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Wälzgetriebe zur Darstellung der Planetenbewegung in einem Planetariumsgerät
Die Erfindung betrifft ein Wälzgetriebe, bestehend aus einem Paar aufeinander abwälzender,
in bezug auf ihre Drehachsen unrunder Räder mit festem Achsabstand a, das insbesondere
als Bestandteil eines Projektionsplanetariums, eines Sonnensystemprojektors od.
dgl. zur Erzeugung der veränderlichen Winkelgeschwindigkeit dient, mit der ein Planet
die Sonne oder ein Satellit den Zentralkörper um kreist.
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Die Winkelgeschwindigkeit der elliptischen Bahnbewegung eines Planeten
oder Satelliten folgt dem zweiten Kepplerschen Gesetz (Flächensatz). Die diesem
Gesetz entsprechende, veränderliche Winkelgeschwindigkeit muß bei einem Planetariumsgerät
aus einer gleichförmigen Winkelgeschwindigkeit des Antriebsaggregates abgeleitet
werden. Die Aufgabe läuft darauf hinaus, von einer Welle, die sich mit gleichbleibender
mittlerer Umlaufgeschwindigkeit des darzustellenden Planeten dreht und deren Drehwinkel
mit bezeichnet werden soll, eine Drehbewegung abzuleiten, deren Drehwinkel im folgenden
mit p bezeichnet werden soll und deren Drehgeschwindigkeit genau dem Flächensatz
entsprechend periodisch veränderlich ist, so daß nach einer vollen Umdrehung der
yp-Welle die (p-Welle ebenfalls eine volle Umdrehung gemacht hat. Die Differenz
der Drehwinkel (p - y kann als eine periodische Funktion von y aufgefaßt
werden und ist also durch eine Fourier-Reihe darstellbar. Zählt man die Drehwinkel
von der Perihel-Stellung aus, so enthält die entsprechende Fourier-Reihe nur Sinusglieder
und wird somit verhältnismäßig einfach.
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Es sind verschiedene Getriebeanordnungen bekanntgeworden, welche die
an sie theoretisch gestellten Forderungen mit guter Annäherung erfüllen. Am häufigsten
und besonders in den Fällen, wo es sich um die Darstellung von Planetenbewegungen
sehr geringer Exzentrizität handelt, wird ein Kurbelschleifengetriebe verwendet,
bei dem der Kurbelradius sehr viel größer ist als der Abstand zwischen Kurbel- und
Schleifendrehpunkt. Die durch ein solches Getriebe erzielte Annäherung ist aber
nicht mehr ausreichend, wenn die Exzentrizität der Planetenbahn einen Wert von etwa
0,1 oder mehr erreicht. In solchen Fällen hat man zwei Kurbelschleifengetriebe mit
passenden Parametern in solcher Weise hintereinandergeschaltet, daß die Schleife
für beide Getriebe gemeinsam ist.
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Es hat sich gezeigt, daß dieses Getriebe eine sehr gute Annäherung
erzielt, denn die Restfehler betragen nur einen Bruchteil der dritten Potenz der
Exzentrizität. Für die Bahn des Planeten Merkur, deren Exzentrizität s = 0,2056
beträgt, sind die Restfehler in Fig. 1 als Kurve I dargestellt. Das doppelte Kurbelschleifengetriebe
ist aber bereits verhältnismäßig kompliziert und enthält eine Vielzahl von zueinander
bewegten Gliedern, darunter zwei gleitbare, die besonders dem Verschleiß unterworfen
sind. Nach sehr langer Benutzungsdauer neigen solche Getriebe zu Unstetigkeiten
in der Bewegung infolge merklichen Spiels.
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Zur Erzeugung der periodisch veränderlichen Bahngeschwindigkeit ist
auch ein Wälzgetriebe bekanntgeworden, das aus zwei gleichen elliptischen Zahnrädern
besteht, die aufeinander abwälzen. Die Exzentrizität der Wälzellipsen ist dabei
der Exzentrizität der darzustellenden Planetenbahn gleich (s. Charles F. Hagar,
»An EIIiptical Gear Mechanism for Use in Projection Orrieriers and Planetariums«,
California Academy of Science, San Francisco, 1960). Die Restfehler der Bahnlage
des Planeten sind aber bei einem solchen Getriebe wesentlich größer als beim zusammengesetzten
Kurbelschleifengetriebe.
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Die Restfehler sind für die Bahn des Planeten Merkur in Fig. 1 als
Kurve 1I dargestellt. Sie erreichen Beträge bis zu etwa 0,7°, was für Planetariumszwecke
unbefriedigend ist.
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Eine sehr genaue Darstellung der Planetenbewegung wird nun mit einem
Wälzgetriebe, welches aus einem Paar aufeinander abwälzender und in bezug auf ihre
Drehachsen unrunder Räder mit festem Achsabstand besteht, erfindungsgemäß dadurch
erzielt, daß das angetriebene Rad ein exzentrisch gelagertes Kreisrad ist.
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Der besondere Vorteil eines derartigen Getriebes liegt darin, daß
es mit einfach herzustellenden Elementen möglich ist, eine praktisch als exakt anzusehende
Darstellung des Bewegungsverlaufes eines Planeten zu erreichen und daß dieses einfache
Getriebe die eingangs geschilderten Mängel vermeidet, die den
bisher
bekannten Kurbelschleifengetrieben noch anhaften.
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Außerdem ist mit dem erfindungsgemäßen Getriebe ein größerer Genauigkeitsgrad
der Bahndarstellung als mit den bisher bekanntgewordenen Getrieben zu erreichen.
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Es seien zunächst folgende Bezeichnungen und Abkürzungen eingeführt,
die im folgenden verwendet werden: a = der Abstand der beiden Räder, R = der Radius
des zur Drehachse 99 exzentrisch liegenden Teilkreises des angetriebenen Rades,
K6+ l60 K4 - 208 s K3 -I- 64K2 + 64 K s -
12882 = ( ). (3) Von den Lösungen dieser Gleichung ist dabei diejenige zu
nehmen, die dem Wert e der Exzentrizität der betreffenden Planetenbahn am nächsten
kommt. Mit dem so gewonnenen Wert von K ergibt sich a aus der folgenden Gleichung:
Bei Verwendung der obigen Werte von K und x weicht das auf Grund der Theorie unrunder
Wälzy - p = 0,41120 # sin (p + 0,031692 - sin 2 99 - 0,002989 - sin 3 p. (5) Der
Fehler dieses Getriebes gegenüber dem exakten Bewegungsverlauf ist als Kurve III
in Fig. 1 aufgetragen. Man erkennt, daß das erfindungsgemäße Getriebe eine hervorragend
gute Annäherung des exakten Bewegungsverlaufes liefert. Der größte Restfehler beträgt
nicht mehr als 0,01'.
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Das Getriebe nach der Erfindung sei nun an Hand der Fig. 2 bis 4 näher
beschrieben. Es zeigt Fig. 2 eine schematische Darstellung des Getriebes nach der
Erfindung in Draufsicht, Fig. 3 ein detailliertes Ausführungsbeispiel in Draufsicht,
Fig. 4 das Ausführungsbeispiel nach Fig. 3 in Seitenansicht.
genügen, jedoch läßt sich das Antriebsrad auch in sehr guter Näherung durch ein
unrundes Rad mit zwei Symmetrieachsen (A bzw. B) darstellen.
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Aus Fig. 2 folgt ohne weiteres die Beziehung für den großen Durchmesser
des Antriebsrades 1 2A=a-(R+e)+a-(R-e)=2(a-R).
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Unter der Verwendung der Beziehung der Formel (2) ergibt sich 2 A
= 2 R (1 + a) . (7) Da nun nach Formel (4) a eine Funktion von K und a und K nach
Formel (3) wiederum eine reine Funktion der Exzentrizität a der Planetenbahn ist,
ist somit auch a lediglich eine Funktion der Exzentrizität der Planetenbahn und
für eine vorgegebene Bahnexzentrizität also eine Konstante.
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Wie hier nicht näher nachgewiesen werden soll, läßt sich auch für
den kleinen Durchmesser des Ane = der Abstand des Teilkreismittelpunktes von der
Drehachse,
Bei dem erfindungsgemäßen Getriebe ist der zu verwirklichende Wert K allein durch
die Exzentrizität a der darzustellenden Planetenbahn bestimmt, und zwar ergibt er
sich aus folgender Gleichung 6. Grades körper berechnete Bewegungsgesetz zwischen
dem Drehwinkel y des treibenden und dem Drehwinkel P des getriebenen Rades nur sehr
geringfügig von dem exakten Bewegungsverlauf ab. Als Beispiel erhält man im Falle
des Planeten Merkur mit s = 0,2056 den Wert K = 0,20775 und a = 0,021299.
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Setzt man diese beiden Werte in das sich aus der Theorie unrunder
Wälzkörper folgende Bewegungsgesetz zwischen dem Drehwinkel y des Antriebsrades
und dem Drehwinkel (p des getriebenen Rades ein, so erhält man In Fig. 2 treibt
das unrunde Antriebsrad 1 das Kreisrad 2 an. Der Radius des Kreisrades hat den Betrag
R, während der große Durchmesser des Antriebsrades die Abmessung 2A hat und der
kleine Durchmesser desselben 2B beträgt. Die Drehachse 3 des Antriebsrades 1 und
die Drehachse 4 des Kreisrades 2 sind beide um den gleichen Betrag e exzentrisch
gelagert. Der gegenseitige Abstand derAchsen 3 und 4 ist mit a bezeichnet.
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Der Polarwinkel y und der Radiusvektor r, der Teilkurve des treibenden
Rades im Punkt P 1 müssen theoretisch streng genommen der Integralformel triebsrades
eine ähnliche Beziehung ableiten, und zwar ergibt sich diese zu 2B=2R(1 -ß). (8)
Hierin ist R wiederum der Radius des Kreisrades 2 und ß eine aus der jeweiligen
Exzentrizität a der darzustellenden Planetenbahn zu errechnende Konstante. Die Größe
der Exzentrizität e der Drehachsen 3 und 4
bestimmt sich nach Formel (1) zu
e=K-R. (9)
Auch hier bedeutet R den Radius des Kreisrades 2 und K, wie schon
erwähnt, eine mit Hilfe der jeweiligen Exzentrizität e der darzustellenden Planetenbahn,
z. B. nach Formel (3), zu errechnende Konstante. Der Punkt P2 des Kreisrades 2 ist
durch den Radiusvektor r2 und den Polarwinkel T bestimmt.
In der
Tabelle sind die Getriebedaten zweier Getriebe nach der Erfindung zur Darstellung
stark exzentrischer Planetenbahnen zusammengestellt.
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Daraus ergibt sich, daß bei einem Getriebe nach der Erfindung beispielsweise
zur Darstellung der Bahn des Planeten Merkur der große Durchmesser 2A des Antriebsrades
1 um 2,130 °/o größer und der kleine Durchmesser 2B des Antriebsrades
1 um 2,155 °/o kleiner als der Durchmesser 2R des angetriebenen Kreisrades
2 ist. Im Falle der meisten anderen Planeten (mit Ausnahme des Planeten Pluto) sind
die Abweichungen von der Kreisform noch kleiner als die angegebenen Werte.
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Die Herstellung des angetriebenen Kreisrades 2 bietet keine Schwierigkeiten
und erfolgt in der üblichen Weise. Zwischen dem Modul m und der Zähnezahl z und
dem Teilkreisradius R des Kreisrades besteht die bekannte Beziehung m - z = 2 R.
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Das treibende unrunde Rad 1 wird auf sehr einfache Weise dadurch hergestellt,
daß man einen Kreisring verzahnt, dessen Durchmesser genau dem Durchmesser 2 R des
angetriebenen Rades gleicht und diesen so verzahnten Kreisring elastisch derart
verspannt, daß ein Durchmesser um den vorgeschriebenen Betrag 2 R - a vergrößert
und der dazu senkrechte Durchmesser um den zugehörigen Betrag 2 R - ß verkleinert
wird. Da die auszuführenden Verspannungen verhältnismäßig gering sind, wird bei
hinreichend kleiner Dicke die Elastizitätsgrenze des Materials nicht überschritten.
Die sich unter dieser Voraussetzung einstellende Form des Ringes stimmt in den Endpunkten
der beiden aufeinander senkrechten Hauptdurchmesser mit der theoretisch exakten
Form des Rades genau überein und weicht in den übrigen Punkten von letzterer so
wenig ab, daß die Fehler die üblichen Verzahnungsungenauigkeiten nicht überschreiten.
Der verspannte Ring wird dann auf einem exzentrisch gelagerten Trägerrad befestigt.
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Die Fig. 3 und 4 zeigen eine Ausführungsform eines derartigen Getriebes.
Auf der treibenden gleichförmig umlaufenden Welle 3 ist die Platte 5 exzentrisch
befestigt, welche in der einen Symmetrieachse zwei Gewindelöcher 6, 6' aufweist,
in welche zwei Justierschrauben 7, 7' eingreifen. Diese beiden Justierschrauben
stützen sich gegen Bügel 8, 8' ab, die mit dem Zahnkranz 9 verstiftet sind. Durch
Verstellen der Justierschrauben 7, 7' kann der Zahnkranz 9 in horizontaler Richtung
gespreizt werden. In der anderen Symmetrieachse der Platte 5 sind in rechteckigen
Aussparungen 10, 10' die Köpfe von zwei Justierschrauben 11, 11' gelagert.
Die Justierschrauben 11, 11' gehen durch Durchgangslöcher 12, 12' der Platte 5 nach
außen und sind in Bügel 13, 13' eingeschraubt, die wiederum mit dem Zahnkranz 9
verstiftet sind. Die vier Bügelstifte 14, 15, 14' und 15' liegen dabei
um jeweils 90° zueinander versetzt. Mittels der letztgenannten Justrierschrauben
11, 11' kann auf den Zahnkranz 9 ein nach innen gerichteter Zug ausgeübt werden,
der eine senkrecht zur Richtung der vorerwähnten Spreizung erfolgende Zusammenziehung
zur Folge hat. Mittels der vier Justierschrauben 7, 7' und 11, 11' können
also die geforderten Durchmesser 2A und 2B des treibenden Rades 9
genau auf die vorher abgeleiteten Werte eingestellt werden. Der Zahnkranz 9 ist
im Eingriff mit dem Kreisrad 2 gleicher Zähnezahl, welches auf der um den vorgeschriebenen
Betrag e exzentrisch angeordnetenAchse4 gelagert ist. Der mit dem Kreisrad 2 ungleichförmig
umlaufende Ständer 16 stellt den jeweiligen Ort des zu projizierenden Planeten dar
und dient zur Aufnahme einer Steuerstange, welche die optische Achse des Projektors
auf diesen so dargestellten Planetenort ausrichtet.
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Das in den Fig. 3 und 4 dargestellte Ausführungsbeispiel des Getriebes
nach der Erfindung hat den Vorteil, daß die erforderlichen Abmessungen des Antriebsrades
kontinuierlich eingestellt werden können. Ein derartiges Getriebe kann, wenn auch
noch die Exzentrizität e der Drehachsen 3 und 4 kontinuierlich verstellbar
und arretierbar ist, zur Darstellung verschiedener Planetenbahnen herangezogen werden.
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Selbstverständlich kann das Antriebsrad auch starr, nur für eine bestimmte
Bahndarstellung bemessen, ausgebildet werden. In diesem Falle wird der Zahnkranz
des Antriebsrades um die vorgegebenen Beträge unveränderlich verspannt, etwa in
der Weise, daß man ihn auf ein Trägerrad aufzieht, welches so vorgearbeitet ist,
daß der Zahnkranz um die geforderten Beträge in den beiden Achsenrichtungen verspannt
wird. Bei dieser Ausführung muß jedoch für jede Planetenbahn ein besonders geformtes
Trägerrad hergestellt werden.
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Der Zahnkranz des Antriebsrades erhält dabei eine Querschnittsform
von solcher Gestalt, daß die neutrale Zone des verbogenen Querschnittes mit der
Teilkurve der Verzahnung zusammenfällt.
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Ein weiteres, insbesondere für die Serienherstellung des Antriebsrades
des Wälzgetriebes nach der Erfindung geeignetes Verfahren ermöglicht es, dem Antriebsrad
die exakte, der Formel (6) genügende Form zu geben. Hierbei dient unter Benutzung
des an sich bekannten Abwälzverfahrens ein exzentrisch gelagertes Stoßrad zur Herstellung
des Antriebsrades, und die Umlaufsbewegungen von Stoßrad und des herzustellenden
Antriebsrades werden relativ zueinander derart ungleichförmig gesteuert, beispielsweise
mit Hilfe eines in Einzelanfertigung hergestellten, exakt der Formel (6) genügenden
Antriebsrades nach der Erfindung, daß die Bewegungsgesetze des darzustellenden Planeten
erfüllt werden.