CN113189569B - 一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法 - Google Patents

一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及水声信号处理技术领域，尤其涉及一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法，所述方法包括：计算接收阵列信号的样本协方差矩阵，进行特征值分解，并计算每个扫描角度对应的投影向量；由LSMI方法利用投影向量得到K个目标方位，再由CBF方法估计目标功率和噪声功率；由K个目标方位、目标功率以及噪声功率计算协方差矩阵误差范数上界估计；计算当前扫描角度的导向向量误差范数上界估计；求解参数协方差矩阵误差范数上界估计和导向向量误差范数上界估计的不确定集约束下的WCPO问题，得到最佳加权向量和空间功率谱的估计；根据最佳加权向量修正空间功率谱的估计；直至完成所有扫描角度的求解工作。

Description

一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法
技术领域
本发明涉及水声信号处理技术领域，尤其涉及一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法。
背景技术
阵列信号波束形成方法被广泛应用于声呐、雷达、无线通信和医学影像等领域。常规波束形成(CBF)方法性能稳定、计算简单，但目标角度分辨能力不足、干扰抑制能力较差。自适应波束形成(MVDR或Capon)方法在理想条件下具有优秀的目标角度分辨能力和干扰抑制能力。但在实际系统中通常很难满足理想条件，观察方向误差、阵形标定误差、通道幅度与相位误差等因素会造成导向向量失配，接收快拍数据有限会导致协方差矩阵失配，这些因素使得自适应波束形成方法的性能严重下降。鲁棒自适应波束形成方法的提出，就是为了改善非理想条件下自适应波束形成方法的性能。
一种经典的鲁棒自适应波束形成方法是样本协方差矩阵对角加载(LSMI)方法，该方法计算量较小、目标方位估计较为准确，但对角加载量的大小缺乏具备物理意义的选取准则，且目标功率估计通常失真。基于子空间的鲁棒自适应波束形成方法对导向向量误差具有鲁棒性，但在许多实际环境中信噪子空间难以分离，低信噪比时性能较差。一类鲁棒自适应波束形成方法利用了协方差矩阵重构技术，然而这种基于重构的方法在任意阵形误差情况下性能不佳。还有一类常见的鲁棒自适应波束形成方法，其求解依赖于凸优化数学工具，由于计算量非常大，目前在实际中难以应用。2003年开始出现的最差情况性能最优(Worst-Case Performance Optimization，简称WCPO)方法与鲁棒Capon波束形成(RCB)方法是两种典型的基于不确定集思想的方法，它们具有清晰的物理背景，可以显著增强自适应波束形成在导向向量失配条件下的鲁棒性。WCPO方法相比RCB方法进一步考虑了协方差矩阵误差的影响，可以提供更大的灵活性和鲁棒性，且WCPO方法的后续改进给出了最佳加权向量的解析解，计算量较小，具有较高的实用潜力。
WCPO方法有较好的目标角度分辨能力和干扰抑制能力，兼顾良好的性能、较强的鲁棒性和适中的计算复杂度，具备较高的应用潜力。但WCPO方法存在两个主要的缺点，其一是该方法的目标功率估计值存在系统性偏大现象，其二是该方法中分别定义导向向量和协方差矩阵的不确定集的两个参数需要人为指定，缺乏适当的估计方法，而一旦这两个参数取值不当会导致算法性能严重下降，甚至出现目标功率估计错误的情况。
以下简要介绍WCPO方法等相关背景技术的求解过程。
(1)WCPO方法
假设窄带阵列信号模型，阵元数为N，目标数为K，频域快拍数为M，第m个时刻的频域阵列接收数据表示为：
Figure BDA0003007718860000021
其中sk,m和ak分别为第k个目标的随机信号和(N×1)维的导向向量，ak的幅度满足||ak||2＝N；nm为(N×1)维的噪声向量。阵列信号协方差矩阵的理论表达式为：
Figure BDA0003007718860000022
式中I表示单位矩阵，
Figure BDA0003007718860000023
和
Figure BDA0003007718860000024
分别表示第k个目标和噪声的功率。
理论协方差矩阵在实际中是无法得到的，只能通过有限长度的阵列接收数据估计，称为样本协方差矩阵：
Figure BDA0003007718860000025
样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000026
与理论协方差矩阵R之间存在误差
Figure BDA0003007718860000027
由此可以定义协方差矩阵的不确定集：
Figure BDA0003007718860000028
其中||·||表示Frobenius范数；η为协方差矩阵误差范数上界，它决定了协方差矩阵的不确定集大小。对特定的接收阵列数据而言，样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000029
的误差范数
Figure BDA00030077188600000210
仅与快拍数有关。
任意角度θ处目标的真实导向向量a也不能直接获得，只能利用假定的信号到达角和阵形数据给出一个估计
Figure BDA00030077188600000211
它们之间存在误差
Figure BDA00030077188600000212
设导向向量误差范数上界为ε，那么导向向量不确定集由下式定义：
Figure BDA0003007718860000031
对特定阵列来说，误差范数
Figure BDA0003007718860000032
仅仅与阵形和误差类型有关。
最差情况性能最优准则(WCPO)，就是导向向量和协方差矩阵在各自的不确定集内变化，使期望目标功率最小且干扰加噪声功率最大，在这种最差情况下，通过最大化输出信干噪比求解最佳加权向量w：
Figure BDA0003007718860000033
可以证明，协方差矩阵和导向向量的取值在不确定集边界上时，才可以达到上述的最差情况，即干扰加噪声功率最大、目标功率最小，此时不等式约束最优化问题式(6)简化为如下等效的等式约束最优化问题：
Figure BDA0003007718860000034
其中导向向量误差δ满足如下关系：
Figure BDA0003007718860000035
使用Lagrange乘子法求解这个等式约束最优化问题，得到关于实变量
Figure BDA0003007718860000036
的方程：
Figure BDA0003007718860000037
式中λ是实值Lagrange乘子。利用矩阵
Figure BDA0003007718860000038
的特征分解：
Figure BDA0003007718860000039
其中Γ＝diag(ξ1,ξ2,…,ξN)是由依次递减的特征值构成的对角阵，U为对应特征向量组成的酋矩阵，那么方程(9)可以简化为如下便于求解的形式：
Figure BDA00030077188600000310
这里，gi是以下投影向量g的第i个元素：
Figure BDA0003007718860000041
f(τ)是关于τ的连续单调递减函数，并且当满足
Figure BDA0003007718860000042
时，方程式(11)在τ∈(0,+∞)区间内有解，因此可以通过二分法或牛顿迭代法得到τ的数值解τfin。
最终得到如下的最佳加权向量w的解析解表达式：
Figure BDA0003007718860000043
其中：
Figure BDA0003007718860000044
以及角度θ处的空间功率谱估计的表达式：
Figure BDA0003007718860000045
上述WCPO方法的求解过程是在假设导向向量和协方差矩阵的不确定集参数(误差范数上界ε和η)均已知的条件下进行的，但在实际系统中，ε与η均是未知的，通常使用人为指定值，但这种做法缺乏明确的物理意义，并且当参数指定值不合理时，算法的性能会严重下降。
(2)导向向量不确定集参数ε估计
在WCPO方法的相关文献中均没有给出两个不确定集参数ε与η的估计方法，我们使用其它文献的导向向量紧致不确定集估计方法给出ε的估计。下面仅以到达角误差这种简单情况为例，进行介绍。
设θ表示假定的目标信号到达角,
Figure BDA0003007718860000046
表示到达角允许偏差范围的最大值。目标信号的真实到达角所在的误差区间表示为：
Figure BDA0003007718860000047
由于真实到达角可能在上述区间的任意一点上出现，因此可以将误差区间划分为L点的误差网格，第l个网格点对应的角度为：
Figure BDA0003007718860000048
误差网格上的每一个点，都对应一个导向向量a(θl)，中心位置的θ角对应的假定导向向量为
Figure BDA0003007718860000051
于是θ处由紧致不确定集估计方法确定的误差范数上界
Figure BDA0003007718860000052
由下式得到：
Figure BDA0003007718860000053
如果考虑其它误差类型的不确定集，从理论上讲，式(18)也是同样适用的。例如考虑阵元位置误差情况，选取适当的阵元位置误差网格，上述的
Figure BDA0003007718860000054
和a(θl)分别变为假定阵元位置对应的导向向量和误差网格内第l组阵元位置所对应的导向向量。
需要注意的是，由式(18)估计的导向向量不确定集参数
Figure BDA0003007718860000055
仅仅与阵形和误差类型有关，不具有数据自适应能力，因此需要联合具备数据自适应能力的协方差矩阵不确定集一起使用。关于协方差矩阵误差范数估计的工作非常少，并且已有的一种适用于子空间类算法的估计方法，过于复杂，并且不单单需要分离信号-噪声子空间，还需要知道噪声的高阶累计量，因此在实际当中常见的快拍数不足和信噪比不高等场景下，很难用于协方差矩阵不确定集参数η的估计。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术缺陷，提出了一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法。
本发明针对WCPO方法的两个缺点进行改进，其一是目标功率估计系统性偏大，其二是导向向量和协方差矩阵的不确定集参数(误差范数上界ε和η)需要由人为指定。这两个缺点导致WCPO方法缺乏实用性。我们首先分析WCPO方法目标功率估计系统性偏大的原因，并提出解决此问题的改进方法；其次基于协方差矩阵重构的思想，提出了一种协方差矩阵误差范数上界的自适应估计方法，得到协方差矩阵不确定集参数η的估计。结合目标功率估计的改进和关键参数的自适应估计方法，本发明给出了一种基于可变不确定集约束的WCPO类鲁棒自适应波束形成方法，简记为WCPO-PCVC(WCPO with Power Correction&VariableConstraint of uncertainty set)方法。
为了实现上述目的，本发明提出了一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法，所述方法包括：
步骤1)计算接收阵列信号的样本协方差矩阵，进行特征值分解，并计算每个扫描角度对应的投影向量；
步骤2)由LSMI方法利用投影向量得到K个目标方位，再由CBF方法估计目标功率和噪声功率；
步骤3)由K个目标方位、目标功率以及噪声功率计算协方差矩阵误差范数上界估计；
步骤4)计算当前扫描角度的导向向量误差范数上界估计；
步骤5)求解参数协方差矩阵误差范数上界估计和导向向量误差范数上界估计的不确定集约束下的WCPO问题，得到最佳加权向量和空间功率谱的估计；
步骤6)根据最佳加权向量修正空间功率谱的估计；
步骤7)返回步骤4)，直至完成所有扫描角度的求解工作。
作为上述方法的一种改进，所述步骤1)具体为：
阵列信号模型的阵元数为N，目标数为K，频域快拍数为M，第m个时刻的频域阵列接收数据xm为：
Figure BDA0003007718860000061
其中，sk,m为第k个目标第m个时刻的随机信号，ak为第k个目标的(N×1)维导向向量，ak的幅度满足||ak||2＝N；||·||表示范数，nm为第m个时刻的(N×1)维噪声向量，1≤k≤K；
根据下式计算样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000062
为：
Figure BDA0003007718860000063
根据下式计算样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000064
的特征值分解：
Figure BDA0003007718860000065
其中，Γ＝diag(ξ1,ξ2,…,ξN)是由依次递减的特征值ξi构成的对角阵，U为对应特征向量组成的酋矩阵，H表示共轭转置；
将实变量τ的求解方程简化为如下形式：
Figure BDA0003007718860000071
其中，
Figure BDA0003007718860000072
w为最佳加权向量，λ为实值Lagrange乘子，ξi为第i个特征值，ε为导向向量误差范数上界，η为协方差矩阵误差范数上界；
由下式计算每个扫描角度θ对应的投影向量g：
Figure BDA0003007718860000073
其中，gi为投影向量g的第i个元素，
Figure BDA0003007718860000074
为扫描角度θ处的假定导向向量。
作为上述方法的一种改进，所述步骤3)具体为：
根据下式构造理论协方差矩阵Rc：
Figure BDA0003007718860000075
其中，
Figure BDA0003007718860000076
和
Figure BDA0003007718860000077
分别为由CBF方法估计的目标功率和噪声功率估计，
Figure BDA0003007718860000078
为由LSMI方法得到的第k个目标导向向量的估计，I为单位矩阵；
根据样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000079
和理论协方差矩阵Rc，由下式得到样本协方差矩阵误差范数的一个估计η0为：
Figure BDA00030077188600000710
设由LSMI方法估计得到的第k个目标的到达角为
Figure BDA00030077188600000711
Figure BDA00030077188600000712
表示
Figure BDA00030077188600000713
允许偏差范围的最大值。将每个目标的到达角误差区间划分为L点的一维误差网格，K个目标的误差网格共同构成了LK点的K维误差网格，第k个目标的第lk个网格点对应的角度
Figure BDA00030077188600000714
为：
Figure BDA00030077188600000715
设
Figure BDA00030077188600000716
对应的导向向量为
Figure BDA00030077188600000717
得到对应的重构理论协方差矩阵表达式：
Figure BDA0003007718860000081
搜索k个目标的所有角度网格点所对应的协方差矩阵Rc(l1,l2,…,lK)与原协方差矩阵Rc之间差值的最大范数，得到仅由目标导向向量误差引起的协方差矩阵误差范数的上界估计
Figure BDA0003007718860000082
为：
Figure BDA0003007718860000083
其中，
Figure BDA0003007718860000084
表示LK个网格点的Frobenius范数上界；
由下式得到仅与有限样本数有关的协方差矩阵误差范数上界估计
Figure BDA0003007718860000085
Figure BDA0003007718860000086
作为上述方法的一种改进，所述步骤4)具体为：
将扫描角度θ的误差区间划分为L点的一维误差网格，误差网格上的每一个点l(1≤l≤L)都对应一个导向向量a(θl)，中心位置的θ角对应的假定导向向量为
Figure BDA0003007718860000087
根据下式得到θ处由紧致不确定集估计方法确定的导向向量误差范数上界
Figure BDA0003007718860000088
为：
Figure BDA0003007718860000089
其中，
Figure BDA00030077188600000810
表示L个网格点的Frobenius范数上界。
作为上述方法的一种改进，所述步骤5)具体为：
求解参数协方差矩阵误差范数上界估计
Figure BDA00030077188600000811
和误差范数上界估计
Figure BDA00030077188600000812
的不确定集约束下的WCPO问题，根据下式得到最佳加权向量w为：
Figure BDA00030077188600000813
其中，τfin为利用二分法或牛顿迭代法求解得到的τ的数值解；
Figure BDA0003007718860000091
根据下式得到扫描角度θ处的空间功率谱估计Pθ：
Figure BDA0003007718860000092
作为上述方法的一种改进，所述步骤6)具体为：
由下式得到误差补偿后的导向向量估计，即修正导向向量
Figure BDA0003007718860000093
为：
Figure BDA0003007718860000094
其中，
Figure BDA0003007718860000095
为假定导向向量
Figure BDA0003007718860000096
令真实导向向量估计
Figure BDA0003007718860000097
满足范数约束
Figure BDA0003007718860000098
则有：
Figure BDA0003007718860000099
在波束形成时使用
Figure BDA00030077188600000910
代替
Figure BDA00030077188600000911
扫描角度θ处的目标信号功率估计修正为
Figure BDA00030077188600000912
从而完成扫描角度θ处的空间功率谱的估计：
Figure BDA00030077188600000913
与现有技术相比，本发明的优势在于：
1、本发明给出的一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法(WCPO-PCVC)，具有良好的目标角度分辨能力与干扰抑制能力，WCPO-PCVC方法通过功率修正解决了WCPO方法功率估计系统性偏大的问题，目标功率估计更为准确；通过可变不确定集约束，给出了一种协方差矩阵不确定集参数η的自适应估计方法；
2、结合导向向量不确定集参数ε的估计，WCPO-PCVC方法解决了WCPO方法需要人为指定参数和参数指定不当造成的性能下降问题，使得算法在各种误差/失配环境下保持良好性能，实用性显著增强；
3、本发明的算法计算复杂度与WCPO方法大致相当，计算复杂度适中，并且算法求解不依赖于凸优化数学工具，具有较高的工程实用价值。
附图说明
图1为本发明的基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法流程图；
图2(a)为WCPO-VC方法未包含功率修正的空间功率谱图；
图2(b)为本发明的WCPO-PCVC方法包含功率修正的空间功率谱图；
图3(a)为WCPO-PC方法指定η＝0.1的空间功率谱图；
图3(b)为WCPO-PC方法指定η＝2000的空间功率谱图；
图3(c)为本发明的WCPO-PCVC方法采用自适应估计的η值的空间功率谱图；
图4为对比CBF、LSMI和本发明的WCPO-PCVC方法的目标角度分辨能力的空间功率谱图，两个目标相距5度，功率均为20dB；
图5(a)为对比CBF、LSMI和本发明的WCPO-PCVC方法的抗干扰能力的空间功率谱图，目标功率10dB，两干扰功率均为30dB；
图5(b)为图5(a)的输出信干噪比随快拍数变化的对比图；
图6(a)为实验阵元位置分布图，阵元间距约为1.5米；
图6(b)为对比第1秒时CBF、LSMI和本发明的WCPO-PCVC方法输出的空间功率谱图；
图7(a)为CBF方法的空间功率谱时间历程图；
图7(b)为本发明的WCPO-PCVC方法的空间功率谱时间历程图。
具体实施方式
本发明以WCPO方法的上述两项缺点为出发点，从功率修正和参数估计两方面分别对WCPO方法进行改进。以下详细介绍本发明改进技术的求解过程。
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案进行详细的说明。
实施例1
如图1所示，本发明的实施例1提供了一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法。
(1)目标信号功率修正
观察最差情况性能最优准则下的优化函数(6)式，对于分子的目标功率估计
Figure BDA0003007718860000101
有：
Figure BDA0003007718860000111
其中σ2为真实的目标信号功率。结合式(7)和式(8)可得：
Figure BDA0003007718860000112
将上式代入式(19)，可以得到与最佳加权向量w有关的目标功率估计值
Figure BDA0003007718860000113
与真实值σ2之间的关系：
Figure BDA0003007718860000114
上式右边不等式取等的条件为
Figure BDA0003007718860000115
k∈Z，一般情况下WCPO方法输出的目标功率估计值大于真实值，此即WCPO方法系统性目标功率过估计的原因。
我们注意到，WCPO方法求解过程中给出的(8)式实际上是导向向量误差的一个估计，因此经过误差补偿后的导向向量估计
Figure BDA0003007718860000116
可以写为：
Figure BDA0003007718860000117
这里将
Figure BDA0003007718860000118
称为修正导向向量。令真实导向向量估计
Figure BDA0003007718860000119
满足范数约束
Figure BDA00030077188600001110
则有：
Figure BDA00030077188600001111
很容易验证，上式中的
Figure BDA00030077188600001112
满足
Figure BDA00030077188600001113
在波束形成时使用
Figure BDA00030077188600001114
代替
Figure BDA00030077188600001115
由式(15)估计的角度θ处目标信号功率被修正为：
Figure BDA00030077188600001116
在后面的模拟数据算例分析中将会看到，这个修正的目标信号功率估计可以有效避免前述的系统性目标功率过估计问题。
(2)协方差矩阵不确定集参数η的自适应估计方法
根据式(4)，要想估计协方差矩阵误差范数，必须知道理论协方差矩阵，然而这通常是不可能的。我们可以通过式(2)的形式重构理论协方差矩阵，进而得到协方差矩阵误差范数的估计。按照式(2)，如果已有目标功率、导向向量以及噪声功率的估计，很容易重构出一个近似的理论协方差矩阵Rc：
Figure BDA0003007718860000121
式中
Figure BDA0003007718860000122
分别表示第k个目标(共有K个目标)的功率和导向向量的估计，
Figure BDA0003007718860000123
为噪声功率估计。使用CBF和LSMI方法，很容易得到这些估计量：先用LSMI方法得到目标到达角和导向向量估计，再用CBF方法得到对应目标方向上的功率估计，以及噪声功率估计。
联合式(3)和式(25)，分别计算样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000124
和重构理论协方差矩阵Rc，并将Rc替代理论协方差矩阵R，就可以得到样本协方差矩阵误差范数的一个估计，设为η0：
Figure BDA0003007718860000125
如果将其用于确定协方差矩阵不确定集，也即||Δ||≤η0，那么η0也可被视为协方差矩阵误差范数上界的估计。然而，在同时考虑导向向量不确定集的背景下，导向向量的估计
Figure BDA0003007718860000126
通常是存在误差的，由于在理论上导向向量误差与协方差矩阵误差可以相互转化，因此接下来需要进一步分析导向向量估计误差对协方差矩阵误差范数上界估计的影响。基于这个分析最终获得了协方差矩阵误差范数上界的一种自适应估计方法。以下的分析适用于任意阵形和任意误差类型的导向向量误差，为了简单起见，仅以等间距阵列和到达角误差这种简单情况为例进行推导。
由于扫描角度存在间隔，目标的真实到达角度与LSMI方法估计的角度可能不相等。设第k个目标的真实到达角为θk，估计的目标到达角为
Figure BDA0003007718860000127
其中Δθk为估计偏差。在阵形已知的情况下，第k个目标的真实和估计的导向向量分别表示为ak＝a(θk)和
Figure BDA0003007718860000128
均为(N×1)维的列向量。对于半波长间距的均匀直线阵列，以及目标到达角(与阵列法向的夹角)θk和θk+Δθk，估计导向向量的第n项为：
Figure BDA0003007718860000129
由于Δθk是小量，利用正弦函数在θk附近的泰勒展开式的一阶近似，代入式(25)可得：
Figure BDA00030077188600001210
式中⊙表示Hadamard乘积，而Bk是与第k个目标的导向向量误差有关的(N×N)维矩阵，其第m行n列的元素表示为Bk(m,n)＝jπ(m-n)cosθkΔθk。
将(1)式代入(3)式，得到有限快拍的样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000131
的表达式：
Figure BDA0003007718860000132
联合式(28)与式(29)可得：
Figure BDA0003007718860000133
以上代入式(26)，并且在高信噪比条件下忽略相对小量的前四项，则有：
Figure BDA0003007718860000134
根据矩阵范数的三角不等式关系，由上式可得：
Figure BDA0003007718860000135
观察不等式(32)右边的两项，第一项仅仅受到快拍数的影响，与K个目标的导向向量误差无关，符合式(4)的协方差矩阵不确定集定义，因此它可被视为协方差矩阵误差范数上界η的估计。令第二项表示为ηa，其值与快拍数的关系(通过
Figure BDA0003007718860000136
)可以忽略不计，仅受到K个目标的导向向量误差的影响。理论上，导向向量误差和协方差矩阵误差可以相互转化，不等式右边第二项反映的正是导向向量误差转化为协方差矩阵误差的一种具体形式。因此η0中不但包含了真实的协方差矩阵误差范数η，还包括了仅与目标导向向量误差有关的范数ηa，为了得到尽可能小的紧致协方差矩阵不确定集的估计，需要从样本协方差矩阵误差范数中去除ηa的影响。
拓展前面介绍的导向向量不确定集参数ε的估计方法，从假定导向向量误差构造协方差矩阵误差，可以得到ηa的估计值。设由LSMI方法估计得到的第k个目标的到达角为
Figure BDA0003007718860000141
Figure BDA0003007718860000142
表示该到达角允许偏差范围的最大值。将每个目标的到达角误差区间划分为L点的一维网格，K个目标的误差网格共同构成了LK点的K维误差网格。第k个目标的第lk个网格点对应的角度为：
Figure BDA0003007718860000143
设角度
Figure BDA0003007718860000144
所对应的导向向量为
Figure BDA0003007718860000145
代入式(25)得到对应的重构理论协方差矩阵表达式：
Figure BDA0003007718860000146
搜索k个目标的所有角度网格点所对应的协方差矩阵Rc(l1,l2,…,lK)与原协方差矩阵Rc之间差值的最大范数，即可得到仅由目标导向向量误差引起的协方差矩阵误差范数的上界估计，设为
Figure BDA0003007718860000147
Figure BDA0003007718860000148
一般来说，一个目标对式(35)的贡献在误差角度网格的边界点上最大，因此如果为了减少计算量，取L＝2即可，当目标数K不太大时，式(35)的全局搜索耗时远小于算法总耗时。
协方差矩阵误差范数上界η的取值策略需要考虑两种情况。第一种情况
Figure BDA0003007718860000149
此时
Figure BDA00030077188600001410
的作用已经通过参数为
Figure BDA00030077188600001411
(式(18))的导向向量不确定集得以体现，因为为了得到仅与有限样本数有关的协方差矩阵误差范数上界估计
Figure BDA00030077188600001412
需要从样本协方差矩阵误差范数η0中减去
Figure BDA00030077188600001413
即有
Figure BDA00030077188600001414
第二种情况
Figure BDA00030077188600001415
此时参数为
Figure BDA00030077188600001416
的导向向量不确定集所提供的鲁棒性已经足够，导向向量误差范数上界起主要作用，协方差矩阵误差范数上界的影响可以忽略，理论上可以取
Figure BDA00030077188600001417
这里为了保持算法的一致性，将
Figure BDA00030077188600001418
设定为一个小量，取为
Figure BDA00030077188600001419
综合以上的讨论，协方差矩阵误差范数上界的紧致估计
Figure BDA00030077188600001420
由下式得到：
Figure BDA0003007718860000151
以上自适应估计方法的推导过程中，为了简单起见，只考虑了均匀直线阵的阵形，并且与前面介绍的导向向量不确定集参数ε的估计方法一样，仅仅考虑了到达角误差这种最简单的导向向量误差情况，但实际上这里所讨论的自适应估计方法适用于任何的阵形和误差类型。例如，如果考虑任意的阵元位置误差情况，选取适当的阵元位置误差网格，就可以得到导向向量的泰勒展开一阶近似表达式，后续的推导依然成立。
以下通过4个模拟算例和1个海试数据处理，进一步说明本发明的优势。
(1)模拟数据算例分析
通过4个模拟实验，分别验证功率修正后的基于可变不确定集约束的鲁棒波束形成(WCPO-PCVC)方法的性能。实验1考察功率修正的效果，实验2对比协方差矩阵误差范数上界分别使用自适应估计与人为指定时WCPO-PCVC方法性能，实验3、4分别对比WCPO-PCVC、CBF和LSMI方法在目标角度分辨能力和抗干扰能力方面的性能。在以下所有例子中，设定不变的参数包括：0dB高斯白噪声，半波长间距的均匀直线阵列，整度数的扫描角度。除实验2以外，所有模拟均采用100次蒙特卡洛试验平均结果。在所有4个模拟实验中，除了特别说明的部分，WCPO-PCVC方法均使用相同的算法流程进行求解(参见后面“实施方式”中的算法步骤)。LSMI方法中的对角加载量均取值为1，相当于0dB的噪声功率。
实验1：考察功率修正对WCPO-PCVC方法的影响。这里为了便于区分，将未包含功率修正的WCPO-PCVC方法简记为WCPO-VC。阵元数为30，快拍数为50。期望信号位于0.5°，信噪比为15dB；两个干扰信号分别位于-30.5°、40.5°，信噪比均为20dB。分别利用WCPO-VC、CBF和LSMI方法进行波束形成得到空间功率谱。三种方法的输出空间功率谱图如图2(a)所示，其中点划线、点线和实线分别表示CBF、LSMI和WCPO-VC方法的结果(以下相同)。由图2(a)可以看到，WCPO-VC方法输出的期望信号与干扰信号功率值都比真实值偏高。对WCPO-VC方法加入功率修正解决过估计问题，得到的WCPO-PCVC方法的空间功率谱如图2(b)红色实线所示，可以看出，包含功率修正的WCPO-PCVC方法的功率估计更为准确。从图2(a)和(b)也可以看出，CBF方法输出的空间功率谱中，目标功率估计较为精确，但旁瓣很高；而LSMI方法输出的空间功率谱，其旁瓣控制得很好，但由于导向向量失配，目标功率估计严重失真。这也验证了前面所讨论的，分别使用CBF方法估计的目标功率和LSMI方法估计的目标方向(进而得到目标导向向量估计)来重构理论协方差矩阵的合理性。
实验2：考察协方差矩阵误差范数上界η的取值对算法性能的影响。这里为了便于区分，将人为指定η参数的WCPO-PCVC方法简记为WCPO-PC。除了快拍数改为20，其它配置信息与实验1的一样。分别考虑三种情况，前两种情况人为指定η值，最后一种情况使用自适应估计值。实验采用单次结果。第一种情况人为指定偏小的η值，取η＝0.1，由WCPO-PC、CBF和LSMI三种方法得到的空间功率谱如图3(a)所示。可以看出，WCPO-PC方法在其中两个目标处输出了异常高功率值，目标功率估计失真。第二种情况人为指定偏大的η值，取η＝2000，WCPO-PC、CBF和LSMI三种方法输出的空间功率谱如图3(b)所示。可以看出，WCPO-PC方法的主瓣变宽、旁瓣变高；如果继续增大η，则WCPO-PC方法的空间功率谱随着η的增大而逐渐趋近于CBF方法的。第三种情况采用式(36)给出的自适应估计方法所得到的η值，即为完整的WCPO-PCVC方法，三种波束形成方法输出的空间功率谱如图3(c)所示。可以看出，结合协方差矩阵误差范数上界自适应估计的WCPO-PCVC方法，其功率估计准确、旁瓣级大小控制合理。与实验1相似，CBF方法的空间功率谱旁瓣很高，而LSMI方法的空间功率谱在幅度上是失真的。
实验3：考察WCPO-PCVC方法的目标角度分辨能力。阵元数为20，快拍数为20，两个目标的方向分别为0.5°、5.5°，信噪比均为20dB。分别利用WCPO-PCVC、CBF和LSMI方法进行波束形成输出的空间功率谱如图4所示，由图可知，WCPO-PCVC方法对角度相差较小的两目标具有较强的分辨能力，且功率估计准确。CBF方法由于主瓣较宽，空间分辨能力较差，导致无法区分两个挨得很近的目标；LSMI方法的目标角度分辨清晰，但是估计功率的大小失真。
实验4：考察WCPO-PCVC方法的抗干扰能力。阵元数为20，快拍数为50，期望信号方向为0.5°，信噪比为10dB，两个干扰信号方向分别为-40.5°、20.5°，信噪比均为30dB。分别利用WCPO-PCVC、CBF和LSMI方法进行波束形成得到的空间功率谱如图5(a)所示。可以看出，在存在高功率干扰信号的情况下,WCPO-PCVC方法对期望信号的功率估计准确，且旁瓣级较低，易于分辨目标。CBF方法的期望信号被高功率干扰信号的旁瓣湮没，已经无法分辨期望信号。由于导向向量失配，LSMI方法输出的各目标信号功率严重失真。利用WCPO-PCVC、CBF和LSMI方法得到的期望信号输出信干噪比随快拍数的变化如图5(b)所示，其中点线为理论最佳输出信干噪比，点划线、虚线和实线分别是CBF、LSMI和WCPO-PCVC方法的期望信号输出信干噪比。由图可以看出，WCPO-PCVC方法可以有效抑制高功率干扰信号，其输出信干噪比远高于CBF和LSMI方法。
(2)海试数据处理分析
2005年6月在黄海海域进行了一次海底水平阵声学测量实验，试验区域水深约30m，水文条件为负跃层，接收阵列处声速约为1493m/s。有效阵元数为43个，阵元间距约为1.5m，阵列的位置分布如图6(a)所示。实验的采样频率为4000Hz，阵列扫描360度角、扫描间隔为1度角。
取数据处理周期为1秒，1秒时长的时域阵列数据做加窗FFT得到一个频域快拍，选取连续20个快拍的500Hz频谱数据构成单次处理的阵列数据，利用CBF、LSMI和WCPO-PCVC方法进行波束形成处理，其中LSMI方法的对角加载量固定选取为-87dB。第1秒时三种方法输出的波束形成结果如图6(b)所示，其中点划线、虚线和实线分别为CBF、LSMI和WCPO-PCVC方法的空间功率谱。由图可以看出，对于125度附近的合作目标，WCPO-PCVC方法给出了较为准确的功率估计，而LSMI方法的功率估计偏差较大；相比于CBF方法，WCPO-PCVC方法的旁瓣级更低，对干扰噪声的抑制效果较好，从空间功率谱中更容易分辨目标信号。
图7(a)和(b)给出了时长接近1200秒的连续波束形成处理结果，分别是CBF和WCPO-PCVC方法输出的空间功率谱的时间历程图。对比两图可以看到，相比于非自适应的CBF方法，WCPO-PCVC方法的合作目标功率估计较为准确，同时对高功率干扰和海洋环境中的随机扰动有良好的抑制能力，背景更加干净，使得低功率目标信号的轨迹更加清晰易辨且功率估计更加准确。
综合以上，以最差情况性能最优(WCPO)方法为基础,本发明给出了一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法(WCPO-PCVC)，能够有效解决WCPO方法存在的目标功率系统性过估计和关键参数需要人为指定的问题。通过引入真实导向向量估计的范数约束，WCPO-PCVC方法解决了目标功率的系统性过估计问题；利用基于矩阵重构的协方差矩阵误差范数上界的自适应估计方法和策略，WCPO-PCVC方法实现了关键参数的数据自适应估计，有效避免了由于关键参数的不恰当人为指定而导致的性能严重下降。以上模拟实验和海试数据的处理结果均表明，在数据快拍有限和导向向量误差的条件下，WCPO-PCVC方法相比CBF方法具有更好的目标角度分辨能力、干扰抑制能力和旁瓣控制能力，相比LSMI方法具有更准确的目标功率估计和干扰抑制能力。
本发明算法实施的步骤如下：
第1步：根据式(3)计算样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000181
按照式(10)计算样本协方差矩阵
Figure BDA0003007718860000182
的特征值分解，再由式(12)计算每个扫描角度对应的投影向量g。
第2步：利用投影向量g，由LSMI方法得到K个目标方位
Figure BDA0003007718860000183
再由CBF方法估计目标功率
Figure BDA0003007718860000184
以及噪声功率
Figure BDA0003007718860000185
第3步：估计协方差矩阵误差范数上界
Figure BDA0003007718860000186
利用式(25)构造理论协方差矩阵Rc；根据式(26)估计样本协方差矩阵误差范数η0；再由式(35)得到与导向向量误差有关的协方差矩阵误差范数上界估计
Figure BDA0003007718860000187
最后根据式(36)策略获得协方差矩阵误差范数上界估计
Figure BDA0003007718860000188
第4步：利用式(18)给出当前扫描角度θ的导向向量误差范数上界估计
Figure BDA0003007718860000189
第5步：使用式(11)求解参数
Figure BDA00030077188600001810
和
Figure BDA00030077188600001811
的不确定集约束下的WCPO问题，利用式(13)和(15)分别得到最佳加权向量w和空间功率谱Pθ的估计。
第6步：利用式(22)和(24)给出修正空间功率谱
Figure BDA00030077188600001812
的估计。
第7步：返回第4步，直至完成所有扫描角度的求解工作。
最后所应说明的是，以上实施例仅用于说明本发明的技术方案而非限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (3)

1.一种基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法，所述方法包括：
步骤1)计算接收阵列信号的样本协方差矩阵，进行特征值分解，并计算每个扫描角度对应的投影向量；
步骤2)由LSMI方法利用投影向量得到K个目标方位，再由CBF方法估计目标功率和噪声功率；
步骤3)由K个目标方位、目标功率以及噪声功率计算协方差矩阵误差范数上界估计；
步骤4)计算当前扫描角度的导向向量误差范数上界估计；
步骤5)求解参数协方差矩阵误差范数上界估计和导向向量误差范数上界估计的不确定集约束下的WCPO问题，得到最佳加权向量和空间功率谱的估计；
步骤6)根据最佳加权向量修正空间功率谱的估计；
步骤7)返回步骤4)，直至完成所有扫描角度的求解工作；
所述步骤3)具体为：
根据下式构造理论协方差矩阵Rc：
Figure FDA0003346717250000011
其中，阵列信号模型的阵元数为N，目标数为K，
Figure FDA0003346717250000012
和
Figure FDA0003346717250000013
分别为由CBF方法估计的目标功率和噪声功率估计，
Figure FDA0003346717250000014
为由LSMI方法得到的第k个目标导向向量的估计，1≤k≤K，I为单位矩阵，H表示共轭转置；
根据样本协方差矩阵
Figure FDA0003346717250000015
和理论协方差矩阵Rc，||·||表示范数，由下式得到样本协方差矩阵误差范数的一个估计η0为：
Figure FDA0003346717250000016
设由LSMI方法估计得到的第k个目标的到达角为
Figure FDA0003346717250000017
表示
Figure FDA0003346717250000018
允许偏差范围的最大值，将每个目标的到达角误差区间划分为L点的一维误差网格，K个目标的误差网格共同构成了LK点的K维误差网格，第k个目标的第lk个网格点对应的角度
Figure FDA0003346717250000019
为：
Figure FDA0003346717250000021
设
Figure FDA0003346717250000022
对应的导向向量为
Figure FDA0003346717250000023
得到对应的重构理论协方差矩阵表达式：
Figure FDA0003346717250000024
搜索k个目标的所有角度网格点所对应的协方差矩阵Rc(l1,l2,…,lK)与原协方差矩阵Rc之间差值的最大范数，得到仅由目标导向向量误差引起的协方差矩阵误差范数的上界估计
Figure FDA0003346717250000025
为：
Figure FDA0003346717250000026
其中，
Figure FDA0003346717250000027
表示LK个网格点的Frobenius范数上界；
由下式得到仅与有限样本数有关的协方差矩阵误差范数上界估计
Figure FDA0003346717250000028
Figure FDA0003346717250000029
所述步骤4)具体为：
将扫描角度θ的误差区间划分为L点的一维误差网格，误差网格上的每一个点l(1≤l≤L)都对应一个导向向量a(θl)，中心位置的θ角对应的假定导向向量为
Figure FDA00033467172500000210
根据下式得到θ处由紧致不确定集估计方法确定的导向向量误差范数上界
Figure FDA00033467172500000211
为：
Figure FDA00033467172500000212
其中，
Figure FDA00033467172500000213
表示L个网格点的Frobenius范数上界；
所述步骤5)具体为：
求解参数协方差矩阵误差范数上界估计
Figure FDA00033467172500000214
和误差范数上界估计
Figure FDA00033467172500000215
的不确定集约束下的WCPO问题，将实变量τ的求解方程简化为如下形式：
Figure FDA0003346717250000031
其中，
Figure FDA0003346717250000032
λ为实值Lagrange乘子，ξi为第i个特征值，gi为投影向量g的第i个元素，ε为导向向量误差范数上界，
根据下式得到最佳加权向量w为：
Figure FDA0003346717250000033
其中，U为样本协方差矩阵特征向量组成的酋矩阵，g为每个扫描角度θ对应的投影向量，τfin为利用二分法或牛顿迭代法求解得到的τ的数值解；
Figure FDA0003346717250000034
根据下式得到扫描角度θ处的空间功率谱估计Pθ：
Figure FDA0003346717250000035
2.根据权利要求1的基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法，其特征在于，所述步骤1)具体为：
阵列信号模型的阵元数为N，目标数为K，频域快拍数为M，第m个时刻的频域阵列接收数据xm为：
Figure FDA0003346717250000036
其中，sk,m为第k个目标第m个时刻的随机信号，ak为第k个目标的(N×1)维导向向量，ak的幅度满足||ak||2＝N；||·||表示范数，nm为第m个时刻的(N×1)维噪声向量，1≤k≤K；
根据下式计算样本协方差矩阵
Figure FDA0003346717250000041
为：
Figure FDA0003346717250000042
根据下式计算样本协方差矩阵
Figure FDA0003346717250000043
的特征值分解：
Figure FDA0003346717250000044
其中，Γ＝diag(ξ1,ξ2,…,ξN)是由依次递减的特征值ξi构成的对角阵，U为对应特征向量组成的酋矩阵，H表示共轭转置；
由下式计算每个扫描角度θ对应的投影向量g：
Figure FDA0003346717250000045
其中，gi为投影向量g的第i个元素，
Figure FDA0003346717250000046
为扫描角度θ处的假定导向向量。
3.根据权利要求2的基于可变不确定集约束的鲁棒自适应波束形成方法，其特征在于，所述步骤6)具体为：
由下式得到误差补偿后的导向向量估计，即修正导向向量
Figure FDA0003346717250000047
为：
Figure FDA0003346717250000048
其中，
Figure FDA0003346717250000049
为假定导向向量
Figure FDA00033467172500000410
令真实导向向量估计
Figure FDA00033467172500000411
满足范数约束
Figure FDA00033467172500000412
则有：
Figure FDA00033467172500000413
在波束形成时使用
Figure FDA00033467172500000414
代替
Figure FDA00033467172500000415
扫描角度θ处的目标信号功率估计修正为
Figure FDA00033467172500000416
从而完成扫描角度θ处的空间功率谱的估计：
Figure FDA00033467172500000417
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