CN111931411B - 压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法 - Google Patents

Abstract

一种压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法，属于控制工程技术领域。本发明的目的是通过改进模型的静态特性，建立Duhem动态模型对压电驱动微定位平台进行频率相关动态迟滞建模的压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法。本发明步骤是：获得离散的改进Duhem静态模型用于描述压电驱动微定位平台的静态迟滞特性部分，利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态模型，通过压电驱动微定位平台实验系统实时测量、采集输入输出数据对，然后基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果。本发明为压电驱动微定位平台的控制器设计奠定了精确的模型基础。

Description

压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域。

背景技术

压电驱动微定位平台因具有微纳米级位移分辨率和快速频率响应速度得以在纳米驱动定位领域广泛应用。但是受自身迟滞非线性特性的影响，平台定位性能将受到损害，导致其应用受限。因此需要建立精确的迟滞非线性模型对平台迟滞特性进行描述。目前对于压电驱动微定位平台的迟滞建模方法主要包含算子迟滞模型，如Preisach迟滞模型和Prandtl-Ishlinskii迟滞模型等；微分方程迟滞模型，如Bouc-Wen迟滞模型等，但是它们大都不能描述大频率范围内压电驱动微定位平台的动态迟滞特性。

发明内容

本发明的目的是通过改进模型的静态特性，建立Duhem动态模型对压电驱动微定位平台进行频率相关动态迟滞建模的压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法。

本发明步骤是：

1)将比例线性部分引入到传统Duhem微分方程模型中，并对其进行参数离散化处理，得到离散的改进Duhem静态模型用于描述压电驱动微定位平台的静态迟滞特性部分；

针对压电驱动微定位平台系统输入输出的迟滞非线性特性，加入比例线性部分的改进Duhem微分方程模型表达式为：

其中，h(t)是静态迟滞输出；v(t)是迟滞输入电压；dv(t)是比例线性部分，d是压电系数；ψ(v(t))是迟滞状态变量；α是正数；

推导出离散的改进Duhem静态模型如下：

其中，p和q分别为连续函数f(v(t))和g(v(t))通过一致逼近得到的多项式阶次；φ(k)＝ψ(v(k))-ψ(v(k-1))，τ(k)＝v(k)-v(k-1)，k表示采样时刻；

2)在1)的基础上对Duhem静态模型进行改进，通过对角递归神经网络表征压电驱动微定位平台迟滞特性的频率相关部分，然后利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态模型；

对角递归神经网络包含输入层、隐含层和输出层三层结构，其隐含层由自递归神经元组成，能够把压电驱动微定位平台系统的动态迟滞信息包含于网络结构中，实现动态时延自反馈；将对角递归神经网络与Duhem静态模型以串联模式相结合的Duhem动态模型结构如下：

A、静态迟滞部分利用Duhem静态模型进行描述：根据Duhem动态模型结构，采用当前时刻输入电压v(k)驱动Duhem静态模型，得到当前时刻静态迟滞输出h(k)；其中，Duhem静态模型参数由内点算法进行离线辨识获得；

B、频率相关动态迟滞部分利用对角递归神经网络进行描述：

B-1、对角递归神经网络输入层结构：

将当前时刻静态迟滞输出作为对角递归神经网络输入向量I_i(k)＝[1,h(k)]^T；

对角递归神经网络输入层神经元的激励函数选为线性单元函数f(x)＝x；

对角递归神经网络输入层神经元的输出为V_i(k)＝I_i(k)；

B-2、对角递归神经网络隐含层结构：

对角递归神经网络隐含层神经元的激励函数选为s(x)＝(1-e^-x)/(1+e^-x)；

对角递归神经网络隐含层神经元的输出为：

其中，x_j(k-1)是对角递归神经网络前一时刻的隐含层输出；

是对角递归神经网络输入层和隐含层之间的连接权值，其中

是阈值；

是对角递归神经网络隐含层自递归的反馈权值；m和n分别是输入层和隐含层的神经元个数；

B-3、对角递归神经网络输出层结构：

对角递归神经网络输出层神经元的激励函数选为线性单元函数g(x)＝x；

对角递归神经网络输出层神经元的输出为

其中，y_m(k)是对角递归神经网络的输出向量，也是当前时刻Duhem动态模型的动态迟滞输出；

是对角递归神经网络隐含层和输出层之间的连接权值；

B-4、对角递归神经网络权值参数的训练算法：

根据梯度下降算法在线计算神经网络权值梯度：

其中，

令目标函数为E＝1/2(y(k)-y_m(k,ω(k)))²，采用如下更新公式对神经网络权值参数

进行在线自适应调节：

其中，y(k)是压电驱动微定位平台当前时刻的实际输出位移；η＝[η₁,η₂,η₃]分别代表各层之间连接权值的学习因子；

3)通过压电驱动微定位平台实验系统实时测量、采集输入输出数据对；

通过Matlab软件与数据采集卡连接，将驱动电压信号进行D/AC转换，并输送到集成定位控制器；模拟电压信号经集成定位控制器的驱动模块放大后传输给压电驱动微定位平台，内部的压电执行器产生位移；该位移信号经过位移传动机构传输给压电驱动微定位平台内置的位移传感器进行实时测量，并经位移-电压转换模块转换成模拟电压信号传回到集成定位控制器的传感模块；再经数据采集卡A/DC转换传回给计算机，对数据进行在线运算和控制；

4)利用采集的输入输出数据对和内点算法对Duhem静态模型参数进行离线辨识，然后基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果；

采用均方误差和惩罚项定义目标惩罚函数：

其中，ξ＝[d,α,f₀,f₁,…,f_p,g₀,g₁,…,g_q]为待辨识参数；y_i(k)是采样时刻k下平台实际输出数据；h_i(k)是相同时刻k下Duhem静态模型输出数据；N是采样数据总数；β^(k)是惩罚因子，它是满足

的迭代递减序列；

辨识目标就是基于内点算法调节Duhem静态模型参数，寻找能够使目标惩罚函数最小的最优参数解；内点算法本质上是通过极值求解法计算出目标惩罚函数的梯度，根据极值条件得到目标惩罚函数极值对应的最优参数解ξ^*(β^(k))，然后利用如下更新公式更新惩罚因子，对参数进行迭代寻优：

β^(k+1)＝Cβ^(k), (10)

其中，C是递减系数；当β^(k)减小到零时，最优参数解ξ^*(0)即为辨识得到的Duhem静态模型的待辨识参数ξ^*；辨识的具体步骤是：

a、选取初始惩罚因子β⁽⁰⁾，递减系数C，设置允许误差δ；

b、在可行域内产生随机初始内点ξ⁽⁰⁾，令k＝1；

c、构造目标惩罚函数ζ(ξ,β^(k))，从ξ^(k-1)点出发，根据极值条件求解目标惩罚函数的极值，获取对应的最优参数解ξ^*(β^(k))；

d、当满足条件||ξ^*(β^(k))-ξ^*(β^(k-1))||≤δ时，停止迭代并进入f，否则进入e；

e、赋值ξ⁽⁰⁾＝ξ^*(β^(k))更新初始内点，令β^(k+1)＝Cβ^(k)，k＝k+1；转向c，重复迭代寻优，直到满足d的终止条件为止；

f、记录d中满足条件的最优参数解，即为待辨识参数ξ^*，迭代结束；

在Duhem静态模型参数辨识完毕后，利用公式(5)-(8)基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果。

本发明根据压电驱动微定位平台输入输出的频率相关动态迟滞特性，对引入比例线性部分的改进Duhem静态模型做出进一步改进，通过对角递归神经网络表征压电驱动微定位平台迟滞特性的频率相关部分，然后利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态迟滞模型。本发明从改进Duhem动态模型与Duhem静态模型的实验结果对比可以看出，Duhem动态模型能够表征压电驱动微定位平台输入输出的频率相关动态迟滞特性，并可以更好的描述复合幅值复合频率驱动信号下带有输出次环的压电驱动微定位平台的复杂动态迟滞特性。本发明为压电驱动微定位平台的控制器设计奠定了精确的模型基础。

附图说明

图1是对角递归神经网络结构图；

图2是Duhem动态迟滞模型结构图；

图3是基于内点算法的Duhem静态模型辨识原理图；

图4是压电驱动微定位平台实验系统装置图；

图5是压电驱动微定位平台实验系统原理图；

图6是内点算法辨识流程图；

图7是实际迟滞输出与Duhem静态模型输出对比曲线图；

图8是实际迟滞输出与Duhem静态模型输出误差曲线图；

图9是10Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比曲线图；

图10是20Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比曲线图；

图11是80Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比曲线图；

图12是10Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比误差曲线图；

图13是20Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比误差曲线图；

图14是80Hz正弦波驱动下平台迟滞输出与模型输出对比误差曲线图；

图15是复合幅值频率正弦驱动下平台迟滞输出与模型输出对比曲线图；

图16是复合幅值频率正弦驱动下平台迟滞输出与模型输出对比误差曲线图。

具体实施方式

Duhem迟滞模型是典型的微分方程迟滞模型，因同时涉及电气和机械两个领域，并且具有简明的表达式，相比于其他迟滞模型更加适用于描述压电驱动微定位平台的记忆型迟滞非线性。针对压电驱动微定位平台，Duhem迟滞模型采用最基本的一阶微分方程形式，然而它不能精确描述平台的复杂动态迟滞特性，是一个与频率无关的静态迟滞模型。为此，急需一种技术方案改进这一模型的静态特性，使其能够表征平台的频率相关动态迟滞特性，这对于压电驱动微定位平台的精确建模和基于模型的控制器设计都有非常重大的意义。

本发明Duhem动态迟滞模型的建立过程1)：将比例线性部分引入到传统Duhem微分方程模型中，并对其进行参数离散化处理，得到离散的改进Duhem静态模型用于描述压电驱动微定位平台的静态迟滞特性部分。

Duhem动态模型的建立：

1)将比例线性部分引入到传统Duhem微分方程模型中，并对其进行参数离散化处理，得到离散的改进Duhem静态模型用于描述压电驱动微定位平台的静态迟滞特性部分；

2)在1)的基础上对Duhem静态模型进行改进，通过对角递归神经网络表征压电驱动微定位平台迟滞特性的频率相关部分，然后利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态模型；

3)通过压电驱动微定位平台实验系统实时测量、采集输入输出数据对；

4)利用采集的输入输出数据对和内点算法对Duhem静态模型参数进行离线辨识，然后基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果。

传统Duhem微分方程模型的输入方向改变会影响其输出特性，进而造成参数辨识困难。为此，针对压电驱动微定位平台系统输入输出的静态迟滞特性，加入比例线性部分的改进Duhem微分方程模型表达式为：

其中，h(t)是静态迟滞输出；v(t)是迟滞输入电压；dv(t)是比例线性部分，d是压电系数；ψ(v(t))是迟滞状态变量；α是正数；f(v(t))和g(v(t))均是用来控制迟滞环形状的连续函数，根据Weierstrass存在性定理采用多项式一致逼近方式进行参数化处理，推导出离散的改进Duhem静态模型如下：

其中，p和q分别为连续函数f(v(t))和g(v(t))通过一致逼近得到的多项式阶次；φ(k)＝ψ(v(k))-ψ(v(k-1))，τ(k)＝v(k)-v(k-1)，k表示采样时刻。

本发明Duhem动态迟滞模型的建立过程2)：在1)的基础上对Duhem静态模型进行改进，通过对角递归神经网络表征压电驱动微定位平台迟滞特性的频率相关部分，利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态模型。

对角递归神经网络结构如图1所示，包含输入层、隐含层和输出层三层结构，其隐含层由自递归神经元组成，能够把压电驱动微定位平台系统的动态迟滞信息包含于网络结构中，实现动态时延自反馈。将对角递归神经网络与Duhem静态模型以串联模式相结合的Duhem动态模型结构图如图2所示，具体结构如下：

A、静态迟滞部分利用Duhem静态模型进行描述：根据Duhem动态模型结构，采用当前时刻输入电压v(k)驱动Duhem静态模型，得到当前时刻静态迟滞输出h(k)。其中，Duhem静态模型参数由内点算法进行离线辨识获得，辨识原理图如图3所示。

B、频率相关动态迟滞部分利用对角递归神经网络进行描述：

B-1、对角递归神经网络输入层结构：

将当前时刻静态迟滞输出作为对角递归神经网络输入向量I_i(k)＝[1,h(k)]^T；

对角递归神经网络输入层神经元的激励函数选为线性单元函数f(x)＝x；

对角递归神经网络输入层神经元的输出为V_i(k)＝I_i(k)。

B-2、对角递归神经网络隐含层结构：

对角递归神经网络隐含层神经元的激励函数选为s(x)＝(1-e^-x)/(1+e^-x)；

对角递归神经网络隐含层神经元的输出为：

其中，x_j(k-1)是对角递归神经网络前一时刻的隐含层输出；

是对角递归神经网络输入层和隐含层之间的连接权值，其中

是阈值；

是对角递归神经网络隐含层自递归的反馈权值；m和n分别是输入层和隐含层的神经元个数。

B-3、对角递归神经网络输出层结构：

对角递归神经网络输出层神经元的激励函数选为线性单元函数g(x)＝x；

对角递归神经网络输出层神经元的输出为

其中，y_m(k)是对角递归神经网络的输出向量，也是当前时刻Duhem动态模型的动态迟滞输出；

是对角递归神经网络隐含层和输出层之间的连接权值。

B-4、对角递归神经网络权值参数的训练算法：

根据梯度下降算法在线计算神经网络权值梯度：

其中，

令目标函数为E＝1/2(y(k)-y_m(k,ω(k)))²，采用如下更新公式对神经网络权值参数

进行在线自适应调节：

其中，y(k)是压电驱动微定位平台当前时刻的实际输出位移；η＝[η₁,η₂,η₃]分别代表各层之间连接权值的学习因子。

本发明Duhem动态迟滞模型的建立过程3)：搭建如图4所示的压电驱动微定位平台实验系统实时测量、采集输入输出数据对。实验系统原理图如图5，建模数据采集过程：计算机通过Matlab软件与数据采集卡连接，将驱动电压信号进行D/AC转换，并输送到集成定位控制器；模拟电压信号经集成定位控制器的驱动模块放大后传输给压电驱动微定位平台，内部的压电执行器产生位移；该位移信号经过位移传动机构传输给压电驱动微定位平台内置的位移传感器进行实时测量，并经位移-电压转换模块转换成模拟电压信号传回到集成定位控制器的传感模块；再经数据采集卡A/DC转换传回给计算机，对数据进行在线运算和控制。

本发明Duhem动态迟滞模型的建立过程4)：利用采集的输入输出数据对和内点算法对Duhem静态模型参数进行离线辨识，如图3。采用均方误差和惩罚项定义目标惩罚函数：

其中，ξ＝[d,α,f₀,f₁,…,f_p,g₀,g₁,…,g_q]为待辨识参数；y_i(k)是采样时刻k下平台实际输出数据；h_i(k)是相同时刻k下Duhem静态模型输出数据；N是采样数据总数；β^(k)是惩罚因子，它是满足

的迭代递减序列。

辨识目标就是基于内点算法调节Duhem静态模型参数，寻找能够使目标惩罚函数最小的最优参数解。内点算法本质上是通过极值求解法计算出目标惩罚函数的梯度，根据极值条件得到目标惩罚函数极值对应的最优参数解ξ^*(β^(k))，然后利用如下更新公式更新惩罚因子，对参数进行迭代寻优：

β^(k+1)＝Cβ^(k), (10)

其中，C是递减系数。当β^(k)减小到零时，最优参数解ξ^*(0)即为辨识得到的Duhem静态模型的待辨识参数ξ^*。辨识流程图如图6所示，具体辨识步骤是：

a、选取初始惩罚因子β⁽⁰⁾，递减系数C，设置允许误差δ；

b、在可行域内产生随机初始内点ξ⁽⁰⁾，令k＝1；

c、构造目标惩罚函数ζ(ξ,β^(k))，从ξ^(k-1)点出发，根据极值条件求解目标惩罚函数的极值，获取对应的最优参数解ξ^*(β^(k))；

d、当满足条件||ξ^*(β^(k))-ξ^*(β^(k-1))||≤δ时，停止迭代并进入f，否则进入e；

e、赋值ξ⁽⁰⁾＝ξ^*(β^(k))更新初始内点，令β^(k+1)＝Cβ^(k)，k＝k+1。转向c，重复迭代寻优，直到满足d的终止条件为止；

f、记录d中满足条件的最优参数解，即为待辨识参数ξ^*，迭代结束。

本发明在Duhem静态模型参数辨识完毕后，利用公式(5)-(8)基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果。

实例验证：

在实际实验中，首先需要根据图4所示的压电驱动微定位平台实验系统测量并采集输入输出数据对，采用图6所示的内点算法离线辨识Duhem静态模型参数；然后根据Duhem动态模型结构，将Duhem静态模型与对角递归神经网络串联，并通过梯度下降算法在线自适应调节神经网络权值参数，完成Duhem动态迟滞模型的建立，并与Duhem静态模型进行对比，验证Duhem动态模型的频率相关动态迟滞描述能力。

考虑内点算法的计算复杂度和收敛速度，选取p＝3，q＝2，即Duhem静态模型的待辨识参数为ξ＝[d,α,f₀,f₁,f₂,f₃,g₀,g₁,g₂]。为了获取Duhem静态模型的待辨识参数，首先采用行程范围为0-90V，频率为1Hz的低频正弦波电压信号驱动压电驱动微定位平台，根据图5所示的数据采集过程获取参数辨识所需数据进行离线辨识。辨识得到的Duhem静态模型迟滞输出与平台实际迟滞输出对比曲线如图7所示，两者误差如图8所示，经计算得到Duhem静态模型的最大建模误差率为0.69％。基于内点算法的Duhem静态模型为后续Duhem动态模型的建立奠定了基础。

采用0-90V行程范围，频率为10Hz、20Hz和80Hz的正弦电压信号同时激励压电驱动微定位平台、Duhem静态模型和Duhem动态模型，采集平台实际输出和模型输出，在线完成对比建模实验。在网络训练开始前将对角递归神经网络结构设置为1-7-1，对权值和阈值设置随机初始值ω(0)，选取权值参数的学习因子为η＝[0.55,0.35,0.15]。得到对比迟滞环输出曲线如图9-图11所示，对比误差曲线如图12-图14所示。对比实验结果可以看出，Duhem动态模型对频率相关动态迟滞特性建模精度更高，建模误差更小，建模效果更好。

为了验证Duhem动态模型对带有输出次环的压电驱动微定位平台的复杂动态迟滞描述能力，采用复合幅值复合频率正弦电压信号驱动压电驱动微定位平台，得到对比迟滞环输出结果如图15所示，对比误差结果如图16所示。从实验结果分析可知，Duhem动态模型能够更好的表征带有输出次环的压电驱动微定位平台的复杂动态迟滞特性。

根据上述误差数据求取均方根误差和最大误差，得到Duhem静态模型和Duhem动态模型的对比误差结果如表1所示。

表1不同频率正弦波和复合幅值复合频率正弦波驱动下对比建模误差

Claims (1)

1.一种压电驱动微定位平台Duhem动态迟滞建模方法，其特征在于：其步骤是：

1)将比例线性部分引入到传统Duhem微分方程模型中，并对其进行参数离散化处理，得到离散的改进Duhem静态模型用于描述压电驱动微定位平台的静态迟滞特性部分；

针对压电驱动微定位平台系统输入输出的迟滞非线性特性，加入比例线性部分的改进Duhem微分方程模型表达式为：

其中，h(t)是静态迟滞输出；v(t)是迟滞输入电压；dv(t)是比例线性部分，d是压电系数；ψ(v(t))是迟滞状态变量；α是正数；

推导出离散的改进Duhem静态模型如下：

其中，p和q分别为连续函数f(v(t))和g(v(t))通过一致逼近得到的多项式阶次；φ(k)＝ψ(v(k))-ψ(v(k-1))，τ(k)＝v(k)-v(k-1)，k表示采样时刻；

2)在1)的基础上对Duhem静态模型进行改进，通过对角递归神经网络表征压电驱动微定位平台迟滞特性的频率相关部分，然后利用串联方式获得一种参数在线自适应调节的Duhem动态模型；

对角递归神经网络包含输入层、隐含层和输出层三层结构，其隐含层由自递归神经元组成，能够把压电驱动微定位平台系统的动态迟滞信息包含于网络结构中，实现动态时延自反馈；

将对角递归神经网络与Duhem静态模型以串联模式相结合的Duhem动态模型结构如下：

A、静态迟滞部分利用Duhem静态模型进行描述：根据Duhem动态模型结构，采用当前时刻输入电压v(k)驱动Duhem静态模型，得到当前时刻静态迟滞输出h(k)；其中，Duhem静态模型参数由内点算法进行离线辨识获得；

B、频率相关动态迟滞部分利用对角递归神经网络进行描述：

B-1、对角递归神经网络输入层结构：

将当前时刻静态迟滞输出作为对角递归神经网络输入向量I_i(k)＝[1,h(k)]^T；

对角递归神经网络输入层神经元的激励函数选为线性单元函数f(x)＝x；

对角递归神经网络输入层神经元的输出为V_i(k)＝I_i(k)；

B-2、对角递归神经网络隐含层结构：

对角递归神经网络隐含层神经元的激励函数选为s(x)＝(1-e^-x)/(1+e^-x)；

对角递归神经网络隐含层神经元的输出为：

其中，x_j(k-1)是对角递归神经网络前一时刻的隐含层输出；

是对角递归神经网络输入层和隐含层之间的连接权值，其中

是阈值；

是对角递归神经网络隐含层自递归的反馈权值；m和n分别是输入层和隐含层的神经元个数；

B-3、对角递归神经网络输出层结构：

对角递归神经网络输出层神经元的激励函数选为线性单元函数g(x)＝x；

对角递归神经网络输出层神经元的输出为

其中，y_m(k)是对角递归神经网络的输出向量，也是当前时刻Duhem动态模型的动态迟滞输出；

是对角递归神经网络隐含层和输出层之间的连接权值；

B-4、对角递归神经网络权值参数的训练算法：

根据梯度下降算法在线计算神经网络权值梯度：

其中，

令目标函数为E＝1/2(y(k)-y_m(k,ω(k)))²，采用如下更新公式对神经网络权值参数

进行在线自适应调节：

其中，y(k)是压电驱动微定位平台当前时刻的实际输出位移；η＝[η₁,η₂,η₃]分别代表各层之间连接权值的学习因子；

3)通过压电驱动微定位平台实验系统实时测量、采集输入输出数据对；

通过Matlab软件与数据采集卡连接，将驱动电压信号进行D/AC转换，并输送到集成定位控制器；模拟电压信号经集成定位控制器的驱动模块放大后传输给压电驱动微定位平台，内部的压电执行器产生位移；该位移信号经过位移传动机构传输给压电驱动微定位平台内置的位移传感器进行实时测量，并经位移-电压转换模块转换成模拟电压信号传回到集成定位控制器的传感模块；再经数据采集卡A/DC转换传回给计算机，对数据进行在线运算和控制；

4)利用采集的输入输出数据对和内点算法对Duhem静态模型参数进行离线辨识，然后基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果；

采用均方误差和惩罚项定义目标惩罚函数：

其中，ξ＝[d,α,f₀,f₁,…,f_p,g₀,g₁,…,g_q]为待辨识参数；y_i(k)是采样时刻k下平台实际输出数据；h_i(k)是相同时刻k下Duhem静态模型输出数据；N是采样数据总数；β^(k)是惩罚因子，它是满足

的迭代递减序列；

辨识目标就是基于内点算法调节Duhem静态模型参数，寻找能够使目标惩罚函数最小的最优参数解；内点算法本质上是通过极值求解法计算出目标惩罚函数的梯度，根据极值条件得到目标惩罚函数极值对应的最优参数解ξ^*(β^(k))，然后利用如下更新公式更新惩罚因子，对参数进行迭代寻优：

β^(k+1)＝Cβ^(k), (10)

其中，C是递减系数；当β^(k)减小到零时，最优参数解ξ^*(0)即为辨识得到的Duhem静态模型的待辨识参数ξ^*；辨识的具体步骤是：

a、选取初始惩罚因子β⁽⁰⁾，递减系数C，设置允许误差δ；

b、在可行域内产生随机初始内点ξ⁽⁰⁾，令k＝1；

c、构造目标惩罚函数ζ(ξ,β^(k))，从ξ^(k-1)点出发，根据极值条件求解目标惩罚函数的极值，获取对应的最优参数解ξ^*(β^(k))；

d、当满足条件||ξ^*(β^(k))-ξ^*(β^(k-1))||≤δ时，停止迭代并进入f，否则进入e；

e、赋值ξ⁽⁰⁾＝ξ^*(β^(k))更新初始内点，令β^(k+1)＝Cβ^(k)，k＝k+1；转向c，重复迭代寻优，直到满足d的终止条件为止；

f、记录d中满足条件的最优参数解，即为待辨识参数ξ^*，迭代结束；

在Duhem静态模型参数辨识完毕后，利用公式(5)-(8)基于梯度下降算法对Duhem动态模型中的神经网络权值参数进行在线更新，最终获得精确的动态迟滞建模结果。

Images