CN110174658A - 基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法 - Google Patents

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CN110174658A CN201910516082.8A CN201910516082A CN110174658A CN 110174658 A CN110174658 A CN 110174658A CN 201910516082 A CN201910516082 A CN 201910516082A CN 110174658 A CN110174658 A CN 110174658A
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Abstract

本发明公开了一种基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，该方法的具体步骤为：建立雷达的接收信号模型，确定接收信号的测量矩阵，进而得到估计信号协方差矩阵；根据接收信号的测量矩阵，构造基于秩一降维模型的信号协方差矩阵；根据降维的信号协方差矩阵和估计信号协方差矩阵，得到全信号协方差矩阵；通过矩阵补全理论，得到无噪声信号协方差矩阵；对无噪声信号协方差矩阵进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量；根据稀疏重构信号矢量，采用交替网格优化算法估计目标信源的波达方向。本发明可显著提高多目标和密集信源的波达方向估计性能。

Description

基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法
技术领域
本发明属于雷达信号处理技术领域，尤其涉及基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法。
背景技术
通过传感器阵列确定信号的波达方向(DOA)是阵列信号处理领域中的基本问题，涉及领域包括雷达，声纳，通信和射电天文学。
现有研究表明，用于波达方向估计的传统信号子空间方法，在具有足够快拍的高斯白噪声的条件下，具有较好的波达方向估计性能。利用传感器通过稀疏重构的算法极大地改善了波达方向估计的性能。例如，匹配追踪(MP)算法和正交匹配追踪(OMP)算法，可以通过找到目标函数的稀疏解来实现信号的重建。
基于压缩感知理论的L1奇异值分解（L1-SVD）算法利用1范数约束和SVD可以在低信噪比环境下提高DOA估计性能。然而，该算法的计算复杂度大。一种基于具有反馈的零空间调整算法（NST+HT+FB）的交替网格优化（AGO）算法的提出使得该问题得以有效解决。
在均匀白噪声条件下，上述基于子空间和稀疏重建的算法才能体现出其优势，在稀疏阵列中，由传感器阵列获得的噪声协方差矩阵彼此不相同，即噪声在空间上是白色的，但方差彼此不相同，就会产生非均匀高斯白噪声，采用确定性最大似然（ML）估计算法和随机非均匀ML-DOA估计算法来解决非均匀高斯白噪声，而这些方法都是通过迭代来完成的，在迭代过程和高度非线性优化中，都会导致耗时大，且该方法的特性使得传统的稀疏重构算法对于密集信源和多目标的DOA估计性能不是很理想。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的是提出一种基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法。本发明通过对降维的信号协方差矩阵采用矩阵补全理论得到无噪声信号协方差矩阵；在信源数小于阵元数的条件下，有效的解决了远场多目标DOA估计的准确性差的问题。采用非相干窄带信号和不相关的非均匀高斯白噪声的信号模型，通过相关运算抑制非均匀噪声，从而获得降维的信号协方差矩阵，再通过对降维的信号协方差矩阵进行矩阵补全得到无噪声信号协方差矩阵，从而提高多目标的DOA估计性能。
为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以解决。
基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，包括以下步骤：
步骤1，建立雷达的接收信号模型x(t)，确定接收信号的测量矩阵X，进而得到估计信号协方差矩阵
(1.1)设置信号接收雷达为包含M个阵元的均匀直线阵列，则t时刻接收到的目标信源的回波信号，即接收信号模型x(t)的表达式为：
x(t)＝As(t)+n(t)；
其中，A为导向矩阵，s(t)是信号波形矢量，n(t)＝[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为零均值加性非均匀复数高斯白噪声向量，且n(t)～CN(0,Q)，Q是与n(t)相关的噪声协方差矩阵。
(1.2)导向矩阵A的表达式为：
A＝[a(θ1),a(θ2),a(θl),…,a(θL)]；
其中，L是目标信源数，l＝1,2,...,L；a(θl)是M×1的导向矢量，M代表雷达阵元数，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围，其表达式为：
a(θl)＝[1,e-jα,…,e-j(M-1)α]T；
其中，α表示对应第l个DOA的阵列几何形状，α＝2πdsin(θl)/λ，d代表阵元间距，λ代表波长；
s(t)是信号波形矢量，其表达式为：
s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sL(t)]T；
(1.3)根据接收信号模型x(t)，得到接收信号的测量矩阵X：
其中，J是快拍数，tz表示第z个快拍时刻，x(tz)表示tz快拍时刻天线阵列所接收的M×1维回波信号数据，x1(tz)表示tz快拍时刻天线阵列中第一个天线阵元所接收到的回波信号数据，*表示共轭操作。
(1.4)根据接收信号模型x(t)和接收信号的测量矩阵X，得到估计信号协方差矩阵
其中，E表示统计期望。
步骤2，根据接收信号的测量矩阵X，构造基于秩一降维模型的信号协方差矩阵，得到降维的信号协方差矩阵
(2.1)根据接收信号的测量矩阵X，构建基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第m列其表达式为：
其中，Em是统计期望；是一个秩一相关矢量；X((1:M)m,tz)表示除去第m个阵元的测量矩阵；是第m个阵元的测量矩阵的共轭转置；tz表示第z个快拍时刻。
(2.2)由M个秩一相关矢量得到基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式：
其中，A((1:M)1,:)表示导向矩阵中第1到M行中的第1行的所有列；表示信号功率矢量；Pl表示第l个信号功率。
(2.3)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式，当矩阵中的行序号与列序号不相等时，即x≠y，基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式为：
其中，其中，A表示导向矩阵，上标H表示共轭转置，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围；d代表阵元间距，λ代表波长。
(2.4)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式，得到降维的信号协方差矩阵为：
其中，表示L个信号功率的总和，
步骤3，根据降维的信号协方差矩阵和估计信号协方差矩阵得到全信号协方差矩阵通过矩阵补全理论，得到无噪声信号协方差矩阵R0；
(3.1)根据降维的信号协方差矩阵构造全信号协方差矩阵的表达式为：
其中，G表示选择矩阵，且 表示第M行元素为0的M×(M-1)维交换矩阵，删除交换矩阵的第M行元素即形成(M-1)×(M-1)维的单位矩阵，上标T表示矩阵的转置。
则全信号协方差矩阵的元素形式的表达式为：
其中，r12表示的第1行第2列元素，当行序号与列序号相同时，对应矩阵中的元素为0；当行序号与列序号不相同，矩阵中的所有项可表示为
(3.2)对全信号协方差矩阵中的元素进行采样，得到全信号协方差矩阵的采样矩阵
其中，Ω是整个[M]×[M]矩阵元素的子集；表示的第i行j列元素；表示的第i行j列元素。
(3.3)从估计信号协方差矩阵中恢复全信号协方差矩阵的对角线元素，得到全信号协方差矩阵
其中，表示阈值参数；表示的核范数，其等于奇异值的总和；表示F范数的平方；为估计信号协方差矩阵。
(3.4)根据全信号协方差矩阵的对称性和半正定性得到：
其中，tr(·)表示矩阵的迹，其等于矩阵对角线元素的总和。
给上式添加约束条件得到目标函数的表达式为：
其中，表示M(M-1)×M2的选择矩阵，vec(·)表示向量化。
(3.5)设定估计信号协方差矩阵的误差常数为ξ，则目标函数改写为：
其中，||·||2求2范数操作。
(3.6)引入目标函数的上界t作为辅助变量，将步骤(3.5)中的目标函数转化为：
进一步将上式的目标函数公式替换为：
(3.7)根据替换后的目标函数和Schur’s补集定理，将目标函数表示为半定规划(SDP)问题：
其中，I为单位矩阵，表示矩阵补全后的信号协方差矩阵。
(3.8)采用CVX工具箱求解目标函数，得到矩阵补全后的信号协方差矩阵进而得到无噪声协方差矩阵R0：
其中，为的估计矩阵。
步骤4，对无噪声信号协方差矩阵R0进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ。
(4.1)根据无噪声信号协方差矩阵R0，构造一个2(M-1)×1的信号矢量Υ'，信号矢量Υ'的第项的表达式为：
其中，表示R0的第行第列的元素。
(4.2)将信号矢量Υ'进行线性表示为：
Υ'＝B(θ)P；
其中，P表示信号功率矢量，P＝[P1,P2,…,PL]T；B(θ)表示虚拟流形矩阵，B(θ)＝[b(θ1),…,b(θl),…,b(θL)]，第l列导向矢量b(θl)为
(4.3)根据实际回波信号在空域中的稀疏性，采用重构算法对信号矢量Υ'进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ：
其中， 表示划分的一组字典角度，一般 是具有2(M-1)＜＜Nθ属性的过完备字典，且满足受限等距属性(RIP)；表示字典角度为时的稀疏导向矢量，即第1列稀疏导向矢量，Nθ是字典数；表示稀疏信号功率矢量，其仅有L列非零系数，Nθ＞＞L；表示第1个稀疏信号功率。
步骤5，根据稀疏重构信号矢量Υ，采用交替网格优化算法估计目标信源的波达方向。
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
(1)本发明采用基于秩一降维模型获得降维的信号协方差矩阵，通过对该矩阵进行矩阵补全得到无噪声信号协方差矩阵，可以避免信号协方差矩阵和自由度的信息丢失。
(2)本发明通过对无噪声信号协方差矩阵进行矢量化稀疏重构，可以显著提高对多目标和密集信号源的情况下的DOA估计性能。
附图说明
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。
图1是本发明的实现流程图；
图2是本发明实施例中采用交替网格优化算法(AGO)在信噪比为5时的目标信源波达方向的估计结果图；
图3是本发明实施例中采用本发明方法在信噪比为5时的目标信源波达方向的估计结果图；
图4是本发明实施例中对网格优化算法(AGO)、基于压缩感知理论的L1奇异值分解算法(L1-SVD)、He算法和本发明方法，在不同信噪比条件下，目标信源波达方向的估计均方根误差与信噪比的关系图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的实施例及效果作进一步详细描述。
参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤1，建立雷达的接收信号模型x(t)，确定接收信号的测量矩阵X，进而得到估计信号协方差矩阵
(1.1)设置信号接收雷达为包含M个阵元的均匀直线阵列，则t时刻接收到的目标信源的回波信号，即接收信号模型x(t)的表达式为：
x(t)＝As(t)+n(t)；
其中，A为导向矩阵，s(t)是信号波形矢量，n(t)＝[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为零均值加性非均匀复数高斯白噪声向量，且n(t)～CN(0,Q)，Q是与n(t)相关的噪声协方差矩阵。
(1.2)导向矩阵A的表达式为：
A＝[a(θ1),a(θ2),a(θl),…,a(θL)]；
其中，L是目标信源数，l＝1,2,...,L；a(θl)是M×1的导向矢量，M代表雷达阵元数，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围，其表达式为：
a(θl)＝[1,e-jα,…,e-j(M-1)α]T；
其中，α表示对应第l个DOA的阵列几何形状，α＝2πdsin(θl)/λ，d代表阵元间距，λ代表波长；
s(t)是信号波形矢量，其表达式为：
s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sL(t)]T；
(1.3)根据接收信号模型x(t)，得到接收信号的测量矩阵X：
其中，J是快拍数，tz表示第z个快拍时刻，x(tz)表示tz快拍时刻天线阵列所接收的M×1维回波信号数据，x1(tz)表示tz快拍时刻天线阵列中第一个天线阵元所接收到的回波信号数据，*表示共轭操作。
(1.4)根据接收信号模型x(t)和接收信号的测量矩阵X，得到估计信号协方差矩阵
其中，E表示统计期望。
步骤2，根据接收信号的测量矩阵X，构造基于秩一降维模型的信号协方差矩阵，得到降维的信号协方差矩阵
(2.1)根据接收信号的测量矩阵X，构建基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第m列其表达式为：
其中，Em是统计期望；是一个秩一相关矢量；X((1:M)m,tz)表示除去第m个阵元的测量矩阵；是第m个阵元的测量矩阵的共轭转置；tz表示第z个快拍时刻。
(2.2)由M个秩一相关矢量得到基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式：
其中，A((1:M)1,:)表示导向矩阵中第1到M行中的第1行的所有列；表示信号功率矢量；Pl表示第l个信号功率。
(2.3)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式，当矩阵中的行序号与列序号不相等时，即x≠y，基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式为：
其中，其中，A表示导向矩阵，上标H表示共轭转置，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围；d代表阵元间距，λ代表波长。
(2.4)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式，得到降维的信号协方差矩阵为：
其中，表示L个信号功率的总和，
步骤3，根据降维的信号协方差矩阵和估计信号协方差矩阵得到全信号协方差矩阵通过矩阵补全理论，得到无噪声信号协方差矩阵R0；
(3.1)根据降维的信号协方差矩阵构造全信号协方差矩阵的表达式为：
其中，G表示选择矩阵，且 表示第M行元素为0的M×(M-1)维交换矩阵，删除交换矩阵的第M行元素即形成(M-1)×(M-1)维的单位矩阵，上标T表示矩阵的转置。
则全信号协方差矩阵的元素形式的表达式为：
其中，当行序号与列序号相同时，对应矩阵中的元素为0；当行序号与列序号不相同，矩阵中的所有项可表示为
(3.2)对全信号协方差矩阵中的元素进行采样，得到全信号协方差矩阵的采样矩阵
其中，Ω是整个[M]×[M]矩阵元素的子集；表示的第i行j列元素；表示的第i行j列元素。
(3.3)从估计信号协方差矩阵中恢复全信号协方差矩阵的对角线元素，得到全信号协方差矩阵
其中，表示阈值参数；表示的核范数，其等于奇异值的总和；表示F范数的平方；为估计信号协方差矩阵。
(3.4)根据全信号协方差矩阵的对称性和半正定性得到：
其中，tr(·)表示矩阵的迹，其等于矩阵对角线元素的总和。
给上式添加约束条件得到目标函数的表达式为：
其中，表示M(M-1)×M2的选择矩阵，vec(·)表示向量化。
(3.5)设定估计信号协方差矩阵的误差常数为ξ，则目标函数改写为：
其中，||·||2求2范数操作。
(3.6)引入目标函数的上界t作为辅助变量，将步骤(3.5)中的目标函数转化为：
进一步将上式的目标函数公式替换为：
(3.7)根据替换后的目标函数和Schur’s补集定理，将目标函数表示为半定规划(SDP)问题：
其中，I为单位矩阵，表示矩阵补全后的信号协方差矩阵。
(3.8)采用CVX工具箱求解目标函数，得到矩阵补全后的信号协方差矩阵进而得到无噪声协方差矩阵R0：
其中，为的估计矩阵。
步骤4，对无噪声信号协方差矩阵R0进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ。
(4.1)根据无噪声信号协方差矩阵R0，构造一个2(M-1)×1的信号矢量Υ′，信号矢量Υ'的第项的表达式为：
其中，表示的第第列的元素。
(4.2)将信号矢量Υ'进行线性表示为：
Υ'＝B(θ)P；
其中，P表示信号功率矢量，P＝[P1,P2,…,PL]T；B(θ)表示虚拟流形矩阵，B(θ)＝[b(θ1),…,b(θl),…,b(θL)]，第l列导向矢量b(θl)为
(4.3)根据实际回波信号在空域中的稀疏性，采用重构算法对信号矢量Υ'进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ：
其中， 表示划分的一组字典角度，一般 是具有2(M-1)＜＜Nθ属性的过完备字典，且满足受限等距属性(RIP)，Nθ是字典数；表示稀疏信号功率矢量，其仅有L列非零系数，Nθ＞＞L。
步骤5，根据稀疏重构信号矢量Υ，采用交替网格优化算法估计目标信源的波达方向。
其具体实施步骤为：
(5.1)按照下式，计算导向矩阵A的右逆矩阵：
Φa＝AH(A·AH)-1；
其中，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，A表示导向矩阵，H表示共轭转置操作，上标-1表示求逆操作；
(5.2)按照下式，计算导向矩阵A的正交投影矩阵：
Φ＝I-ΦaA；
其中，Φ表示导向矩阵A的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，A表示导向矩阵；
(5.3)按照下式，计算初始恢复矢量：
其中，表示初始恢复矢量，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，Υ表示稀疏重构信号；
(5.4)估计信源数：
(5.4a)将动态信源数初始化为1；
(5.4b)按照下式，对第k次内循环中的恢复矢量进行排序操作：
其中，表示恢复矢量取模值后按降序重排的矢量，l表示外循环次数，k表示内循环次数，T表示排序操作后记录中每一个元素在恢复矢量中对应元素的下标组成的索引指标集，|·|表示取模值操作，sort(|·|,'descend')表示降序排列操作；
(5.4c)按照下式，计算第k+1次内循环中的恢复矢量：
其中，表示第k+1次内循环中的恢复矢量，表示第k次内循环中的恢复矢量，uk表示第k次内循环中的中间辅助矢量，Φ表示导向矩阵A的正交投影矩阵；
(5.4d)按照下式，计算内循环相对误差值：
其中，H2表示内循环相对误差值，和分别表示内循环次数为k+1和k时的恢复矢量，||·||2表示取2范数操作；
(5.4e)判断内循环相对误差值H2是否大于10-3，若是，则执行步骤(4.4b)，否则，执行步骤(4.4f)；
(5.4f)将第l次外循环中的动态信源数加1，用加1后的动态信源数作为下一次外循环中的动态信源数；
(5.4g)按照下式，计算失配相对误差：
其中，γl+1表示第l+1次外循环中的失配相对误差，l表示外循环次数，A表示导向矩阵，uk表示第k次内循环中的中间辅助矢量，X表示测量矩阵，||·||2表示取2范数操作；
(5.4h)按照下式，计算外循环相对误差值：
H1＝|γl+1-γl|；
其中，H1表示外循环相对误差值，γl+1和γl分别表示外循环次数为l+1和l时的失配相对误差，|·|表示取模值操作；
(5.4i)判断外循环相对误差值H1是否大于0.05，若是，则执行步骤(4.4b)，否则，执行步骤(4.4j)；
(5.4j)将外循环结束时的动态信源数值作为信源数的估计值；
(5.5)第一次估计目标到达角：
(5.5a)按照下式，寻找峰值位置矢量：
其中，pV表示恢复矢量取模值后按降序重排的峰值矢量，pI表示恢复矢量元素取模值降序重排后，恢复矢量原下标值经过重新排列得到的峰值位置矢量，findpeaks(·,'descend')表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.5b)将峰值位置矢量中的第一个元素值，放入信源位置矢量的第一个位置，将峰值位置矢量中的下一个元素值依次放入信源位置矢量的第二个位置，直至放入信源位置矢量的元素个数与估计信源数的值相同时停止取值，得到最终信源位置矢量；
(5.5c)取出角度搜索范围Θ中与最终信源位置矢量中元素值相同的下标值对应的角度值，将取出的角度值放入第一次估计的目标到达角矢量中；
(5.6)按照下式，寻找峰值位置矢量：
其中，pV表示恢复矢量取模值后按降序重排的峰值矢量，pI表示恢复矢量元素取模值降序重排后，恢复矢量原下标值经过重新排列得到的峰值位置矢量，findpeaks(·,'descend')表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.7)按照下式，计算当前代价函数：
其中，F(M)表示当前代价函数，pV(s)表示峰值矢量pV中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示峰值位置矢量pI的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.8)按照下式，计算当前峰值：
其中，表示当前峰值，表示当前峰值对应的位置下标，pV(s)表示峰值矢量pV中的第s个元素，s表示动态信源数，pI(s)表示峰值位置矢量pI中的第s个元素；
(5.9)计算左移代价函数：
(5.9a)用角度搜索范围中当前位置下标对应的角度减去可调栅格步长后得到的搜索角度范围作为左移角度搜索范围；
(5.9b)按照下式，计算左移导向矩阵：
A(L)＝[a(θ1),a(θ2),…,a(θi),…]
其中，A(L)表示左移导向矩阵，M表示天线阵列中的阵元个数，θi∈Θ(L)，∈表示属于符号，Θ(L)表示左移角度搜索范围，i表示搜索角度θi在左移角度搜索范围Θ(L)中的序号；
(5.9c)按照下式，计算左移导向矩阵的正交投影矩阵：
Φ(L)＝I-(A(L))H(A(L)(A(L))H)-1A(L)
其中，Φ(L)表示左移导向矩阵A(L)的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，A(L)表示左移导向矩阵，H表示共轭转置操作，-1表示求逆操作；
(5.9d）按照下式，计算左移恢复矢量：
其中，表示左移恢复矢量，u(L)表示左移辅助矢量，Φ(L)表示左移导向矩阵A(L)的正交投影矩阵；
（5.9e）按照下式，寻找左移峰值位置矢量：
其中，表示左移恢复矢量取模值后按降序重排的左移峰值矢量，表示左移恢复矢量元素取模值降序重排后，左移恢复矢量原下标值经过重新排列得到的左移峰值位置矢量，findpeaks(·,'descend')表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.9f)按照下式，计算左移代价函数：
其中，F(L)表示左移代价函数，表示左移峰值矢量中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示左移恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示左移峰值位置矢量的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.10)计算右移代价函数：
(5.10a)用角度搜索范围中当前位置下标对应的角度加上可调栅格步长后得到的搜索角度范围作为右移角度搜索范围；
(5.10b)按照下式，计算右移导向矩阵：
A(R)＝[a(θ1),a(θ2),…,a(θi),…]
其中，A(R)为右移导向矩阵，M表示天线阵列中的阵元个数，θi∈Θ(R)，∈表示属于符号，Θ(R)表示右移角度搜索范围，i表示搜索角度θi在右移角度搜索范围Θ(R)中的序号；
(5.10c)按照下式，计算右移导向矩阵的正交投影矩阵：
Φ(R)＝I-(A(R))H(A(R)(A(R))H)-1A(R)
其中，Φ(R)表示右移导向矩阵A(R)的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，A(R)表示右移导向矩阵，H表示共轭转置操作，-1表示求逆操作；
(5.10d)按照下式，计算右移恢复矢量：
其中，表示右移恢复矢量，u(R)表示右移辅助矢量，Φ(R)表示右移导向矩阵A(R)的正交投影矩阵；
(5.10e)按照下式，寻找右移峰值位置矢量：
其中，表示右移恢复矢量取模值后按降序重排的右移峰值矢量，表示右移峰值矢量元素取模值降序重排后，右移恢复矢量原下标值经过重新排列得到的右移峰值位置矢量，findpeaks(·,'descend')表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.10f)按照下式，计算右移代价函数：
其中，F(R)表示右移代价函数，表示右移峰值矢量中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示右移恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示右移峰值位置矢量的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.11)更新当前栅格参数：
(5.11a)判断左移代价函数是否同时大于当前代价函数和右移代价函数，若是，则执行步骤(5.11b)，否则，执行步骤(5.11e)；
(5.11b)将步骤(5.7)的当前代价函数的值更新为左移代价函数的值；
(5.11c)将恢复矢量的元素值更新为左移恢复矢量的元素值；
(5.11d)按照下式，更新目标到达角矢量：
其中，表示更新后的目标到达角矢量，Θ(L)表示左移角度搜索范围，表示左移峰值位置矢量的第s个元素，s表示动态信源数；
(5.11e)判断右移代价函数是否同时大于当前代价函数和左移代价函数，若是，则执行步骤(5.11f)，否则，执行步骤(5.12)；
(5.11f)将当前代价函数的值更新为右移代价函数的值；
(5.11g)将恢复矢量的元素值更新为右移恢复矢量的元素值；
(5.11h)按照下式，更新目标到达角估计矢量：
其中，表示更新后的目标到达角估计矢量，Θ(R)表示右移角度搜索范围，表示右移峰值位置矢量的第s个元素，s表示动态信源数；
(5.12)判断可调栅格步长△是否大于栅格优化精度ξθ，若是，则执行步骤(5.9)，否则，执行步骤(5.13)；
(5.13)按照下式，更新目标到达角估计矢量：
其中，表示更新后的目标到达角估计矢量的第s个元素值，s表示动态信源数，表示更新后的目标到达角估计矢量，表示当前峰值对应的位置下标；
(5.14)判断动态信源数是否小于信源数，若是，则执行步骤(5.6)，否则，执行步骤(5.15)；
(5.15)获得第二次目标到达角估计矢量：
将步骤(5.13)中更新后的目标到达角矢量作为第二次的目标到达角估计矢量。
仿真实验
本发明的效果可通过以下仿真实验进一步说明。
(1)仿真参数：
本发明采用M＝24个阵元，且阵元间距为半波长(d＝λ/2)的均匀线性阵列。采用在-90°至90°范围内具有1°间隔的一般网格。阈值τ和误差常数ξ分别为5M和5×10-4。假定非均匀噪声协方差矩阵为Q＝diag{Qn,3*Qn,1.5*Qn}，其中Qn＝[2.0,10,2.5,5.0,0.5,1.5,3.0,5.0]。采用多个不相关信号，其中DOA为{-28°,-22°,-16°,-5°,0°,5°,16°,22°,28°}。参数设置如表1：
表1系统仿真参数
(2)仿真内容：
仿真1，在上述仿真参数下，采用AGO方法，在信噪比为5的条件下，对目标的回波信号进行波达方向估计，结果如图2所示。
由图2可以看出，当目标信号源数量较大时，AGO方法对于多目标识别性能较差。
仿真2，在上述仿真参数下，采用本发明方法在信噪比为5的条件下，对回波信号进行波达方向估计，结果如图3所示。
由图3可以看出，本发明方法能够确定多个不相关信号；比较图2和图3可以看出，在旁瓣较低的情况下，本发明方法由于考虑了接收信号的整个协方差矩阵，因此，对多目标的识别性能明显优于AGO方法。
仿真3，在上述仿真参数下，分别采用AGO算法、L1-SVD算法、He算法和本发明方法在信噪比为分别为-6dB、-4dB、-2dB、0dB、2dB、4dB、6dB的条件下，对回波信号进行波达方向估计，并采用均方根误差RMSE对估计结果进行评价：
其中，K是蒙特卡洛实验次数，表示第k次蒙特卡洛实验中第l个目标的估计角度，θl表示第l个目标的真实角度。
以上试验结果如图4所示，由图4可以看出，随着信噪比SNR的增大，四种方法的估计均方根误差RMSE均呈现下降趋势，且本发明方法的估计均方根误差明显小于其他三种方法，说明本发明方法可显著提高多目标或密集信源的DOA估计性能。
本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部分步骤可以通过程序指令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储于一计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，执行包括上述方法实施例的步骤；而前述的存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (8)

1.基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立雷达的接收信号模型x(t)，确定接收信号的测量矩阵X，进而得到估计信号协方差矩阵
步骤2，根据接收信号的测量矩阵X，构造基于秩一降维模型的信号协方差矩阵，得到降维的信号协方差矩阵
步骤3，根据降维的信号协方差矩阵和估计信号协方差矩阵得到全信号协方差矩阵通过矩阵补全理论，得到无噪声信号协方差矩阵R0；
步骤4，对无噪声信号协方差矩阵R0进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ；
步骤5，根据稀疏重构信号矢量Υ，采用交替网格优化算法估计目标信源的波达方向。
2.根据权利要求1所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，步骤1的具体步骤为：
(1.1)设置信号接收雷达为包含M个阵元的均匀直线阵列，则t时刻接收到的目标信源的回波信号，即接收信号模型x(t)的表达式为：
x(t)＝As(t)+n(t)；
其中，A为导向矩阵，s(t)是信号波形矢量，n(t)＝[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T为零均值加性非均匀复数高斯白噪声向量，且n(t)～CN(0，Q)，Q是与n(t)相关的噪声协方差矩阵；
(1.2)根据接收信号模型x(t)，得到接收信号的测量矩阵X：
其中，J是快拍数，tz表示第z个快拍时刻，x(tz)表示tz快拍时刻天线阵列所接收的M×1维回波信号数据，x1(tz)表示tz快拍时刻天线阵列中第一个天线阵元所接收到的回波信号数据，*表示共轭操作；
(1.3)根据接收信号模型x(t)和接收信号的测量矩阵X，得到估计信号协方差矩阵
其中，E表示统计期望，上标H表示矩阵的共轭转置。
3.根据权利要求2所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，所述导向矩阵A的表达式为：
A＝[a(θ1)，a(θ2)，a(θl)，…，a(θL)]；
其中，L是目标信源数，l＝1，2，...，L；M代表雷达阵元数，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围；a(θl)是M×1的导向矢量，其表达式为：
a(θl)＝[1，e-jα，…，e-j(M-1)α]T；
其中，α表示对应第l个DOA的阵列几何形状，α＝2πdsin(θl)/λ，d代表阵元间距，λ代表波长；
所述信号波形矢量s(t)的表达式为：
s(t)＝[s1(t)，s2(t)，…，sL(t)]T；
其中，sL(t)表示第L个信号波形。
4.根据权利要求1所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，步骤2的具体步骤为：
(2.1)根据接收信号的测量矩阵X，构建基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第m列其表达式为：
其中，Em是统计期望；是一个秩一相关矢量；X((1：M)m，tz)表示除去第m个阵元的测量矩阵；是第m个阵元的测量矩阵的共轭转置；tz表示第z个快拍时刻；
(2.2)由M个秩一相关矢量得到基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式：
其中，A((1：M)1，：)表示导向矩阵中第1到M行中的第1行的所有列；表示信号功率矢量；Pl表示第l个信号功率；
(2.3)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的组合表达式，当矩阵中的行序号与列序号不相等时，即x≠y，基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式为：
其中，A表示导向矩阵，上标H表示共轭转置，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围；d代表阵元间距，λ代表波长；
(2.4)根据基于秩一降维模型的信号协方差矩阵的第x行第y列元素的表达式，得到降维的信号协方差矩阵为：
其中，表示L个信号功率的总和， j表示虚数单位。
5.根据权利要求1所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，所述根据降维的信号协方差矩阵和估计信号协方差矩阵得到全信号协方差矩阵其具体步骤为：
首先，根据降维的信号协方差矩阵构造全信号协方差矩阵的表达式为：
其中，G表示选择矩阵，且 表示第M行元素为0的M×(M-1)维交换矩阵，删除交换矩阵的第M行元素即形成(M-1)×(M-1)维的单位矩阵，上标T表示矩阵的转置；
则全信号协方差矩阵的元素形式的表达式为：
其中，r12表示全信号协方差矩阵的第1行第2列元素，当行序号与列序号相同时，对应矩阵中的元素为0；当行序号与列序号不相同，
其次，对全信号协方差矩阵中的元素进行采样，得到全信号协方差矩阵的采样矩阵
其中，Ω是整个[M]×[M]矩阵元素的子集；表示的第i行j列元素；表示的第i行j列元素；
最后，从估计信号协方差矩阵中恢复全信号协方差矩阵的对角线元素，得到全信号协方差矩阵
其中，τ表示阈值参数；表示的核范数，其等于奇异值的总和；表示F范数的平方。
6.根据权利要求5所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，所述通过矩阵补全理论，得到无噪声信号协方差矩阵R0，其具体步骤为：
(3.1)根据全信号协方差矩阵的对称性和半正定性得到：
其中，tr(·)表示矩阵的迹，其等于矩阵对角线元素的总和；
给上式添加约束条件得到目标函数的表达式为：
其中，表示M(M-1)×M2的选择矩阵，vec(·)表示向量化；
(3.2)设定估计信号协方差矩阵的误差常数为ξ，则目标函数改写为：
其中，||·||2求2范数操作；
(3.3)引入目标函数的上界t作为辅助变量，将步骤(3.2)中的目标函数转化为：
进一步将上式的目标函数公式替换为：
(3.4)根据替换后的目标函数和Schur’s补集定理，将目标函数表示为半定规划(SDP)问题：
其中，I为单位矩阵，表示矩阵补全后的信号协方差矩阵；
(3.5)采用CVX工具箱求解目标函数，得到矩阵补全后的信号协方差矩阵进而得到无噪声协方差矩阵R0：
其中，为的估计矩阵。
7.根据权利要求1所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，步骤4的具体步骤为：
(4.1)根据无噪声信号协方差矩阵R0，构造一个维数为2(M-1)×1的信号矢量Υ′，信号矢量Υ′的第项的表达式为：
其中，表示R0的第行第列的元素；
(4.2)将信号矢量Υ′进行线性表示为：
Υ′＝B(θ)P；
其中，P表示信号功率矢量，P＝[P1，P2，…，PL]T；B(θ)表示虚拟流形矩阵，B(θ)＝[b(θ1)，…，b(θl)，…，b(θL)]，第l列导向矢量b(θl)为j表示虚数单位，θl代表第l个入射信号角度，θl∈Θ，Θ表示角度搜索范围；d代表阵元间距，λ代表波长；
(4.3)根据实际回波信号在空域中的稀疏性，采用重构算法对信号矢量Υ′进行稀疏重构，得到稀疏重构信号矢量Υ：
其中， 表示划分的一组字典角度；是具有2(M-1)＜＜Nθ属性的过完备字典，且满足受限等距属性(RIP)，表示字典角度为时的稀疏导向矢量，即第1列稀疏导向矢量，Nθ是字典数；表示稀疏信号功率矢量，表示第1个稀疏信号功率。
8.根据权利要求5所述的基于秩一降维模型和矩阵补全的波达方向估计方法，其特征在于，步骤5的具体步骤为：
(5.1)按照下式，计算导向矩阵A的右逆矩阵：
Φa＝AH(A·AH)-1；
其中，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，A表示导向矩阵，H表示共轭转置操作，上标-1表示求逆操作；
(5.2)按照下式，计算导向矩阵A的正交投影矩阵：
Φ＝I-ΦaA；
其中，Φ表示导向矩阵A的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，A表示导向矩阵；
(5.3)按照下式，计算初始恢复矢量：
其中，表示初始恢复矢量，Φa表示导向矩阵A的右逆矩阵，Υ表示稀疏重构信号；
(5.4)估计信源数：
(5.4a)将动态信源数初始化为1；
(5.4b)按照下式，对第k次内循环中的恢复矢量进行排序操作：
其中，表示恢复矢量取模值后按降序重排的矢量，l表示外循环次数，k表示内循环次数，T表示排序操作后记录中每一个元素在恢复矢量中对应元素的下标组成的索引指标集，|·|表示取模值操作，sort(|·|，′descend′)表示降序排列操作；
(5.4c)按照下式，计算第k+1次内循环中的恢复矢量：
其中，表示第k+1次内循环中的恢复矢量，表示第k次内循环中的恢复矢量，uk表示第k次内循环中的中间辅助矢量，Φ表示导向矩阵A的正交投影矩阵；
(5.4d)按照下式，计算内循环相对误差值：
其中，H2表示内循环相对误差值，知分别表示内循环次数为k+1和k时的恢复矢量，||·||2表示取2范数操作；
(5.4e)判断内循环相对误差值H2是否大于10-3，若是，则执行步骤(4.4b)，否则，执行步骤(4.4f)；
(5.4f)将第l次外循环中的动态信源数加1，用加1后的动态信源数作为下一次外循环中的动态信源数；
(5.4g)按照下式，计算失配相对误差：
其中，γl+1表示第l+1次外循环中的失配相对误差，l表示外循环次数，A表示导向矩阵，uk表示第k次内循环中的中间辅助矢量，X表示测量矩阵，||·||2表示取2范数操作；
(5.4h)按照下式，计算外循环相对误差值：
H1＝|γl+1-γl|；
其中，H1表示外循环相对误差值，γl+1和γl分别表示外循环次数为l+1和l时的失配相对误差，|·|表示取模值操作；
(5.4i)判断外循环相对误差值H1是否大于0.05，若是，则执行步骤(4.4b)，否则，执行步骤(4.4j)；
(5.4j)将外循环结束时的动态信源数值作为信源数的估计值；
(5.5)第一次估计目标到达角：
(5.5a)按照下式，寻找峰值位置矢量：
其中，pV表示恢复矢量取模值后按降序重排的峰值矢量，pI表示恢复矢量元素取模值降序重排后，恢复矢量原下标值经过重新排列得到的峰值位置矢量，findpeaks(·，′descend′)表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.5b)将峰值位置矢量中的第一个元素值，放入信源位置矢量的第一个位置，将峰值位置矢量中的下一个元素值依次放入信源位置矢量的第二个位置，直至放入信源位置矢量的元素个数与估计信源数的值相同时停止取值，得到最终信源位置矢量；
(5.5c)取出角度搜索范围Θ中与最终信源位置矢量中元素值相同的下标值对应的角度值，将取出的角度值放入第一次估计的目标到达角矢量中；
(5.6)按照下式，寻找峰值位置矢量：
其中，pV表示恢复矢量取模值后按降序重排的峰值矢量，pI表示恢复矢量元素取模值降序重排后，恢复矢量原下标值经过重新排列得到的峰值位置矢量，findpeaks(·，′descend′)表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.7)按照下式，计算当前代价函数：
其中，F(M)表示当前代价函数，pV(s)表示峰值矢量pV中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示峰值位置矢量pI的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.8)按照下式，计算当前峰值：
其中，表示当前峰值，表示当前峰值对应的位置下标，pV(s)表示峰值矢量pV中的第s个元素，s表示动态信源数，pI(s)表示峰值位置矢量pI中的第s个元素；
(5.9)计算左移代价函数：
(5.9a)用角度搜索范围中当前位置下标对应的角度减去可调栅格步长后得到的搜索角度范围作为左移角度搜索范围；
(5.9b)按照下式，计算左移导向矩阵：
A(L)＝[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θi)，…]
其中，A(L)表示左移导向矩阵，M表示天线阵列中的阵元个数，θi∈Θ(L)，∈表示属于符号，Θ(L)表示左移角度搜索范围，i表示搜索角度θi在左移角度搜索范围Θ(L)中的序号；
(5.9c)按照下式，计算左移导向矩阵的正交投影矩阵：
Φ(L)＝I-(A(L))H(A(L)(A(L))H)-1A(L)
其中，Φ(L)表示左移导向矩阵A(L)的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，A(L)表示左移导向矩阵，H表示共轭转置操作，-1表示求逆操作；
(5.9d)按照下式，计算左移恢复矢量：
其中，表示左移恢复矢量，u(L)表示左移辅助矢量，Φ(L)表示左移导向矩阵A(L)的正交投影矩阵；
(5.9e)按照下式，寻找左移峰值位置矢量：
其中，表示左移恢复矢量取模值后按降序重排的左移峰值矢量，表示左移恢复矢量元素取模值降序重排后，左移恢复矢量原下标值经过重新排列得到的左移峰值位置矢量，findpeaks(·，′descend′)表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.9f)按照下式，计算左移代价函数：
其中，F(L)表示左移代价函数，表示左移峰值矢量中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示左移恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示左移峰值位置矢量的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.10)计算右移代价函数：
(5.10a)用角度搜索范围中当前位置下标对应的角度加上可调栅格步长后得到的搜索角度范围作为右移角度搜索范围；
(5.10b)按照下式，计算右移导向矩阵：
A(R)＝[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θi)，…]
其中，A(R)为右移导向矩阵，M表示天线阵列中的阵元个数，θi∈Θ(R)，∈表示属于符号，Θ(R)表示右移角度搜索范围，i表示搜索角度θi在右移角度搜索范围Θ(R)中的序号；
(5.10c)按照下式，计算右移导向矩阵的正交投影矩阵：
Φ(R)＝I-(A(R))H(A(R)(A(R))H)-1A(R)
其中，Φ(R)表示右移导向矩阵A(R)的正交投影矩阵，I表示单位矩阵，A(R)表示右移导向矩阵，H表示共轭转置操作，-1表示求逆操作；
(5.10d)按照下式，计算右移恢复矢量：
其中，表示右移恢复矢量，u(R)表示右移辅助矢量，Φ(R)表示右移导向矩阵A(R)的正交投影矩阵；
(5.10e)按照下式，寻找右移峰值位置矢量：
其中，表示右移恢复矢量取模值后按降序重排的右移峰值矢量，表示右移峰值矢量元素取模值降序重排后，右移恢复矢量原下标值经过重新排列得到的右移峰值位置矢量，findpeaks(·，′descend′)表示寻找局部峰值并将局部峰值按降序排列，|·|表示取模值操作；
(5.10f)按照下式，计算右移代价函数：
其中，F(R)表示右移代价函数，表示右移峰值矢量中的第s个元素，s表示动态信源数，∑(·)表示求和，表示右移恢复矢量中的第i个元素， 表示不属于符号，表示右移峰值位置矢量的前个元素，表示信源数的估计值，|·|表示取模值操作；
(5.11)更新当前栅格参数：
(5.11a)判断左移代价函数是否同时大于当前代价函数和右移代价函数，若是，则执行步骤(5.11b)，否则，执行步骤(5.11e)；
(5.11b)将步骤(5.7)的当前代价函数的值更新为左移代价函数的值；
(5.11c)将恢复矢量的元素值更新为左移恢复矢量的元素值；
(5.11d)按照下式，更新目标到达角矢量：
其中，表示更新后的目标到达角矢量，Θ(L)表示左移角度搜索范围，表示左移峰值位置矢量的第s个元素，s表示动态信源数；
(5.11e)判断右移代价函数是否同时大于当前代价函数和左移代价函数，若是，则执行步骤(5.11f)，否则，执行步骤(5.12)；
(5.11f)将当前代价函数的值更新为右移代价函数的值；
(5.11g)将恢复矢量的元素值更新为右移恢复矢量的元素值；
(5.11h)按照下式，更新目标到达角估计矢量：
其中，表示更新后的目标到达角估计矢量，Θ(R)表示右移角度搜索范围，表示右移峰值位置矢量的第s个元素，s表示动态信源数；
(5.12)判断可调栅格步长Δ是否大于栅格优化精度ξθ，若是，则执行步骤(5.9)，否则，执行步骤(5.13)；
(5.13)按照下式，更新目标到达角估计矢量：
其中，表示更新后的目标到达角估计矢量的第s个元素值，s表示动态信源数，表示更新后的目标到达角估计矢量，表示当前峰值对应的位置下标；
(5.14)判断动态信源数是否小于信源数，若是，则执行步骤(5.6)，否则，执行步骤(5.15)；
(5.15)获得第二次目标到达角估计矢量：
将步骤(5.13)中更新后的目标到达角矢量作为第二次的目标到达角估计矢量。
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