CN112025697B - 一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法 - Google Patents

一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法 Download PDF

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CN112025697B CN202010664377.2A CN202010664377A CN112025697B CN 112025697 B CN112025697 B CN 112025697B CN 202010664377 A CN202010664377 A CN 202010664377A CN 112025697 B CN112025697 B CN 112025697B
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Abstract

本发明涉及机器人优化控制技术领域，尤其是一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法，第一步，建立全向移动机器人的运动学模型；第二步，设计积分模型预测控制的预测模型，第三步，设计目标函数；第四步，设计约束条件；第五步，针对运行中存在的稳态误差，设计积分作用使移动机器人能够在规定时间准备、快速且稳定的对轨迹进行跟踪，本发明使移动机器人具有更好的轨迹跟踪能力以及运行控制精度。

Description

一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法
技术领域
本发明涉及机器人优化控制技术领域，具体领域为一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法。
背景技术
移动机器人是一个复杂的系统，包含的研究内容十分广泛，包含导航定位、轨迹跟踪、传感器融合、图像识别和人工智能等。移动机器人已经得到了广泛的应用，在物流业、制造业、国防、服务业扮演了重要的角色。移动机器人能够接收外部的指令信号，并执行对应的任务，因此可以大大提高工作效率，减少工作人员工作量，降低安全事故率。其中轨迹跟踪问题是研究的核心问题，同时作为其最基本的研究问题，轨迹跟踪的研究受到了学者们广泛关注。轨迹跟踪控制作为移动机器人运行的关键环节之一，轨迹跟踪的效果直接决定了移动机器人能否高效完成上位系统所下发的任务，关系着整个系统运行效率。
从移动机器人问世以来世界各地的研究者对轨迹跟踪控制进行了深入的研究，并且贡献了诸多有价值的文献。在20世纪90年代，移动机器人的轨迹跟踪问题被广泛关注。经过20多年的不断发展，移动机器人的轨迹跟踪控制的研究方法也发生了巨大的改变，从刚开始的经典控制理论中线性系统分析法，到非线性控制理论中微分几何法，到最后现代控制理论中的智能控制。预测模型是整个模型预测算法的基础，预测模型能够根据移动机器人系统信息预测系统未来的输出。滚动优化通过计算某一性能指标的极值求取未来控制作用的优化控制算法。模型预测控制控制精度高、鲁棒性强、计算机应用方便等优点，可有效地解决控制中系统非线性、多目标及不确定性等问题，并能方便地推广到有各种约束、大纯滞后等过程。
在移动机器人的运行中，由于存在摩擦等外部因素的影响使整个移动机器人系统存在稳态误差，传统模型预测控制无法消除此稳态误差，因此针对移动机器人存在稳态误差，又希望保留模型预测控制器预测和优化的能力，因此必须提出新的改进算法去解决运行中存在的问题，符合实际要求的性能指标。
发明内容
针对现有技术存在的不足，本发明的目的在于提供一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法，
第一步：构建全向移动机器人的运动学模型
全向移动机器人的前后轮均可实现直行与转弯，前轮用A表示，后轮用B表示，移动机器人的运动质心用C表示；(参考点)，A、B两点到C点的距离分别由lf和lr表示。移动机器人车头方向由
Figure BDA0002579801010000021
表示，质心的速度由V表示，速度V与车辆轴线所形成的角度用β表示，β称为移动机器人的滑移角，传统的差速移动机器人和单舵轮移动机器人的速度方向和车体轴线方向保持一致，因此β无须考虑，而全向移动机器人既能实现直线、转弯、自旋的常规运动，还能实现车辆的横向移动，因此存在速度方向和车体轴线方向不一致的情况，β需要进行考虑且是后文控制器设计中的重要参数。在此规定坐标系中所有角度、角速度、角加速度逆时针为正，顺时针为负。
通过几何关系，将正弦定理应用于三角形OCA可以得到：
Figure BDA0002579801010000022
同理将正弦定理应用于三角形OCB可以得到：
Figure BDA0002579801010000031
将公式1和公式2进行化解，可以得到：
Figure BDA0002579801010000032
Figure BDA0002579801010000033
在公式3和公式4的左右两边分别乘以
Figure BDA0002579801010000034
和
Figure BDA0002579801010000035
得到：
Figure BDA0002579801010000036
Figure BDA0002579801010000037
将公式5和公式6左右进行相加，可以得到：
Figure BDA0002579801010000038
因为移动的机器人的角速度可以表示为
Figure BDA0002579801010000039
由此可以得出移动机器人角速度：
Figure BDA00025798010100000310
联立公式7和公式8，可以得出：
Figure BDA00025798010100000311
重心速度V在X轴方向上的分量可以表示为：
Figure BDA00025798010100000312
重心速度V在Y轴方向上的分量可以表示为：
Figure BDA00025798010100000313
因此，单车模型的运动学方程可以表示为：
Figure BDA0002579801010000041
公式12为移动机器人的运动学模型。在这个运动学模型中共有三个输入量，分别是：δf、δr和V。β可通过移动机器人前后轮的转角计算获得，公式13为β角的计算公式；移动机器人的航向角
Figure BDA0002579801010000042
可由定位模块提供。
Figure BDA0002579801010000043
第二步：预测模型设计
对四差速全向移动机器人的简化分析，最终得到了四差速全向移动机器人的运动学方程：
Figure BDA0002579801010000044
其中，(x,y)为移动机器人参考点的坐标，
Figure BDA0002579801010000045
为车体的航向角，β为车体的滑移角，δf为移动机器人2个前部差速单元的转动角度，δr为移动机器人2个后部差速单元的转动角度，lf和lr分别是前后轴到参考点的距离，v为参考点的速度。
对四差速全向移动机器人运动学逆分析可以得到，对全向移动机器人输入(v，ω，β)便控制移动机器人，因此对公式15进行改写得到：
Figure BDA0002579801010000046
其中，
Figure BDA0002579801010000051
由公式15可知，系统为输入量为u(u，ω，β)和状态量为
Figure BDA0002579801010000052
其一般形式可表示为：
Figure BDA0002579801010000053
其上面的每一点都满足上述的运动学方程，用r表示参考量，可表示为：
Figure BDA0002579801010000054
其中，
Figure BDA0002579801010000055
ur＝[υr，ωr，βr]。
采用泰勒展开线性化方法，得到：
Figure BDA0002579801010000056
将公式18减去公式17，得到：
Figure BDA0002579801010000057
公式19称为移动机器人的线性误差模型，对公式19进行离散化处理，得到：
Figure BDA0002579801010000058
式中，
Figure BDA0002579801010000059
T为采样时间。
第三步：目标函数设计
目标函数的作用是使移动机器人能够在规定时间准备、快速且稳定的对轨迹进行跟踪。在目标函数中加入了移动机器人状态误差和控制量的优化，设计了公式21的目标函数。
Figure BDA0002579801010000061
式中，Q和R为权重矩阵。
公式21中的前半部分体现移动机器人系统轨迹跟踪性能，后半部分体现对控制量的约束。这个目标函数能够转换成二次规划形式使求解变得方便，但是该目标函数无法对每一个采样周期内控制量的增量进行约束，无法避免连续两个控制量之间突变，从而影响整个控制器的控制效果。因此采用一种基于预测收缩约束的稳定性方法。
Figure BDA0002579801010000062
式中，Np为预测时域，Nc为控制时域，ρ为权重系数，ε为松弛因子。
公式22与公式21相比，加入松弛因子，对控制量的约束转变成对控制增量的约束。这样就为避免短预测时域造成的闭环发散问题。
为了满足公式22增量式目标函数形式，需将做一定的转换：
Figure BDA0002579801010000063
得到一个新的状态空间表达式：
Figure BDA0002579801010000064
式中，
Figure BDA0002579801010000065
n为状态向量维度，m为控制量维度。
经过推导，可以得到系统的预测输出表达式：
Figure BDA0002579801010000071
将公式22带入目标函数，可得到完整形式的目标函数表达式。
第四步：约束设计
控制量的表达式表示为：
umin(t+k)≤u(t+k)≤umax(t+k)
k＝0，1，…，Nc-1 (26)
控制增量的表达式表示为：
Δumin(t+k)≤Δu(t+k)≤Δumax(t+k)
k＝0，1，…Nc-1 (27)
在目标函数的设计中，通过对控制量增量的约束代替对控制量的约束，因此在设计约束条件时也应针对控制增量进行设计，以满足目标函数的要求。因此，需要对公式26进行转换，求得相应的转换矩阵。
控制量与控制增量之间关系如下：
u(t+k)＝u(t+k-1)+Δu(t+k) (28)
假设：
Figure BDA0002579801010000072
Figure BDA0002579801010000073
其中，
Figure BDA0002579801010000075
为行数为Nc的列向量，Im为维度为m的单位矩阵，
Figure BDA0002579801010000074
为克罗内克积，u(k-1)为上一时刻的控制量。
结合公式28、公式29和公式30，将公式24可改写为：
Umin≤AΔUt+Ut≤Umax (31)
其中，Umax，Umin分别为控制时域内的控制量最大值与最小值。
将控制量增量式目标函数转化为二次型形式，结合约束条件，转化为公式32的优化问题。
φ(ξ(k)，u(t-1)，ΔU((t))＝[ΔU(t)T，ε]THt[ΔU(t)T，ε]+Gt[ΔU(t)T，ε]
s.t.ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax
Umin≤AΔUt+Ut≤Umax (32)
式中，
Figure BDA0002579801010000081
et为跟踪误差。
对公式4-27进行求解，可得到一系列控制量增量，如公式33。
Figure BDA0002579801010000082
将公式33中的第一个元素作为控制增量输入系统，可得到
Figure BDA0002579801010000083
进入下一个控制周期后，不断重复以上过程，实现四差速全向移动机器人的轨迹跟踪控制。
第五步：积分作用设计
通过以上分析，可以获得移动机器人的误差模型，并且可以通过增量目标函数和对输出的约束条件来计算控制增量。但是在实际应用中，由于移动机器人存在运行中的摩擦等外部因素影响，使整个系统存在稳态误差。积分作用可以累积历史误差，但是传统的积分控制在启动时会在很短的时间内对系统输出造成较大的偏差，很容易引起积分累积，导致控制量超过临界值。该值对应于执行器允许的最大动作范围，这会导致较大的过冲甚至震荡。在本节中，使用改进的积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，最后将角速度输入到移动机器人。系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定。当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，提高控制系统精度和鲁棒性。
积分作用可以表示为：
Figure BDA0002579801010000091
由于移动机器人获得的误差数据是离散的，因此可以将以上公式改写为：
Figure BDA0002579801010000092
移动机器人的误差由航向误差和位置误差组成，因此可以得到：
Figure BDA0002579801010000093
通过预测模型、滚动优化和反馈矫正三个步骤计算得出到了传统模型预测控制器的控制量uM(t)。
Figure BDA0002579801010000094
公式38表示当前控制量等于上一时刻的控制量加上控制量的增量。在加入积分作用后，可以得到：
Figure BDA0002579801010000095
使用改进的积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定，当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，根据所设定的积分器的作用时间，将公式39进行进一步优化。
Figure BDA0002579801010000096
式中，eref表示误差临界值。至此，公式40为本文所设计的积分模型预测控制器。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：针对全向移动机器人因摩擦等外部因素造成的稳态误差，又希望保留传统模型预测控制预测和优化的能力，在传统模型预测控制器的基础上设计了积分模型预测控制器，简称IMPC。本发明方法的积分模型预测控制器在全向移动机器人存在稳态误差的情况下，不仅可以实现传统模型预测控制预测、优化的能力，还能通过积分作用补偿运行中的稳态误差对全向移动机器人输出的影响，使移动机器人具有更好的轨迹跟踪能力以及运行控制精度。本发明的控制算法简单高效，不需要对传统模型预测控制器进行大量调整，使得算法的设计和实现都较为简单，同时还可以获得较高的跟踪精度。
附图说明
图1为全向移动机器人系统的模型图
图2为积分模型预测控制器的原理框图
图3为全向移动机器人分别在IMPC和MPC作用下的轨迹跟踪效果
图4为IMPC和MPC轨迹跟踪效果横向误差对比
图5为IMPC和MPC轨迹跟踪效果航向误差对比。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供一种技术方案：一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法，
第一步：构建全向移动机器人的运动学模型
全向移动机器人的示意图如图1所示，全向移动机器人的前后轮均可实现直行与转弯，前轮用A表示，后轮用B表示，移动机器人的运动质心用C表示；(参考点)，A、B两点到C点的距离分别由lf和lr表示。移动机器人车头方向由
Figure BDA0002579801010000111
表示，质心的速度由V表示，速度V与车辆轴线所形成的角度用β表示，β称为移动机器人的滑移角，传统的差速移动机器人和单舵轮移动机器人的速度方向和车体轴线方向保持一致，因此β无须考虑，而全向移动机器人既能实现直线、转弯、自旋的常规运动，还能实现车辆的横向移动，因此存在速度方向和车体轴线方向不一致的情况，β需要进行考虑且是后文控制器设计中的重要参数。在此规定坐标系中所有角度、角速度、角加速度逆时针为正，顺时针为负。
通过几何关系，将正弦定理应用于三角形OCA可以得到：
Figure BDA0002579801010000112
同理将正弦定理应用于三角形OCB可以得到：
Figure BDA0002579801010000113
将公式1和公式2进行化解，可以得到：
Figure BDA0002579801010000114
Figure BDA0002579801010000115
在公式3和公式4的左右两边分别乘以
Figure BDA0002579801010000116
和
Figure BDA0002579801010000117
得到：
Figure BDA0002579801010000118
Figure BDA0002579801010000119
将公式5和公式6左右进行相加，可以得到：
Figure BDA0002579801010000121
因为移动的机器人的角速度可以表示为
Figure BDA0002579801010000122
由此可以得出移动机器人角速度：
Figure BDA0002579801010000123
联立公式7和公式8，可以得出：
Figure BDA0002579801010000124
重心速度V在X轴方向上的分量可以表示为：
Figure BDA0002579801010000125
重心速度V在Y轴方向上的分量可以表示为：
Figure BDA0002579801010000126
因此，单车模型的运动学方程可以表示为：
Figure BDA0002579801010000127
公式12为移动机器人的运动学模型。在这个运动学模型中共有三个输入量，分别是：δf、δr和V。β可通过移动机器人前后轮的转角计算获得，公式13为β角的计算公式；移动机器人的航向角
Figure BDA0002579801010000128
可由定位模块提供。
Figure BDA0002579801010000129
第二步：预测模型设计
对四差速全向移动机器人的简化分析，最终得到了四差速全向移动机器人的运动学方程：
Figure BDA0002579801010000131
其中，(x，y)为移动机器人参考点的坐标，
Figure BDA0002579801010000132
为车体的航向角，β为车体的滑移角，δf为移动机器人2个前部差速单元的转动角度，δr为移动机器人2个后部差速单元的转动角度，lf和lr分别是前后轴到参考点的距离，v为参考点的速度。
对四差速全向移动机器人运动学逆分析可以得到，对全向移动机器人输入(υ，w，β)便控制移动机器人，因此对公式15进行改写得到：
Figure BDA0002579801010000133
其中，
Figure BDA0002579801010000134
由公式15可知，系统为输入量为u(u，ω，β)和状态量为
Figure BDA0002579801010000135
其一般形式可表示为：
Figure BDA0002579801010000136
其上面的每一点都满足上述的运动学方程，用r表示参考量，可表示为：
Figure BDA0002579801010000137
其中，
Figure BDA0002579801010000138
。
采用泰勒展开线性化方法，得到：
Figure BDA0002579801010000139
将公式18减去公式17，得到：
Figure BDA0002579801010000141
公式19称为移动机器人的线性误差模型，对公式19进行离散化处理，得到：
Figure BDA0002579801010000142
式中，
Figure BDA0002579801010000143
T为采样时间。
第三步：目标函数设计
目标函数的作用是使移动机器人能够在规定时间准备、快速且稳定的对轨迹进行跟踪。在目标函数中加入了移动机器人状态误差和控制量的优化，设计了公式21的目标函数。
Figure BDA0002579801010000144
式中，Q和R为权重矩阵。
公式21中的前半部分体现移动机器人系统轨迹跟踪性能，后半部分体现对控制量的约束。这个目标函数能够转换成二次规划形式使求解变得方便，但是该目标函数无法对每一个采样周期内控制量的增量进行约束，无法避免连续两个控制量之间突变，从而影响整个控制器的控制效果。因此采用一种基于预测收缩约束的稳定性方法。
Figure BDA0002579801010000145
式中，Np为预测时域，Nc为控制时域，ρ为权重系数，ε为松弛因子。
公式22与公式21相比，加入ε松弛因子，对控制量的约束转变成对控制增量的约束。这样就为避免短预测时域造成的闭环发散问题。
为了满足公式22增量式目标函数形式，需将做一定的转换：
Figure BDA0002579801010000151
得到一个新的状态空间表达式：
Figure BDA0002579801010000152
式中，
Figure BDA0002579801010000153
n为状态向量维度，m为控制量维度。
经过推导，可以得到系统的预测输出表达式：
Figure BDA0002579801010000154
将公式22带入目标函数，可得到完整形式的目标函数表达式。
第四步：约束设计
控制量的表达式表示为：
umin(t+k)≤u(t+k)≤umax(t+k)
k＝0，1，…，Nc-1 (26)
控制增量的表达式表示为：
Δumin(t+k)≤Δu(t+k)≤Δumax(t+k)
k＝0，1，…Nc-1 (27)
在目标函数的设计中，通过对控制量增量的约束代替对控制量的约束，因此在设计约束条件时也应针对控制增量进行设计，以满足目标函数的要求。因此，需要对公式26进行转换，求得相应的转换矩阵。
控制量与控制增量之间关系如下：
u(t+k)＝u(t+k-1)+Δu(t+k) (28)
假设：
Figure BDA0002579801010000161
Figure BDA0002579801010000162
其中，
Figure BDA0002579801010000167
为行数为Nc的列向量，Im为维度为m的单位矩阵，
Figure BDA0002579801010000163
为克罗内克积，u(k-1)为上一时刻的控制量。
结合公式28、公式29和公式30，将公式24可改写为：
Umin≤AΔUt+Ut≤Umax (31)
其中，Umax，Umin分别为控制时域内的控制量最大值与最小值。
将控制量增量式目标函数转化为二次型形式，结合约束条件，转化为公式32的优化问题。
φ(ξ(t)，u(t-1)，ΔU(t))＝[ΔU(t)T，ε]THt[ΔU(t)T，ε]+Gt[ΔU(t)T，ε]
s.t.ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax
Umim≤AΔUt+Ut≤Umax (32)
式中，
Figure BDA0002579801010000164
et为跟踪误差。
对公式4-27进行求解，可得到一系列控制量增量，如公式33。
Figure BDA0002579801010000165
将公式33中的第一个元素作为控制增量输入系统，可得到
Figure BDA0002579801010000166
进入下一个控制周期后，不断重复以上过程，实现四差速全向移动机器人的轨迹跟踪控制。
第五步：积分作用设计
通过以上分析，可以获得移动机器人的误差模型，并且可以通过增量目标函数和对输出的约束条件来计算控制增量。但是在实际应用中，由于移动机器人存在运行中的摩擦等外部因素影响，使整个系统存在稳态误差。积分作用可以累积历史误差，但是传统的积分控制在启动时会在很短的时间内对系统输出造成较大的偏差，很容易引起积分累积，导致控制量超过临界值。该值对应于执行器允许的最大动作范围，这会导致较大的过冲甚至震荡。在本节中，使用改进的积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，最后将角速度输入到移动机器人。系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定。当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，提高控制系统精度和鲁棒性。
积分作用可以表示为：
Figure BDA0002579801010000171
由于移动机器人获得的误差数据是离散的，因此可以将以上公式改写为：
Figure BDA0002579801010000172
移动机器人的误差由航向误差和位置误差组成，因此可以得到：
Figure BDA0002579801010000173
通过预测模型、滚动优化和反馈矫正三个步骤计算得出到了传统模型预测控制器的控制量uM(t)。
Figure BDA0002579801010000174
公式38表示当前控制量等于上一时刻的控制量加上控制量的增量。在加入积分作用后，可以得到：
Figure BDA0002579801010000181
使用改进的积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定，当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，根据所设定的积分器的作用时间，将公式39进行进一步优化。
Figure BDA0002579801010000182
式中，eref表示误差临界值。至此，公式40为本文所设计的积分模型预测控制器。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (1)

1.一种全向移动机器人的积分模型预测控制方法，其特征在于：
第一步：构建全向移动机器人的运动学模型
全向移动机器人的前后轮均可实现直行与转弯，前轮用A表示，后轮用B表示，移动机器人的运动质心用C表示；
A、B两点到C点的距离分别用lf和lr表示，移动机器人车头方向用
Figure FDA0003308825360000011
表示，质心的速度用V表示，速度V与车辆轴线所形成的角度用β表示，β称为移动机器人的滑移角，传统的差速移动机器人和单舵轮移动机器人的速度方向和车体轴线方向保持一致，因此β无须考虑，而全向移动机器人既能实现直线、转弯、自旋的常规运动，还能实现车辆的横向移动，因此存在速度方向和车体轴线方向不一致的情况，β需要进行考虑且是后文控制器设计中的重要参数；
规定坐标系中所有角度、角速度、角加速度逆时针为正，顺时针为负；
通过几何关系，将正弦定理应用于三角形OCA可以得到：
Figure FDA0003308825360000012
同理将正弦定理应用于三角形OCB可以得到：
Figure FDA0003308825360000013
将公式1和公式2进行化解，可以得到：
Figure FDA0003308825360000014
Figure FDA0003308825360000015
在公式3和公式4的左右两边分别乘以
Figure FDA0003308825360000016
和
Figure FDA0003308825360000017
得到：
Figure FDA0003308825360000018
Figure FDA0003308825360000021
将公式5和公式6左右进行相加，可以得到：
Figure FDA0003308825360000022
因为移动的机器人的角速度可以表示为
Figure FDA0003308825360000023
由此可以得出移动机器人角速度：
Figure FDA0003308825360000024
联立公式7和公式8，可以得出：
Figure FDA0003308825360000025
重心速度V在X轴方向上的分量可以表示为：
Figure FDA0003308825360000026
重心速度V在Y轴方向上的分量可以表示为：
Figure FDA0003308825360000027
因此，单车模型的运动学方程可以表示为：
Figure FDA0003308825360000028
公式12为移动机器人的运动学模型，在这个运动学模型中共有三个输入量，分别是：δf、δr和V，β可通过移动机器人前后轮的转角计算获得，公式13为β角的计算公式；移动机器人的航向角
Figure FDA00033088253600000210
可由定位模块提供；
Figure FDA0003308825360000029
第二步：预测模型设计
对四差速全向移动机器人的简化分析，最终得到了四差速全向移动机器人的运动学方程：
Figure FDA0003308825360000031
其中，(x，y)为移动机器人参考点的坐标，
Figure FDA0003308825360000032
为车体的航向角，β为车体的滑移角，δf为移动机器人2个前部差速单元的转动角度，δr为移动机器人2个后部差速单元的转动角度，lf和lr分别是前后轴到参考点的距离，υ为参考点的速度，
对四差速全向移动机器人运动学逆分析可以得到，对全向移动机器人输入(υ，w，β)便控制移动机器人，因此对公式15进行改写得到：
Figure FDA0003308825360000033
其中，
Figure FDA0003308825360000034
由公式15可知，系统为输入量为u(υ，ω，β)和状态量为
Figure FDA0003308825360000035
其一般形式可表示为：
Figure FDA0003308825360000036
其上面的每一点都满足上述的运动学方程，用r表示参考量，可表示为：
Figure FDA0003308825360000037
其中，
Figure FDA0003308825360000038
ur＝[υr，ωr，βr]，
采用泰勒展开线性化方法，得到：
Figure FDA0003308825360000041
将公式18减去公式17，得到：
Figure FDA0003308825360000042
公式19称为移动机器人的线性误差模型，对公式19进行离散化处理，得到：
Figure FDA0003308825360000043
式中，
Figure FDA0003308825360000044
T为采样时间；
第三步：目标函数设计
目标函数的作用是使移动机器人能够在规定时间准备、快速且稳定的对轨迹进行跟踪，在目标函数中加入了移动机器人状态误差和控制量的优化，设计了公式21的目标函数，
Figure FDA0003308825360000045
式中，Q和R为权重矩阵，
公式21中的前半部分体现移动机器人系统轨迹跟踪性能，后半部分体现对控制量的约束，因此采用一种基于预测收缩约束的稳定性方法，
Figure FDA0003308825360000046
式中，Np为预测时域，Nc为控制时域，ρ为权重系数，ε为松弛因子；
公式22与公式21相比，加入ε松弛因子，对控制量的约束转变成对控制增量的约束，这样就避免短预测时域造成的闭环发散问题；
为了满足公式22增量式目标函数形式，需将做一定的转换：
Figure FDA0003308825360000051
得到一个新的状态空间表达式：
Figure FDA0003308825360000052
Figure FDA0003308825360000053
式中，
Figure FDA0003308825360000054
n为状态向量维度，m为控制量维度，
经过推导，可以得到系统的预测输出表达式：
Y(t)＝ψtξ(t|t)+ΘtΔU(t) (25)
将公式22带入目标函数，可得到完整形式的目标函数表达式；
第四步：约束设计
控制量的表达式表示为：
umin(t+k)≤u(t+k)≤umax(t+k)
k＝0，1，…，Nc-1 (26)
控制增量的表达式表示为：
Δumin(t+k)≤Δu(t+k)≤Δumax(t+k)
k＝0，1，…Nc-1 (27)
在目标函数的设计中，通过对控制量增量的约束代替对控制量的约束，因此在设计约束条件时也应针对控制增量进行设计，以满足目标函数的要求，因此，需要对公式26进行转换，求得相应的转换矩阵，
控制量与控制增量之间关系如下：
u(t+k)＝u(t+k-1)+Δu(t+k) (28)
假设：
Figure FDA0003308825360000061
Figure FDA0003308825360000062
其中，
Figure FDA0003308825360000063
为行数为Nc的列向量，Im为维度为m的单位矩阵，
Figure FDA0003308825360000064
为克罗内克积，u(k-1)为上一时刻的控制量，
结合公式28、公式29和公式30，将公式24可改写为：
Umin≤AΔUt+Ut≤Umax (31)
其中，Umax，Umin分别为控制时域内的控制量最大值与最小值，
将控制量增量式目标函数转化为二次型形式，结合约束条件，转化为公式32的优化问题，
φ(ξ(t)，u(t-1)，ΔU(t))＝[ΔU(t)T，ε]THt[ΔU(t)T，ε]+Gt[ΔU(t)T，ε]
s.t.ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax
Umin≤AΔUt+Ut≤Umax (32)
式中，
Figure FDA0003308825360000065
et为跟踪误差，
对公式4-27进行求解，可得到控制量增量，公式33：
Figure FDA0003308825360000066
将公式33中的第一个元素作为控制增量输入系统，可得到
Figure FDA0003308825360000067
进入下一个控制周期后，不断重复以上过程，实现四差速全向移动机器人的轨迹跟踪控制；
第五步：积分作用设计
通过以上分析，获得移动机器人的误差模型，并且通过增量目标函数和对输出的约束条件来计算控制增量，使用积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，将角速度输入到移动机器人，系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定，当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，提高控制系统精度和鲁棒性，
积分作用可以表示为：
Figure FDA0003308825360000071
由于移动机器人获得的误差数据是离散的，因此可以将以上公式改写为：
Figure FDA0003308825360000072
移动机器人的误差由航向误差和位置误差组成，因此可以得到：
Figure FDA0003308825360000073
通过预测模型、滚动优化和反馈矫正三个步骤计算得出到了传统模型预测控制器的控制量uM(t)，
Figure FDA0003308825360000074
公式38表示当前控制量等于上一时刻的控制量加上控制量的增量，在加入积分作用后，可以得到：
Figure FDA0003308825360000075
使用积分器校正移动机器人的航向角误差和位置误差，系统启动时，将使用模型预测控制来使系统稳定，当控制量接近给定值时，即当移动机器人的当前点接近目标点时，采用积分控制消除稳态误差，根据所设定的积分器的作用时间，将公式39进行进一步优化，
Figure FDA0003308825360000081
式中，eref表示误差临界值，至此，公式40为本文所设计的积分模型预测控制器。
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