CN109375152A

CN109375152A - 电磁矢量嵌套l阵下低复杂度的doa与极化联合估计方法

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Publication number: CN109375152A
Application number: CN201811031916.8A
Authority: CN
Inventors: 林新平; 张小飞; 何浪; 周梦婕
Original assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Current assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Priority date: 2018-09-05
Filing date: 2018-09-05
Publication date: 2019-02-22
Anticipated expiration: 2038-09-05
Also published as: CN109375152B

Abstract

本发明提出了一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，将电磁矢量传感器阵列和嵌套L阵结合，首先通过引入空间平滑技术，对嵌套L阵矢量化后得到的连续虚拟面阵进行平滑处理，得到一个具有满秩特性的虚拟接收信号协方差矩阵，对其特征值分解后利用子空间类算法PM算法实现信号DOA与极化信息联合估计，电磁矢量传感器阵列不仅能获得信号的到达角信息，又能获得信号的极化信息，在阵列信号处理领域具有重要的应用价值。本发明提出的方法不需要空间谱搜索，具有较低的算法复杂度，得到的DOA估计角度能实现自动匹配，嵌套阵的应用提供了更大的阵列孔径支撑，而且具有更高的空间自由度和更优的参数估计性能。

Description

电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法

技术领域

本发明是一种矢量传感器阵列下的信号源定位方法，具体为远场信号源的角度估计和极化参数估计方法，属于阵列信号处理领域。

背景技术

嵌套阵作为一种新提出的阵列结构，相比于传统均匀阵列，具有更大的阵列孔径和更高的空间自由度。一个具有N个传感器的嵌套阵列自由度可达到O{N²}。在引入空间平滑技术对嵌套阵虚拟接收信号处理后，可以利用现有的子空间类DOA(Direction ofArrival，波达方向)估计算法实现空间目标源的角度估计，而电磁矢量传感器阵列不仅能够获得空间电磁信号的角度参数信息，又能获得信号的极化信息，在阵列信号处理领域有着广泛的应用。相比于传统标量传感器阵列，电磁矢量传感器阵列在系统检测能力、极化多址能力、抗干扰能力等方面，都有较大的优势。然而目前国内外学者对于极化敏感阵列在嵌套阵中应用研究较少，尤其表现在低复杂度方法下的嵌套L阵与电磁矢量传感器的应用研究上。本发明提出的电磁矢量传感器阵列在嵌套L阵的应用方法，可以充分结合两种阵列的优势，实现DOA与极化参数的联合估计，且复杂度较低。

发明内容

发明目的：本发明旨在解决嵌套L阵下电磁矢量传感器DOA与极化参数估计问题，且要求具有较低的复杂度。

技术方案：

为了解决上述提出的问题，提出了一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，首先在二维空间上布置一个由电磁矢量传感器构成的嵌套L阵，对嵌套L阵的接收信号协方差矩阵进行矢量化运算，从而获得一个扩展的虚拟面阵接收信号矢量，引入空间平滑技术恢复虚拟接收信号协方差矩阵的满秩特性，再通过子空间类PM算法实现DOA角度与极化参数的联合估计。

具体包括如下步骤：

步骤一：矢量化接收信号协方差矩阵R，对矢量化后得到的虚拟信号r进行行变换后得到新的虚拟信号r'；

步骤二：新的虚拟信号r'中包含连续部分与非连续部分，选取连续虚拟面阵部分信号记为通过二维空间平滑技术对虚拟面阵接收信号的各个子阵信号空间平滑，并求得满秩协方差矩阵

步骤三：通过构造传播算子P，将得到的E分成两个部分E₁和E₂，对E₁取伪逆运算得到E₁+，对E₁+E₂进行特征分解可以得到

步骤四：获得虚拟子面阵导向矢量的估计值，对E重构得到E'，用E'构造得到部分E'₁和E'₂，对E'₁取伪逆运算得到E'₁ ⁺，对E'₁ ⁺E'₂进行特征分解可以得到利用获得的和得到方位角和仰角的角度估计值；

步骤五：利用的估计值构造a_x,k和a_z,k，求出极化参数和

进一步地，步骤一具体为：

假设空间远场有K个不相关的窄带完全极化信号入射到电磁矢量嵌套L阵上，其中电磁矢量传感器阵列是由平行于X轴和平行于Z轴的一对电偶极子组成，X轴和Y轴上都为二级嵌套线阵，一级子阵阵元数为M，阵元间距为d，二级子阵阵元数为N，阵元间距为(M+1)d，其中d＝λ/2，λ表示为电磁波波长，

阵列的阵元位置可以用如下集合表示，

S_x＝{(md,0,0)∪(nd,0,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

S_y＝{(0,md,0)∪(0,nd,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

第k个信号(k＝1,2,…,K)的极化矢量可以表示为，

其中e_x和e_z分别表示x轴和z轴上的电偶极子矢量，分别为第k个信号源的仰角、方位角、极化辅角和极化相位差，θ∈[0,π]，γ∈[0,π/2]，η∈[-π,π]，假设那么阵列方向矢量可以表示为其中q_xk和q_yk分别为

所提电磁矢量传感器阵列的导向矢量可以表示为

其中a_K为导向矢量，接收信号可以表示为

X(t)＝AS(t)+N(t)

其中S(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_K(t)]^T为信源矩阵，N(t)为高斯白噪声矩阵，

根据接收信号X(t)可以得出接收信号协防差矩阵为，

R＝E{X(t)X^H(t)}

＝AR_sA^H+σ²I_2(M+N)

其中R_s＝diag(σ₁ ²,σ₂ ²,…,σ_K ²),σ_k ²表示第k个信号的功率，σ²表示噪声功率，不考虑噪声影响下，对接收信号协方差矩阵矢量化可得到

其中r为一个新的虚拟接收信号，其导向矢量变为A^*⊙A，对r行变换后重构可得r'如下：

进一步地，步骤二具体为：假设那么可以表示为

根据差分阵列的概念，可知可以表示为一个虚拟面阵的方向矢量，此时的虚拟面阵包含连续部分和不连续部分，并且连续部分阵元间距为半波长，

根据上述表达式，虚拟面阵方向矢量分为四个部分，分别为和对应于虚拟阵元位置分别表示为S_xx，S_xy，S_yx和S_yy，

S_xx＝{(x,0,0)|x＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_yy＝{(0,y,0)|y＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_xy＝{(-x,y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

S_yx＝{(x,-y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

S_xx，S_xy中阵元连续且间隔为1，而S_yx和S_yy只有部分间距为1的连续阵元，选取S_xx，S_xy，S_yx和S_yy中相接的阵元连续部分，设其阵元位置坐标为S1和S2，S1和S2阵元坐标可以表示为S1＝{(-x,y,0)|x＝y＝0,1,…(M+1)}，S2＝{(x,-y,0)|x＝y＝0,1,…(M+1)}，选取连续虚拟面阵S1，设其方向矢量为表示为

根据嵌套阵列理论，虚拟面阵S1的接收信号可从虚拟接收信号r'中选取得到，具体表现为根据虚拟接收信号的阵元位置从r'中选取对应的接收数据，其中可以表示为

S1虚拟面阵大小为(M+2)×(M+2)，为了得到精确的DOA与极化参数估计值，引入空间平滑技术恢复虚拟接收信号协方差矩阵的满秩特性，假设S1_w是S1中的第w个连续子面阵，其大小设为i×i，其中1≤i＜M+2，可知S1中共有(M+3-i)²个不同的连续子面阵，也就是说w＝1,2,…,(M+3-i)²，假设S1_w的虚拟接收信号设为可知是根据S1_w中对应的阵元位置从中选取得到的，其协方差矩阵表示为引入二维空间平滑技术得到，

假设其中

根据嵌套阵列理论，可知可以重新表示为

从上式可得协防差矩阵满足满秩特性，利用可以将子空间类DOA估计算法应用于其中实现角度与极化的联合估计。

进一步地，步骤三具体为：协方差矩阵可分解为其中根据最小二乘法则，传播算子P的解可以表示为

P＝G⁺H

将分块为其中根据传播算子理论，和的关系可以表示为

其中，H是共轭转置，

构造下列关系式

其中，是一个满秩矩阵，构造矩阵E₁₁＝E(1:i(i-1),:)，E₁₁表示取E的第1到i(i-1)行，同理构造E₁₂＝E((i²+1):2i(i-1),:)，E₁₃＝E((2i²+1):3i(i-1),:)，E₁₄＝E((3i²+1):4i(i-1),:)，将所有值组合为E₁＝[E₁₁ ^T,E₁₂ ^T,E₁₃ ^T,E₁₄ ^T]^T，同理构造矩阵E₂₁＝E((i+1):i²,:)，E₂₂＝E(i²+(i+1):2i²,:)，E₂₃＝E(2i²+(i+1):3i²,:)，E₂₄＝E(3i²+(i+1):4i²,:)，令E₂＝[E₂₁ ^T,E₂₂ ^T,E₂₃ ^T,E₂₄ ^T]^T，可知E₁和E₂之间存在关系式

ψ_y＝E₁ ⁺E₂＝T^-1Φ_yT

其中E₁ ⁺表示对E₁取伪逆运算，对ψ_y特征值分解可得K个特征值λ_k(k＝1,2,…,K),其特征矢量对应于可得为

进一步地，步骤四具体为：获得的估计值为在不考虑噪声情况下，对交换行顺序，可以重构出表示为

构造矩阵同理于E构造得到E₁和E₂，根据同样的步骤，可以用E'构造得到E₁'和E₂'，可知E₁'和E₂'之间存在关系式

其中为了实现仰角与方位角的自动匹配，需要保证和Φ_y具有相同的列模糊，即对应于相同的待估计角度，保证其估计信息位于和Φ_y中相同的列，那么需通过构造式子获得，从而得知为

其中为的第k个对角元素值，k＝1,2,…,K。

通过获得的估计值和方位角和仰角分别表示为

进一步地，步骤五具体为：根据获得的的估计值极化参数估计值能够被唯一确定，令a_x,k表示的第1到第i²行，第k列，k＝1,2,…,K，同理令可以得知a_x,k和a_z,k存在关系式

令p_u＝pinv(a_z,k)·a_x,k，再根据得到的角度估计值，可知和为

有益效果：

1.对比于均匀L阵列下的角度估计方法，本发明提出的方法具有更高的空间自由度，能实现更多的信源估计；

2.对于采用同一算法下的均匀L阵电磁矢量传感器的DOA与极化参数估计方法，本发明方法具有更好的角度与极化参数估计性能；

3.本发明的方法具有较低的复杂度。

附图说明

图1是本发明的阵列结构拓扑图；

图2是不同信噪比条件下不同阵列和不同方法的角度RMSE性能对比图；

图3是不同快拍条件下不同阵列和不同方法的角度RMSE性能对比图；

图4是不同信噪比条件下不同阵列和不同方法的γ估计RMSE性能对比图；

图5是不同信噪比条件下不同阵列和不同方法的η估计RMSE性能对比图；

图6是不同信噪比条件下本发明方法不同快拍数下的γ估计性能对比图；

图7是不同信噪比条件下本发明方法不同快拍数下的η估计性能对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。符号表示：本发明中用(·)^T表示矩阵转置，(·)^H表示矩阵共轭转置，(·)^*表示矩阵共轭，大写字母X表示矩阵，小写字母x(·)表示矢量，I_p表示为P×P的单位矩阵，表示Kronecker积，⊙表示Khatri-Rao积，diag(x)表示以x中元素构成的对角矩阵，E{·}表示对矩阵求期望，angle(·)表示取相角操作。

一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，包括如下步骤：

步骤三：通过构造传播算子P，将得到的E分成两个部分E₁和E₂，对E₁取伪逆运算得到E₁ ⁺，对E₁ ⁺E₂进行特征分解可以得到

步骤四：获得虚拟子面阵导向矢量的估计值，对E重构得到E'，用E'构造得到部分E'₁和E'₂，对E'₁取伪逆运算得到对E'₂进行特征分解可以得到利用获得的和得到方位角和仰角的角度估计值；

步骤五：利用的估计值构造a_x,k和a_z,k，求出极化参数和

步骤一具体为:假设空间远场有K个不相关的窄带完全极化信号入射到图1所示的电磁矢量嵌套L阵上，其中电磁矢量传感器阵列是由平行于X轴和平行于Z轴的一对电偶极子组成。X轴和Y轴上都为二级嵌套线阵，一级子阵阵元数为M，阵元间距为d，二级子阵阵元数为N，阵元间距为(M+1)d，其中d＝λ/2，λ表示为电磁波波长。

图1所示阵列的阵元位置可以用如下集合表示

S_x＝{(md,0,0)∪(nd,0,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

S_y＝{(0,md,0)∪(0,nd,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

第k个信号(k＝1,2,…,K)的极化矢量可以表示为

其中e_x和e_z分别表示x轴和z轴上的电偶极子矢量，分别为第k个信号源的仰角、方位角、极化辅角和极化相位差，θ∈[0,π]，γ∈[0,π/2]，η∈[-π,π]。假设那么阵列方向矢量可以表示为其中q_xk和q_yk分别为

所提电磁矢量传感器阵列的导向矢量可以表示为

其中那么接收信号可以表示为

X(t)＝AS(t)+N(t)

其中S(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_K(t)]^T为信源矩阵，N(t)为高斯白噪声矩阵。

二、方法推导

根据接收信号X(t)可以得出接收信号协防差矩阵为

R＝E{X(t)X^H(t)}

＝AR_sA^H+σ²I_2(M+N)

其中R_s＝diag(σ₁ ²,σ₂ ²,…,σ_K ²),σ_k ²表示第k个信号的功率，σ²表示噪声功率。不考虑噪声影响下，对接收信号协方差矩阵矢量化可得到

其中P＝[σ₁ ²,σ₂ ²,…,σ_K ²]^T，r可以看成一个新的虚拟接收信号，其导向矢量变为A^*⊙A，对r行变换后重构可得r'如下

步骤二具体为：假设那么可以表示为

根据差分阵列的概念，可知可以表示为一个虚拟面阵的方向矢量，此时的虚拟面阵包含连续部分和不连续部分，并且连续部分阵元间距为半波长。

根据q_xk和q_yk，虚拟面阵的阵元位置包含四个部分，设为S_xx，S_xy，S_yx和S_yy

S_xx＝{(x,0,0)|x＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_yy＝{(0,y,0)|y＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_xy＝{(-x,y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

S_yx＝{(x,-y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

从上式中可以得出，虚拟面阵有两个部分面阵连续，设其阵元位置坐标为S1和S2，可知S1＝{(-x,y,0)|x＝y＝0,1,…(M+1)}，S2＝{(x,-y,0)|x＝y＝0,1,…(M+1)}，选取连续虚拟面阵S1，设其方向矢量为可知可以通过删除部分行得到，表示为

S1虚拟面阵大小为(M+2)×(M+2)，为了得到精确的DOA与极化参数估计值，需要引入空间平滑技术恢复虚拟接收信号协方差矩阵的满秩特性。假设S1_w是S1中的第w个连续子面阵，其大小设为i×i，其中1≤i＜M+2，可知S1中共有(M+3-i)²个不同的子面阵，也就是说w＝1,2,…,(M+3-i)²。假设S1_w的虚拟接收信号设为可以从中删除部分行得到，其协方差矩阵表示为引入二维空间平滑技术

假设某子面阵导向矢量

其中

推导得到可以表示为

可知协防差矩阵满足满秩特性，利用可以将子空间类DOA估计算法应用于其中实现角度与极化的联合估计。

步骤三具体为：协方差矩阵可分解为其中根据最小二乘法则，传播算子P的解可以表示为

P＝G⁺H

将分块为其中根据传播算子理论，和的关系可以表示为

根据上式所得，可以构造下列关系式

其中是一个满秩矩阵，构造矩阵E₁₁＝E(1:i(i-1),:)，E₁₁表示取E的第1到i(i-1)行。同理构造E₁₂＝E((i²+1):2i(i-1),:)，E₁₃＝E((2i²+1):3i(i-1),:)，E₁₄＝E((3i²+1):4i(i-1),:)，将所有值组合为E₁＝[E₁₁ ^T,E₁₂ ^T,E₁₃ ^T,E₁₄ ^T]^T。同理构造矩阵E₂₁＝E((i+1):i²,:)，E₂₂＝E(i²+(i+1):2i²,:)，E₂₃＝E(2i²+(i+1):3i²,:)，E₂₄＝E(3i²+(i+1):4i²,:)，令E₂＝[E₂₁ ^T,E₂₂ ^T,E₂₃ ^T,E₂₄ ^T]^T。可知E₁和E₂之间存在关系式

ψ_y＝E₁ ⁺E₂＝T^-1Φ_yT

其中对ψ_y特征值分解可得K个特征值λ_k(k＝1,2,…,K),其特征矢量对应于可得为

步骤四具体为：获得的估计值为在不考虑噪声情况下，对交换行顺序，可以重构出表示为

其中为了实现仰角与方位角的自动匹配，需要保证和Φ_y具有相同的列模糊，通过构造式子获得，从而得知为

其中为的第k个对角元素值，k＝1,2,…,K。

通过获得的估计值和方位角和仰角分别表示为

步骤五具体为：根据获得的的估计值极化参数估计值能够被唯一确定，令a_x,k表示的第1到第i²行，第k列，k＝1,2,…,K。同理令可以得知a_x,k和a_z,k存在关系式

令p_u＝pinv(a_z,k)·a_x,k，再根据得到的角度估计值，可知和为

其中real(·)表示取实部操作，imag(·)表示取虚部操作。因为和根据的估计值得出，所以能够实现与仰角和方位角的自动匹配。

对本文的DOA角度估计方法进行复杂度分析，获得R的复杂度为16L(M+N)²,其中L表示接收信号快拍数，得到的复杂度为16i⁴(M+3-i)²，计算P的复杂度为8i²K²+K³+4i²K(4i²-K)，得到ψ_y和ψ_x的复杂度均为12iK²(i-1)+K³，得到的复杂度为4i²K²，重构E'复杂度为4i²K²+K³，ψ_y协方差分解复杂度为K³，ψ_x分解复杂度为2K³，求得算法总复杂度为16L(M+N)²+16i⁴(M+3-i)²+7K³+36i²K²+16i⁴K-24iK²。

本文阵列具有较高的空间自由度，本文算法空间自由度为O{(M+2)²-1}，将本文阵列与电磁矢量均匀L阵列空间自由度对比，对比结果如表1所示：

表1不同阵列空间自由度对比

M＝？N＝2	2	4	8	10	12	20
							均匀L阵	7	11	19	23	27	43
嵌套矢量L阵	15	35	99	143	195	483

根据本发明方法原理，为了保证矢量化后的虚拟阵元可以得到最大化利用，此处N取值为2，电磁矢量嵌套L阵物理阵元数为2M+4,同理均匀L阵物理阵元也取值为2M+4,根据表1所得结果，电磁矢量嵌套L阵具有更高的空间自由度，而且随着物理阵元数的增加，电磁矢量嵌套L阵的自由度优势更加明显。

仿真结果：

假设空间远场两个窄带极化信号和入射到图1所示阵列上，信号之间互不相关，且为完全极化波。本文采用1000次蒙特卡洛仿真来评估DOA和极化参数估计性能，定义均方根误差(RMSE)表达式如下：

其中表示第k个信源在第n次蒙特卡洛仿真时参数估计结果，w_k表示第k个信源的参数真实值。

图2给出了在相同条件下电磁矢量嵌套L阵的PM算法、电磁矢量嵌套L阵的ESPRIT算法和均匀L阵的PM算法随信噪比(SNR)变化的角度估计性能曲线图。

仿真参数设置为电磁矢量嵌套L阵X轴和Y轴上阵元数M＝8,N＝2，均匀L阵X轴和Y轴上阵元数为M+N＝10，空间平滑面阵大小设为i＝5，快拍数L＝1000。

从图中可以看出，电磁矢量嵌套L阵PM算法在非高信噪比条件下，具有较高的角度估计性能，且信噪比越低，角度估计性能优势越明显。低信噪比条件下，均匀L阵的PM算法基本已经失效，而且电磁矢量嵌套L阵PM算法和电磁矢量嵌套L阵ESPRIT算法角度估计性能基本相同，但PM算法比ESPRIT算法具有更低的算法复杂度。

图3给出在相同信噪比条件下，电磁矢量嵌套L阵的PM算法、电磁矢量嵌套L阵的ESPRIT算法和均匀L阵PM算法角度估计随着快拍变化的性能曲线图，阵元数设置同图2所示，信噪比设置为SNR＝0dB。

从图3中可以看出，随着快拍数的增加，两种阵列的角度估计性能更优，且电磁矢量嵌套L阵的PM算法和电磁矢量嵌套L阵ESPRIT算法性能明显优于均匀L阵PM算法。

图4和图5分别给出了电磁矢量嵌套L阵的PM算法、电磁矢量嵌套L阵的ESPRIT算法和均匀L阵的PM算法极化参数γ和η的RMSE性能图，仿真参数设置与图2相同。

从图4与图5中可以看出，无论是γ还是η的参数估计值，电磁矢量嵌套L阵的算法性能在低信噪比条件下均优于均匀L阵的算法性能，且在矢量传感器场景下，电磁矢量嵌套L阵的PM算法和电磁矢量嵌套L阵ESPRIT算法基本具有相同的算法性能。

对比γ和η的估计性能图，可知参数γ的估计性能要优于η的估计性能，这是因为η的估计是建立于得到的γ的估计和角度估计的基础之上，所以具有更大的误差，导致参数估计性能的下降。

图6和图7给出了电磁矢量嵌套L阵的PM算法在不同快拍数条件下γ和η的估计性能图，仿真条件设置快拍数分别为L＝800,L＝1200,L＝1600，随着快拍数的增加，极化参数γ和η的估计性能变优，从而验证了本发明方法的有效性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims

1.一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤二：新的虚拟信号r'中包含连续部分与非连续部分，选取连续虚拟面阵部分信号记为通过二维空间平滑技术对虚拟面阵接收信号r的各个子阵信号空间平滑，并求得满秩协方差矩阵

步骤五：利用的估计值构造a_x,k和a_z,k，求出极化参数和

2.根据权利要求1所述的一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，步骤一具体为：

阵列的阵元位置可以用如下集合表示，

S_x＝{(md,0,0)∪(nd,0,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

S_y＝{(0,md,0)∪(0,nd,0)|m＝1,2,…,M n＝M+1,2(M+1),…,N(M+1)}

第k个信号(k＝1,2,…,K)的极化矢量可以表示为，

所提电磁矢量传感器阵列的导向矢量可以表示为

其中a_K为导向矢量，接收信号可以表示为

X(t)＝AS(t)+N(t)

根据接收信号X(t)可以得出接收信号协防差矩阵为，

R＝E{X(t)X^H(t)}

＝AR_sA^H+σ²I_2(M+N)

其中P＝[σ₁ ²,σ₂ ²,…,σ_K ²]^T，r为一个新的虚拟接收信号，其导向矢量变为A^*⊙A，对r行变换后重构可得r'如下：

3.根据权利要求1所述的一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，步骤二具体为：假设那么可以表示为

S_xx＝{(x,0,0)|x＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_yy＝{(0,y,0)|y＝-N(M+1),…,N(M+1)}

S_xy＝{(-x,y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

S_yx＝{(x,-y,0)|x＝y＝1,2,…M,(M+1),2(M+1),…,N(M+1)}

S1虚拟面阵大小为(M+2)×(M+2)，引入空间平滑技术恢复虚拟接收信号协方差矩阵的满秩特性，假设S1_w是S1中的第w个连续子面阵，其大小设为i×i，其中1≤i＜M+2，可知S1中共有(M+3-i)²个不同的连续子面阵，也就是说w＝1,2,…,(M+3-i)²，假设S1_w的虚拟接收信号设为可知是根据S1_w中对应的阵元位置从中选取得到的，其协方差矩阵表示为引入二维空间平滑技术得到，

假设其中根据嵌套阵列理论，可知可以重新表示为

4.根据权利要求1所述的一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，步骤三具体为：协方差矩阵可分解为其中根据最小二乘法则，传播算子P的解可以表示为

P＝G⁺H

将分块为其中根据传播算子理论，和的关系可以表示为

其中，(·)^H表示矩阵共轭转置，

构造下列关系式

ψ_y＝E₁ ⁺E₂＝T^-1Φ_yT

5.根据权利要求1所述的一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，步骤四具体为：获得的估计值为在不考虑噪声情况下，对交换行顺序，可以重构出表示为

其中为的第k个对角元素值，k＝1,2,…,K。

通过获得的估计值和方位角和仰角分别表示为

6.根据权利要求1所述的一种电磁矢量嵌套L阵下低复杂度的DOA与极化联合估计方法，其特征在于，步骤五具体为：根据获得的的估计值极化参数估计值能够被唯一确定，令a_x,k表示的第1到第i²行，第k列，k＝1,2,…,K，同理令可以得知a_x,k和a_z,k存在关系式

令p_u＝pinv(a_z,k)·a_x,k，再根据得到的角度估计值，可知和为