CN112363110A - 一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特doa估计方法 - Google Patents

一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特doa估计方法 Download PDF

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CN112363110A CN202011377660.3A CN202011377660A CN112363110A CN 112363110 A CN112363110 A CN 112363110A CN 202011377660 A CN202011377660 A CN 202011377660A CN 112363110 A CN112363110 A CN 112363110A
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Abstract

本发明提供一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，包括下列步骤：构建嵌套交叉偶极子阵列模型，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵；把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵；引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式；利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式；对拉格朗日增广函数表达式进行迭代求解，获得测量值矩阵的去噪估计值；对所述测量值矩阵的去噪估计值进行求解，获得最终DOA估计。

Description

一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法
技术领域
本发明涉及阵列信号测向技术领域，尤其涉及一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法。
背景技术
DOA估计在通信、雷达、航空等方面都有着极其重要的作用。由于电磁矢量信号携带完备的电场和磁场信息，对电磁信号进行DOA估计的算法在近年备受关注。例如多重信号分类(multiplesignalclassification,MUSIC)算法，旋转不变技术(estimation ofsignal parameters via rotational invariancetechniques,ESPRIT)，最大似然(maximum likelihood,ML)算法都被扩展用于估计电磁信号的DOA。
DOA估计的性能与阵列结构密切相关。在均匀线性阵列(uniform linear array,ULA)中，N个信源最多只能估计N-1个信源。当估计多个信源时，就需要一个大规模的均匀线性阵列，模数转换器(analog-to-digital converters,ADC)的功耗将呈指数级增长。阵对该问题，有学者提出嵌套阵列(nested array)，用N个信源最多能估计O(N2)个信源，并使用嵌套交叉偶极子阵列估计电磁信号的DOA。然而，对于大规模嵌套阵列，模数转换器的功耗仍然很大，硬件成本也很高。单比特量化可以很大程度地降低硬件成本和功耗。但是由于加性噪声的存在，单比特量化会引起符号不一致问题。另外，空间平滑MUSIC(spatialsmoothing MUSIC,SS-MUSIC)等算法将连续参数空间划分为有限个网格，并假设信号参数刚好处于网格点上，而信号参数往往不会正好落在网格点上，由此产生基不匹配误差。原子范数最小化可以在一定程度上解决符号不一致问题并避免基不匹配误差，实现无网格的DOA估计。原子范数最小化问题可以利用半定规划(semidefinite programming,SDP)求解，但是半定规划问题是一个非光滑的凸优化问题，存在收敛速度慢等问题。与半定规划相比，交替方向乘子迭代方法(alternating direction multiplier method,ADMM)降低了求解复杂度，加快了收敛速度。但该方法只适用于单快拍，与单快拍相比，多快拍时重构未知信号的成功率更高，而且该算法只适用于传统信号。目前大部分无网格方法还没有扩展到电磁信号的单比特DOA估计中，所以研究嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法具有重要意义。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，引入原子范数最小化避免基不匹配误差实现无网格DOA估计，并针对单比特量化的性质确定优化目标的函数形式，从而解决了符号不一致误差，同时将单比特ADMM采样到多快拍，提高了估计精度。
本发明是通过以下技术方案实现的：一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，包括下列步骤：
构建嵌套交叉偶极子阵列模型，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵；
把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵；
引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式；
利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式；
对拉格朗日增广函数表达式进行迭代求解，获得测量值矩阵的去噪估计值；
对所述测量值矩阵的去噪估计值进行求解，获得最终DOA估计。
优选的，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵，包括：
将嵌套交叉偶极子阵列接收到的数据分别表示为
Figure BDA0002808576140000031
和
Figure BDA0002808576140000032
则有：
Figure BDA0002808576140000033
其中，Bk,l是第k个交叉偶极子的响应，sk,l(t)表示第k个信源，
Figure BDA0002808576140000034
是k个信源的导向矢量，
Figure BDA0002808576140000035
是平行于l轴的偶极子阵列的独立复加性高斯白噪声矢量，
Figure BDA0002808576140000036
表示归一化DOA；
将
Figure BDA0002808576140000037
和
Figure BDA0002808576140000038
采样到多快拍，表示为
Figure BDA0002808576140000039
和
Figure BDA00028085761400000310
单比特量化
Figure BDA00028085761400000311
和
Figure BDA00028085761400000312
分别得到
Figure BDA00028085761400000313
和
Figure BDA00028085761400000314
Figure BDA00028085761400000315
式中，
Figure BDA00028085761400000316
和
Figure BDA00028085761400000317
分别表示向量或矩阵的实部和虚部，sign{·}为符号函数；将
Figure BDA00028085761400000318
的协方差矩阵估计值表示为
Figure BDA00028085761400000319
将
Figure BDA00028085761400000320
的协方差矩阵估计值表示为
Figure BDA00028085761400000321
则有：
Figure BDA00028085761400000322
其中，N为采样快拍数，(·)H表示向量或矩阵的共轭转置运算。
优选的，把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵，包括：
把协方差矩阵
Figure BDA00028085761400000323
和
Figure BDA00028085761400000324
矢量化并采样得到对应于差分共阵的向量
Figure BDA00028085761400000325
和
Figure BDA00028085761400000326
Figure BDA00028085761400000327
式中，J是一个二进制矩阵，维度为
Figure BDA0002808576140000041
Figure BDA0002808576140000042
和
Figure BDA0002808576140000043
分别表示集合
Figure BDA0002808576140000044
和集合
Figure BDA0002808576140000045
的长度大小；
Figure BDA0002808576140000046
表示摩尔-彭若斯广义逆；
Figure BDA0002808576140000047
表示对应于
Figure BDA0002808576140000048
的差分共阵；
将
Figure BDA0002808576140000049
和
Figure BDA00028085761400000410
构造成一个快拍L＝2的测量值矩阵Y：
Figure BDA00028085761400000411
优选的，引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式，包括：
定义X为Y的去噪形式，然后用一个原子表示X：
Figure BDA00028085761400000412
式中，f为归一化频率，f∈[0,1)，b是一个维度为L×1的向量，||b||2＝1，||·||2表示l2范数，
Figure BDA00028085761400000413
中的元素都是凸包
Figure BDA00028085761400000414
的极值点，且
Figure BDA00028085761400000415
是一个原子集合；
定义X的原子范数
Figure BDA00028085761400000416
Figure BDA00028085761400000417
其中inf为函数的最大下界；
针对单比特量化的性质，优化目标的函数形式表示为：
Figure BDA00028085761400000418
Figure BDA00028085761400000419
其中s.t.是subject to的缩写，表示目标函数的约束条件，(·)R表示向量或矩阵的实部，(·)S向量或矩阵的虚部，(·)T表示向量或矩阵的转置，Tr(·)表示向量或矩阵的迹，τ是正则项，I2是维度为2×2的单位矩阵。
优选的，利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式，包括：
由优化目标的函数形式得到ADMM的表达式：
Figure BDA0002808576140000051
Figure BDA0002808576140000052
Z≥0
Figure BDA0002808576140000053
Tr(G)≥0
其中Z和W是埃尔米特矩阵，T(u)是第一列元素为u的托普利兹矩阵，Tr(G)是一个对偶变量。
由上式得到拉格朗日增广函数的表达式：
Figure BDA0002808576140000054
其中L(·)表示拉格朗日函数，Λ是埃尔米特矩阵，γ表示一个对偶变量，||·||F表示F范数，ρ是惩罚参数。
优选的，对拉格朗日增广函数的表达式进行迭代求解，包括：
分别设定Z与Λ的矩阵形式：
Figure BDA0002808576140000061
Figure BDA0002808576140000062
对参数
Figure BDA0002808576140000063
反复迭代更新，直到算法收敛。
Figure BDA0002808576140000064
Figure BDA0002808576140000065
Figure BDA0002808576140000066
Figure BDA0002808576140000067
通过求导得到
Figure BDA0002808576140000068
随着迭代次数t更新的闭式表达式：
Figure BDA0002808576140000069
Figure BDA00028085761400000610
Figure BDA00028085761400000611
Figure BDA00028085761400000612
其中conj(·)表示向量或矩阵中每个元素上的共轭运算；
Figure BDA00028085761400000613
是矩阵到向量的映射，其中a的元素是
Figure BDA0002808576140000071
的所有元素的和，且
Figure BDA0002808576140000072
e1是第一个元素为1，其余元素为0的向量；Ψ是对角矩阵；
当
Figure BDA0002808576140000073
收敛时，可获得测量值矩阵的去噪估计值
Figure BDA0002808576140000074
Figure BDA0002808576140000075
优选的，采用SSRM法对去噪估计值
Figure BDA0002808576140000076
进行求解，获得最终DOA估计。
优选的，采用对偶多项式法对去噪估计值
Figure BDA0002808576140000077
进行求解，获得最终DOA估计。
与现有技术相比，本发明达到的有益效果如下：
本发明提供的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，考虑了基不匹配误差和单比特量化引起的符号不一致误差，引入原子范数最小化避免基不匹配误差实现无网格DOA估计，并针对单比特量化的性质确定优化目标的函数形式，从而解决了符号不一致误差；
本发明用ADMM求解原子范数最小化问题，并考虑了嵌套交叉偶极子阵列的结构特性，将单比特ADMM采样到多快拍，提高了估计精度；
本发明适用于电磁信号的DOA估计，包括完全极化信号和部分极化信号。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的优选实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明提供的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法的实施流程图；
图2是本发明使用的嵌套交叉偶极子阵列的信号模型图；
图3是单比特ADMM-SS-MUSIC算法的DOA估计结果的谱峰图；
图4是单比特SS-MUSIC算法的DOA估计结果的谱峰图；
图5不同算法的DOA估计结果的均方根误差随信噪比变化的对比图；
图6是不同算法的DOA估计结果的均方根误差随快拍数变化的对比图。
具体实施方式
为了更好理解本发明技术内容，下面提供具体实施例，并结合附图对本发明做进一步的说明。
参见图1至图2，一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，包括下列步骤：
步骤101：构建嵌套交叉偶极子阵列模型，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵；
其具体过程包括：
步骤1011：嵌套交叉偶极子阵列由两组阵元数分别为M1和M2的均匀线性交叉偶极子阵列组成，所以阵列的总阵元数为M＝M1+M2，实际物理阵元的位置为{d1d,d2d,…,dMd}，该阵列利用实际物理阵元之间的位置关系最多可以估计O((M1+M1)2)个阵元，
Figure BDA0002808576140000081
Figure BDA0002808576140000082
表示一个集合，d表示单位间距，它的大小等于半波长。而且交叉偶极子阵列由两个分别平行于x轴和y轴的偶极子阵列组成。所以嵌套交叉偶极子阵列接收到的数据分别表示为
Figure BDA0002808576140000083
和
Figure BDA0002808576140000084
Figure BDA0002808576140000085
其中θk∈[-π/2,π/2]和
Figure BDA0002808576140000086
分别表示DOA和归一化DOA；
Figure BDA0002808576140000087
是平行于l轴的偶极子阵列的响应；Bk,x＝-1和
Figure BDA0002808576140000088
是第k个交叉偶极子的响应；
Figure BDA0002808576140000089
是k个信源的导向矢量，且
Figure BDA00028085761400000810
它是第k个信源中第m个阵元的空间响应；
Figure BDA00028085761400000811
是平行于l轴的偶极子阵列的独立复加性高斯白噪声矢量，且
Figure BDA0002808576140000091
其中σl 2表示噪声功率，IM表示维度为M×M的单位矩阵；sk,l(t)表示第k个信源，sl＝[s1,l(t),...,sK,l(t)]T是平行于l轴的偶极子阵列的彼此互不相关的信号矢量，并且：
Figure BDA0002808576140000092
Figure BDA0002808576140000093
其中ηk表示第k个信源的极化度，完全极化波的极化度为ηk＝1，完全未极化波的极化度为ηk＝0，部分极化波的极化度为ηk∈(0,1)；
Figure BDA0002808576140000094
和ψk∈(-π,π]分别表示第k个信源的极化角和极化相差；β1(t)和β2(t)都表示零均值高斯随机过程。
令
Figure BDA0002808576140000095
计算sk(t)的协方差矩阵：
Figure BDA0002808576140000096
其中
Figure BDA0002808576140000097
和
Figure BDA0002808576140000098
分别表示第k个完全极化波和第k个完全未极化波的信源功率，I2表示维度为2×2的单位矩阵；
并且：
Figure BDA0002808576140000099
w(βk)＝[cos(βk) jsin(βk)]T
其中αk∈(-π/2,π/2)是椭圆率角，βk∈(-π/4,π/4)是倾角；
步骤1012：将
Figure BDA00028085761400000910
和
Figure BDA00028085761400000911
采样到多快拍，表示为
Figure BDA00028085761400000912
和
Figure BDA00028085761400000913
步骤1013：单比特量化
Figure BDA00028085761400000914
和
Figure BDA00028085761400000915
分别得到
Figure BDA00028085761400000916
和
Figure BDA00028085761400000917
Figure BDA00028085761400000918
其中
Figure BDA0002808576140000101
和
Figure BDA0002808576140000102
分别表示向量或矩阵的实部和虚部，sign(·)定义为：
Figure BDA0002808576140000103
步骤1014：将
Figure BDA0002808576140000104
的协方差矩阵估计值表示为
Figure BDA0002808576140000105
将
Figure BDA0002808576140000106
的协方差矩阵估计值表示为
Figure BDA0002808576140000107
则有
Figure BDA0002808576140000108
其中N为采样快拍数，(·)H表示向量或矩阵的共轭转置计算。
步骤102：把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵，其具体包括：
步骤1021：把协方差矩阵
Figure BDA0002808576140000109
和
Figure BDA00028085761400001010
矢量化并采样得到对应于差分共阵的向量
Figure BDA00028085761400001011
和
Figure BDA00028085761400001012
Figure BDA00028085761400001013
式中，J是一个二进制矩阵，维度为
Figure BDA00028085761400001014
Figure BDA00028085761400001015
和
Figure BDA00028085761400001016
分别表示集合
Figure BDA00028085761400001017
和集合
Figure BDA00028085761400001018
的长度大小；
Figure BDA00028085761400001019
表示摩尔-彭若斯广义逆；
Figure BDA00028085761400001020
表示对应于
Figure BDA00028085761400001021
的差分共阵，
Figure BDA00028085761400001022
表示对应于
Figure BDA00028085761400001023
的差分共阵，且
Figure BDA00028085761400001024
即
Figure BDA00028085761400001025
步骤1022：将
Figure BDA00028085761400001026
和
Figure BDA00028085761400001027
构造成一个快拍L＝2的测量值矩阵Y：
Figure BDA00028085761400001028
步骤103：引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式，包括：
步骤1031：定义X为Y的去噪形式，然后用一个原子表示X：
Figure BDA00028085761400001029
式中，f为归一化频率，f∈[0,1)，b是一个维度为L×1的向量，||b||2＝1，||·||2表示l2范数，
Figure BDA0002808576140000111
中的元素都是凸包
Figure BDA0002808576140000112
的极值点，且
Figure BDA0002808576140000113
是一个原子集合，定义为：
Figure BDA0002808576140000114
Figure BDA0002808576140000115
被认为是一个用来描述连续变化参数的无限字典，且
Figure BDA0002808576140000116
的原子是X的基本单元
定义X的原子范数
Figure BDA0002808576140000117
Figure BDA0002808576140000118
式中，其中inf为函数的最大下界。
Figure BDA0002808576140000119
给集合
Figure BDA00028085761400001110
增加了稀疏约束，但在增加稀疏约束的同时没有进行离散化,从而避免了基不匹配
步骤1032：针对单比特量化的性质，优化目标的函数形式表示为：
Figure BDA00028085761400001111
Figure BDA00028085761400001112
其中s.t.是subject to的缩写，表示目标函数的约束条件，(·)R表示向量或矩阵的实部，(·)S向量或矩阵的虚部，(·)T表示向量或矩阵的转置，Tr(·)表示向量或矩阵的迹，τ是正则项，且
Figure BDA00028085761400001113
且c为常数，优选c＝0.358，I2是维度为2×2的单位矩阵。
步骤104：利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式，包括：
步骤1041：由优化目标的函数形式得到ADMM的表达式：
Figure BDA0002808576140000121
Figure BDA0002808576140000122
Z≥0
Figure BDA0002808576140000123
Tr(G)≥0
其中Z和W是埃尔米特矩阵，T(u)是第一列元素为u的托普利兹矩阵，Tr(G)是一个对偶变量。
步骤1042：由上式得到拉格朗日增广函数的表达式：
Figure BDA0002808576140000124
其中L(·)表示拉格朗日函数，Λ是埃尔米特矩阵，γ表示一个对偶变量，||·||F表示F范数，ρ是惩罚参数且ρ>0。
步骤105：对拉格朗日增广函数表达式进行迭代求解，获得测量值矩阵的去噪估计值，包括：
步骤1051：对矩阵Z与Λ进行定义：
Figure BDA0002808576140000125
Figure BDA0002808576140000131
步骤1052：对参数
Figure BDA0002808576140000132
反复迭代更新，直到算法收敛
Figure BDA0002808576140000133
Figure BDA0002808576140000134
Figure BDA0002808576140000135
Figure BDA0002808576140000136
步骤1053：通过求导得到
Figure BDA0002808576140000137
随着迭代次数t更新的闭式表达式：
Figure BDA0002808576140000138
Figure BDA0002808576140000139
Figure BDA00028085761400001310
Figure BDA00028085761400001311
其中conj(·)表示向量或矩阵中每个元素上的共轭运算；
Figure BDA00028085761400001312
是矩阵到向量的映射，其中a的元素是
Figure BDA00028085761400001313
的所有元素的和，且
Figure BDA00028085761400001314
e1是第一个元素为1，其余元素为0的向量；Ψ是一个对角矩阵，它的对角元素为：
Figure BDA00028085761400001315
令
Figure BDA0002808576140000141
对Ψt进行特征值分解，可以得到
Figure BDA0002808576140000142
其中diag(·)返回一个对角矩阵，由此可以得到Z随着迭代次数t更新的闭式表达式：
Figure BDA0002808576140000143
Figure BDA0002808576140000144
步骤1054：当
Figure BDA0002808576140000145
收敛时，可获得测量值矩阵的去噪估计值
Figure BDA0002808576140000146
Figure BDA0002808576140000147
步骤106：对所述测量值矩阵的去噪估计值
Figure BDA0002808576140000148
进行求解，获得最终DOA估计。
在本发明的一个实施例中，还公开了采用SSRM算法对去噪估计值
Figure BDA0002808576140000149
进行求解，获得最终DOA估计，其具体过程为：
先进行空间平滑，将测量值矩阵的去噪估计值
Figure BDA00028085761400001410
划分为
Figure BDA00028085761400001411
个子阵，并且
Figure BDA00028085761400001412
其中DDOF＝M2(M1+1)-1表示可估计信源个数的最大值；用
Figure BDA00028085761400001413
表示子阵，可以得到满秩的协方差矩阵
Figure BDA00028085761400001414
用Root-MUSIC估计DOA，其中
Figure BDA00028085761400001415
其中
Figure BDA00028085761400001416
为采样快拍数。
在本发明的另一个实施例中，还公开了采用对偶多项式法(DP方法)对去噪估计值
Figure BDA00028085761400001417
进行求解，获得最终DOA估计，其具体过程为：
列出优化目标的函数形式对应的拉格朗日函数表达式：
Figure BDA00028085761400001418
上式对应的对偶函数的表达式为：
Figure BDA0002808576140000151
其中
Figure BDA0002808576140000152
(·)*表示向量或矩阵的共轭，<·>R表示实内积；
Figure BDA0002808576140000153
是一个指示函数：
Figure BDA0002808576140000154
其中
Figure BDA0002808576140000155
表示对偶范数，定义为
Figure BDA0002808576140000156
sup为函数的最小上界。
由对偶函数的表达式和指示函数可知：
Figure BDA0002808576140000157
由对偶范数的定义和
Figure BDA0002808576140000158
可知：
Figure BDA0002808576140000159
由上述式子可知：
Figure BDA00028085761400001510
所以
Figure BDA00028085761400001511
其中
Figure BDA00028085761400001512
为对偶问题的最优解，并且通过此公式可以得到对偶问题的角频率支撑集。由于原始问题与对偶问题存在强对偶性，从而可以实现DOA估计。
下面结合MATLAB模拟仿真实验结果对本发明作进一步说明：
仿真中将本发明(单比特ADMM-SSRM算法和单比特ADMM-DP算法)与单比特SSRM算法和未量化SS-MUSIC算法进行了对比。其结果如图3-图4所示，在所有仿真中，阵元数M1＝5，M2＝5，
Figure BDA0002808576140000161
随机获得
Figure BDA0002808576140000162
和ψk∈(-π,π]；ρ＝1；信源功率
Figure BDA0002808576140000163
信噪比(signal to noise rate,SNR)定义为
Figure BDA0002808576140000164
用均方误差(mean-square error,MSE)评估角度估计性能：
Figure BDA0002808576140000165
其中
Figure BDA0002808576140000166
为第r次蒙特卡洛试验时归一化
Figure BDA0002808576140000167
的估计值，R为蒙特卡洛实验次数，R＝500，K为信源个数。
设置图3-图4中的仿真条件为：信噪比SNR＝10dB，快拍数N＝100，信源数K＝DDOF＝29，均匀分布在[-0.49,0.49]。假设信源中分别有5个完全极化波，6个完全未极化波，18个部分极化波，其中6个部分极化波的极化度为ηk＝0.25，6个部分极化波的极化度为ηk＝0.5，剩下的部分极化波的极化度为ηk＝0.75。
观察图3-图4可知，图3可以精确的估计出29个信源，而图4不行，并且图4的角度误差更大。该结果表明本发明先用单比特ADMM重构信号测量值可以估计出所有信源，并且提高了估计精度。
图5为本发明(单比特ADMM-SSRM算法和单比特ADMM-DP算法)与对比算法的角度的均方误差随信噪比变化的对比图。仿真条件为：快拍数N＝100，信源数K＝5，它们均匀分布在[-0.4,0.4]，假设信源中有1个完全极化波，1个完全未极化波，3个部分极化波，极化度分别为ηk＝0.25,ηk＝0.5，ηk＝0.75。如果不做说明，其他仿真中信源条件不再改变。从图4可以观察出在低信噪比下，本发明中单比特ADMM-DP算法的精度比另外三个算法的精度高，可知单比特ADMM-DP算法在低信噪比下有明显的优越性。另外，在低信噪比下，本发明中单比特ADMM-SSRM算法的精度比单比特SSRM算法精度高，可知先利用单比特ADMM重构信号测量值可以提高参数估计精度，并且在低信噪比下尤为明显。
图6为本发明与对比算法的角度的均方误差随快拍数变化的对比图，信噪比SNR＝-6dB。从图6可以观察出，在快拍数N＝10至N＝60时，本发明中单比特ADMM-DP算法的精度比另外三个算法的精度高，可知单比特ADMM-DP算法在低快拍下有明显的优越性。当快拍数N大于40时，本发明中单比特ADMM-SSRM算法的精度高于单比特SSRM算法的精度，并且当快拍数N大于100时，本发明中单比特ADMM-SSRM算法与未量化的SS-MUSIC算法有相似的精度。由此可见，图5同样证实了利用单比特ADMM进行信号重构可以改善算法，提高DOA估计的精度。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明保护的范围之内。

Claims (8)

1.一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，包括下列步骤：
构建嵌套交叉偶极子阵列模型，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵；
把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵；
引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式；
利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式；
对拉格朗日增广函数表达式进行迭代求解，获得测量值矩阵的去噪估计值；
对所述测量值矩阵的去噪估计值进行求解，获得最终DOA估计。
2.根据权利要求1所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，将所述嵌套交叉偶极子阵列模型接收到的数据进行单比特量化，并计算单比特量化结果的协方差矩阵，包括：
将嵌套交叉偶极子阵列接收到的数据分别表示为
Figure FDA0002808576130000011
和
Figure FDA0002808576130000012
则有：
Figure FDA0002808576130000013
其中，Bkl是第k个交叉偶极子的响应，skl(t)表示第k个信源，
Figure FDA0002808576130000014
是k个信源的导向矢量，
Figure FDA0002808576130000015
是平行于l轴的偶极子阵列的独立复加性高斯白噪声矢量，
Figure FDA0002808576130000016
表示归一化DOA；
将
Figure FDA0002808576130000017
和
Figure FDA0002808576130000018
采样到多快拍，表示为
Figure FDA0002808576130000019
和
Figure FDA00028085761300000110
单比特量化
Figure FDA00028085761300000111
和
Figure FDA00028085761300000112
分别得到
Figure FDA00028085761300000113
和
Figure FDA00028085761300000114
Figure FDA00028085761300000115
式中，
Figure FDA0002808576130000021
和
Figure FDA0002808576130000022
分别表示向量或矩阵的实部和虚部，sign{·}为符号函数；
将
Figure FDA0002808576130000023
的协方差矩阵估计值表示为
Figure FDA0002808576130000024
将
Figure FDA0002808576130000025
的协方差矩阵估计值表示为
Figure FDA0002808576130000026
则有：
Figure FDA0002808576130000027
其中，N为采样快拍数，(·)H表示向量或矩阵的共轭转置运算。
3.根据权利要求2所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，把协方差矩阵矢量化并获得对应于差分共阵的向量，将对应于差分共阵的向量构造成测量值矩阵，包括：
把协方差矩阵
Figure FDA0002808576130000028
和
Figure FDA0002808576130000029
矢量化并采样得到对应于差分共阵的向量
Figure FDA00028085761300000210
和
Figure FDA00028085761300000211
Figure FDA00028085761300000212
式中，J是一个二进制矩阵，维度为
Figure FDA00028085761300000213
Figure FDA00028085761300000214
和
Figure FDA00028085761300000215
分别表示集合
Figure FDA00028085761300000216
和集合
Figure FDA00028085761300000217
的长度大小；
Figure FDA00028085761300000218
表示摩尔-彭若斯广义逆；
Figure FDA00028085761300000219
表示对应于
Figure FDA00028085761300000220
的差分共阵；
将
Figure FDA00028085761300000221
和
Figure FDA00028085761300000222
构造成一个快拍L＝2的测量值矩阵Y：
Figure FDA00028085761300000223
4.根据权利要求3所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，引入原子范数最小化，确定优化目标的函数形式，包括：
定义X为Y的去噪形式，然后用一个原子表示X：
Figure FDA00028085761300000224
式中，f为归一化频率，f∈[0,1)，b是一个维度为L×1的向量，||b||2＝1，||·||2表示l2范数，
Figure FDA0002808576130000031
中的元素都是凸包
Figure FDA0002808576130000032
的极值点，且
Figure FDA0002808576130000033
是一个原子集合；
定义X的原子范数
Figure FDA0002808576130000034
Figure FDA0002808576130000035
其中inf为函数的最大下界；
针对单比特量化的性质，优化目标的函数形式表示为：
Figure FDA0002808576130000036
Figure FDA0002808576130000037
其中s.t.是subject to的缩写，表示目标函数的约束条件，(·)R表示向量或矩阵的实部，(·)S向量或矩阵的虚部，(·)T表示向量或矩阵的转置，Tr(·)表示向量或矩阵的迹，τ是正则项，I2是维度为2×2的单位矩阵。
5.根据权利要求4所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，利用ADMM求解原子范数最小化，同时获得拉格朗日增广函数表达式，包括：
由优化目标的函数形式得到ADMM的表达式：
Figure FDA0002808576130000038
Figure FDA0002808576130000039
Z≥0
Figure FDA00028085761300000310
Tr(G)≥0
其中Z和W是埃尔米特矩阵，T(u)是第一列元素为u的托普利兹矩阵，Tr(G)是一个对偶变量。
由上式得到拉格朗日增广函数的表达式：
Figure FDA0002808576130000041
其中L(·)表示拉格朗日函数，Λ是埃尔米特矩阵，γ表示一个对偶变量，||·||F表示F范数，ρ是惩罚参数。
6.根据权利要求5所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，对拉格朗日增广函数的表达式进行迭代求解，包括：
分别设定Z与Λ的矩阵形式：
Figure FDA0002808576130000042
Figure FDA0002808576130000043
对参数
Figure FDA0002808576130000044
反复迭代更新，直到算法收敛。
Figure FDA0002808576130000045
Figure FDA0002808576130000051
Figure FDA0002808576130000052
Figure FDA0002808576130000053
通过求导得到
Figure FDA0002808576130000054
随着迭代次数t更新的闭式表达式：
Figure FDA0002808576130000055
Figure FDA0002808576130000056
Figure FDA0002808576130000057
Figure FDA0002808576130000058
其中conj(·)表示向量或矩阵中每个元素上的共轭运算；
Figure FDA0002808576130000059
是矩阵到向量的映射，其中a的元素是
Figure FDA00028085761300000510
的所有元素的和，且
Figure FDA00028085761300000511
e1是第一个元素为1，其余元素为0的向量；Ψ是对角矩阵；
当
Figure FDA00028085761300000512
收敛时，可获得测量值矩阵的去噪估计值
Figure FDA00028085761300000513
Figure FDA00028085761300000514
7.根据权利要求6所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，采用SSRM法对去噪估计值
Figure FDA00028085761300000515
进行求解，获得最终DOA估计。
8.根据权利要求7所述的一种基于嵌套交叉偶极子阵列的无网格单比特DOA估计方法，其特征在于，采用对偶多项式法对去噪估计值
Figure FDA0002808576130000061
进行求解，获得最终DOA估计。
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