CN103941585A - 基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法 - Google Patents

Abstract

一种基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法，属于控制工程技术领域。本发明的目的是利用Duhem模型对压电陶瓷执行器进行迟滞建模，提高精密定位系统中的压电陶瓷执行器控制精度的基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法。本发明具体步骤如下：由Duhem模型的微分表达式推导出其参数化模型和离散化模型；利用静态测试原理获得初始数据；运用递推最小二乘法以及获得的初始数据；利用最小二乘法得到基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度；利用Duhem模型的离散化模型和梯度校正参数估计的递推公式，得到待辨识的参数的值；利用梯度校正法得到的参数，建立Duhem模型。本发明梯度校正辨识方法能够对压电陶瓷执行器进行更加精确的控制，并且这种辨识适用性强，适于工程实现。

Description

基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域。 

背景技术

压电陶瓷执行器是目前微位移技术中比较理想的驱动元件，具有定位精度高、驱动力大、响应速度快等优点。但由于本身的迟滞、非线性和蠕变特性，使得微位移机构的重复性和精度降低，瞬态响应速度变慢，给压电陶瓷应用造成了一定的困难。为减小这种非线性特性所造成的不良影响，更好地发挥压电陶瓷的性能，很多科研机构和研究人员对迟滞非线性系统建模及控制开展了研究。李志鹏，葛川等人针对压电陶瓷执行器的迟滞非线性，采用了Takagi-Sugeno（T-S）型动态模糊系统（DFS）迟滞模型。结合直接逆模型控制和迭代学习控制的思想，针对20Hz的三角波和正弦波期望轨迹进行了DFS前馈+PI控制实验，这种控制方法有效地满足了周期性轨迹跟踪的精度要求。赖志林，刘向东等人针对压电陶瓷执行器的迟滞非线性对压电陶瓷精密定位的影响，提出了应用类Hammerstein模型对压电陶瓷执行器进行建模的方法，并描述其相关特性。 

Duhem模型是1897年由P．Duhem提出的一种由微分迟滞模型，Duhem模型的最大优点是具有明确的函数表达式；Duhem模型是输入信号导数的函数，模型输出与输入信号的速率相关，是一种动态模型，符合实际智能材料中迟滞非线性的动态特性，因此Duhem模型能够更精确地描述迟滞非线性。 

发明内容

本发明的目的是利用Duhem模型对压电陶瓷执行器进行迟滞建模，提高精密定位系统中的压电陶瓷执行器控制精度的基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法。 

本发明具体步骤如下： 

a、由Duhem模型的微分表达式推导出其参数化模型和离散化模型 ，参数辨识的目标即为得到最小时参数的值；

b、利用静态测试原理获得初始数据：驱动电源对压电执行器施加电压驱动信号后，使弯曲元件产生变形，其变形量值通过激光测试仪测量并显示出来，完成压电执行器静态特性的测量；

c、运用递推最小二乘法以及获得的初始数据，在Matlab环境下运行，得到被辨识参数的值；

d、利用最小二乘法得到的参数辨识结果建立Duhem模型，得到基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度；

e、利用Duhem模型的离散化模型和梯度校正参数估计的递推公式，选择权矩阵，在Matlab环境下编程并运行，得到待辨识的参数的值；f、利用梯度校正法得到的参数，建立Duhem模型，并最终获得基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度。

本发明本发明的有益效果是：最小二乘辨识法的控制精度可以达到0.2%，最大输出误差为0.08um；梯度校正方法的控制精度约为0.13%，最大输出误差为0.08um。实验结果证明了梯度校正辨识方法能够对压电陶瓷执行器进行更加精确的控制,并且这种辨识适用性强，适于工程实现。利用梯度校正法更好地建立Duhem模型，为以后压电陶瓷的控制研究奠定基础。 

附图说明

图1是静态测试试验原理图； 

图2是给定的输入-输出曲线；

图3是利用递推最小二乘法得到的Duhem模型的输入-输出迟滞曲线；

图4是利用递推最小二乘法得到的实际输出与模型输出的误差曲线；

图5是利用梯度校正法辨识得到的模型各个参数变化曲线；

图6是Duhem模型的输入-输出迟滞曲线；

图7是实际输出与模型输出的误差曲线。

具体实施方式

本发明的具体步骤如下： 

a、由Duhem模型的微分表达式推导出其参数化模型和离散化模型 ，参数辨识的目标即为得到最小时参数的值；

b、利用静态测试原理获得初始数据：驱动电源对压电执行器施加电压驱动信号后，使弯曲元件产生变形，其变形量值通过激光测试仪测量并显示出来，完成压电执行器静态特性的测量；

c、运用递推最小二乘法以及获得的初始数据，在Matlab环境下运行，得到被辨识参数的值；

d、利用最小二乘法得到的参数辨识结果建立Duhem模型，得到基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度；

e、利用Duhem模型的离散化模型和梯度校正参数估计的递推公式，选择权矩阵，在Matlab环境下编程并运行，得到待辨识的参数的值；f、利用梯度校正法得到的参数，建立Duhem模型，并最终获得基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度。

以下结合附图对本发明的实施方式做进一步描述： 

递推最小二乘法和梯度校正法

Duhem模型的微分表达式:

   （1）

其中：是常数，是迟滞输入电压，是迟滞输出位移，和为分段连续函数。

用C[a,b]表示定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数构成的集合，任意两个C[a,b]中的元素和可以用表示它们的距离^[8]。设，则对于任意给定的都存在多项式使下式成立 

    （2）

即对于任意给定的和逼近精度，都能找到一个代数多项式:

           

（为自然数），使得成立。

当精度时，和阶次分别为，，其多项式分别为： 

 （3）

 （4）

将式（3）、（4）代入式（1）得：

        （5）

则式（5）可写为：

   （6）

由于系统的输入电压，输出位移以及，是可测的，那么只要准确辨识出，和方程的系数，就可以得到Duhem模型的参数化模型。

令，，，，则系统的动态离散化Duhem模型为： 

                    （7）

其中，为时刻系统的输入电压，为时刻系统的输出位移。

设                （8） 

其中：为输入电压的数据向量，为待辨识的参数向量。即：

 

令

（9）

即。

参数辨识估计的目标是得到函数最小时参数的值。 

递推最小二乘法

应用最小二乘法递推公式（10）、（11）、（12）可辨识出参数：

          （10）

     （11）

    （12）

其中式（10）即为Duhem模型的参数化模型。

梯度校正法

梯度校正参数估计的递推公式为

      (13) 

式中

       (14) 

其中为权矩阵，权矩阵的作用是用来控制各输入分量对参数估计值的影响程度。设权矩阵具有如下形式

  （15）

如果权矩阵的元素满足下列条件

Ⅰ，和为确定的上下界值；

Ⅱ个中至少存在一个，使得

或

Ⅲ Ⅳ 与不相交，

，那么不管参数估计的初始值如何选择，参数估计值总是大范围一致渐进收敛的，即有

                 （16）

实验结果证明了梯度校正辨识方法能够对压电陶瓷执行器进行更加精确的控制，并且这种辨识适用性强，适于工程实现。利用梯度校正法更好地建立Duhem模型，为以后压电陶瓷的控制研究奠定基础。

实例

为了验证法对Duhem模型辨识的准确性，在Matlab环境下分别应用最小二乘法和梯度校正法来辨识Duhem模型的参数。

初始数据获得方法

静态测试试验原理图如图1，试验装置包括：压电陶瓷驱动电源及激光测试仪。驱动电源对压电执行器施加电压驱动信号后，使弯曲元件产生变形，而其变形量值通过激光测试仪测量并显示出来，完成压电执行器静态特性的测量。给定初始数据如图2。

实验中多项式的阶次，多项式阶次，即 

最小二乘法

应用最小二乘法辨识结果为：

利用该组参数辨识数据，给出输入数据，得到模型的迟滞曲线，如图3所示。

图3表明Duhem模型的输出与实际数据基本一致，图4为模型输出与实际输出数据的误差曲线。由图4可以看出，相对误差约为0.2%，最大误差为0.08um。实验结果验证了最小二乘法的有效性。 

梯度校正法

应用梯度校正法对参数进行辨识，参数辨识结果如图5所示。本次实验选择如下形式： 

参数的辨识结果如下：

利用上述辨识参数结果，得到的迟滞曲线如图6所示，系统输出与模型输出误差曲线如图7所示。由图7可以看出，相对误差约0.13%，最大误差为0.08um，实验结果同样验证了梯度校正法的有效性。

本发明利用多项式对Duhem模型的分段连续函数和进行逼近，分别采用最小二乘法和梯度校正法来辨识Duhem模型的参数，以及多项式和的系数，利用辨识出的参数，建立Duhem模型。实验结果表明：最小二乘辨识法的控制精度可以达到0.24%；梯度校正方法的控制精度约为0.11%。与现有方法中控制精度约为1%相比，实验结果证明了梯度校正辨识方法能够对压电陶瓷执行器进行更加精确的控制,并且这种辨识适用性强，适于工程实现。利用梯度校正法更好地建立Duhem模型，为以后压电陶瓷的控制研究奠定基础。 

表1递推最小二乘法和梯度校正法的辨识参数对比 

表2递推最小二乘法和梯度校正法的相对误差结果对比

 

Claims (1)

1.一种基于Duhem模型的压电陶瓷执行器建模方法，其特征在于：具体步骤如下：

a、由Duhem模型的微分表达式推导出其参数化模型和离散化模型                                                ，参数辨识的目标即为得到最小时参数的值；

b、利用静态测试原理获得初始数据：驱动电源对压电执行器施加电压驱动信号后，使弯曲元件产生变形，其变形量值通过激光测试仪测量并显示出来，完成压电执行器静态特性的测量；

c、运用递推最小二乘法以及获得的初始数据，在Matlab环境下运行，得到被辨识参数的值；

d、利用最小二乘法得到的参数辨识结果建立Duhem模型，得到基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度；

e、利用Duhem模型的离散化模型和梯度校正参数估计的递推公式，选择权矩阵，在Matlab环境下编程并运行，得到待辨识的参数的值；f、利用梯度校正法得到的参数，建立Duhem模型，并最终获得基于Duhem模型的压电陶瓷执行器的控制精度。