DE1622577C - Wälzgetriebe zur Darstellung er Planetenbewegung in einem Projektionsplanetarium, Sonnensystem-Projektor od. dgl - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein aus zwei aufeinander abwälzenden, nicht kreisförmigen Rädern mit festem Achsenabstand bestehendes Wälzgetriebe zur Darstellung der Planetenbewegung in einem Projektionsplanetarium, Sonnensystem-Projektor od. dgl.

Die drehwinkelabhängige Winkelgeschwindigkeit der elliptischen Bahnbewegung eines Planeten oder Satelliten folgt bekanntlich dem zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz). Die diesem Gesetz folgende Winkelgeschwindigkeit muß bei einem Planetariumsgerät von einer gleichförmigen Winkelgeschwindigkeit des Antriebsaggregats abgeleitet werden. Der umkreiste Zentralkörper, im Falle der Planetenbewegung die Sonne, steht im Brennpunkt der Bahnellipse (erstes Keplersches Gesetz).

Es sind verschiedene Getriebeanordnungen zur Darstellung der Planetenbewegung bekanntgeworden, welche die an sie gestellten Forderungen annäherungsweise erfüllen.

Bei einem bekannten Getriebe zur Planetenprojektion wird durch Verwendung eines zweiteiligen Kurbelschleifengetriebes primär dafür gesorgt, daß die Richtung des Radiusvektors von der Sonne zum Planetenort mit guter Annäherung dargestellt und daß sekundär mit einer zusätzlichen Kurbel die auf den Brennpunkt bezogene Winkelgeschwindigkeit in die auf den Mittelpunkt bezogene transformiert wird.

Diese sekundäre Kurbel des Getriebes, das also primär auf den Brennpunkt und sekundär auf den-Mittelpunkt der Bahnellipse bezogen ist, verursacht aber einen erheblichen Winkelfehler in der Darstellung des Radiusvektors vom Mittelpunkt der Bahnellipse zum Planetenort. Schließlich ist dieses doppelte Kurbelschleifengetriebe verhältnismäßig kompliziert. Es enthält eine Vielzahl von relativ zueinander bewegten Gliedern, darunter zwei gleitbare, die besonders dem Verschleiß unterworfen sind. Derartige Getriebe neigen denn auch nach langer Benutzungsdauer zu Unstetigkeiten in der Bewegung infolge merklich gewordenen Spiels.

Zur Erzeugung der periodischen sich ändernden Bahngeschwindigkeit ist ferner ein Wälzgetriebe bekanntgeworden, das aus zwei gleichen, aufeinander abwälzenden elliptischen Zahnrädern besteht. Die Exzentrizität dieser Wälzellipsen ist der Exzentrizität der darzustellenden Bahnellipse gleich, und die Drehachsen der beiden elliptischen Räder gehen jeweils durch einen der Brennpunkte der Wälzellipsen. Ein solches Wälzgetriebe erzeugt bei konstanter Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle an der Abtriebswelle zwar eine Drehung, deren Winkelgeschwindigkeit in erster Näherung der auf den Brennpunkt der Planetenbahnellipse bezogenen Winkelgeschwindigkeit der Planetenbewegung entspricht. Der dieser Näherung noch anhaftende Fehler ist jedoch beträchtlich.

Weitgehend behoben ist letzterer Fehler bei einem weiteren bekanntgewordenen Wälzgetriebe mit nicht kreisförmigen Rädern (deutsche Patentschrift 1 133 164), das ebenfalls an der Abtriebswelle eine Winkelgeschwindigkeit erzeugt, welche die auf den Brennpunkt der Planetenbahnellipse bezogene Winkelgeschwindigkeit der Planetenbewegung darstellt.

Beide zuletzt genannten Wälzgetriebe haben jedoch den Nachteil, daß sie nicht ohne weiteres zur Darstellung der auf den Mittelpunkt der Bahnellipse bezogenen Winkelgeschwindigkeit geeignet sind. Für diesen Zweck müßten beide durch ein sekundäres Getriebe ergänzt werden, das die auf den Brennpunkt bezogene Winkelgeschwindigkeit in die auf den Mittelpunkt bezogene transformiert. Ein solches sekundäres Zusatzgetriebe kompliziert die Lösung der genannten Aufgabe und verursacht die Gefahr zusätzlicher Fehler.

Der Erfindung liegt nun die Aufgabe zugrunde, ein, einfaches Getriebe zu schaffen, mit welchem sich die Planetenbewegung wesentlich genauer und mit

ίο einfacheren Mitteln darstellen läßt als mit den bekannten Getrieben. Bereits eine Abweichung von Bruchteilen von Graden spielt bei der Projektionsdarstellung eine Rolle.

Die Erfindung geht aus von einem Wälzgetriebe, bestehend aus zwei aufeinander abwälzenden, nicht kreisförmigen Rädern mit festem Achsenabstand, wobei das treibende Rad mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit umläuft.

Das treibende Rad führt den Drehwinkel Ψ aus, während der Drehwinkel ϋ· des getriebenen Rades der unmittelbar auf den Mittelpunkt der Bahnellipse bezogenen Planetenbewegung entspricht. Beide Drehwinkel stehen miteinander in einem durch die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung definierten Zusammenhang. Wesentlich ist, daß ohne Bezugnahme auf den Ellipsenbrennpunkt der Planetenbahn die Darstellung der richtigen Winkelgeschwindigkeit ausschließlich und direkt auf den Ellips'enmittelpunkt bezogen erfolgt. Damit wird man der mit den bekannten Getrieben verbundenen Notwendigkeit enthoben, ein Zusatzgetriebe verwenden zu müssen, welches die Umformung einer auf den Brennpunkt bezogenen Winkelbewegung auf eine mittelpunktsbezogene herstellt.

Für die Planetenbahnen gelten die beiden Gleichungen

Ψ = E — ε ■ sin E (Keplersche Gleichung) (1)

tg ϋ = β ■ tg E, (2)

wobei

ist.

Ψ ist die mittlere Winkeldrehung des Planeten, auch mittlere Anomalie genannt, E die exzentrische Anomalie, ε die numerische Exzentrizität der Bahnellipse und β eine Hilfsgröße.

Die drehwinkelabhängigen Radien der das erfindungsgemäße Wälzgetriebe bildenden Räder lassen sich in Polarkoordinaten als Funktionen ihrer Drehwinkel darstellen:^ ₌ ,. _{[!p(£)] (4)}

wobei der Radius des antreibenden Rades mit Index 1 und der des angetriebenen mit Index 2 bezeichnet ist und wobei Ψ und & den Gleichungen (1) und (2) genügen.

Mit α als festem Achsenabstand der beiden Räder ergeben sich für deren Radien

_ ₌ ßj_a ,~

¹ β + (1 fcos E) (1 P- sin² E)

j_

β + (1 -fcos E) (1 -P- sin² E)

Aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich, daß bei E=O auch ψ und & = O sind, ferner daß bei E = π auch Ψ und ■& gleich π sind.

Damit folgt aus den Gleichungen (6) und (7):
T₁ (0) = r₂ (π) und r₂ (0) = r_t (.τ),

so daß auch die Beziehung (8) besteht und die Durchmesser beider Räder in der durch 0 und .τ gegebenen Richtung übereinstimmen:

r₁ (π) = ^₂(O)+ r₂ (π) = α = 2 A. (8)

Die ebenfalls gleichen Exzentrizitäten zur Drehachse haben den Betrag

'12

(O)- r_l2

T₁ 2 (--τ)

γ·(9)

In der zum größten Durchmesser α (bzw. = 2A) senkrechten Richtung würden die beiden Räder exakt nicht die gleichen Abmessungen haben. Der Unterschied ist jedoch sehr gering.

Zu einer bequem herzustellenden Ausführungsform gelangt man mit einem Wälzgetriebe dieser Art, indem die beiden Räder von gleicher Form und ihre zum größten Durchmesser senkrechten Durchmesser gleich dem Mittelwert aus den beiden exakten Durchmesserwerten gewählt werden. Die beiden Räder walzen aufeinander um Drehachsen ab, die auf dem großen Durchmesser 2 A (= a) gleichsinnig um den Betrag

^e = (ir ^f + ΎΓ ■ Λ 4 (10)

exzentrisch zu den Radmittelpunkten in der O-n-Richtung liegen. Die Winkeldifferenz zwischen dem Drehwinkel # des getriebenen Rades und dem Drehwinkel Ψ des treibenden Rades für ein solches Getriebe beträgt in der auf Glieder bis zur 3. Potenz von ε beschränkten Fourier-Reihen-Darstellung:

sin 3 Ψ. (11)

sin Ψ + — f² sin 2 Ψ + —

Die entsprechende Fourierreihe für den exakten Wert der Differenz & — Ψ unterscheidet sich von der Reihe (11) erst im dritten Glied, welches exakt den Wert + 4- f³ sin 3 Ψ hat. Der Fehler in der Dreh-

winkeldifferenz beträgt bei einem solchen dargestellten Getriebe also nur -^- von f³.

Weitere Einzelheiten und Vorteile des Wälzgetriebes nach der Erfindung werden an Hand der Figuren erläutert. Es zeigt

F i g. 1 eine Darstellung zur Erläuterung der mathematischen Zusammenhänge der Planetenbewegung,

F i g. 2 schematisch ein Ausführungsbeispiel eines Wälzgetriebes nach der Erfindung mit einer Zusammenstellung der Getriebedaten für zwei verschiedene Planetenbahnen,

F i g. 3 die Richtungsfehler verschiedener Getriebe zur Darstellung der Merkurbewegung und

Fig. 4 eine konstruktive Ausführungsform mit einer Tabelle der zugehörigen Getriebedaten für zwei verschiedene Planetenbahnen.

F i g. 1 zeigt die Bahnellipse C eines Planeten P mit den Halbachsen α und b, dem Mittelpunkt M sowie dem Brennpunkt S (Sonne). Der der Ellipse umschriebene Kreis mit dem Radius α ist gestrichelt dargestellt. Der auf den Ellipsenmittelpunkt M bezogene Drehwinkel ist mit & bezeichnet. Der auf den Hilfspunkt P' des umschriebenen Kreises bezogene Hilfswinkel E ist in der Astronomie als die »exzentrische Anomalie« des Planeten bekannt.

Das in F i g. 2 dargestellte Getriebe hat Zahnräder 1 und 2 von gleicher Form. Die ihre größten Durchmesser 2 A in deren Mitte kreuzenden Durchmesser 2 B sind gleich dem Mittelwert aus den beiden exakten Durchmesserwerten, die sich aus den Gleichungen (6) und (7) ergeben. Die' Drehachsen sind auf dem Durchmesser a = 2 A gleichsinnig um den Betrag

_e = (L _ε + -L A ±

U ⁺ 16 'J 2

gegenüber den Mittelpunkten M₁ und M₂ verschoben. Im unteren Teil der F i g. 2 sind die Hauptabmessungen des dargestellten Getriebes für zwei stark exzentrische Planeten, nämlich Merkur und Mars, angegeben. D ist eine Hilfsgröße, die gleich dem Produkt aus Modul und Zähnezahl jedes der beiden dargestellten Zahnräder ist.

In F i g. 3 ist der Winkelfehler Δ Ψ des in der F i g. 2 dargestellten Getriebes als strichpunktierte Kurve I eingetragen. Als Maß für den Richtungsfehler ist dabei die Differenz Δ Ψ der Werte der mittleren Anomalie Ψ zwischen der Näherungsdarstellung und dem exakten Bewegungsverlauf gewählt, wobei gleiche Bahnlage des Planeten vorausgesetzt wird.

Im Vergleich dazu stellt die gestrichelte Kurve II den Winkelfehler des bekannten Doppelkurbelschleifengetriebes dar, soweit die Winkelstellung des Planeten in bezug auf den Ellipsenbrennpunkt in Betracht gezogen wird. Dieser primäre Fehleranteil ist noch von mäßigem Betrag, wenn auch gegenüber der Kurve I etwa verdoppelt.

Die ausgezogene Kurve III zeigt den Gesamtfehler des Doppelkurbelschleifengetriebes, nach dem durch Anbringung der sekundären Kurbelschleife die Winkelstellung des Planeten vom Ellipsenmittelpunkt aus dargestellt wird. Daraus ist ersichtlich, daß ein primär auf den Ellipsenmittelpunkt bezogenes Getriebe nach der Erfindung den Gesamtfehler des Doppelkurbelschleifengetriebes auf etwa den 8. Teil reduziert.

F i g. 4 zeigt in Draufsicht, zum Teil weggeschnitten, eine zweckmäßige Ausführungsform für das Wälzgetriebe nach der Erfindung, bei dem die Zahnkränze nicht, wie bei früher vorgeschlagenen Getrieben, zweifach symmetrisch, sondern nur einfach symmetrisch in bezug auf den größten Durchmesser 2 A verspannt sind.

Bezüglich der kleinsten Durchmesser 2B₁ und 2B₂ des treibenden Rades K₁ und des getriebenen Rades R₂ besteht keine Symmetrie. Dies wird dadurch erreicht, daß das den Durchmesser 2B₁ (oder analog für 2B₂) einstellende Schraubenpaar 3, 3' nicht in Richtung dieses Durchmessers wirkt, sondern um einen Winkel U_x — bzw. U₂ — beidseitig dagegen versetzt ist. Außerdem werden die Durchmesser 2B₁ und 2B₂ auf etwas verschiedene Werte eingestellt. Der große Durchmesser 2 A hingegen bleibt gemäß Gleichung (8) für beide Räder gleich und ist gleich dem festen Achsenabstand a.
Auf der treibenden, mit der Winkelgeschwindigkeit

gleichförmig umlaufenden Welle 4 ist die Platte 5 exzentrisch befestigt, welche in der einen Symmetrieachse zwei Gewindelöcher 6, 6' aufweist, in die zwei Justierschrauben 7,7' eingreifen. Diese beiden Justierschrauben stützen sich gegen Bügel 8, 8' ab, die mit dem Zahnkranz 9 verstiftet sind. Die obengenannten Schrauben 3,3' gehen durch Durchgangslöcher 10,10' der Platte 5 nach außen. Sie sind in Bügeln 11, 1Γ eingeschraubt, die wiederum mit dem Zahnkranz verstiftet sind. Mittels der Schrauben 3, 3' kann auf dem Zahnkranz ein nach innen gerichteter Zug ausgeübt werden, welcher eine entsprechende Zusammenziehung des Radkranzes zur Folge hat. Das treibende Rad R₁ steht im Eingriff mit einem auf gleiche Weise hergestellten, nicht kreisförmigen Rad R₂, welches auf der ebenfalls um den Betrag e nach der Gleichung (c) exzentrisch angeordneten Achse gelagert ist. Alle Einzelheiten des Rades R₂ entsprechen denen des Rades R₁ und sind daher nicht besonders gekennzeichnet.

Claims (4)

Patentansprüche:

1. Wälzgetriebe zur Darstellung der Planetenbewegung in einem Projektionsplanetarium, Sonnensystem-Projektor od. dgl., bestehend aus zwei aufeinander abwälzenden, nicht kreisförmigen Rädern mit festem Achsenabstand, wobei das treibende Rad mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit umläuft, gekennzeichnet durch ein unmittelbar auf den Mittelpunkt der im Maßstab des Getriebes dargestellten Bahnellipse eines Planeten bezogenes Wälzgetriebe, dessen treibendes Rad einen winkelabhängigen Radius von mindestens annähernd

ß-a

35 und dessen getriebenes Rad einen winkelabhängigen Radius

r-, = a

besitzt und deren Drehachsen auf den größten Raddurchmessern gleichsinnig um den Betrag

1 +

verschoben sind, wobei α der feste Abstand der Radachsen, und A = -y der halbe größte Durchmesser der beiden Räder, ε die numerische Exzentrizität, β = |/ 1 — F² und E die exzentrische Anomalie der Bahnellipse des Planeten ist.

2. Wälzgetriebe zur angenäherten Darstellung der Lösung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die beiden Räder von gleicher Form und ihre zum größten Durchmesser senkrechten Durchmesser gleich dem Mittelwert aus den exakt berechneten Durchmesserwerten sind.

3. Wälzgetriebe nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Drehachsen auf den größten Raddurchmessern gleichsinnig um den Betrag

■β+ (1-ε cos E) (1 - F² sin² E)

T
verschoben sind.

4. Wälzgetriebe nach Anspruch" 1, 2 und 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Räder aus vorzugsweise gleichermaßen in Richtung des Durchmessers der Länge 2 A und in zwei mit der Mittelsenkrechten auf diesem Durchmesser spitze Winkel (a_t bzw. Ct₂) bildenden Richtungen verspannten Zahnkränzen bestehen.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen