'¹ _{+ e}-^2aT._Z-²

Das Spektrum von H*. * erhält man durch Substitution von e"-' für z"¹.

Dies zeigt, daß das Spektrum des getasteten Signals periodisch ist. Diese Periodizität beinhaltet das erneute Auftreten des Spektrums des Eingangsanalogsignals im Bereich der Frequenz F und jeder ihrer Harmonischen. Daraus ist zu ersehen, daß bestimmte Informationen über das Digitalfilter direkt von seiner Impulswiedergabe f(t) abgeleitet werden können. Insbesondere die in Fig. 1 dargestellten Kurven zeigen, daß bei einer Verwirklichung des Filters mit der Impulswiedergabe f(t) als Digitalfilter, die Genauigkeit der Wiedergabe höher ist, wenn T kleiner und α höher ist (aus Stabilitätsgründen ist α stets kleiner als 1). Außerdem, wie groß die Abtastfrequenz auch sein mag, das Filter kann durch Verwendung der gleichen Anzahl von Faktoren verwirklicht werden.

Die Komplexität der mit der Notwendigkeit verbundenen technischen Probleme, daß für eine perfekte Filterung eine hohe Anzahl von Gewichtungsfaktoren vorzusehen ist, ist bekannt. Das Problem stellt sich relativ einfach dar. Die angestrebte Genauigkeit erfordert die Verwendung einer großen Anzahl von Gewichtungsfaktoren, aber die derzeit damit verbundenen technischen Probleme zeigen, daß es erforderlich ist, einen Kompromiß zu schließen. Aus diesem Grunde ist bereits vorgeschlagen worden, eine Anzahl von Gewichtungsfaktoren zu simulieren, die höher ist als die effektiv verwendete Anzahl. Dies geschieht durch mehrfache Zirkulationen der Daten.

Das Problem ist noch größer, wenn das zu erstellende Filter eine in bezug auf das Signalspektrum relativ schmale Bandbreite aufweisen sollte. Je schmaler nämlich die Bandbreite des Filters ist, desto niedriger ist dür Faktor α und desto langer ist die Impuls-

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Wiedergabe f(t) für einen vorgegebenen Grenzwert. Außerdem ist der untere Grenzwert der Abtastfrequenz durch die Nyquist-Beziehung F_min = 2F definiert, wobei F die obere Frequenz des zu filternden Signalspektrums darstellt. Aus diesem Grunde ist es unmöglich, F = ^ auf einen Wert unterhalb von F . zu reduzieren. Erfindungsgemäß wird vorgeschlagen, daß diese Filterung in mehreren Schritten ausgeführt wird, wobei jeder Schritt die Bandbreite des Signals und damit F . reduziert. Dadurch kann die Abtastperiode von f(t) erhöht werden. Ein wesentlicher Vorteil kann dabei darin gesehen werden, daß _;es dann nicht erforderlich ist, entweder die Anzahl oder die Werte der Gewichtungsfaktoren zu modifizieren, um eine schmalere Bandbreite des Filters zu erhalten. Das bedeutet, daß das gleiche Filter erneut verwendet werden kann, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Im folgenden sei ein konkretes Beispiel behandelt. Angenommen von einem Signal, dessen Spektrum sich bis F = 4800 Hz er-

streckt, sei eine Bandbreite von 1200 Hz auszufiltern. Entsprechend der Nyquist-Beziehung beträgt die minimale Abtastfrequenz F = 9600 Hz. Die Anzahl der wesentlichen Gewichtungsfaktoren, die durch Abtasten der Impulswiedergabe eines Filters mit einer Bandbreite von 1200 Hz bei einer Frequenz von 9600 Hz erhalten wird, ist im Hinblick auf eine Verwirklichung des Filters unter Verwendung integrierter Schaltkreise zu hoch. Aus diesem Grunde ist es vorteilhaft, das Signal zunächst mit 2400 Hz zu filtern, wodurch sich die Nyquist-Frequenz auf 2400 Hz reduziert, und dann das Signal einem eine Bandbreite von 1200 Hz aufweisenden Filter zuzuführen- Dieser Fall ist schematisch in Fig. 2 dargestellt. Die Abtastungen X des Eingangssignals erfolgen mit einer Frequenz F = 9600 Hz am Eingang eines Filters H , dessen Bandbreite 2400 Hz beträgt= Das durch das Filter H₁ gefilterte Signal wird bei einer Frequenz F/2 = 1/2T = 4800 Hz erneut getastet und dann durch ein Filter H_ mit einer Bandbreite von 1200 Hz gefiltert, so daß sich das gewünschte Signal Z ergibt. Die beiden Filter H und H_, deren Impulswiedergaben J: (t) und f~(t) jeweils nach der Zeit T bzw. 2T getastet werden,

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liefern die gleiche Anzahl von Gewichtungsfaktoren. Das Filter ist jedoch besser als das Filter H„ definiert, da seine Bandbreite und die Abtastfrequenz doppelt so hoch ist.

Dieser Nachteil kann dadurch vermieden werden, daß die Impulswiedergabe f₂(t) aufgrund der homothetischen Beziehung mit f.(t) definiert wird.

Dies sei an einem einfachen Beispiel illustriert, indem ein über die Ausdrücke (1), (2) und (3) abgeleitetes Pseudo-Bandpaßfilter verwendet wird. In diesem Fall lautet die einfachste übertragungsfunktion :

<P> (P-KX)² + Ω²

daraus

f_x(t) = A.e"^at cos Qt. (4)

f₂(t) = A.e"^at/2 cos § t. (5)

Durch Tastung von f (t) in regelmäßigen Intervallen t=kT und von f₂(t) in Intervallen t=2kT, wobei k = 1, 2, 3 usw. ist, erhält man für beide Impulswiedergaben die gleichen Gewichtungsfaktoren. Das Filter H₂ läßt sich also leicht aus einem Filter H₁ ableiten, wenn dessen Zeitskala um den Faktor 2 gedehnt wird. Fig. 1 zeigt die Funktionen f^t) und f₂(t) der Ausdrücke (4) und (5) bei einer Abtastfrequenz F = l/T bzw. F/2 = 1/2T. Die Beziehung zwischen den beiden Impulswiedergaben ist in Fig. 1 graphisch dargestellt. Es zeigt sich also, daß ein Filter H. die Funktion eines Filters H₂ durch Dehnung des Zeitmaßstabs um" den Faktor 2 vollkommen ausführen kann. Es kann sich um ein Digitalfilter des Mehrfach-Umlauftyps handeln, das aus einer Verzögerungsstrecke und Gewichtungs- und Akkumulatorstufen be-

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steht. Die Verzögerungsstrecke ist mit Abgriffen ausgestattet, die beim Filter H, um den Intervall T und beim Filter H₂ um den Intervall 2T auseinanderliegen. Um daher Filter H₁ in Filter HL überzuführen, genügt es, zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abgriffen eine Verzögerung 2T zu simulieren. Dies kann insbesondere dadurch geschehen, daß die Daten einer die Verzögerungszeit T aufweisenden Verzögerungsstufe erneut in den Umlauf gebracht werden und daß die Gewichtungs- und Akkumulationsoperationen jeweils nur einmal nach zwei Zeitintervallen durchgeführt werden.

Das Blockschaltbild gemäß Fig. 3 kann nunmehr für das der Fig. gesetzt werden. Die anfangs mit einer Frequenz F getasteten Daten X werden im Filter H gefiltert. Das gefilterte Signal Y wird mit einer Frequenz F/2 getastet und nach einer das Zusammentreffen der Eingangsdaten X und der wiedereingeführten Daten Y verhindernden Verzögerung erneut dem gleichen Filter zugeführt. Um Y bei einer Frequenz F/2 zu erhalten, genügt es also, am Filterausgang von zwei Tastungen lediglich eine zu berücksichtigen. Der beschriebene Prozeß kann natürlich N Male wiederholt werden. Die Anzahl der Wiederholungen kann nur durch die geforderte Operationsgeschwindigkeit der Schaltungen begrenzt werden.

In Fig. 4 ist ein Ausführungsbeispiel des Filters dargestellt, das eine Bandbreite von 1200 Hz aus einem Signal ausfiltert, dessen Spektrum sich bis 4800 Hz erstreckt, wobei von den beschriebenen Wiederholungen Gebrauch gemacht wird. Die jeweils nach T Sekunden gelieferten Abtastwerte X werden der Verzögerungsstrecke Ll zugeführt und adressieren über ODER-Schaltungen 0 einen Festwertspeicher ROM, dem ein die Abtastwerte Y liefernder Akkumulator AKKU nachfolgt. Ein Gatter G ist durch ein Signal CK blockiert, so daß die Abtastwerte Y nicht zum Ausgang S des Filters übertragen werden. Diese Abtastwerte werden über ein eine Verzögerungszeit von einem Bruchteil von T aufweisendes Verzögerungselement D zum Eingang der Verzögerungsstrecke L2 zurückgeführt.

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Das mit einer Frequenz F/2 geöffnete Gatter G läßt jeweils von zwei Abtastwerten nur einen passieren. Die durchgelassenen Abtastwerte Y werden der Verzögerungsstrecke L2 zugeführt, die aus Verzögerungselementen mit einer Verzögerungszeit T bestehen und die über Schalter I in sich selbst rückführbar sind. Die Rückführungsschleifen werden nach jedem Intervall 2T hergestellt, während das Gatter G geschlossen ist. Dies geschieht, um die Verzögerungselemente T der Verzögerungsstrecke L2 in Verzögerungselemente 2T überzuführen, so daß die Dehnung der Zeitskala in der beschriebenen Weise erreicht wird. Wird daher das Gatter G nach jedem Intervall 2T geöffnet, so wird ROM über L2 adressiert und der Akkumulator liefert einen Abtastwert Z des gewünschten gefilterten Signals. Der Vorgang wird erneut gestartet, wenn der jeweils folgende Abtastwert X ansteht. Zeitlich werden die Operationen für ein durch fünf Abtastwerte X. bis X₅ definiertes Eingangssignal entsprechend der folgenden Tabelle durchgeführt:

+ ►

X₁ X₂ X₃ X₄

2T

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Zeit	Ll und L2 Inhalte	ROM + AKKU Ausgang
t=0	X₁**	* ^Yi
T	γ ** ^xi X₂ X₁*	■■* * nicht verwendet
(I geschlossen, des halb Rückführung von Y₃)	γ ** 1	·♦■ * nicht verwendet
2T	YYY X₃ X₂ X₁ Y₃ Y₁*	* ^Y3 - ^Z2
3T	YYY A₄ A₃ A₂	-·* * nicht verwendet
(Rückführung von Y_)	γ Υ * ^Y3 ^Yl	■■ nicht verwendet
4T 5T (keine weiteren Werte X)	X₅ X₄ X₃ ^Y5 ^Y3 ^Yl o X₅ X₄	* ^Y5 - ^Z3 ·■ nicht verwendet
(Rückführung von Y)	YYY 5 3 1	■■* * nicht verwendet
6T	0 0 X₅	* ^Y7
7T	YYY ^X7 ^X5 ^X3 0 0 0	* ^Z4 ■■* o
Rückführung von Y	^Y7 ^Y5 ^Y3	■■ nicht verwendet
8T	0 0 0	*·■ o**
	ο Y₇ Y₅	^Z5 usw. bis keine weiteren Werte Y

Aus Fig. 5 ist der frequenzmäßige Zusammenhang der Filterung im Falle eines Tiefpaßfilters nach einer Rezirkulation zu ersehen. Die Kurvenverläufe (a) zeigen die Spektren des Signals

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und des bei einer Frequenz von 9600 Hz getasteten Filters. Der Verlauf (b) zeigt das Ergebnis in bezug auf das Signal Y. Die Kurven (c) und (d) zeigen den Effekt der Tastung bei halber Frequenz und die Auswirkung der Rezirkulation auf das Filter und das gefilterte Signal Z.

In Fig. 6 ist der frequenzmäßige Zusammenhang im Falle eines Bandpaßfilters dargestellt. Die Bandbreite des Digitalfilters F2-F1 übersteigt die des simulierten Digitalfilters um den Wert

G . F2 - Fl

F2 -Fl
n^{N F1}

Im gezeigten Beispiel ist F2=3F1, n=2 und N=I. Es ergibt sich also ein Gewinn an Bandbreite von G=4. Hierbei können sich gewisse Probleme ergeben, insbesondere im Hinblick auf die Tatsache, daß die erhaltenen Spektralbereiche des Signals Z, die mit einer Frequenz entsprechend dem vierfachen Wert der Nyquist-Frequenz getastet werden, auf der Frequenzachse dichter zusammenrücken. Lösungen für diese Probleme sind aber bereits vorgeschlagen worden. Ein ausreichender Abstand der Spektralbereiche kann durch Erhöhung der Abtastfrequenz des gefilterten Signals sichergestellt werden, insbesondere kann er wieder auf den Wert F erhöht werden. Diese Erhöhung wird durch Wiederholung und Rezirkulation der gleichen Abtastwerte erzielt. Ein diesbezüglicher Filteraufbau entspricht im wesentlichen dem der Fig. 3. Es ist lediglich die Abtastratenänderung umgekehrt.

Docket

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Claims

PATENTANSPRÜCHE

1.' Schmalbandiges Digitalfilter, bei dem das gefilterte Signal aufgrund einer zeitlichen Transformation zwischen dem zu filternden Signal und der Impulswiedergabe erhalten wird, gekennzeichnet durch folgende Einzelmerkmale:

a) Filterung, des Eingangssignals mit einem Filter, dessen Band]
ist,

N
Bandbreite um einen Faktor η größer als erforderlich

b) erneute Tastung des gefilterten Exngangssxgnals mit einer um den Faktor η gegenüber der ersten Filterung erniedrigten Abtastfrequenz,

d) N-malige Wiederholung der Merkmale (b) und (c).

2. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die erneute Tastung entsprechend (b) über eine jeweils nur einen von η Abtastwerten des gefilterten Signals in jeder Zirkulation entnehmende logische Schaltung erfolgt.

3. Digitalfilter nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß η mindestens gleich 2 ist.

4. Digitalfilter nach den Ansprüchen 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Tastfrequenz des am Filterausgang erhaltenen Signals dadurch auf den anfänglichen oder einen höheren Wert gebracht wird, daß die gefilterten Werte nach der N-ten Zirkulation über eine zweite Anordnung übertragen werden, deren Abtastfrequenz bei jeder Zirkulation in der zweiten Anordnung mit Faktor η multipliziert wird.

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5. Digitalfilter nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Multiplikation mit dem Faktor η durch η Wiederholungen desselben Abtastwertes während einer Periode erfolgt.

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