DE102013008771B3

DE102013008771B3 - Verfahren zum Bestimmen eines Mehrweg-Kanal-Modells

Info

Publication number: DE102013008771B3
Application number: DE201310008771
Authority: DE
Inventors: Dmitriy Shutin
Original assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 2013-05-23
Filing date: 2013-05-23
Publication date: 2014-03-27
Anticipated expiration: 2033-05-24

Abstract

Die vorgeschlagene Erfindung wird verwendet, um einen automatischen Modell-Ordnungs-Wählmechanismus in ein superauflösendes variationales Bayesianisches Parameter-Schätzschema einzubeziehen. Die letztgenannten Algorithmen werden zur nichtlinearen Schätzung übergelegter Signalparameter verwendet; jedoch muss die Anzahl übergelegter Signale – die Ordnung des Modells – bekannt sein. Die vorgeschlagene Erfindung ermöglicht eine automatische (und optimale) Modell-Ordnungs-Wahl innerhalb des Parameter-Schätzschemas.

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Bestimmen eines Mehrweg-Kanal-Modells, das Bedingungen eines drahtlosen Signalübertragungskanals zwischen einem Sender und einem Empfänger repräsentiert, wobei der Signalübertragungskanal eine Anzahl von Übertragungswegen aufweist, die jeweils durch einen Satz von Dispersionsparametern und einen komplexen Verstärkungskoeffizienten gekennzeichnet sind. Insbesondere betrifft die vorliegende Erfindung ein inkrementales, gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegtes Bayesianisches Lernen für eine Verbund-Parameter-Schätzung und eine Modell-Ordnungs-Wahl für übergelegte Signale.
Bei Modellen mit übergeordneten Signalen, wie sie z. B. für die Mehrweg-Signalübertragungs-Modellierung verwendet werden, handelt es sich um sehr populäre Modelle, die aufgrund ihrer Vielseitigkeit und Flexibilität beim Modellieren von Daten der realen Welt oft bei der Signalverarbeitung verwendet werden. Derartige Modelle bestehen aus einer linearen Überlage von L vorgewählten Funktionen. Jede Funktion wird durch einen M-dimensionalen unbekannten Parameter-Vektor θ_I, I = 1, ..., L parametrisiert. Das Ziel besteht darin, das Modell an die gemessenen Daten anzupassen, indem ein Teil der Kosten-Funktion minimiert wird (typischerweise ist diese Kosten-Funktion eine quadrierte Norm des Restfehlervektors), wodurch die optimalen Funktionsparameterwerte und Überlage-Koeffizienten w_I, I = 1, ..., L bestimmt werden. Die Optimierung der resultierenden Kosten-Funktion bildet typischerweise ein Problem einer nichtlinearen Optimierung, und zur Lösung ist eine numerische Optimierung erforderlich.
Bei dem Erwartungs-Maximierungs-Typ von Algorithmen handelt es sich um eine Klasse von Optimierungs-Algorithmen, die das genannte Optimierungsproblem lösen. Diese Verfahren substituieren eine (L + L × M)-dimensionale Optimierung (L lineare Gewichte und L × M-Dispersionsparameter für L Funktionen) in Bezug auf die Modell-Parameter durch eine Sequenz einfacherer Optimierungen in Bezug auf die Parameter jeder Komponente. Bei dem Erwartungs-Maximierungs-Algorithmus wird eine (L + L × M)-dimensionale Optimierung in L parallele Optimierungen der Dimension 1 + M aufgeteilt. Der SAGE-Algorithmus teilt eine (L + L × M)-dimensionale Optimierung in eine Sequenz von (L + L × M) eindimensionalen numerischen Optimierungen, was die Lösung beträchtlich vereinfacht. Sämtliche dieser Verfahren sind iterativ und erfordern eine Initialisierung. Zudem können sie nur verwendet werden, wenn die Anzahl der Komponenten L, d. h. die Modell-Ordnung, bekannt ist.
Falls die Modell-Ordnung unbekannt ist, kann man versuchen, sie zu schätzen. Es können parametrische und nichtparametrische Modellordnungs-Wählverfahren verwendet werden. Die letzteren basieren typischerweise auf Quervalidierung; sie verlangen eine große Datenmenge zum Training und eine Validierung der Leistung des trainierten Modells. Die Ordnung des Modells wird anhand des Modells gewählt, das die beste Leistung gegenüber dem Validations-Datensatz erbringt. Nachteiligerweise sind derartige Ansätze nicht anwendbar, falls die Daten zeitlich variierend sind. Parametrische Ansätze basieren auf dem Ausgleichen der Modell-Leistung (d. h. der Summe der restlichen quadrierten Fehler – einer Funktion, die mit zunehmender Anzahl von Komponenten abnimmt) mit der Modell-Komplexität (einer Funktion, die mit zunehmender Anzahl von Komponenten zunimmt). Dies führt zu einer penaltybehafteten Kostenfunktion für die Parameterschätzung. Zahlreiche existierende Ansätze unterscheiden sich wesentlich durch die Art, in der die Komplexität des Modells wiedergegeben wird. Typische Beispiele derartiger parametrischer Ansätze sind minimale Beschreibungslänge (MDL), normalisierte maximale Wahrscheinlichkeit (NML), Bayesianisches Informationskriterium (BIC), und Akaike-Informationskriterium (AIC). Derartige Ansätze verlangen mehrere Modelle, die parallel trainiert und dann unter Verwendung der entsprechenden Kriterien (z. B. Minimum der Beschreibungslänge) verglichen werden. Das Definieren der Modell-Komplexität ist ein essentieller Teil der Modell-Ordnungs-Wahl.
Sparsity-Techniken gehören zu einer speziellen Klasse penalty-behafteter Schätzfunktionen für Modelle, die hinsichtlich ihrer Parameter linear sind, d. h. für Modelle mit übergelegten Signalen, die Parameter θ_I, I = 1, ..., L aufweisen, welche für sämtliche Funktionen festgelegt sind; somit sind die unbekannten Parameter lediglich die Gewichte w_I, I = 1, ..., L der Signale in einer Mixtur. Aufgrund der Penalties, die diesen Gewichten auferlegt sind, lässt sich die optimale Lösung dahingehend zeigen, dass sie nur wenige Nicht-null-Elemente aufweist. Die verwendeten Penalties sind Approximationen an die l₀-Norm des Gewichtsvektors (l₀ ist eine Pseudo-Vektor-Norm, welche die Anzahl der Nicht-null-Elemente in einem Vektor misst). Gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegte Bayesianische Lerntechniken realisieren dieses Penalty durch die Verwendung hierarchischer parametrischer A-priori-Wahrscheinlichkeiten. Mittels einer empirischen Bayes-Technik werden die Parameter der A-priori-Wahrscheinlichkeiten – die Hyperparameter oder Sparsity-Parameter – gleichzeitig mit den Gewichten berechnet. Die Konvergenzanalyse der Hyperparameter, die unter bestimmten Annahmen analytisch durchgeführt werden kann, ermöglicht die Unterscheidung, ob das zugeordnete Gewicht null ist oder nicht, was eine dünnbesetzte Schätzung ergibt. Dies führt indirekt zu einer Modell-Ordnungs-Wahl. In letzter Zeit sind Verfahren vorgeschlagen worden, um das gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegte Bayesianische Lernen in adaptiver Weise zu implementieren. Dies ermöglicht ein adaptives Einfügen oder Entnehmen von Funktionen aus dem Modell unter Verwendung der Sparsity-Kriterien.
Die Leistung der Parameter-Schätzungs-Schemata hängt beträchtlich von der gewählten Modell-Ordnung ab. Der Algorithmus ist ”blind” gegenüber einer fehlerhaften Spezifikation der Anzahl von Signalen; anders ausgedrückt wird die entsprechende Lösung immer gefunden. Dennoch sind, wenn die Modell-Ordnung falsch ist, die geschätzten Signale im Wesentlichen entweder reines Rauschen, d. h. die Signalparameter weisen keine physische Bedeutung auf, oder es fehlt wichtige Information, wenn die gewählte Ordnung niedriger als die tatsächliche ist, was zu einer suboptimalen Leistung der Schätzfunktion führt.
Klassische Modell-Ordnungs-Wähl-Tools können dem in einem gewissen Maß entgegenwirken. Dennoch machen gewisse Aspekte diese Verfahren oft unpraktisch. Erstens müssen mehrere Modelle eingeschätzt werden, um das optimale zu finden. Dies beschränkt die Anwendung dieser Verfahren in Online-(Echtzeit-)Datenverarbeitungsszenarien. Zweitens kann mit Ausnahme von einfachen Modellen, die hinsichtlich der Parameter linear sind, die Komplexität des Modells nicht in geschlossener Form ausgewertet werden. Als Resultat werden große Abtastwert-Approximationen oder vereinfachende Annahmen herangezogen. Dies führt praktisch zu einer unzureichenden Penalisierung der Modell-Leistung und zu einer verzerrten Ordnungs-Schätzung. Es werden dann zahlreiche empirische Korrekturfaktoren (die typischerweise problemspezifisch sind) verwendet, um die inkorrekte Ordnungs-Schätzung zu korrigieren.
Sparsity-Techniken machen es nicht erforderlich, mehrere Modelle parallel zu trainieren. Die Ordnung wird geschätzt, indem den Modell-Parametern Sparsity-Beschränkungen auferlegt werden, was eine spezielle Form der Komplexitätsbeschränkung ist. Dennoch sind diese Verfahren an Modellen anwendbar, die hinsichtlich ihrer Parameter linear sind, und somit können nur die Gewichte der Funktionen in der Kombination geschätzt werden.
Ein Verfahren zur Bestimmung der Anzahl übergelegter Signale unter Verwendung variationaler Bayesianischer Inferenz ist aus EP-A-2 429 138 bekannt.
Zur Überwindung der oben aufgeführten Schwierigkeiten wird ein neuer Algorithmus vorgeschlagen, der Sparsity-Techniken und eine Superauflösung-Parameter-Schätzung kombiniert. Das neue Schema macht sich die Tatsache zunutze, dass beide Probleme unter Verwendung eines variationalen Bayesianischen Formalismus formuliert werden können: durch Erweitern des Satzes übergelegter Signal-Parameter um die Sparsity-Parameter aus dem gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegten Bayesianischen Lernen wird ein Verbund-Optimization-Problem formuliert. Die neue objektive Funktion – eine variationale Untergrenze für die Modell-Evidenz – wird dann gemeinsam optimiert. In dieser Weise wird die Superauflösungs-Parameter-Schätzung realisiert, und die Gewichte der übergelegten Funktionen werden mittels Sparsity-A-priori-Wahrscheinlichkeiten beschränkt.
Zu diesem Zweck wird gemäß der Erfindung ein Verfahren zum Bestimmen eines Mehrweg-Kanal-Modells vorgeschlagen, das Bedingungen eines drahtlosen Signalübertragungskanals zwischen einem Sender und einem Empfänger repräsentiert; der Signalübertragungskanal weist eine Anzahl von Übertragungswegen auf, die jeweils durch Dispersionsparameter gekennzeichnet sind, wobei das Verfahren folgende Schritte aufweist:

a) Erstellen eines Satzes von Mehrweg-Kanal-Modellen, die verschiedene Ordnungen haben, d. h. nullte, 1ste, 2te, 3te, ..., n-te Ordnung, wobei die Ordnung eines Modells seine Komponenten repräsentiert, d. h. die Anzahl der Übertragungswege, für die das Modell konzipiert ist,
b) Erstellen des Modells der Ordnung null, und
c) Berechnen eines Restsignals als Differenz zwischen (i) einem bekannten Signal, das von dem Sender übertragen und an dem Empfänger als gemessenes Signal empfangen wird, und (ii) einem synthetischen Signal, das auf der Basis sämtlicher bereits geschätzter Komponenten in dem Modell erstellt wurde,
d) Anpassen des Modells einer einzelnen Komponente an das berechnete Restsignal mittels inkohärenter Initialisierung,
e) in einer Schleife erfolgendes Schätzen jedes Elements in einem Vektor θ der Komponenten-Dispersionsparameter,
f) Schätzen der Testparameter für die in dem vorherigen Schritt erhaltene Komponente, und, in Abhängigkeit von dem Testergebnis – Beibehalten der Komponente, Aktualisieren eines Komponenten-Gewichtsvektors und einer Gewichtskovarianz-Matrix, Einbeziehen der neuen Komponente in das Modell, und, falls weitere Komponenten in dem Modell initialisiert werden müssen, Rückkehr zu Schritt b), andernfalls Fortfahren mit Schritt g), oder – Entfernen der neuen Komponente und Fortfahren mit Schritt g),
g) Wählen einer Komponente (I) des Modells für eine Aktualisierung,
h) Berechnen des Restsignals als Differenz zwischen dem gemessenen Signal und einem synthetischen Signal, das auf der Basis der bis dahin geschätzten Komponenten, jedoch unter Ausschluss der aktualisierten Komponente (I) erstellt wurde,
i) Aktualisieren der Dispersionsparameter der in Betracht gezogenen Komponente durch
j) in einer Schleife erfolgendes Schätzen jedes Elements in einem Vektor θ der Komponenten-Dispersionsparameter,
k) Schätzen der Testparameter für die aktualisierte Komponente, und, in Abhängigkeit von dem Testergebnis – Beibehalten der Komponente, Aktualisieren des Komponenten-Gewichtsvektors und der Gewichtskovarianz-Matrix, und Vorrücken zu der nächsten Komponente, oder – Entfernen der Komponente, Entfernen der Komponente aus dem Modell, Aktualisieren des Komponenten-Gewichtsvektors und der Gewichtskovarianz-Matrix, und Vorrücken zu der nächsten Komponente,
l) Fortsetzen des Aktualisierens von Komponenten, bis Konvergenzkriterien erfüllt sind,
m) nach Beendigung des Aktualisierens der existierenden Komponenten, – falls erforderlich, Einbeziehen einer oder mehrerer neuer Komponenten in das Modell, und Initialisieren der jeweiligen neuen Komponente(n) in dem Modell, und Fortfahren mit Schritt c), oder – Beenden des Schätz-Vorgangs, und
n) Annehmen des Modells einschließlich der aktualisierten Komponenten mit ihren aktualisierten Dispersionsparametern pro Komponente als das Modell, das den aktuellen Signalübertragungskanal repräsentiert.

Gemäß einem weiteren Aspekt der vorliegenden Erfindung umfasst der Schritt des in einer Schleife erfolgenden Schätzens jedes Elements in einem Vektor θ von Komponenten-Dispersionsparametern das Schätzen jedes neuen Elements in dem Vektor θ durch Berücksichtigen des Werts der zuvor geschätzten Elemente.
Gemäß der Erfindung umfasst der Schritt des in einer Schleife erfolgenden Schätzens jedes Elements in dem Vektor θ von Komponenten-Dispersionsparametern das Aktualisieren jedes neuen Elements in dem Vektor θ durch Berücksichtigen des Werts der zuvor aktualisierten Elemente und weiterer Schätzungen.
Gemäß einem weiteren Aspekt der vorliegenden Erfindung umfasst der Schritt des Wählens einer Komponente des Modells für eine Aktualisierung das in einer Schleife erfolgende Durchführen der Wahl in sequentieller Weise durchgehend für sämtliche Komponenten.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung umfasst der Schritt des Wählens einer Komponente des Modells für eine Aktualisierung das Durchführen der Wahl in einer Sequenz, gemäß derer Komponenten, die aktualisiert werden sollen, auf der Basis eines Sparsity-Parameters α bestimmt werden, der in umgekehrter Relation zu einer Schätzung für die einer Komponente zugeordnete Signalenergie steht, wobei, je kleiner der Sparsity-Parameter α ist, die geschätzte Komponente um so zuverlässiger ist, wobei durch diese Maßnahme die stärksten Komponenten zuerst vor den schwächeren Komponenten aktualisiert/angepasst werden. Jedoch sind gemäß der Erfindung auch andere Wählverfahren anwendbar.
Die Hauptidee hinter dem vorgeschlagenen Verfahren besteht im Kombinieren zweier Algorithmen: des Algorithmus des gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegten Bayesianischen Lernens und des Algorithmus vom Erwartungs-Maximierungs-Typ für eine Superauflösungs-Parameter-Schätzung übergelegter Signale. Die letzteren Schemata können zum Erhalt von Hochauflösungs-Schätzungen der Parameter übergelegter Signale verwendet werden, die nichtlinear parametrisiert sind, wie z. B. bei Mehrweg-Kanälen.
Dennoch verlangen typische Parameter-Schätz-Algorithmen eine Spezifikation der exakten Anzahl übergelegter Signale (d. h. der exakten Modell-Ordnung eines Mehrweg-Kanals) – eine Annahme, die in der Praxis selten erfüllt wird. Eine Fehl-Spezifizierung der Modell-Ordnung führt oft zu einer unzureichenden Leistung oder zahlreichen Artefakten. Sparsity-Techniken ermöglichen das Bestimmen der Anzahl aktiver Signale in dem Modell, wobei sie dennoch an Modellen anwendbar sind, die hinsichtlich ihrer Parameter linear sind. Somit können sie nicht für eine Superauflösungsparameter-Schätzung verwendet werden. Die Kombination der beiden Schemata, wie sie mit der Erfindung vorgeschlagen wird, ermöglicht eine automatische Modell-Ordnungs-Wahl und Superauflösungsparameter-Schätzung in einem einzigen Rahmenwerk.
Die vorgeschlagene Erfindung wird verwendet, um einen automatischen Modell-Ordnungs-Wählmechanismus in ein superauflösendes variationales Bayesianisches Parameter-Schätzschema einzubeziehen.
Die vorgenannten Algorithmen werden zur nichtlinearen Schätzung übergelegter Signalparameter verwendet. Sie wurden unter der Annahme konzipiert, dass die Anzahl übergelegter Signale – die Ordnung des Modells – bekannt ist, was in der Praxis selten der Fall ist. Die vorgeschlagene Erfindung ermöglicht eine automatische (und optimale) Modell-Ordnungs-Wahl innerhalb des Parameter-Schätzschemas.
Die wesentlichen Schritte der vorgeschlagenen Erfindung lassen sich wie folgt strukturieren.
1 Initialisierung
In diesem Schritt des Algorithmus wird die Einführung neuer Komponenten durchgeführt. Die Initialisierung der neuen Komponenten wird inkohärent vorgenommen. Dies bedeutet, dass Parameter so geschätzt werden, als ob sie unabhängig wären.

1.1 Initialisierung einer einzelnen Komponente 1.1.1 Berechnen des Restsignals 1.1.1.1 Falls das Modell leer ist, d. h. keine Komponenten existieren, dann ist das Restsignal das gemessene Datensignal. 1.1.1.2 Falls das Modell nicht leer ist, dann ist das Restsignal die Differenz zwischen dem gemessenen Signal und dem synthetischen Signal, das auf der Basis sämtlicher geschätzter Komponenten in dem Modell erstellt wurde. 1.1.2 Anpassen des Modells einer einzelnen Komponente an das geschätzte Restsignal mittels inkohärenter Initialisierung. In diesem Schritt werden nur die Dispersionsparameter des Signals zum ersten Mal geschätzt. Bei dieser Berechnung wird eine inkohärente Initialisierung verwendet, d. h. die Phaseninformation der unbekannten Signalparameter wird ignoriert. 1.1.2.1 Es wird in einer Schleife jedes Element in dem Vektor θ der Komponenten-Dispersionsparameter geschätzt. 1.1.2.2 Jedes neue Element in dem Vektor wird geschätzt, indem der Wert der zuvor geschätzten Elemente berücksichtigt wird.
1.2 Schätzen der Test-Parameter für die im vorherigen Schritt erhaltene Komponente. Die Parameter werden entsprechend den im Zusammenhang mit der Erfindung beschriebenen Gleichungen geschätzt. 1.2.1 Falls das Testergebnis die Instruktion beinhaltet, die Komponente beizubehalten, werden der Komponenten-Gewichtsvektor und die Gewichts-Kovarianzmatrix aktualisiert. Die neue Komponente wird in das Modell einbezogen. 1.2.2 Falls das Testergebnis die Instruktion beinhaltet, die neue Komponente zu entfernen, wird die Initialisierung gestoppt. Es wird fortgefahren mit Schritt 2, Verarbeiten/Aktualisieren.
1.3 Falls weitere Komponenten initialisiert werden müssen, Rückkehr zu Schritt 1.1.
1.4 Alternativ, Vorrücken auf Schritt 2, Verarbeitungs-/Aktualisierungs-Schritte

2 Verarbeiten/Aktualisieren
In diesem Teil des Algorithmus wird angenommen, dass das Modell nicht leer ist. Hier werden die Parameter der geschätzten Komponenten kohärent aktualisiert. Dies bedeutet, dass bei dem Schätzungsvorgang für ein Element in dem Vektor θ die geschätzten Werte der anderen Parameter berücksichtigt werden. In diesem Teil des Algorithmus können die Komponenten nur entfernt werden.

2.1 Wählen der Komponente I für eine Aktualisierung Diese Wahl wird sequentiell durchgeführt, in einer Schleife. Alternativ kann die Sequenz, in der Komponenten aktualisiert werden, auf der Basis des Werts des Sparsity-Parameters α bestimmt werden – je kleiner dieser Parameter ist, desto zuverlässiger ist die geschätzte Komponente. Somit kann man die stärkste Komponente zuerst anpassen. 2.1.1 Diese Wahl kann sequentiell in einer Schleife durchgeführt werden. 2.1.2 Alternativ kann die Sequenz, in der Komponenten aktualisiert werden, auf der Basis des Werts des Sparsity-Parameters α bestimmt werden – je kleiner dieser Parameter ist, desto zuverlässiger ist die geschätzte Komponente. Auf diese Weise werden die stärksten Komponenten vor den schwachen angepasst.
2.2 Berechnen des Restsignals 2.2.1 Hier ist das Restsignal eine Differenz zwischen dem gemessenen Signal und dem synthetischen Signal, das auf der Basis der geschätzten Komponenten unter Ausschluss der aktualisierten Komponente (I) erstellt wurde. 2.2.2 Aktualisieren der Parameter der in Betracht gezogenen Komponente. Bei diesem Schritt werden nur die Dispersionsparameter des Signals aktualisiert. Zu dieser Zeit wird der Aktualisierungsvorgang kohärent durchgeführt, wobei die Werte der anderen geschätzten Parameter berücksichtigt werden. 2.2.2.1 Es wird in einer Schleife jedes Element in dem Vektor q der Komponenten-Dispersionsparameter geschätzt. 2.2.2.2 Jedes neue Element in dem Vektor wird aktualisiert, indem der Wert der zuvor aktualisierten Elemente und ”alte” Schätzungen berücksichtigt werden.
2.3 Schätzen der Testparameter für die aktualisierte Komponente Die Parameter werden gemäß den im Zusammenhang mit der Erfindung beschriebenen Gleichungen geschätzt. 2.3.1 Falls das Testergebnis die Instruktion beinhaltet, die Komponente beizubehalten, werden der Komponenten-Gewichtsvektor und die Gewichts-Kovarianzmatrix aktualisiert. Es wird mit der neuen Komponente fortgefahren. 2.3.2 Falls das Testergebnis die Instruktion beinhaltet, die Komponente zu entfernen, dann wird die Komponente aus dem Modell entfernt, und der Komponenten-Gewichtsvektor und die Gewichts-Kovarianzmatrix werden dementsprechend aktualisiert. Es wird mit der neuen Komponente fortgefahren.
2.4 Fortfahren mit dem Aktualisieren von Komponenten, bis die Konvergenzkriterien erfüllt sind. Zum Herstellen der Konvergenz kann man die Veränderung der Komponenten-Parameter über Iterationen hinweg beobachten. Falls die Veränderung der Parameter-Werte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Iterationen weniger als einige epsilon beträgt, werden die Aktualisierungen beendet.
2.5 Nachdem die Aktualisierung der existierenden Komponenten beendet ist, können bei Bedarf neue Komponente(n) einbezogen werden. Alternativ wird der Algorithmus beendet.

Im Folgenden wird der Hintergrund der vorliegenden Erfindung sowie ihr Gegenstand, nämlich das inkrementale, gemäß dem Sparsity-Typ ausgelegte Bayesianische Lernen für die Verbund-Parameter-Schätzung und die Modell-Ordnungs-Wahl für übergelegte Signale, die basierend auf der Schätzung eines Mehrweg-Kanal-Modells erläutert werden, auch anhand der Zeichnung eingehender beschrieben, in der
1 ein graphisches Modell ist, das (1) mit L Komponenten repräsentiert,
2 einen geschätzten synthetischen Kanal in der Zeit-Domäne (2a) und der Frequenz-Domäne für ein 15dB-SNR (2b) zeigt,
3 die geschätzten Sparsity-Parameter α (3a) und Verzögerung für synthetische Szenarien (3b), und die Fehler-Verteilung für geschätzte τ/I zeigt, wenn 4 Komponenten gefunden werden (3c), und
4 die geschätzte Kanal-Reaktion zeigt, wobei in 4a der vorgeschlagene Algorithmus und in 4b ein SAGE-Algorithmus verwendet wird.
1 Einführung
In der vorgeschlagenen Erfindung wird eine Parameter-Schätzung mit folgendem Modell in Betracht gezogen, das auch als Modell übergelegter Signale bekannt ist:
In (1) ist y ein N-dimensionaler Signal-Vektor, s(θ_l), l = 1, ..., L, ist ein Satz bekannter Basisfunktionen, die nichtlinear durch Parameter Θ = [θ₁, ..., θ_L] parametrisiert und linear mit Gewichten w = [w₁, ..., w_L]^T kombiniert sind. Die Perturbation ξ ist ein zufälliger Vektor, von dem oft angenommen wird, dass er einer zirkulären symmetrischen Normalverteilung mit einem Erwartungswert Null und einer Kovarianzmatrix Σ = λ^–1I folgt. In verschiedenen Verkleidungen ist ein derartiges Modell fast allgegenwärtig bei der Signalverarbeitung. Bei der Anwendung des Modells (1) in der Erfindung liegt ein Mehrkanal-Schätz-Problem vor. Dieses Problem besteht insbesondere bei Ortungs-Anwendungen, wenn eine Ausbreitungsverzögerung zwischen dem Sender und dem Empfänger geschätzt werden soll, und bei der MIMO-Signalverbeitung, wenn die Richtung des Eintreffens oder Abgangs geschätzt werden soll, und zwar für die Signalverarbeitung, sowie bei mehreren Mehrweg-Abschwächungsschemata für Drahtlos-Kommunikations-Anwendungen. In diesem Kontext beschreiben die – auch als Dispersionsparameter bezeichneten – Parameter Θ, wie ein gesendetes Signal s(·) durch den l-ten Ausbreitungsweg geändert wird. Mit der Dispersion sind die Parameter der Wellen gemeint, die sich von der Senderseite zu der Empfängerseite ausbreiten, und mit der Generalisierung der Mehrweg-Komponente in der resultierenden Kanal-Reaktion sind ihre relative Verzögerung, die Ausgangsrichtung, die Eintreffrichtung und die Doppler-Frequenz gemeint. Der Parameter θ_l umfasst sämtliche dieser Parameter für den l-ten Weg oder ein Sub-Set derselben, je nach den Sender- und Empfänger-Konfigurationen und einer bestimmten Anwendung.
Die klassische Schätzungstheorie bietet keine Lösung, die es ermöglichen würde, Signalparameter oder deren Anzahl auf einfache Weise zu bestimmen. Das Problem wird abgeschwächt, indem die Parameter-Schätzung und die Modell-Ordnungs-Wahl separat durchgeführt werden: Die klassische Parameter-Schätzung [4, 11, 13, 18] befasst sich mit der Superauflösungs-Schätzung von Parametern w_l and θ_l unter der Annahme einer festen Anzahl von Komponenten. Die letzteren Verfahren nutzen numerische Optimierungstechniken, um nichtlineare Parameter Θ zu schätzen. Die Verwendung des Erwartungs-Maximierungs-(EM-)Typs von Algorithmen kann die Dimensionalität des resultierenden Problems der numerischen Optimierung signifikant reduzieren, wobei im Fall des SAGE-Algorithmus [11] eine Reduzierung auf eine Sequenz eindimensionaler Optimierungen erfolgt. Diese kann effizient berechnet werden.
Die Schätzung der Anzahl L der übergelegten Komponenten bildet den Gegenstand der Modell-Ordnungs-Wahl [1, 14, 15, 17]. Diese kann im Geist des Ockham'schen Rasiermesser-Prinzips gelöst werden: Unter verschiedenen Modellen wird dasjenige gewählt, das den besten Ausgleich zwischen der Modell-Komplexität und der Modell-Leistung, d. h. den kleinsten Rest bietet.
Ein derartiger Ansatz steht im Zentrum der hochbekannten informationstheoretischen Modell-Ordnungs-Wählkriterien, wie z. B. Minimale Beschreibungslänge (MDL), Bayesianisches Informationskriterium (BIC) sowie deren Varianten [14, 15, 17]. Dennoch handelt es sich bei den letzteren Kriterien typischerweise um asymptotische Ergebnisse, die mittels Approximation für große Stichproben für lineare Gauß'sche Modelle erhalten werden. Bei nichtlinearen Modellen ist ihre Leistung unausweichlich suboptimal. Ferner haben Experimente gezeigt, dass, falls die Modell-Ordnungs-Wahl nicht sorgfältig konzipiert wird, die Modell-Fehlanpassungen, die sich aufgrund der Nicht-Weißheit des Rauschens, diffuser Komponenten und Fehlern in der Kalibrierung der Analog-Frontends ergeben, zu einer Überschätzung der Anzahl relavanter Komponenten führen. Es werden fiktive Komponenten ohne irgendeine physische Bedeutung eingeführt, und ihre Parameter werden geschätzt. Somit werden Schätzfunktionen mit kombinierter Modell-Ordnungs-(Komponenten-Anzahl-)Wahl und Komponenten-Parameter-Schätzung benötigt, die robust gegenüber Modell-Fehlanpassung sind.
Neuere Entwicklungen in der komprimierten Sensierung oder Sparse-Signal-Schätzung jedoch haben einen alternativen Ansatz zur Modell-Ordnungs-wahl ermöglicht. Sparse-Signalverarbeitungsverfahren haben sich in den letzten Jahren aufgrund ihrer reichen theoretischen Natur und ihrer Verwendbarkeit in einem weiten Anwendungsbereich zu einem sehr aktiven Forschungsgebiet entwickelt, (siehe z. B. [2, 7–9, 22, 23]).
Der generelle Zweck der Sparse-Rekonstruktion besteht darin, die Parameter des Modells (1), bei dem die Dispersionsparameter Θ nun als festgelegt und bekannt angenommen werden, optimal zu schätzen. Anders ausgedrückt wird der Messwert y modelliert als y = Sw + ξ, (2) wobei S ∊ C^N×L eine festgelegte komplexe Matrix mit N Reihen und L Spalten ' ist, wobei L > N. Die Lösung zu diesem unterbestimmten Gleichungssystem lässt sich unter der Annahme erhalten, dass der Vektor w dünnbesetzt ist, d. h. nur wenige Nicht-Null-Elemente hat. Natürlich bestimmt die Anzahl dieser Nicht-Null-Elemente die Ordnung des Modells.
Das Ziel dieser Erfindung besteht darin, auf den Similaritäten zwischen dem Modell (1) und dem Signalmodell (2) aufzubauen, um eine Verbund-Superauflösungs-Parameter-Schätzung und Modell-Ordnungs-Wahl auf der Basis von Sparse-Signalverarbeitungs-Ideen zu formulieren. Der folgende Abschnitt verdeutlicht Schlüsselkomponenten des neuen vorgeschlagenen Schemas.
2 Verwendete Bezeichnungen
In diesem Dokument werden die folgenden Veranschaulichungen verwendet. Vektoren werden als gefettete Kleinbuchstaben wiedergegeben, z. B. x, und Matrizes als gefettete Großbuchstaben, z. B. X. Für Vektoren und Matrizes bezeichnen (·)^T and (·)^H die Transponierte bzw. die hermitesche Transponierte. Der Ausdruck diag(x) steht für eine diagonale Matrix, bei der sich die Elemente von x auf der Hauptdiagonalen befinden; Trace(X) bezeichnet die Trace der Matrix X.
Der Ausdruck [B]_;,l bezeichnet den l-ten Spalten-Vector der Matrix B; [B]_l,k steht für ein Element der Matrix B an der l-ten Reihe und der k-ten Spalte. In ähnlicher Weise bezeichnet [b]_l ein l-tes Element des Vektors b. Der Ausdruck
bezeichnet eine Matrix, die durch Löschen der l-ten Reihe und der k-ten Spalte aus der Matrix B erhalten wird; die Bezeichnung
bezeichnet eine Matrix, die durch Löschen der k-ten Spalte aus der Matrix B erhalten wird. Bei Vektoren steht
für einen neuen Vektor, der durch Löschen des l-ten Elements aus dem Vektor b erhalten wird.
Es wird e_l = [0, ..., 0, 1, 0, ..., 0]^T zum Bezeichnen eines kanonischen Vektors einer geeigneten Dimension verwendet, wobei sich 1 an der l-ten Position befindet.
Eine Schätzung einer Zufallsvariablen x wird als x ^ bezeichnet. E_q(x){f(x)} wird zum Bezeichnen der Erwartung einer Funktion f(x) in Bezug auf eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion q(x) verwendet.
Schließlich bezeichnet CN(x|a, B) eine multivariante Gauß'sche pdf mit einem Erwartungswert a und einer Kovarianzmatrix B; und es bezeichnet Ga(x|a, b) = b^ax^a-1e^-bx/Γ(a) eine Gamma-pdf mit Parametern a und b.
3 Überblick über die vorgeschlagene Methodologie
Um Superauflösungsparameter-Schätzungs-Algorithmen und Sparsity-Techniken zu vereinigen, wird die Tatsache genutzt, dass beide Verfahren unter Verwendung Bayesianischer Inferenz-Verfahren realisiert werden können; insbesondere wird eine variationale Bayesianische Inferenz verwendet.
Bei der variationalen Bayesianischen Inferenz [3] handelt es sich um eine Familie von Techniken, die sich analytische Approximationen der A-posteriori-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) sämtlicher unbekannter Parameter zunutze machen, indem sie eine einfachere Proxy-pdf verwenden, z. B. durch Vernachlässigen einiger statistischer Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen oder durch Beschränken einiger der Faktoren auf analytisch lenkbare Dichten. Die approximierende pdf wird dann gefunden als ein Maximierer der variationalen Untergrenze für den Modell-Evidenz-log p(y) [3]. Es hat sich erwiesen, dass die variationale Bayesianische Inferenz die klassischen EM-Algorithmen [3] sowie den SAGE-Algorithmus [20] generalisiert und somit für die Superauflösungsparameter-Schätzung übergelegter Signale verwendet werden kann.
Sparse-Schätztechniken können können auch unter Verwendung Bayesianischer Techniken realisiert werden. Insbesondere handelt es sich bei dem gemäß dem Sparse-Typ ausgelegten Bayesianischen Lernen (SBL) [21–23] um eine Familie empirischer Bayesianischer Techniken, die eine Sparse-Schätzung von w erbringen, indem bestimmte Sparse-Beschränkungen auferlegt werden, die als hierarchische A-priori-Wahrscheinlichkeit realisiert sind:
p(w|α)p(α) = Π L / l=1p(w_l|α_l)p(α_l), wobei p(w_l|α_l) eine Gauß'sche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) mit einem Erwartungswert Null und einem Präzisionsparameter α_l ist – auch als Sparsity-Parameter bezeichnet; größere Werte von α_l treiben das entsprechende Gewicht zu Null hin, wodurch eine Sparse-Lösung begünstigt wird. Für die Zwecke der präsetierten Erfindung wird ein spezieller Fall des SBL herangezogen: ein schneller variationaler SBL (FV-SBL) [21]. Dieser optimiert ebenfalls die variationale Untergrenze von log p(y), um die Sparsity-Parameter und die Gewichte zu schätzen. Im Gegensatz zu anderen SBL-Realisierungen jedoch wird diese Optimierung inkremental durchgeführt, d. h. in Bezug auf die Sparsity-Parameter jeweils für eine Komponente zu einem Zeitpunkt. Neben der sehr schnellen Konvergenzrate eines derartigen Ansatzes kann der FV-SBL-Algorithmus auch auf adaptive Art [19] realisiert werden – ein Merkmal, das sich zum Schätzen übergelegter Signale als nützlich erweist. Zudem gleicht die inkrementale Realisierung des Algorithmus dem inkrementalen Ansatz des SAGE-Algorithmus, der jedes Mal die Parameter einer Komponente optimiert. Zu beachten ist jedoch, dass aufgrund der nichtlinearen Abhängigkeit von (1) von dem Parameter-Satz Θ der FV-SBL-Algorithmus nicht direkt an diesem Modell appliziert werden kann. Offensichtlich kann mittels eines geeigneten Abtastens oder Rasterns der Parameter Θ [2, 16] die Nichtlinearität des Problems umgangen werden. Dieser Ansatz liefert jedoch keine Hochauflösungs-Schätzungen der Parameter. Alternativ müssen heuristische Verfahren verwendet werden, um die Rasterung adaptiv zu machen, was jedoch den Rechenaufwand beträchtlich erhöhen könnte, falls die Dimensionalität von Θ hoch ist.
Somit können mittels variationaler Bayesianischer Techniken beide Schemata gemeinsam innerhalb des gleichen Optimierungsrahmens realisiert werden. Im Folgenden wird der FV-SBL-Algorithmus erläutert und dann um das Superauflösungsparameter-Schätzungs-Schema erweitert, um Θ zu bestimmen.
4 Variationaler Bayesianischer Ansatz
Die variationale Lösung für sowohl SBL als auch die Schätzung Θ beinhaltet eine variationale Inferenz für den folgenden Graph, der die Abhängigkeiten zwischen den Parametern von FV-SBL und dem Modell (1) gemäß der Darstellung in 1 erfasst.
Gemäß der Graph-Struktur kann die gemeinsame pdf für sämtliche Graph-Variablen faktorisiert werden als p(w, λ, α, Θ, y) = p(y|w, λ, θ)p(w|α)p(α)p(λ)p(Θ), (3) wobei p(y|w, λ, θ) = CN(y|S(Θ)w, λ–1I), p(w|α) = Π L / l=1CN(w_l|0, α –1 / l), p(α) ∝ Π L / l=1α –1 / l, und p(λ) ∝ λ^–1, gemäß der Standard-SBL-Modell-Annahme [19, 21]. Im Folgenden werden komplexe Messdaten berücksichtigt; Erweiterungen für reale Fälle sind trivial. Ferner werden nichtinformative Formen von A-priori-Wahrscheinlichkeiten p(λ) and p(α_l), ∀l verwendet. Dies ist bekannt als SBL mit automatischer Relevanzbestimmung [22].
Die Wahl des a-priori-p(Θ) ist im Kontext dieser Arbeit arbiträr und ist generell anwendungsspezifisch. Die variationale Inferenz in diesem Graph zielt darauf ab, eine ”Proxy”-pdf q(w, α, λ, Θ) zu schätzen, welche die Untergrenze des log-Evidenz log p(y) [6] maximiert:
Es wird angenommen, dass q(w, α, λ, Θ) wie folgt zu faktorisieren ist:
wobei variationalen Faktoren in (5) beschränkt sind als:
q(w) = CN(w|w ^, Φ ^) , q(α_l) = Ga(α_l|1, α ^_l ^–1), und q(λ) = Ga(λ|N/2, Nλ ^_l ^–1/2). Im Fall von Parametern Θ wird angenommen, dass q(Θ) = Π L / l=1q(θ_l) = Π L / l=1δ(θ_l – θ ^_l). In dieser Weise erfolgt eine Beschränkung auf Punkt-Schätzungen dieser Parameter. Unter einer Punktschätzung wird die Maximal-Wahrscheinlichkeits- oder Maximal-a-posteriori-Schätzung verstanden; der letztere Fall ergibt sich automatisch bei einer A-priori-Wahrscheinlichkeit p(θ_l) ≠ const. Komplexere Formen von q(θ_l) werden in dieser Erfindung nicht berücksichtigt. Das optimale q(w, α, λ, Θ) wird dann gefunden durch Maximieren von (4) in Bezug auf die Parameter {w ^, Φ ^, λ ^, α ^₁, θ ^₁, ..., α ^_L, θ ^_L}, indem sämtliche Faktoren auf ”Rundlauf”-Art zyklisch durchlaufen werden [6]. Es sei betont, dass in [20] ein ähnliches Modell vorgesehen wird. Jedoch erfolgt die Approximation in [20] unter der Annahme, dass q(w) = Π_lq(w_l), d. h. dass die Gewichte der Komponenten unabhängig sind.
Es sei für den Moment angenommen, dass die pdfs q(w) and q(λ) verfügbar sind. Dann wird die variationale Inferenz von q(Θ) wie folgt realisiert. Mit
= Θ\θ_l seien sämtliche Dispersionsparameter mit Ausnahme derjenigen bezeichnet, die zu der Komponente l gehören. Bei Verfolgung der Standard-Variations-Inferenz-Schritte (siehe [6]) zeigt sich, dass die Begrenzung von log p(y) in Bezug auf q(θ_l) ausgedrückt werden kann als
wobei
Diese Begrenzung ist maximiert, wenn die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen q(θ_l) und p ~(θ_l) minimal ist. Da q(θ_l) auf die Dirac-Verteilung beschränkt ist, wird die minimale Divergenz erzielt, wenn q(θ_l) mit dem Modus von p ~(θ_l) ausgerichtet ist. Durch Auswerten von p ~(θ_l) findet man θ ^_l als einen Maximierer von log p ~(θ_l) , der berechnet wird durch
und
den Realteil-Operator bezeichnet. Das Herausfinden von θ ^_l aus (6) ergibt problemlos die optimale pdf q(θ_l). Anzumerken ist, dass die letzten beiden Terme in (6) die Korrelationen zwischen den Gewichten w der Komponenten widerspiegeln, wobei sie die Schätzfunktion für θ_l effektiv mit Penalisierung belegen.
Es sei nun angenommen, dass die pdf q(Θ) bekannt ist. Variationale Aktualisierungs-Ausdrücke für q(w), q(α) und q(λ) lassen sich in ähnlicher Weise wie folgt finden [5]:
wobei S ≡ S(Θ ^).
Der FV-SBL-Algorithmus bildet ein rechnerisch effizientes Verfahren zum Beschleunigen der Konvergenz der Interferenz-Ausdrücke (8) und (9). Im Wesentlichen maximiert er die Begrenzung inkremental: die variationalen Aktualisierungen von q(α_l) und q(w) für ein festgelegtes l werden sukzessive ad infinitum durchgeführt, während die anderen variationalen Faktoren festgelegt gehalten werden. Die Konvergenz von q(α_l) kann dann analytisch hergestellt werden, was eine beträchtliche Beschleunigung der Interferenz ermöglicht [21]. Zudem erlaubt der FV-SBL eine adaptive Implementierung, wobei Komponenten dem Modell auch leicht hinzugefügt werden können (für weitere Information über den adaptiven FV-SBL-Algorithmus sei der Leser auf [19] verwiesen).
Nun ist es möglich, sämtliche Teile des vorgeschlagenen Sparse-Schätzschemas zusammenzubringen.
4.1 Ausführungsbeispiel der Erfindung
In [21] hat sich gezeigt, dass für eine gegebene Komponente s_l ≡ s(θ ^_l) die Sequenz von Schätzungen {α ^ [m] / l} M / m=1, die durch sukzessives Aktualisieren der pdfs q(w) und q(α_l) erhalten wurde, als M → ∝ auf die folgende pdf q^[∝](α_l) konvergiert, wobei der Parameter α ^ [∝] / l spezifiziert ist als
wobei ζ_l und ω_l die Pruning-Parameter sind, welche definiert sind als
Die Parameter ζ_l und ω 2 / l sind abhängig von
und
wobei (13) die a-posteriori-Kovarianzmatrix der Gewichte ist, die erhalten werden, wenn die Komponente s_l aus S herausgenommen wird. Das Ergebnis (10) bietet ein einfaches Kriterium für das Pruning einer Komponente aus dem Modell: aus einem finiten Wert von α ^ [∝] / l ergibt sich die Instruktion, die l-te Komponente beizubehalten, während der infinite Wert von α ^ [∝] / l angibt, dass die Komponente s_l überflüssig ist. Es kann aufgezeigt werden [21], dass die Testparameter ω 2 / l und ζ_l das quadratierte Gewicht der Basisfunktion s_l und der Varianz des Gewichts sind, berechnet mit α ^_l gleich null – eine Tatsache, die später offensichtlicher wird, wenn eine Einbeziehung einer neuen Komponente in Betracht gezogen wird. Der Pruning-Test wird sequentiell an sämtlichen Komponenten in dem Modell vorgenommen, um festzustellen, welche von ihnen geprunt werden sollte.
Die Idee der vorgeschlagenen Erfindung besteht in der Einbeziehung der Parameter-Schätzung in Schritt (6) in das FV-SBL-Schema durch Aktualisieren der Faktoren in (5) in Gruppen, wobei die eine l-te Gruppe Faktoren {q(θ_l), q(α_l), q(w)} enthält: beginnend mit q(θ_l), das von (6) aktualisiert ist, werden dann q(α_l) und q(w) mittels des FV-SBL-Schemas aktualisiert. Falls die Schätzung des α ^_l divergiert, wird die entsprechende Komponente aus dem Modell entfernt; andernfalls werden ihre Parameter aktualisiert, und die nächste Komponente wird herangezogen.
Der Algorithmus 1 fasst die Haupt-Schritte dieses Entfernungsvorgangs zusammen.
Die P_l-Matrix in (14) ist eine Permutationsmatrix, die wie folgt definiert ist:
Sie wird einfach dazu verwendet, die letzte Reihe und die letzte Spalte in einer Matrix auf die l-te Reihe bzw. die l-te Spalte zu verschieben. Anzumerken ist ferner, dass die Inverse eines Schur-Komplements X_l in dem Algorithmus 4.1 in effizienter Weise mittels einer Rank-One-Aktualisierung berechnet werden kann [12].
Ähnliche Schritte können durchgeführt werden, um eine neue Komponente in das Modell einzuführen. Zu diesem Zweck sei angenommen, dass L Komponenten vorliegen und die entsprechenden Schäzungen von Φ ^ und α ^ und S ≡ S(Θ) verfügbar sind. Das Ziel besteht darin, zu testen, ob eine neue Komponente s_L+1 ≡ s(θ_L+1), die auf der Basis von (6) berechnet wurde, in das Modell einbezogen werden kann. Anzumerken ist, dass in diesem Fall r_L+1 in (7) im Wesentlichen das Restsignal ist, das erhalten wird, indem sämtliche L Komponenten aus dem Mess-Signal entfernt werden. Es muss jedoch betont werden, dass die Einführung einer neuen Komponente nicht das Berechnen von (6) erlaubt, da der entsprechende q(w_l), d. h. der Komponenten-Verstärkungsfaktor, unbekannt ist. Ein ähnliches Problem tritt auch bei der klassischen SAGE- oder EM-basierten Schätzung auf der Initialisierungsstufe auf. Ein Standardansatz zur Umgehung dieses Problems besteht in der Verwendung einer inkohärenten Initialisierung, d. h. wenn die Phase des entsprechenden Verstärkungsfaktors einfach ignoriert wird. Praktisch bedeutet dies, dass (6) ausgetauscht wird durch
wobei dies unabhängig von dem Komponenten-Gewicht ist und dabei die Parameter θ ^ incoh / L+1 derart gewählt werden, dass die Korrelation zwischen dem Restsignal und der Komponente s(θ_l) maximiert wird. Der Algorithmus 2 fasst die Hauptschritte zur Einbeziehung einer neuen Komponente zusammen.
Es ist zu betonen, dass die sparsity-induzierende Eigenschaft des gesamten Schemas in dem Test ω 2 / l > ζ_l ”kodiert” wird, der die Konvergenz einer q(α_l)-Aktualisierung bestimmt: falls der Erwartungswert des q(α_l) divergiert, wird die Komponente aus dem Modell entfernt. In dieser Weise wird die Modell-Ordnungs-Wahl realisiert.
4.2 Im plementierungsaspekte
Eine variationale Inferenz erfordert typischerweise das Wählen von Ausgangswerten für die variationalen Parameter von q(w, α, λ, Θ). Offensichtlich kann man die adaptive Fähigkeit des Algorithmus nutzen, um die Ausgangs-Faktorisierung rückzugewinnen, indem S = ⊘ angenommen wird und der Ausgangswert der Rausch-Präzision λ gesetzt wird. Die Pruning-Kriterien des Schemas stoppen automatisch die Initialisierung der neuen Komponenten, wenn der Test ω 2 / l > ζ_l für irgendeine neue Komponente fehlschlägt. Auf diese Weise braucht die Modell-Ordnung nicht spezifiziert zu werden.
Die sequentielle Natur des Algorithmus ermöglicht das Aktualisieren oder Hinzufügen neuer Komponenten in jeglicher Reihenfolge. Beispielsweise kann der Algorithmus 4.1 angewendet werden, bis die gewünschte Anzahl von Komponenten gefunden worden ist, gefolgt von einer Aktualisierung des Algorithmus 4.1, woraufhin wieder neue Komponenten hinzugefügt werden können. Zu beachten ist jedoch, dass die Leistung der sparsity-basierten Modell-Ordnungs-Wahl eine Funktion des SNR ist. Insbesondere muss die Rausch-Varianz spezifiziert werden, damit die Modell-Ordnung korrekt ohne Verzerrung arbeiten kann: wenn der Rauschpegel zu hoch ist, tendiert man dazu, weniger ”Vertrauen” in die Schätzungen der Signalparameter zu setzen und deshalb die Komponenten aggressiver zu sparsifizieren. Obwohl das präsentierte Schema das Berechnen der Rausch-Präzision λ in (9) auf jeder Stufe des Algorithmus erlaubt, könnte die entsprechende Schätzung verzerrt sein, falls eine falsche Modell-Ordnung verwendet wird. Ferner ist zu beachten, dass das Aktualisieren von q(λ) ein volles Neuberechnen von Φ ^ erfordert, wobei es sich um O(L³)-Operationen handelt. In zahlreichen Fällen kann die Rausch-Varianz aus dem Signal selbst abgeleitet werden, und dann kann die Rausch-Varianz als bekannt angenommen werden. Alternativ kann λ periodisch aktualisiert werden, nachdem die Modell-Ordnung konvergiert ist.
Es sei betont, dass das Verhältnis ω 2 / l/ζ_l als eine Schätzung des Komponenten-Signal-/Rausch-Verhältnisses SNR_l = ω 2 / l/ζ_l interpretiert werden kann [19, 21]. Somit wird mittels des FV-SBL eine Komponente geprunt, falls das Komponenten-SNR unter 0 dB liegt. Diese Interpretation ermöglicht eine einfache Anpassung der Pruning-Bedingung wie folgt: ω 2 / l > ζ_l × SNR', (17) wobei SNR' das Anpassungs-SNR ist. Die modifizierte Pruning-Bedingung (17) kann sowohl beim Hinzufügen als auch beim Pruning von Komponenten verwendet werden. Eine derartige Anpassung könnte von praktischem Interesse bei Szenarien sein, bei denen das echte SNR bekannt ist und das Ziel darin besteht, Streukomponenten zu löschen, die von dem Algorithmus aufgrund von Rauschen eingeführt worden sind. Zu beachten ist, dass die Lösung für (6) generell eine mehrdimensionale Optimierung erfordert, wobei die Dimensionalität der Optimierung gleich der Anzahl von Elementen in θ_l ist. Eine mögliche Strategie, um dies zu umgehen, besteht im Wählen von q(θ_l), das gemäß q(θ_l) = q(θ_1l)· ... ·q(θ_Ml) faktorisiert wird, wobei M die Anzahl von Elementen in θ_l ist. Zu beachten ist, dass, falls einige der Elemente in θ_l statistisch abhängig sind, ein strukturiertes Erwartungsfeld [6] verwendet werden kann, um diese Abhängigkeit durch eine geeignete Faktorisierung der Proxy-pdf q(θ_l) zu berücksichtigen. Anders ausgedrückt kann angenommen werden, dass q(θ_l) beispielsweise in der Form q(θ_l) = q(θ_1l, θ_2l)q(θ_3l)· ... ·q(θ_(M-1)l,θ_Ml) faktorisiert wird. Einzelne Faktoren von q(θ_l) können dann mittels standardgemäßer variationaler Bayesianischer Inferenz-Schritte geschätzt werden. Es sei betont, dass die Annahme q(θ_l) = Π M / m=1q(θ_ml) die SAGE-basierte Schätzung von θ_l unterstützt.
4.3 Verhältnis zum Stand der Technik
Im Folgenden wird das Verhältnis des vorgeschlagenen Schemas zu den Verfahren des Standes der Technik dargelegt.

1. Der präsentierte Ansatz ist eine Erweiterung des variationalen Bayesianischen SAGE-(VB-SAGE-)Algorithmus, der in [20] aufgeführt ist. Im Gegensatz zu (5) wird bei dem VB-SAGE Algorithmus eine unterschiedliche variationale Faktorisierung angenommen. Speziell wird angenommen, dass
d. h. die Komponenten-Verstärkungsfaktoren werden als unabhängig angenommen. Unter einer derartigen Annahme wird die Kovarianzmatrix Φ diagonal. Dies bedeutet, dass in der Schätzfunktion für die Parameter θ_l die Korrelationen zwischen den einzelnen Komponenten nicht berücksichtigt sind; in (6) werden diese Korrelationen durch den Term
berücksichtigt.
2. In dem Fall, dass ... α_l = 0, ∀l, und die approximierenden Faktoren in (18) als Dirac-Messungen an den entsprechenden Domänen gewählt werden, d. h., q(w_l) = δ(w_l – w ^_l), q(λ) = δ(λ – λ ^), und q(θ_l) = Π M / m=1δ(θ_lm – θ ^_lm), erhält man eine Instanz des klassischen SAGE-Algorithmus [11].
3. In dem Fall, dass die Parameter θ_l, l = 1, ..., L festgelegt oder aus einem vordefinierten Raster gewählt sind (im letzteren Fall können die Vektoren s(θ_l) im Voraus berechnet werden), erhält man eine Instanz des adaptiven FV-SBL [19].

5 Szenario für Abtastwert-Anwendungen
Es wird hier die Leistung des vorgeschlagenen Schätzschemas anhand von synthetischen Daten, die gemäß dem Modell (1) generiert werden, sowie gemessener Daten untersucht.
Der Einfachheit halber wird ein Single-Input-Single-Output-Kanal mit einer Null-Doppler-Verschiebung betrachtet; somit ist jede Komponente durch eine Verzögerung θ_l = {τ_l} und einen komplexen Verstärkungsfaktor w_l, d. h. y = Σ L / l=1w_ls(τ_l) + ξ gekennzeichnet. Der Kanal wird in der Frequenz-Domäne mit den folgenden Parametern synthetisiert: L = 4, N = 1537. Die Signal-Bandbreite wird f_B = [120] MHz gesetzt. Das Signal wird mit einer Nyquist-Rate abgetastet, und es wird eine Trägerfrequenz von [5.2] GHz angenommen. Die Verzögerungen der synthetischen Mehrweg-Komponenten werden auf [17.5] ns, [40.83] ns, [59.33] ns, and [91.67] ns gesetzt; und die entsprechenden komplexen Amplituden werden auf w_l =
l = 1, ..., 4 gesetzt, wobei φ_l eine Zufallsvariable ist, die aus einer gleichförmigen Verteilung gezogen wurde. Als Replik des gesendeten Signals s(t) werden die tatsächlichen gemessenen Kalibrierungsdaten des von Medav hergestellten Kanal-Sounders von RUSK-DLR [24] verwendet. Die Kalibrierungsdaten erhält man, indem der Sender direkt mit dem Empfänger verbunden wird und das Empfangssignal aufgezeichnet wird. Dessen abgetastete Version wird dann verwendet, um einen Vektor s(·) zu bilden, dessen verschobene Versionen zum Synthetisieren sowie zum Schätzen des Kanals verwendet werden.
In 2 ist die geschätzte Impulsreaktion und Transferfunktion für ein SNR von 15 dB gezeigt.
Es lässt sich beobachten, dass die geschätzten Reaktionen den gemessenen Daten mit nur vier Komponenten folgen. Zu betonen ist, dass in Abhängigkeit von der tatsächlichen Rausch-Realisierung der Algorithmus dazu tendiert, die Anzahl der Komponenten zu überschätzen. In 3 sind Verteilungen geschätzter Sparsity-Parameter für sämtliche detektierten Komponenten eingezeichnet, die über 1000 Monte-Carlo-Durchläufe hinweg mit verschiedenen Rausch-Realisierungen gesammelt wurden.
Anzumerken ist, dass im schlimmsten Fall der Algorithmus bis zu 8 Komponenten identifiziert, die sämtlich den echten Komponenten sehr nahekommen. Dies ist auch in 3 ersichtlich, in der die Verteilung sämtlicher geschätzter Verzögerungen eingezeichnet ist. Die invertierten Sparsity-Parameter dieser Artefakten-Komponenten sind ebenfalls recht klein, was bedeutet, dass sie nicht zu dem Modell beitragen. In dem Fall, in dem der Algorithmus exakt 4 Komponenten identifiziert, kann man den Fehler zwischen der echten und der geschätzten Verzögerung berechnen. In 3 ist das Histogramm der Schätzfehler der Verzögerung abgebildet. Anzumerken ist, dass der Schätzungsfehler kleiner als 1% der verwendeten Abtastperiode (≈ 8.3 ns) ist.
5.1 Schätzungsergebnisse bei gemessenen Mehrweg-Kanälen
Hier wird die Schätzung der tatsächlichen gemessenen Mehrweg-Kanäle betrachtet, die mit Hilfe des vorgeschlagenen Algorithmus durchgeführt wurde. Die Daten wurden während einer neueren Mess-Aktion [24] gesammelt, die am Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt in Oberpfaffenhofen, Deutschland, durchgeführt wurde; die Messparameter stimmen mit denjenigen überein, die bei Simulationen verwendet werden. Da bei einem gemessenen Kanal die tatsächlichen Kanal-Parameter nicht bekannt sein können, wurde die Leistung des vorgeschlagenen Schemas qualitativ mit derjenigen des SAGE-Algorithmus verglichen [11]. Da es bei dem letzteren Schema erforderlich ist, die Anzahl der Komponenten L zu kennen, wurde diese zuerst mittels des vorgeschlagenen Verfahrens geschätzt, und dann wurde der SAGE mit der gleichen Modell-Ordnung verwendet. Die Schätzungsergebnisse sind in 4 aufgeführt.
Insgesamt wurden L = 31 Wege identifiziert. Trotz einiger Similaritäten tendiert der SAGE-Algorithmus dazu, schwache Komponenten zu verfehlen; zudem tendiert er dazu, Mehrfach-Wege um Bereiche mit hoher Leistung herum zu clustern, was oft auf Schätzungs-Artefakte hinweist [20].
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Claims

Verfahren zum Bestimmen eines Mehrweg-Kanal-Modells, das Bedingungen eines drahtlosen Signalübertragungskanals zwischen einem Sender und einem Empfänger repräsentiert, wobei der Signalübertragungskanal eine Anzahl von Übertragungswegen und Dispersionsparameter für jeden Übertragungsweg aufweist, wobei das Verfahren folgende Schritte aufweist: a) Erstellen eines Satzes von Mehrweg-Kanal-Modellen, die verschiedene Ordnungen haben, d. h. nullte, 1ste, 2te, 3te, ..., n-te Ordnung, wobei die Ordnung eines Modells seine Komponenten repräsentiert, d. h. die Anzahl der Übertragungswege, für die das Modell konzipiert ist, b) Erstellen des Modells der Ordnung null, und c) Berechnen eines Restsignals als Differenz zwischen (i) einem bekannten Signal, das von dem Sender übertragen und an dem Empfänger als gemessenes Signal empfangen wird, und (ii) einem synthetischen Signal, das auf der Basis sämtlicher bereits geschätzter Komponenten in dem Modell erstellt wurde, d) Anpassen des Modells einer einzelnen Komponente an das berechnete Restsignal mittels inkohärenter Initialisierung, e) in einer Schleife erfolgendes Schätzen jedes Elements in einem Vektor θ der Komponenten-Dispersionsparameter, f) Schätzen der Testparameter für die in dem vorherigen Schritt erhaltene Komponente, und, in Abhängigkeit von dem Testergebnis – Beibehalten der Komponente, Aktualisieren eines Komponenten-Gewichtsvektors und einer Gewichtskovarianz-Matrix, Einbeziehen der neuen Komponente in das Modell, und, falls weitere Komponenten in dem Modell initialisiert werden müssen, Rückkehr zu Schritt b), andernfalls Fortfahren mit Schritt g), oder – Entfernen der neuen Komponente und Fortfahren mit Schritt g), g) Wählen einer Komponente (I) des Modells für eine Aktualisierung, h) Berechnen des Restsignals als Differenz zwischen dem gemessenen Signal und einem synthetischen Signal, das auf der Basis der bis dahin geschätzten Komponenten, jedoch unter Ausschluss der aktualisierten Komponente (I) erstellt wurde, i) Aktualisieren der Dispersionsparameter der in Betracht gezogenen Komponente durch j) in einer Schleife erfolgendes Schätzen jedes Elements in einem Vektor θ der Komponenten-Dispersionsparameter, k) Schätzen der Testparameter für die aktualisierte Komponente, und, in Abhängigkeit von dem Testergebnis – Beibehalten der Komponente, Aktualisieren des Komponenten-Gewichtsvektors und der Gewichtskovarianz-Matrix, und Vorrücken zu der nächsten Komponente, oder – Entfernen der Komponente, Entfernen der Komponente aus dem Modell, Aktualisieren des Komponenten-Gewichtsvektors und der Gewichtskovarianz-Matrix, und Vorrücken zu der nächsten Komponente, l) Fortsetzen des Aktualisierens von Komponenten, bis Konvergenzkriterien erfüllt sind, m) nach Beendigung des Aktualisierens der existierenden Komponenten, – falls erforderlich, Einbeziehen einer oder mehrerer neuer Komponenten in das Modell, und Initialisieren der jeweiligen neuen Komponente(n) in dem Modell, und Fortfahren mit Schritt c), oder – Beenden des Schätz-Vorgangs, und n) Annehmen des Modells einschließlich der aktualisierten Komponenten mit ihren aktualisierten Dispersionsparametern pro Komponente als das Modell, das den aktuellen Signalübertragungskanal repräsentiert.
Verfahren nach Anspruch 1, bei dem der Schritt des in einer Schleife erfolgenden Schätzens jedes Elements in einem Vektor θ von Komponenten-Dispersionsparametern das Schätzen jedes neuen Elements in dem Vektor θ durch Berücksichtigen des Werts der zuvor geschätzten Elemente umfasst.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem der Schritt des in einer Schleife erfolgenden Schätzens jedes Elements in dem Vektor (q) von Komponenten-Dispersionsparametern das Aktualisieren jedes neuen Elements in dem Vektor (q) durch Berücksichtigen des Werts der zuvor aktualisierten Elemente und weiterer Schätzungen umfasst.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem der Schritt des Wählens einer Komponente des Modells für eine Aktualisierung das in einer Schleife erfolgende sequentielle Durchführen der Wahl durchgehend für sämtliche Komponenten umfasst.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem der Schritt des Wählens einer Komponente des Modells für eine Aktualisierung das Durchführen der Wahl in einer Sequenz umfasst, gemäß derer Komponenten, die aktualisiert werden sollen, auf der Basis eines Sparsity-Parameters (α) bestimmt werden, der einen Schätzwert für die einer Komponente zugeordnete Signalenergie repräsentiert, wobei die geschätzte Komponente um so zuverlässiger ist, je kleiner der Sparsity-Parameter (α) ist, wobei durch diese Maßnahme die stärksten Komponenten und damit vor den schwächeren Komponenten aktualisiert/angepasst werden.