CN105335615A - 一种低复杂度的二维角度和极化参数联合估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种低复杂度的二维角度和极化参数联合估计方法。采用交叉电偶极子在XOY坐标系中构成均匀平面方阵，对信号进行接收。首先，充分利用接收阵列的旋转不变特性，从接收数据的协方差矩阵中解出X轴的阵列流型矩阵。然后，利用矢量间Kronecker积的特性逐步解出Y轴的阵列流型矩阵和极化敏感矩阵。最后，综合三个矩阵内部元素之间的关系，解出DOA参数和极化参数。本发明在参数求解过程，利用矢量间Kronecker积的特性可以使得参数之间自动配对，无需额外算法；同时，该计算过程仅仅涉及矩阵之间的乘加运算，相对其他自动配对算法，避免了矩阵SVD等复杂操作，有效的降低了计算复杂度，便于快速实现。

Description

一种低复杂度的二维角度和极化参数联合估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理领域，尤其涉及二维角度和极化参数的联合估计。

背景技术

极化敏感阵列，相对于普通阵列，具有优越的系统性能：较强的抗干扰能力、稳健的检测能力、较高的分辨能力及极化多址能力，具有更加广泛的应用前景，如日益复杂的电子战环境、越来越大的通信业务需求量等。极化敏感阵列信号处理，引起越来越多学者的研究兴趣，自上世纪90年代开始日趋活跃，逐步成为阵列信号处理研究新的热点。

基于极化敏感阵列的信号角度和极化参数联合估计是极化敏感阵列信号处理的一个重要研究内容，在过去的十几年中，受到广泛的关注，并提出了许多有效的联合估计方法。传统的最大似然估计算法可以得到渐进有效的参数估计，但受限于其过大的计算量。MUSIC类算法虽可以得到比较高的参数估计精度，但其需要进行二维搜谱，计算量也很大。

LiJian等最先利用ESPRIT方法分别研究了均匀线阵极化敏感阵列对窄带电磁信号一维到达角(方位角)和极化参数的联合估计，采用正交电偶极子构成均匀阵列，利用阵列的旋转不变性，不用搜索直接给出信号的到达角和极化参数，之后又将其推广到均匀平面方阵上，进行二维到达角(方位角和俯仰角)和极化参数的联合估计。但是，该算法在估计各个参数时是分开进行的，故而需要进行额外的配对算法，当配对出现错误时，就导致参数估计错误。ChenFang-Jiong等为了实现参数估计的自动配对，采用同心正交的三个电偶极子和三个电流环构成均匀平面阵列，这样加大了系统硬件实现成本，同时其参数估计过程涉及矩阵的SVD等复杂操作，计算量依旧较大。在实际应用中，系统硬件实现成本和算法计算量是两个必须要考虑的因素，低成本和低复杂度是系统实现所追求的目标。

发明内容

本发明为解决上述技术问题所提供的技术方案是，采用LiJian等所构造的均匀平面阵列来对信号进行接收，同时充分利用矢量间Kronecker积的特性使得参数之间实现自动配对，避免了额外配对算法所引起的错误，提高了参数估计精度，而且计算过程中仅仅涉及矩阵的普通乘加运算，计算量较小，便于快速实现。具体实现包括以下步骤：

㈠采用L²个交叉偶极子构成均匀平面方阵接收的K个信号源的数据表示为z(t)＝As(t)+n(t)，其中，z(t)＝[z₁₁(t),...,z_1L(t),z₂₁(t),...,z_2L(t),...,z_LL(t)]^T表示各个阵元接收信号所构成的数据矢量，s(t)＝[s₁(t),s₂(t),...,s_K(t)]^T表示阵列接收到的由K个信号源发射的信号数据矢量，n(t)＝[n₁₁(t),...,n_1L(t),n₂₁(t),...,n_2L(t),...,n_LL(t)]^T表示与各个信号源不相关的加性零均值高斯白噪声，(·)^T表示矩阵的转置，L表示每个平行于X轴或Y轴的线阵包含的阵元个数，矩阵A为极化敏感阵列的广义阵列流型矩阵，表达式为 $\begin{array}{c}A=\[a_1,a_2,...,a_K\]\\ a_k=a_{xk}\⊗a_{yk}\⊗u_k\end{array},$ 令A_x＝[a_x1,a_x2,...,a_xK]表示平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵，A_y＝[a_y1,a_y2,...,a_yK]表示Y轴的线阵的阵列流型矩阵，u＝[u₁,u₂,...,u_K]表示由K个信号的极化矢量构成的极化矩阵，则有A＝A_x⊙A_y⊙U，其中，⊙表示矩阵间的Kratri-Rao积，即极化敏感阵列的广义阵列流型矩阵A为三个矩阵A_x,A_y,U的Kratri-Rao积。a_xk,a_yk,k＝1,2,...,K分别表示平行于X、Y轴的线阵的导向矢量，u_k表示第k个信号的极化矢量，表示Kronecker积，a_k表示极化敏感阵列的广义导向矢量，即为三个矢量的Kronecker积，其表达式为 $\begin{array}{c}{a}_{xk}={\[1,p_{xk},...,p_{xk}^{L-1}\]}^T\∈C^{L\×1},p_{xk}=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\σ}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}\\ a_{yk}={\[1,p_{yk},...,p_{yk}^{L-1}\]}^T\∈C^{L\×1},p_{yk}=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}\\ u_k=\left[\begin{array}{cc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\φ}}_k\right)& -\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)\\ \cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)& cos\left({\mathrm{\φ}}_k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{{\mathrm{j\η}}_k}\\ cos\left({\mathrm{\γ}}_k\right)\end{array}\right]\\ p_{xk},k=1,...,K\end{array},$ 其中， $p_x=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}{\mathrm{\λ}}sin\left(\mathrm{\θ}\right)cos\left(\mathrm{\φ}\right)},p_y=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}{\mathrm{\λ}}sin\left(\mathrm{\θ}\right)sin\left(\mathrm{\φ}\right)}$ 分别表示X、Y轴的空间相移因子，分表表示第k个信号的仰角和方位角，每个入射信号具有任意的极化状态(γ_k,η_k)，γ_k,η_k分别表示第k个信号的极化辅助角和极化相位差，λ表示入射信号的波长，δ表示均匀平面方阵中相邻阵元之间的间隔，考虑N个时间快拍，即观测时刻有N个，分别为t_n,n＝1,...,N，信源发射信号为s(t_n),n＝1,...,N，则阵列接收数据为N个接收信号z(t_n),n＝1,...,N，用矩阵表示为

Z＝AS+N

Z＝[z(t₁),z(t₂),...,z(t_N)]

S＝[s(t₁),s(t₂),...,s(t_N)]；

N＝[n(t₁),n(t₂),...,n(t_N)]

A＝A_x⊙A_y⊙U

㈡利用步骤㈠中的数据，计算阵列接收数据的协方差矩阵，对其进行EVD得到信号子空间V_s及极化敏感阵列广义阵列流型矩阵A与信号子空间V_s的关系：

假设信号个数是已知的，由阵列接收数据矩阵Z得到阵列接收数据的协方差矩阵(·)^H表示矩阵的共轭转置，对其进行EVD，得到 $\begin{array}{c}R={\mathrm{V\ΣV}}^H\\ V=\[e_1,e_2,...,e_K,e_{K+1},...,e_{2L^2}\]\\ \mathrm{\Σ}=diag\{{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_K,{\mathrm{\λ}}_{K+1},...,{\mathrm{\λ}}_{2L^2}\}\end{array},$ 其特征值由大到小排列为相应的特征矢量因为协方差矩阵的K个大特征值对应的特征矢量所张成的空间与入射信号的导向矢量所张成的空间是相同的，同为信号子空间V_s，即span{e₁,e₂,...,e_K}＝span{a₁,...,a_K}，故而存在唯一的非奇异变换矩阵T∈C^K×K满足 $\begin{array}{c}A=V_{s}T,\\ V_s=V(:,1:K)\end{array};$

㈢利用步骤㈡中的信号子空间V_s与广义阵列流型矩阵A之间的关系，使用ESPRIT算法估计得到平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x的各个范德蒙生成元p_xk,k＝1,...,K：平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x具有范德蒙结构，且其与矩阵(AA_y⊙U_y⊙U)之间的Kratri-Rao积，构成广义阵列流型矩阵A，具有如下结构令A _x＝A(1:2L(L-1),:)、分别表示矩阵A的前、后2L(L-1)行所构成的子矩阵，则二者满足 $\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{A}}_x={\underset{\‾}{A}}_{x}diag\{p_{x1},p_{x2},...,p_{xK}\}={\underset{\‾}{A}}_x{\mathrm{\Φ}}_{xp}\\ {\mathrm{\Φ}}_{xp}=diag\{p_{x1},p_{x2},...,p_{xK}\}\end{array},$ 类似的，分别取信号子空间V_s的前、后2L(L-1)行所构成的子矩阵与矩阵A两个子矩阵之间满足 $\begin{array}{c}{\underset{\‾}{A}}_x={\underset{\‾}{V}}_{sx}T\\ {\stackrel{\‾}{A}}_x={\stackrel{\‾}{V}}_{sx}T={\underset{\‾}{V}}_{sx}{\mathrm{T\Φ}}_{xp}\end{array},$ 不同信号之间相互独立，故而矩阵A满足列满秩，得到矩阵Ψ_xp,Φ_xp之间是相似的，即Ψ_xp的特征值构成的对角阵一定等于对角阵Φ_xp，Ψ_xp对应的特征矢量构成矩阵T的各列，对矩阵Ψ_xp进行EVD，即可得到对角阵Φ_xp；

㈣利用步骤㈢中解得的对角阵Φ_xp、变换矩阵T及A＝V_sT，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵(A_y⊙U)：

任意两个矢量a＝[a₁,a₂,...,a_N]^T∈C^N×1、b＝[b₁,b₂,...,b_M]^T∈C^M×1，二者之间的Kronecker积满足如下的关系其中，表示两个矢量之间的Kronecker积，I_M表示M×M的单位阵，由对角阵Φ_xp可以构造出平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x，由A＝V_sT且A＝A_x⊙(A_y⊙U)可以解出矩阵，记矩阵

B＝A_y⊙U＝[b₁,b₂,...,b_K]，T＝[t₁,t₂,...,t_K]则

$b_i=\left(\right(\frac{a_{xi}^H}{a_{xi}^H{a}_{xi}})\⊗I_K)(a_{xi}\⊗b_i)=\left(\right(\frac{a_{xi}^H}{a_{xi}^H{a}_{xi}})\⊗I_K)V_s{t}_i,i\∈\{1,...,K\},$ 即解得矩阵

A_y⊙U＝[b₁,b₂,...,b_K]；

㈤利用步骤㈣中解得的矩阵B＝A_y⊙U，使用ESPRIT算法估计得到平行于Y轴的线阵的阵列流型矩阵A_y的各个范德蒙生成元p_yk,k＝1,...,K：平行于Y轴的线阵的阵列流型矩阵A_y同样具有范德蒙结构，类似步骤㈢中的做法，令B＝B(1:2(L-1),:)、分别表示矩阵B的前、后2(L-1)行所构成的子矩阵，则二者满足 $\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{B}=\underset{\‾}{B}diag\{p_{y1},p_{y2},...,p_{yK}\}=\underset{\‾}{B}{\mathrm{\Φ}}_{yp}\\ {\mathrm{\Φ}}_{yp}=diag\{p_{y1},p_{y2},...,p_{yK}\}\end{array},$ 则解得对角矩阵

㈥利用步骤㈤解得的对角阵Φ_yp、矩阵B＝A_y⊙U，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵U，类似步骤㈣，由对角阵Φ_yp可以构造出矩阵A_y，根据矢量之间Kronecker积的特性解得 $u_i=\left(\right(\frac{a_{yi}^H}{a_{yi}^H{a}_{yi}})\⊗I_2)(a_{yi}\⊗u_i)=\left(\right(\frac{a_{yi}^H}{a_{yi}^H{a}_{yi}})\⊗I_2)b_i,i\∈\{1,...,K\},$ 即得到极化矩阵U；

㈦利用前面解得三个矩阵Φ_xp,Φ_yp,U，求解二维到达角和极化参数：

根据各个参数与三个矩阵之间的对应关系

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{xp}=diag\{p_{x1},p_{x2},...,p_{xK}\},p_{xk}=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_{yp}=diag\{p_{y1},p_{y2},...,p_{yK}\},p_{yk}=e^{j\frac{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}\\ u_k=\left[\begin{array}{cc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\φ}}_k\right)& -\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)\\ \cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\right)& cos\left({\mathrm{\φ}}_k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{{\mathrm{j\η}}_k}\\ cos\left({\mathrm{\γ}}_k\right)\end{array}\right]\end{array}$

可以得到 $\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_k={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{\λ}}{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}\sqrt{{\arg }^2\left(p_{xk}\right)+{\arg }^2\left(p_{xk}\right)}\right)\\ {\mathrm{\φ}}_k={\tan }^{-1}\left(\frac{\arg \left(p_{xk}\right)}{\arg \left(p_{xk}\right)}\right)\\ {\mathrm{\γ}}_k={\tan }^{-1}\left(\right|\frac{1+r_k\tan \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}{\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)(r_k-\tan ({\mathrm{\φ}}_k))}\left|\right)\\ {\mathrm{\η}}_k=\arg \left(\right|\frac{1+r_k\tan \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}{\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)(r_k-\tan ({\mathrm{\φ}}_k))}\left|\right),k=1,...,K\end{array}.$

本发明的有益效果是：

本发明均匀平面阵列来对信号进行接收，同时充分利用矢量间Kronecker积的特性使得参数之间实现自动配对，避免了额外配对算法所引起的错误，提高了参数估计精度，而且计算过程中仅仅涉及矩阵的普通乘加运算，计算量较小，便于快速实现。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2是本发明采用的均匀平面方阵的布阵示意图。

图3是两个信源的二维角度和极化参数参数估计的RMSE随采样快拍数的变化曲线图。

图4是两个信源的二维角度和极化参数参数估计的RMSE随输入信号信噪比的变化曲线图

图5是不同信源个数下，二维角度和极化参数参数估计的RMSE随输入信号信噪比的变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。这些实施例应理解为仅用于说明本发明而不用于限制本发明的保护范围。在阅读本发明记载的内容之后，本领域技术人员可以对本发明做各种改动或修改，这些等效变化和修饰同样落入本发明权利要求所限定的范围。

实施例1

本发明的参数估计性能随输入信号信噪比的变化仿真：

实施例1，采用如附图2所示的由16对交叉偶极子构成4×4的均匀平面方阵，阵元间距为半波长，以坐标系原点为参考阵元，两个信号以不同的二维角度-极化对(10,20,40,20)和(12,60,20,10)入射到阵列上，采样快拍数为200，做500次蒙特卡洛实验，进行参数估计RMSE计算。

实施例1中信号功率估计方法包括以下步骤：

㈠计算阵列接收数据的协方差矩阵，对其进行EVD得到信号子空间V_s及极化敏感阵列广义阵列流型矩阵A与信号子空间V_s的关系，使用ESPRIT算法估计得到平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x的各个范德蒙生成元p_xk构成的对角阵Φ_xp；

㈡利用步骤㈠中解得的对角阵Φ_xp、变换矩阵T及A＝V_sT，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵B＝A_y⊙U，使用ESPRIT算法估计得到平行于Y轴的线阵的阵列流型矩阵A_y的各个范德蒙生成元p_yk构成的对角阵Φ_yp；

㈢利用步骤㈡解得的对角阵Φ_yp、矩阵B＝A_y⊙U，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵U；

㈣利用前面解得三个矩阵Φ_xp,Φ_yp,U，根据各个参数与三个矩阵之间的对应关系，按照如下的计算公式解得各个参数：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\θ}}_k={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{\λ}}{2\mathrm{\π}\mathrm{\δ}}\sqrt{{\arg }^2\left(p_{xk}\right)+{\arg }^2\left(p_{xk}\right)}\right)& {\mathrm{\φ}}_k={\tan }^{-1}\left(\frac{\arg \left(p_{xk}\right)}{\arg \left(p_{xk}\right)}\right)\\ {\mathrm{\γ}}_k={\tan }^{-1}\left(\right|\frac{1+r_k\tan \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}{\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)(r_k-\tan ({\mathrm{\φ}}_k))}\left|\right)& {\mathrm{\η}}_k=\arg \left(\right|\frac{1+r_k\tan \left({\mathrm{\φ}}_k\right)}{\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)(r_k-\tan ({\mathrm{\φ}}_k))}\left|\right),k=1,...,K\end{array}$

按照本发明的方法估计二维DOA和极化参数，得到各个参数的估计RMSE。可以看到，利用本发明提出的低复杂度二维角度和极化参数联合估计方法可以很好的对二维DOA和极化参数进行配对并得到有效的估计。

实施例2

本发明的参数估计性能随快拍数的变化仿真：

实施例2，采用如附图2所示的由16对交叉偶极子构成4×4的均匀平面方阵，阵元间距为半波长，以坐标系原点为参考阵元，两个信号以不同的二维角度-极化对(10,20,40,20)和(12,60,20,10)入射到阵列上，输入信号的信噪比为10dB，做500次蒙特卡洛实验，进行参数估计RMSE计算。

其具体的实施步骤与类似，此处不再详细列出，只给出其仿真结果。可以看出，利用本发明提出的低复杂度二维角度和极化参数联合估计方法可以在快拍数比较少时得到有效的估计。

实施例3

不同信源个数下，本发明的参数估计性能的对比：

实施例3，采用如附图2所示的由16对交叉偶极子构成4×4的均匀平面方阵，阵元间距为半波长，以坐标系原点为参考阵元，三个信号以不同的二维角度-极化对(10,20,40,20)、(12,60,20,10)和(14,30,60,40)入射到阵列上，采样快拍数为200，做500次蒙特卡洛实验，进行参数估计RMSE计算。

其具体的实施步骤与类似，此处不再详细列出，只给出其仿真结果。可以看出，随着信源个数的增加，相同条件下，各个参数估计性能均有所下降，但是利用本发明提出的低复杂度二维角度和极化参数联合估计方法依然可以得到有效的参数估计。

Claims (1)

1.一种低复杂度的二维角度和极化参数联合估计方法，其特征在于，包括如下步骤：㈠采用L²个交叉偶极子构成均匀平面方阵接收的K个信号源的数据表示为z(t)＝As(t)+n(t)，其中，z(t)＝[z₁₁(t),...,z_1L(t),z₂₁(t),...,z_2L(t),...,z_LL(t)]^T表示各个阵元接收信号所构成的数据矢量，s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_K(t)]^T表示阵列接收到的由K个信号源发射的信号数据矢量，n(t)＝[n₁₁(t),...,n_1L(t),n₂₁(t),...,n_2L(t),...,n_LL(t)]^T表示与各个信号源不相关的加性零均值高斯白噪声，(·)^T表示矩阵的转置，L表示每个平行于X轴或Y轴的线阵包含的阵元个数，矩阵A为极化敏感阵列的广义阵列流型矩阵，表达式为令A_x＝[a_x1,a_x2,…,a_xK]表示平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵，A_y＝[a_y1,a_y2,…,a_yK]表示Y轴的线阵的阵列流型矩阵，u＝[u₁,u₂,…,u_K]表示由K个信号的极化矢量构成的极化矩阵，则有A＝A_x⊙A_y⊙U，其中，⊙表示矩阵间的Kratri-Rao积，即极化敏感阵列的广义阵列流型矩阵A为三个矩阵A_x,A_y,U的Kratri-Rao积。a_xk,a_yk,k＝1,2,...,K分别表示平行于X、Y轴的线阵的导向矢量，u_k表示第k个信号的极化矢量，表示Kronecker积，a_k表示极化敏感阵列的广义导向矢量，即为三个矢量的Kronecker积，其表达式为其中，p_xk,k＝1,…,K分别表示X、Y轴的空间相移因子，分表表示第k个信号的仰角和方位角，每个入射信号具有任意的极化状态(γ_k,η_k)，γ_k,η_k分别表示第k个信号的极化辅助角和极化相位差，λ表示入射信号的波长，δ表示均匀平面方阵中相邻阵元之间的间隔，考虑N个时间快拍，即观测时刻有N个，分别为t_n,n＝1,…,N，信源发射信号为s(t_n),n＝1,…,N，则阵列接收数据为N个接收信号z(t_n),n＝1,…,N，用矩阵表示为

Z＝AS+N

Z＝[z(t₁),z(t₂),…,z(t_N)]

S＝[s(t₁),s(t₂),…,s(t_N)]；

N＝[n(t₁),n(t₂),…,n(t_N)]

A＝A_x⊙A_y⊙U

㈡利用步骤㈠中的数据，计算阵列接收数据的协方差矩阵，对其进行EVD得到信号子空间V_s及极化敏感阵列广义阵列流型矩阵A与信号子空间V_s的关系：

假设信号个数是已知的，由阵列接收数据矩阵Z得到阵列接收数据的协方差矩阵(·)^H表示矩阵的共轭转置，对其进行EVD，得到其特征值由大到小排列为相应的特征矢量因为协方差矩阵的K个大特征值对应的特征矢量所张成的空间与入射信号的导向矢量所张成的空间是相同的，同为信号子空间V_s，即span{e₁,e₂,…,e_K}＝span{a₁,…,a_K}，故而存在唯一的非奇异变换矩阵T∈C^K×K满足

㈢利用步骤㈡中的信号子空间V_s与广义阵列流型矩阵A之间的关系，使用ESPRIT算法估计得到平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x的各个范德蒙生成元p_xk,k＝1,…,K：平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x具有范德蒙结构，且其与矩阵(AA_y⊙U_y⊙U)之间的Kratri-Rao积，构成广义阵列流型矩阵A，具有如下结构令A _x＝A(1:2L(L-1),:)、分别表示矩阵A的前、后2L(L-1)行所构成的子矩阵，则二者满足类似的，分别取信号子空间V_s的前、后2L(L-1)行所构成的子矩阵V _sx，与矩阵A两个子矩阵之间满足不同信号之间相互独立，故而矩阵A满足列满秩，得到矩阵Ψ_xp,Φ_xp之间是相似的，即Ψ_xp的特征值构成的对角阵一定等于对角阵Φ_xp，Ψ_xp对应的特征矢量构成矩阵T的各列，对矩阵Ψ_xp进行EVD，即可得到对角阵Φ_xp；

㈣利用步骤㈢中解得的对角阵Φ_xp、变换矩阵T及A＝V_sT，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵(A_y⊙U)：

任意两个矢量a＝[a₁,a₂,…,a_N]^T∈C^N×1、b＝[b₁,b₂,…,b_M]^T∈C^M×1，二者之间的Kronecker积满足如下的关系其中，表示两个矢量之间的Kronecker积，I_M表示M×M的单位阵，由对角阵Φ_xp可以构造出平行于X轴的线阵的阵列流型矩阵A_x，由A＝V_sT且A＝A_x⊙(A_y⊙U)可以解出矩阵，记矩阵

B＝A_y⊙U＝[b₁,b₂,…,b_K]，T＝[t₁,t₂,…,t_K]则

即解得矩阵

A_y⊙U＝[b₁,b₂,…,b_K]；

㈤利用步骤㈣中解得的矩阵B＝A_y⊙U，使用ESPRIT算法估计得到平行于Y轴的线阵的阵列流型矩阵A_y的各个范德蒙生成元p_yk,k＝1,…,K：平行于Y轴的线阵的阵列流型矩阵A_y同样具有范德蒙结构，类似步骤㈢中的做法，令B＝B(1:2(L-1),:)、分别表示矩阵B的前、后2(L-1)行所构成的子矩阵，则二者满足则解得对角矩阵

㈥利用步骤㈤解得的对角阵Φ_yp、矩阵B＝A_y⊙U，根据矢量之间Kronecker积的特性计算矩阵U，类似步骤㈣，由对角阵Φ_yp可以构造出矩阵A_y，根据矢量之间Kronecker积的特性解得即得到极化矩阵U；

㈦利用前面解得三个矩阵Φ_xp,Φ_yp,U，求解二维到达角和极化参数：

根据各个参数与三个矩阵之间的对应关系

可以得到。