DE2217574C3 - Schmalbandiges Digitalfilter - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein schmalbandiges Digitalfilter, bei dem das gefilterte Signal durch Rückführung der gewonnenen Abtastwerte erneut getastet und dieser Vorgang /V-mal wiederholt wird.

Eine Annäherung an das gewünschte Ergebnis kann dadurch erzielt werden, daß die genannte Transformation in unterbrochener Folge durchgeführt wird. Zu diesem Zweck wird das zu filternde Signal getastet, die aufeinanderfolgenden Abtastwerte werden über eine Verzögerungsstrecke übertragen und die gefilterten Signalwerte werden durch Gewichtung der verzögerten Werte und durch Addierung der gewichteten Werte periodisch abgeleitet. Im Falle eines Transversalfilters entsprechen die Gewichtungsfaktoren den Abtastwerten der Impulswiedergabe des Filters. Daraus ist zu ersehen, daß die Genauigkeit der Filterung um so höher ist, je höher die Anzahl der Gewichtungsfaktoren ist. Im Prinzip wird die Tastung der Impulswiedergabe mit der gleichen Frequenz wie die Tastung des Signals vorgenommen. Jedem Faktor ist ein Abgriff an der Verzögerungsstrecke zugeordnet. Mit abfallender Impulswiedergabe des Filters nimmt auch der Wert der Gewichtungsfaktoren ab. Die Gewichtungsfaktoren werden mehr und mehr unbedeutend und können ohne wesentliche Einbuße an Genauigkeit von einem bestimmten Rang an vernachlässigt werden. Von wann ab dies geschehen kann, hängt jedoch von der erforderlichen Filtercharakteristik ab. In Wirklichkeit ist bei der gleichen Abtastfrequenz die Anzahl der bedeutenden Faktoren um so höher, je schmaler die Bandbreite des Transversalfilters ist. Aus diesem Grunde kann es von Vorteil sein, eine Anordnung zu verwenden, deren Bandbreite am Anfang groß und dann aufeinanderfolgend ohne Modifizierung der Anzahl der Gewichtungsfaktoren in einfacher Weise eingeengt werden kann.

Im Falle eines Rekursivfilters ist die Anzahl der Gewichtungsfaktoren von der Abtastfrequenz unabhängig, aber ihre Definition ist direkt mit dieser Frequenz verknüpft Diese Definition ist um so genauer, je schmaler die Bandbreite oder je höher die Abtastrate ist.

Es ist die der Erfindung zugrunde liegende Aufgabe, ein schmalbandiges Digitalfilter unter Verwendung eines eine größere Bandbreite aufweisenden Filters anzugeben, dessen Bandbreite ohne Modifizierung der Anzahl oder der Werie der Gewichtungsfaktoren verringert werden kann.

Gemäß der Erfindung wird diese Aufgabe bei einem Digitalfilter nach der Gattung dadurch gelöst, daß ein Filter mit einer um den Faktor /^geringeren Bandbreite als erforderlich gewählt wird und daß bei jeder erneuten Tastung die Abtastfrequenz um den Faktor η verringert wird.

Die Erfindung wird nachstehend an Hand der Zeichnungen näher erläutert Es zeigt

F i g. 1 die Impulswiedergabe des Filters bei verschiedenen Bandbreiten,

F i g. 2 und 3 den Filterprozeß,

Fig.4 ein Ausfuhr-·,ngsbeispiel des erfindungsgemäßen Filters und

Fig.5 und 6 eine frequenzmäßige Darstellung der erfindungsgemäßen Filterung.

Das erfindungsgemäße, schmalbandige Filter ist von einem Filter mit einem n^-mal breiteren, mit der Nyquist-Frequenz des Signals getasteten Frequenzband, wobei die Abtastwerte Mmal durch N Zirkulationen im Filter gefiltert werden. Dabei werden bei jeder Zirkulation die Abtastwerte zum Filtereingang zurückgeführt und mit einer Frequenz getastet, die /7-mal kleiner ist als die bei der vorausgegangenen Zirkulation.

Zum besseren Verständnis der Abläufe sei auf bestimmte mathematische Zusammenhänge hingewiesen. Zu diesem Zweck wird ein einfaches Beispiel gewählt. Angenommen, die Impulswiedergabe eines Filters sei durch die Beziehung gegeben:

JU) = A -C^-11COSdJt + Φ).

(I)

Dieser Ausdruck zeigt, daß das durch einen Rechteckimpuls erregte Filter am Ausgang ein exponentiell abnehmendes, sinusförmiges Signal f(t) liefert, das folgende Charakteristiken aufweist:

Ursprungsamplitude:
exponentieller Abnahmefaktor:
Winkelfrequenz:
Anfangsphase:

A oc
Ω
Φ

Durch diese Parameter ist das Filter definiert.
Die Übertragungsfunktion des Filters erhält man aus der Laplace-Transformation W^des Ausdrucks f(t)zvt:

",„, = / .Ht)I- ι"ύι

η
oder, führt man die Beziehung c'^x = cos .ν \ j sin χ ein.

//,„, = Realteil / A

22

'A

_ , .,Γ Ae ιψ Ί
= Rea tei

■ρ)

. \ cos Φ — /-'sin Φ + ρ cos Φ

Weitere branchbare Parameter des Filters ergeben sich aus der übertragungsfunktion (2) und Verwendung folgender Beziehungen:

- Q-Faktor: Q =

..Ο

— Mittenfrequenz: Fo = ~— = ——
In 2.-Γ

IiJ¹ + \²

- Bandbreite: BP =

Fo

(3)

Dies zeigt, daß eine schmalere Bandbreite einen kleineren Faktor <x und damit eine längere Dauer von F(t) züT Folge hat Wie bereits angedeutet, müssen bei einer Digitalisierung des Filters Gewichtungsoperationen auf das Eingangssignal angewendet werden.

Bei einem Transversalfilter werden die Gewichtungsfaktoren durch Tastung der Impulswiedergabe f(t) ermittelt. Die Definition der Gewichtungsfaktoren bei einem Rekursivfilter sind komplexer, die Schlußfolgerungen der vorliegenden Analysis bleiben jedoch erhalten.

Aus der mit der Frequenz F = γ getasteten Funktion /"^erhält man:

f* — f(t\ χ V ΛΙ/ — /ι7")
Viii — J\')^x ^, "l< "' I-

dabei ist δ (t—ηΤ) das Kronecker-Symbol, das für / Φ nTO und für l = nTgleich 1 ist, wobei π ganzzahlig ist. Zum besseren Verständnis dieser Darstellung sei bezug auf verschiedene, bereits veröffentlichte Artikel genommen, insbesondere: »z-Transinrms and their Applications in Control Engineering« veröffentlicht von Y. A ζ a r in »The Radio and Electronic Engineer«. Juli 1965, und »Programmable digital filter performs multiples; functions« veröil^ntlicht in »Electronics«, 26. Oktober 1970 (von A. T. A η d e r s ο η).

Die Übei :ragungsfunktion des Filters erhält man durch die sogenannte Transformation ζ von f*(t), wobei ζ = β".

Diese Übertragungsfunktion
Beziehung:

ergibt sich aus der

ll*_:) = Realteil A ■ e

Unter der Annahme \ < 1 erhält man:

//*, = Realteil

A ■ c -., -f. t ι

cos Φ ~ cos[(JT- Φ)χc
^1:1 I -2e "-cosiirv: "^! f

Das Spektrum von Η*_(/) erhält man durch Substitution von e-'^'^nr z~K

Dies zeigt, daß das Spektrum des getasteten Signals periodisch ist. Diese Periodizität beinhaltet das erneute Auftreten des Spektrums des Eingangsanalogsignals im Bereich der Frequenz Fund jeder ihrer Harmonischen. Daraus ist zu ersehen, daß bestimmte Informationen über das Digitalfilter direkt von seiner Impulswiedergabe f(t) abgeleitet werden können. Insbesondere die in Fig. 1 dargestellten Kurven zeigen, daß bei einer Verwirklichung des Filters mit der Impulswiedergabe f(t) als Digitalfilter, die Genauigkeit der Wiedergabe höher ist, wenn T kleiner und α höher ist (aus Stabilitätsgründen ist α stets kleiner als 1). Außerdem, wie groß die Abtastfrequenz auch sein mag, das Filter kann durch Verwendung der gleichen Anzahl von Faktoren verwirklicht werden.

Die Komplexität der mit der Notwendigkeit verbundenen technischen Probleme, daß für eine perfekte Filterung eine hohe Anzahl von Gev ;ohtungsfaktoren rzus

en ist, ist bekannt. Das Probifm sielli

relativ einfach dar. Die angestrebte Genauigkeit erfordert die Verwendung einer großen Anzahl von Gewichtungsfaktoren, aber die derzeit damit verbundenen technischen Probleme zeigen, daß es erforderlich ist, einen Kompromiß zu schließen. Aus diesem Grunde ist bereits vorgeschlagen worden, eine Anzahl von Gewichtungsfaktoren zu simulieren, die höher ist als die effektiv verwendete Anzahl. Dies geschieht durch mehrfache Zirkulationen der Daten.

Das Problem ist noch größer, wenn das zu erstellende Filter eine in bezug auf das Signa Spektrum relativ schmale Bandbreite aufweisen soite. Je schmaler nämlich die Bandbreite des Filters ist, desto niedriger ist der Faktor α und desto langer ist die Impulswiedergabe f(t) für einen vorgegebenen Grenzwert. Außerdem ist der untere Grenzwert der Abtastfrequenz durch die Nyquist-Beziehung F_m,„ = 2 F₅ definiert, wobei Γ die obere Frequenz des zu filternden Signalspektrums

darstellt. Aus diesem Grunde ist es unmöglich, F = γ

auf einen Wert unterhalb von F_mm zu reduzieren. Erfindungsgemäß wird vorgeschlagen, daß diese Filterung in mehreren Schritten ausgeführt wird, woDei jeder Schritt die Bandbreite des Signals und damit F_mm reduziert. Dadurch kann die Abtastperiode von f(t) erhöht werden. Ein wesentlicher Vorteil kann dabei darin gesehen werden, daß es dann nicht erforderlich ist, entweder die Anzahl oder die Werte der Gewichtungsfaktoren zu modifizieren, um eine schmalere Bandbreite des Filters zu erhalten. Das bedeutet, daß das gleiche Filter erneut verwendet werden kann, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Im folgenden sei ein konkretes Beispiel behandelt. Angenommen von e-nem Signal, dessen Spektrum sich bis F_s = 4800 Hz erstreckt, sei eine Bandbreite von 1200 Hz auszufiltem. Entsprechend der Nyquist-Beziehung beträgt die minimale Abtastfrequenz F = 9600 Hz. Die Anzahl der wesentlichen Gewichtungsfaktoren, die durch Abtasten der Impulswiedergabe eines Filters mit einer Bandbreite von 1200 Hz bei einer Frequenz von 9600 Hz erhalten v, ird, ist im Hinblick auf eine Verwirklichung des Filters unter Verwendung integrierter Schaltkreise zu hoch. Aus diesem Grunde ist es vo/teilhaft, das Signal zunächst mit 2400 Hz zu filtern, wodurch sich die Nyquist-Frequenz auf 2400 Hz reduziert, und dann das Signal einem eine Bandbreite von 1200 Hz aufweisenden Filter 7ii7iifüh-

22 \7 574

ren. Dieser Fall ist schematisch in F i g. 2 dargestellt. Die Abtastungen X des Eingangssignals erfolgen mit einer Frequenz F =9600 Hz am Eingang eines Filters Hi. dessen Bandbreite 2400 FIz beträgt. Das durch das Filter H\ gefilterte Signal wird bei einer Frequenz F/2 = I/ 2F = 4800 FIz erneut getastet und dann durch ein Filter Hi mit einer Bandbreite von 1200 Hz gefiltert,"so daß sich das gewünschte Signal Zergibt. Die beiden Filter //ι und H₂, deren Impulswiedergaben f,(l) und f,(t) jeweils nach der Zeit Fbzw. 2 Fgetastet werden, liefern die gleiche Anzahl von Gewichtungsfaktoren. Das Filter H\ ist jedoch besser als das Filter H₂ definiert, da seine Bandbreite und die Abtastfrequenz doppelt so hoch ist.

Dieser Nachteil kann dadurch vermieden werden, daß die Impulswiedergabe fi(t) auf Grund der homothetischen Beziehung mit /"^definiert wird.

Dies sei an einem einfachen Beispiel illustriert, indem ein über die Ausdrücke (1), (2) und (3) abgeleitetes Fseuuu-BandpaBfiiier verwendet wird, in diesem faii lautet die einfachste Übertragungsfunktion:

χ Ι /ι

daraus

(/ι I

(AD - I ■<■ " ² cos ^" ι. |5|

Durch Tastung von f\(t) in regelmäßigen Intervallen t = AF und von f₂(t) in Intervallen t = 2 kT. wobei Jt = I, 2. 3 usw. ist. erhält man für beide Impulswiedergaben die gleichen Gewichtungsfaktoren. Das Filter H₂ läßt sich also leicht aus einem Filter H₁ ableiten, wenn dessen Zeitskala um den Faktor 2 gedehnt wird. F i g. 1 /ρϊσί rlip Fnnktirntpn f. it) \inA f,/f\ Aar- Αι

(5) bei einer Abtasifrequenz F = l/T"bzw. F/2 = '/2 F. Die Beziehung zwischen den beiden Impulswiedergaben ist in F i g. 1 graphisch dargestellt. Es zeigt sich also, daß ein Filter W, die Funktion eines Filters H₂ durch Dehnung des Zeitmaßstabs um den Faktor 2 vollkommen ausführen kann. Es kann sich um ein Digitalfilter des Mehrfach-Umlauftyps handeln, das aus einer Verzögerungsstrecke und Gewichtungs- und Akkumulatorstufen bestellt. Die Verzögerungsstrecke ist mit Abgriffen ausgestattet, die beim Filter H, um den Intervall T und beim Filter H₂ um den Intervall 2 T auseinanderliegen. Um daher Filter H\ in Filter H₂ überzuführen, genügt es, zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abgriffen eine Verzögerung 2 Γ zu simulieren. Dies kann insbesondere dadurch geschehen, daß die Daten einer die Verzögerungszeit T aufweisenden Verzögerungsstufe erneut in den Umlauf gebracht werden und daß die Gewichtungs- und Akkumulationsoperationen jeweils nur einmal nach zwei Zeilintcr vallen durchgeführt werden.

Das Blockschaltbild gemäß Fig. 3 kann nunmehr fü das der Fig. 2 gesetzt werden. Die anfangs mil cine Frequenz F getasteten Daten X werden im Filler It gefiltert. Das gefilterte Signal Y wird mit eine Frequenz F/2 getastet und nach einer das Zusammen treffen der Eingangsdaten X und der wiedereinge führten Daten Y verhindernden Verzögerung erneu dem gleichen Filter zugeführt. Um Vbei einer Frequcn, F/2 /u erhalten, genügt es also, am Filterausgang vor zwei Tastungen lediglich eine zu berücksichtigen. Dei beschriebene Prozeß kann natürlich jV-male wiederhol werden. Die Anzahl der Wiederholungen kann ntn durch die geforderte Operationsgeschwindigkeit dei Schaltungen begrenzt werden.

In Fig. 4 ist ein Ausführungsbeispiel des Filter? dargestellt, das eine Bandbreite von 1200 Hz aus einen Signal ausfiitert, dessen .Spektrum sich bis 4800 11/ erstreckt, wobei von den beschriebenen Wiederholungen Gebrauch gemacht wird. Die jeweils nach 7 Sekunden gelieferten Abtastwerte X werden der Verzögerungsstrecke L 1 zugeführt und adressieren über ODER-Schaltungen O einen Festwertspeicher ROM. dem ein die Abtaslwerte Y liefernder Akkumulator AKKU nachfolgt. Ein Gatter G ist durch ein Signal CK blockiert, so daß die Abtastwerte Vnicht zum Ausgang S des Filters übertragen werden. Diese Abtastwerte werden über ein eine Verzögerungszeit von einem Bruchteil von Faufweisendes Verzögerungselement D zum Eingang der Verzögerungsstrecke 1.2 zurückgeführt.

Das mit einer Frequenz F/2 geöffnete Gatter G läßt jeweils von zwei Abtastwerten nur einen passieren. Die durchgelassenen Abtastwerte Y werden der Verzögerungsstrecke L 2 zugeführt, die aus Verzögerungselementen mit einer Verzögerungszeit Fbestehen und die über Schalter / in sich selbst rückführbar sind. Die Rückführungsschleifen werden nach jedem Intervall 2 T hergestellt, während das Gatter G geschlossen ist. Dies geschieht, um die Verzögerungselemente T der

* W i-v/ft^i uii£,JJVl wix»- L· Λ. Ill TVl CUg^l U 11 g 3 \. 1U 111 \, 11 IC £. I überzuführen, so daß die Dehnung der Zeitskala in der beschriebenen Weise erreicht wird. Wird daher das Gatter G nach jedem Intervall 2 Γ geöffnet, so wird ROM über L 2 adressiert und der Akkumulator liefert einen Abtastwert Zdes gewünschten gefilterten Signals. Der Vorgang wird erneut gestartet, wenn der jeweils folgende Abtastwert X ansteht. Zeitlich werden die Operationen für ein durch fünf Abtastwerte X\ b'^r X? definiertes Eingangssignal entsprechend der folgenden Tabelle durchgeführt:

Λ\ Λ", .Y₄

Z, * Z,

L 1- und Z.2-Inhalte ROM + AKKU Ausgang

•M

I ι ·I 1 A'l

/. I -und / 2 -lnli.ilk· Ι<(·\1 · \M>1 N ii μ.ιιιμ

(/!'''-.chloNsen, ileshalh Riickliihi ¹IiIg vim ) ) >.'

(Rückführung vmi } J

^ / (keine weiteren Weile \ )
(Rückführung vim ) )
ι. /

Rückführung von )

Aus !■' i g. 5 ist der freqiien/maßige Zusammenhang tier Filterung im Falle eines Tiefpaßfilters nach einer Ke/irkulation zu ersehen. Die Kurvenverläufe ('.(^zeigen die Spektren des Signals und des bei einer Frequenz von 9600 1 Iz getasteten Filters. Der Verlauf (b) zeigt das Krgebnis in bezug auf das Signal Y. Die Kurven (v) und (d) zeigen den Effekt der Tastung bei halber Frequenz und die Auswirkung der Rezirkulation auf das Filter und das gefilterte Signal Z

In F i g. 6 ist der frequenzmäßige Zusammenhang im Falle eines Bandpaßfilters dargestellt. Die Bandbreite des Digitalfilters F2 - FI übersteigt die des simulierten Digitalfilters um den Wert

\	\	1 \,	■ )	nicht	1	nicht	\ ei wendel
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F 2

/ 1

usw. bis keine weiteren Werte )

Im gezeigten Beispiel ist f"2 = Ji-'l, η 2 und N= I. Es ergibt sich also ein Gewinn an Bandbreite von G = 4. Hierbei können sich gewisse Probleme ergeben, insbesondere im Hinblick auf die Tatsache, daß die erhaltenen .Spektralbereiche des Signals Z, die mit einer Frequenz entsprechend dem vierfachen Wert der Nyquist-Frequenz getastet werden, auf der F'requenzachse dichter zusammenrücken. Lösungen für diese Probleme sind aber bereits vorgeschlagen worden. Ein ausreichender Abstand der Spektralbereiche kann durch Erhöhung der Abtastfrequenz des gefilterten Signals sichergestellt werden, insbesondere kann er wieder auf den Wert Ferhöht werden. Diese Erhöhung wird durch Wiederholung und Rezirkulation der g!«»irhi»n Ahtintwpi-ti» pr/iplt Fin diesbezüglicher Filteraufbau entspricht im wesentlichen dem der F^; i g. 3. Es ist lediglich die Abtastratenänderung umgekehrt.

Hier/u 4 Malt /eichnunüen

Claims (5)

Patentansprüche:

1. Schmalbandiges Digitalfilter, bei dem das gefilterte Eingangssignal durch Rückführung der gewonnenen Abtastwerte erneut getastet und dieser Vorgang N-mal wiederholt wird, dadurch gekennzeichnet, daß ein Filter mit einer um den Faktor n" geringeren Bandbreite als erforderlich gewählt wird und daß bei jeder erneuten Tastung die Abtastfrequenz um den Faktor η verringert wird.

2. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die erneute Tastung über eine jeweils nur einen von η Abtastwerten des gefilterten Signals in jeder Zirkulation entnehmende logische Schaltung erfolgt.

3. Digitalfilter nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß η mindestens gleich 2 ist.

4. Digitalfilter nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Tastfrequenz des am Filteraussang erhaltenen Signals dadurch auf den anfänglichen oder einen höheren Wert gebracht wird, daß die gefilterten Werte nach der N-ten Zirkulation über eine zweite Anordnung übertragen werden, deren Abtastfrequenz bei jeder Zirkulation in der zweiten Anordnung mit Faktor η multipliziert wird.

5. Digitalfilter nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Multiplikation mit dem Faktor η durch η Wiederholungen desselben Abtastwertes während einer Periode erfolgt.