CN112213943A - 一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置内模解耦控制器、控制系统和控制方法的研究。所述控制方法包括：步骤1)利用分数阶低通滤波器近似Butterworth滤波器的响应特性，得到分数阶Butterworth滤波器的一般形式设计；步骤2)根据步骤1)提出了等分数阶Butterworth滤波器系数的计算方法；步骤3)根据步骤2)，在已知蒸馏塔模型条件下，计算理想闭环传递函数；步骤4)根据步骤2)和步骤3)设计倒置内模解耦控制器，用于跟踪阶跃指令信号。基于等分数阶Butterworth滤波器的倒置内模解耦控制器为闭环系统提供了更多的可调参数，改善了系统的鲁棒性，提高了系统阶跃响应的快速性。

Description

一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内 模控制方法

技术领域

本发明涉及过程工业自动控制领域，具体涉及到一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置内模控制器、控制系统和控制方法的研究。

背景技术

在过程工业中，多变量系统常具有多时滞、强耦合等特点。由于时滞的存在，为了保证系统稳定，控制增益不能过大，使控制系统性能变差，加大了控制器的设计难度。为了节约成本，需设计结构简单、易实现的控制器。因此，业界提出了多变量内模控制方法，其主要优点是结构简单、设计直观、鲁棒性强。

由于工业过程中各控制回路之间存在强耦合，输出受输入时滞影响严重，难以对每条回路进行独立控制。为减少耦合现象的不利影响，需设计解耦器对系统解耦。倒置解耦具有过程简洁、易实现等优点，结合内模控制理论设计倒置解耦内模控制器，可以独立调节各回路的控制参数，使系统达到理想性能。

当模型完全匹配时，内模控制器包含被控对象模型的逆，此时，为了得到稳定且可实现的内模控制器，被控对象数学模型不应包含时滞项。因此，被控对象的数学模型与实际模型之间会存在不匹配，导致模型误差，从而影响系统性能。此外，由于外部干扰和内部参数的不确定，也会影响系统性能。因此，需要串联滤波器改善系统的性能。传统方法仅串联整数阶的一阶/二阶的低通滤波器，效果一般。与整数阶滤波器相比，分数阶滤波器具有更高的设计自由度，可以进一步地提高系统性能。由于Butterworth滤波器具有最大平坦幅频响应特性、结构简单等优点，结合分数阶滤波器设计方法，设计出等分数阶Butterworth滤波器。

本发明针对工业过程中蒸馏塔的生产模型，将倒置解耦内模控制方法与等分数阶Butterworth滤波器相结合，所设计的分数阶Butterworth滤波器可以提供更多的可调参数，具有调节灵活、最大平坦幅频响应特性、结构简单的优点；所设计的控制器具有计算简便、结构易实现的优点，能够进一步提高闭环系统性能。

发明内容

基于以上背景内容，本发明对蒸馏塔生产过程进行了研究。由于闭环控制回路之间耦合严重，且输入输出之间存在时滞，本发明利用倒置内模解耦方法，解决耦合对闭环系统的影响，提高系统的阶跃响应速度和抗干扰能力。为了保证倒置内模控制器的可实现性，本发明引入分数阶滤波器，计算等分数阶Butterworth滤波器的传递函数形式，使分数阶滤波器能够近似Butterworth滤波器的理想性能。

为实现上述目的，本发明一方面提供了一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，包括：在已知蒸馏塔模型条件下，设计等分数阶Butterworth滤波器，并提出了滤波器系数的计算方法；计算理想闭环传递函数；利用理想闭环传递函数设计倒置内模解耦控制器，用于跟踪阶跃指令信号。

优选的，所述分数阶Butterworth滤波器，其表达式为：

其中，α，β为滤波器的阶次，a，b，c为滤波器待定系数。d为系统控制增益，可根据要求设定。

令阶次α＝β，则滤波器系数满足：

其中，κ＝a+b，η^α＝κω^α/c，ξ＝c/κ²。

根据已知滤波器截止频率ω_c，计算滤波器系数：

c＝ω_c ^2α

优选的，所述理想闭环传递函数，其表达式为：

T(s)＝P(s)C(s)＝diag(t₁(s),t₂(s))

其中，T(s)的对角线元素为：

τ₁，τ₂为蒸馏塔模型传递矩阵第一行和第二行的最小时滞。

优选的，所述倒置内模解耦控制器，其表达式为：

C(s)＝C_d(s)[I(s)-C_o(s)C_d(s)]^-1

C_d ^-1(s)-C_o(s)＝T^-1(s)P(s)

其中，C_d(s)为前向通道控制矩阵，C_o(s)为反馈通道控制矩阵，I(s)为单位矩阵。

结果1：假设

那么：

结果2：假设

那么：

附图说明

图1为本发明的单位阶跃信号的分数阶微分曲线；

图2为本发明的正弦函数在不同阶次微分下的三维图；

图3是根据本发明实施例的倒置解耦内模控制系统的结构图；

图4是根据本发明实施例的倒置解耦内模控制器的结构图；

图5为本发明的等分数阶系统的稳定区域；

图6是实施例中的等分数阶Butterworth滤波器的零极点图；

图7是实施例中的控制系统单位阶跃响应；

图8是实施例中的控制器输出响应图；

图9是实施例中的倒置内模控制器的灵敏度函数曲线图。

具体实施方式

等分数阶Butterworth滤波器设计

以下具体实施方式结合附图和一个实施例子，说明上述基于分数阶Butterworth滤波器的倒置解耦内模控制器在蒸馏塔中的应用。在整个控制器设计过程中，所有涉及到分数阶微积分运算的时域响应都是在合适的频段内，使用Oustaloup近似获得的。

在分数阶微积分理论的发展过程中，出现了函数分数阶微积分的许多种定义，本发明采用目前最常用的Riemann-Liouville分数阶微积分定义，则函数f(t)的γ阶微分表示为：

其中，0＜γ＜1；D为分数阶微分算子，其左右侧的下标分别代表微分运算的上下界；a为初值，一般可以假设为零初始条件，即a＝0；Γ(γ)为Euler’s gama函数。

对上式进行拉普拉斯变换，可以得到：

其中，γ为任意值；l{·}代表拉普拉斯运算，且{f(t)}＝F(s)；s^γ为分数阶拉普拉斯算子；

通过上述对分数阶微积分的定义，可以推导出分数阶微分方程为：

其中，a_j,b_i为任意值，i＝0,1,2,…,m,j＝0,1,2,…,n。

同样地，上式也可以转换为分数阶传递函数的形式：

以上分数阶微分方程或分数阶传递函数能够描述分数阶微分运算，在仿真验证中也可以很容易地表示此类运算问题。另外，由于分数微积分本身的特性，分数阶系统具有很有整数阶系统无法实现的优越性，比如，分数阶系统能够提供更多的设计自由度，具有一定的记忆性能，可以存储更为丰富的信息等等。

图1为单位阶跃信号的分数阶微分曲线，由图可知，单位阶跃信号的0.5阶微分不再是纯脉冲信号。由于分数阶微积分在初始时刻的值趋于无穷大，之后的时刻是一个较缓慢的渐变下降过程，因此通常认为分数阶微积分是有一定记忆能力的。图2为正弦函数y(t)＝sin(3t+1) 在不同阶次微分下的三维图，可以看出该正弦函数的分数阶导数是在正弦和余弦信号之间渐变的，不像整数阶微分那样只能得到正弦或者余弦信号的一种。因此，分数阶微积分所含的信息量要丰富得多。

基于函数分数阶微积分的特性，本发明引入分数阶滤波器，结合倒置内模控制器，为控制系统提供更好的性能。此外，利用分数阶低通滤波器近似Butterworth滤波器的响应特性，从而构造出新颖的分数阶Butterworth滤波器。虽然该分数阶Butterworth滤波器能够提供更多的自由度，但也会使得控制系统的设计更加复杂。因此，本发明引入了等分数阶Butterworth 滤波器，可以适当地减少滤波器的可调参数，以实现更好的系统时域和频率性能。

首先定义等分数阶系统如下：

定理：假设在分数阶微分方程中，所有的分数阶次都是基阶υ的整数倍，且υ为其他阶次的最大公约数，即满足：

那么该系统为等分数阶系统，该微分方程为等分数阶微分方程。

等分数阶微分方程也可以表示为传递函数的形式，如下所示：

令λ＝s^υ，则上式可以改写为：

其中，k_i，p_j为基阶υ的整数倍。

选取等分数阶次为α＝β，则等分数阶低通滤波器一般形式表示为：

由上式可知，滤波器的系数决定了等分数阶低通滤波器的形式。由于Butterworth滤波器具有最大平坦幅频响应特性、结构简单等优点，因此本发明将等分数阶低通滤波器设计为Butterworth滤波器的形式，计算出滤波器系数a，b，c，d的值，并得到相应的等分数阶 Butterworth滤波器。

在上式中，G(s)的特征多项式为：

其幅值平方函数为：

为得到Butterworth滤波器的响应特性，需要将上式等分数阶低通滤波器的幅值平方函数近似为Butterworth滤波器的幅值平方函数形式。Butterworth滤波器的幅值函数为：

其中，ω_n＝ω/ω_c为滤波器的归一化频率，ω_c为滤波器的截止频率；N是正整数，为滤波器的阶次。

上式特征多项式的幅值平方函数为：

为得到等分数阶Butterworth滤波器的一般形式，取任意正数m为滤波器阶次。则上式被改写为：

本发明的目标是通过将等分数阶低通滤波器的幅值平方函数近似为Butterworth滤波器的幅值平方函数形式，从而得到理想的响应性能。因此，G(s)特征多项式的幅值平方函数需要设计为上式形式，即满足以下条件：

为简化计算，选取κ＝a+b，η^α＝κω^α/c，ξ＝c/κ²，则上式被改写为：

截止频率和幅值平方函数为：

|D(jω)|²＝c²+ω^4α

通过以上3个式子可以推导出：

在固定的截止频率处，根据α的阶次，可以计算出：

倒置解耦内模控制器

图3为倒置解耦内模控制系统的结构图，r、y和d分别为闭环控制系统的参考输入、输出和干扰。

由图3得出输出y和参考输入r之间的闭环传递矩阵为：

T(s)＝P(s)C(s)[I+(P(s)-P_m(s))C(s)]^-1

在系统被控过程与过程模型精确匹配P(s)＝P_m(s)且无外界干扰的情况下，解耦后的闭环传递矩阵改写为：

T(s)＝P(s)C(s)＝diag(t₁(s),t₂(s))

在倒置解耦内模控制器C(s)的设计中，对于带有多时滞的蒸馏塔模型，直接进行计算可能会导致纯超前情况的发生，因此需要对其时滞项进行分析，并得到期望的闭环传递矩阵。

本发明的实施例子为双输入双输出的多时滞蒸馏塔模型，其表示如下：

选取期望的闭环传递矩阵对角线元素的时滞项分别为

和

其中，τ₁，τ₂为第一行和第二行的最小时滞。此外，倒置解耦内模控制矩阵C(s)必须满足正则性，需要在过程模型中加入滤波器，本发明提出了等分数阶Butterworth滤波器，可以通过调整滤波器的结构和参数来获得期望的动态品质和鲁棒性。则期望的闭环传递矩阵的对角线元素表示为：

由T(s)＝P(s)C(s)可知，本发明首先给出期望的闭环传递矩阵T(s)，在已知过程模型的基础上，得到相应的倒置解耦内模控制矩阵C(s)，以满足期望的系统性能。

图4为倒置内模控制器的结构图，由图可以得到倒置解耦内模控制器的表达式为：

C(s)＝C_d(s)[I(s)-C_o(s)C_d(s)]^-1

控制器矩阵C(s)被分成两个模块：系统前向通道矩阵C_d(s)和反馈通道矩阵C_o(s)。根据倒置解耦结构，C_d(s)要解耦系统误差e和控制器输出u，每行都只能有一个元素不为0，共包含两个非零元素。因此针对双输入双输出系统而言，C_d(s)共有两种矩阵形式；而C_o(s)与C_d(s)的信号流向相反，C_o(s)中的非零元素应该与C_d(s)中的零元素相对应，同样也具有两种矩阵形式。

根据上式和T(s)＝P(s)C(s)，可以得到如下表达式：

C_d ^-1(s)-C_o(s)＝T^-1(s)P(s)

上式用来具体计算倒置解耦内模控制器C(s)中的矩阵C_d(s)和C_o(s)。由于矩阵C_d(s)中非零元素的位置对应矩阵C_o(s)中零元素的位置，因此等式左边的矩阵只有两个待求逆的元素。该式的主要优势在于无论系统有多复杂，其计算都非常简便。其中，C_d(s)和T(s)都必须为非奇异矩阵。

对于双输入双输出的蒸馏塔模型而言，C_d(s)有两种矩阵形式可以解耦系统误差e和控制器输出u，对应的C_o(s)也有两种矩阵形式，因此C_d ^-1(s)-C_o(s)的结果共有两种。

结果1：假设

那么：

则前向通道控制矩阵C_d(s)和反馈通道控制矩阵C_o(s)的元素分别为：

结果2：假设

同理得到：

前向通道控制矩阵C_d(s)和反馈通道控制矩阵C_o(s)的元素分别为：

对于等分数阶系统而言，其稳定性条件是由整数阶系统推导而来，因此，整数阶内模控制系统的稳定性条件如下。

定理：假设系统被控过程与过程模型完全匹配(P(s)＝P_m(s))，且被控过程P(s)是稳定的，那么内模控制系统稳定的条件是当且仅当内模控制器C(s)是稳定的。

由于内模控制器C(s)的稳定性是由等分数阶Butterworth滤波器决定的，则只需要考虑等分数阶Butterworth滤波器稳定性，其稳定性条件如下

定理：对于一个基阶为υ的等分数阶系统而言，其稳定区域如图5所示，位于λ域中曲线Γ₁，Γ₂的左半平面。其中，曲线Γ₁，Γ₂的斜率为±υπ/2；稳定性条件为|arg(λ_i)|＞υπ/2，λ＝s^υ是传递函数G(λ)的特征方程的根。

实施例

多时滞蒸馏塔模型为：

根据上述等分数阶Butterworth滤波器设计步骤，在固定的截止频率ω_c＝5处，计算出阶次α＝β＝0.7的等分数阶Butterworth滤波器为：

采用结果1的倒置内模控制器矩阵形式，则期望的闭环传递矩阵的对角线元素表示为：

前向通道控制矩阵C_d(s)和反馈通道控制矩阵C_o(s)为：

然而，反馈通道矩阵元素

是非正则的，为满足内模控制器的可实现性，引入对角矩阵F(s)，作为蒸馏塔模型的乘性因子。对角矩阵F(s)和新的蒸馏塔模型P^F(s)为：

前向通道控制矩阵C_d(s)和反馈通道控制矩阵C_o(s)为：

对于基阶为0.7的等分数阶Butterworth滤波器G(s)，定义λ＝s^α＝s^0.7，则滤波器传递函数改写为G(λ)＝9.55/(λ²+1.564λ+9.55)，其特征方程的根为λ_1，2＝-0.782±j2.99，曲线Γ₁，Γ₂的斜率为±7π/20。图6描述了基阶为0.7的等分数Butterworth滤波器的零极点图，由图可知，特征根全部位于曲线Γ₁，Γ₂的左半平面，说明等分数Butterworth滤波器是稳定的，整个倒置内模控制系统也是稳定的。

图7为内模控制系统的单位阶跃响应。其中，图(a)表示在t＝0秒，蒸馏塔模型回路1 的输入端加入单位阶跃号的响应曲线；图(b)同样表示在t＝0秒，蒸馏塔模型回路2的输入端加入单位阶跃号的响应曲线。由图7可知，两条回路响应曲线都能较快地跟踪上单位阶跃信号，且无明显超调。

图8为内模控制器输出响应图。由图可知，控制器输出响应曲线抖振小，恢复过程平滑。

图9为内模控制系统的灵敏度函数曲线图，灵敏度函数能够定量地分析闭环控制系统的鲁棒性。其中，灵敏度函数的最大幅值M_s表征控制系统对外界干扰的敏感程度，M_s越小，表示系统抗干扰能力越强。如图所示，控制系统的最大幅值M_s很小，在1附近，可见本发明提出的基于分数阶Butterworth滤波器的倒置内模控制方法具有较强的鲁棒性。

为了更好地分析内模控制系统在时域中的性能，利用调节时间和超调量来评估阶跃响应的动态性能。其中，调节时间是指阶跃响应到达并保持在终止±5％内所需的最短时间，调节时间越小，说明系统的响应速度越快；超调量值阶跃响应在峰值时间的最大偏离量与终值的差与终值比的百分数，超调量越小，说明系统阻尼越小。

表1调节时间和超调量

如表1的数据可知，内模控制系统两个回路的的调节时间分别为27.78秒和14.29秒，说明系统的响应速度较快；两个回路的的超调量分别为0.18％和0，基本表示控制系统响应曲线无明显超调，能够更快速更平滑地跟踪上给定值。

Claims (7)

1.一种基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，其特征在于，包括：

在已知蒸馏塔模型条件下，设计等分数阶Butterworth滤波器，并提出了滤波器系数的计算方法；

计算理想闭环传递函数；

利用理想闭环传递函数设计倒置内模解耦控制器，用于跟踪阶跃指令信号。

2.如权利要求1所述的等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，其特征在于，所述等分数阶Butterworth滤波器，其表达式为：

其中，α，β为滤波器的阶次，a，b，c为滤波器待定系数，d为系统控制增益，可根据要求设定。

3.如权利要求1所述的基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，其特征在于，滤波器系数的计算方法，表达式为：

滤波器系数满足：

其中，α＝β，κ＝a+b，η^α＝κω^α/c，ξ＝c/κ²。

根据已知滤波器截止频率ω_c，计算滤波器系数为：

c＝ω_c ^2α

4.如权利要求1所述的基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，其特征在于，计算理想闭环传递函数，其表达式为：

所述理想闭环传递函数，其表达式为：

T(s)＝P(s)C(s)＝diag(t₁(s),t₂(s))

其中，T(s)的对角线元素为：

τ₁，τ₂为蒸馏塔模型传递矩阵第一行和第二行的最小时滞。

5.如权利要求1所述的基于等分数阶Butterworth滤波器的蒸馏塔倒置解耦内模控制方法，其特征在于，设计倒置内模解耦控制器，其表达式为：

C(s)＝C_d(s)[I(s)-C_o(s)C_d(s)]^-1

C_d ^-1(s)-C_o(s)＝T^-1(s)P(s)

其中，C_d(s)为前向通道控制矩阵，C_o(s)为反馈通道控制矩阵。

结果1：假设

那么：

结果2：假设

那么：

6.如权利要求2所述的等分数阶Butterworth滤波器，其特征在于，可以提供更多的可调参数，具有调节灵活、最大平坦幅频响应特性、结构简单的优点。

7.如权利要求5所述的倒置内模解耦控制器设计，其特征在于，所设计的控制器具有结构简单、易实现的优点，并能够进一步提高闭环系统性能。

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