CN105353610A - 基于kp模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法 - Google Patents

Abstract

一种基于KP模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法，属于控制工程技术领域。本发明的目的是分别采用加权递推最小二乘法和自适应递推算法进行离线和在线辨识的基于KP模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法。本发明中提到两种方法，分别是加权递推最小二乘法和自适应递推算法，并对两种方法的实验结果进行比较。本发明为了提高精密定位系统中磁控形状记忆合金执行器的控制精度，提出利用KP模型对磁控形状记忆合金执行器进行迟滞建模。证明了采用KP模型对MSMA执行器迟滞现象进行数学建模的可行性和有效性，为以后磁控形状记忆合金的控制研究奠定了基础。

Description

基于KP模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域。

背景技术

微位移执行器是微定位设备的核心，寻找性能优良的执行器材料对提高定位精度具有十分重要的意义。磁控形状记忆合金执行器是1993年才被发现的新型功能材料，但是直到1996年美国MIT的K.Ullakko博士在其一篇论文中介绍了这种材料的特性并指出该材料用于微位移执行器的可能性之后，才引起各国学者的广泛关注。它具有比压电材料、超磁致伸缩材料等智能材料形变大、频响高、可精确控制的优点，在微定位、微驱动领域具有很大的发展潜力，有望成为未来新一代微位移执行器的关键材料。但是迟滞非线性现象的普遍存在，导致磁控形状记忆合金执行器响应速度变慢、可控性变差，给磁控形状记忆合金的应用造成了一定的困难。为减小这种非线性特性所造成的不良影响，更好地发挥磁控形状记忆合金的性能，很多科研机构和研究人员对迟滞非线性系统建模及控制开展了研究。

由于迟滞非线性现象存在于很多智能材料中，针对迟滞非线性的研究也很多，到目前为止，国内外学者提出了很多迟滞非线性模型和建模方法。Ping等人针对压电陶瓷执行器的迟滞现象，建立了压电陶瓷执行器的Preisach迟滞模型，模型误差为0.027mm,取得了较好的模型精度；周淼磊针对压电执行器中的迟滞现象，建立了Preisach迟滞模型，并提出了一种Preisach模型前馈控制和模糊控制相结合的复合控制方法，有效的减小了迟滞现象对压电执行器控制精度的影响；XiaoboTan等人对超磁滞伸缩材料中存在的迟滞现象采用了Preisach模型进行建模，并采用了自适应递推算法来估计Preisach模型中的参数，进而提出了一种求解Preisach逆模型的方法；LeonardoRiccardi等人采用改进的P-I模型对MSMA执行器进行建模与控制，指出在室温下，逆模型补偿的PID复合控制可以很好的对执行器的输出位移进行精确控制，但是当温度升高后，自适应控制的性能优于PID复合控制；WangYufeng等人研究了系统含有迟滞现象的控制问题，提出了一种模型参考自适应控制方案，对系统中的迟滞现象采用KP模型进行建模。

磁控形状记忆合金执行器的研究目前处于起步阶段，用于描述迟滞现象的数学模型很多，Preisach模型是最常见、应用最广的用来描述迟滞现象的数学模型，KrasnoselskiiPokrovskii（KP）模型可以看做是Preisach模型的改进型，与Preisach模型相比，KP模型具有能够描述带迟滞内环等复杂迟滞现象的优点。KP模型是由M.A.krasnosel’skii和A.V.Pokrovskii两位学者共同提出的一种基于迟滞算子的迟滞模型。它的基本思想是认为迟滞现象是由一系列迟滞算子叠加而成的，能够对磁控形状记忆合金执行器的迟滞现象进行完整的描述，不但能够表示迟滞现象的主环信息，也能够表示迟滞现象的次环信息。

发明内容

本发明的目的是分别采用加权递推最小二乘法和自适应递推算法进行离线和在线辨识的基于KP模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法。

本发明采用加权递推最小二乘法和自适应递推算法两种方法，其步骤是：

a、KP模型数学表达式为：

（1）

式中，为迟滞输出；为KP迟滞算子；为系统的输入；为迟滞算子输出的前一个极值；为Preisach平面的积分区域；是系统的最大输入；为Preisach平面的密度函数；

KP算子的值域区间从[-1,1]改为[0,1]，KP算子的数学表达式为：

（2）

式中，是前一个KP算子极值的记忆值；

用表达式来描述的这一特性：

（3）

式中，代表变化的次数；

表达式（2）中函数表示KP算子主环上升和下降的边界函数，其表达式为:

（4）

表达式（1）的积分函数形式根据数学积分的意义转化为代数求和的形式，计算，通过表达式（5）求得：

（5）

设每个算子对应的平均密度为，对应的平均密度为，那么KP迟滞模型的表达式（1）可以写成表达式（6）的形式：

（6）

式中，为每个网格对应的迟滞算子，为每个网格对应的平均密度；

将记为，令：

（7）

式（6）可以简写为：

（8）

辨识的密度参数作为KP模型的密度参数，那么KP模型的模型输出可以表示为：

（9）

则模型输出的误差可以表示为：

（10）

取准则函数为：

（11）

参数辨识估计的目标是得到函数最小时参数的值；

b、递推最小二乘法：

应用最小二乘算法递推公式（12）可辨识出参数：

（12）

其中，公式（12）中的第一个表达式为KP模型的参数化模型；

c、自适应递推算法：

在任意时刻，设KP模型的密度参数估计值为，对应的密度参数真实值为，则KP模型的估计输出值为：

（13）

根据自适应控制律得到密度参数的自适应更新表达式为：

（14）

由控制系统的自适应控制律，得到改进后的KP模型的表达式为：

(15）

式中，表示KP模型的密度参数矩阵，表示密度参数对应KP算子矩阵；

设矩阵为KP模型的真实密度参数,为估计值,则真实输出和模型输出值分别为:

(16)

两者之间的误差为:

(17)

设性能指标函数为：

（18）

沿着的负梯度方向变更参数，即

（19）

式中，是自适应增益，的表达式如下：

（20）

将式（20）代入（19）中可得：

（21）

式（21）即为调节KP模型的自适应律。

本发明为了提高精密定位系统中磁控形状记忆合金执行器的控制精度，提出利用KP模型对磁控形状记忆合金执行器进行迟滞建模。它是由一系列迟滞算子叠加而成的，对表达式的积分区域平面用均匀分布的条水平线和垂直线划分成网格，当根据实际控制系统精度的需要确定了离散化参数、迟滞算子和密度参数之后，即可得到磁控形状记忆合金执行器的迟滞模型。针对模型中密度参数的辨识问题，分别采用加权递推最小二乘法和自适应递推算法进行离线和在线辨识。其有益效果是：

对比最小二乘法和自适应递推算法的实验结果，可以看出，模型的输出能很好的拟合实际输出数据，其中，递推最小二乘方法得到的辨识结果是十分准确的，最大误差为0.0022mm；自适应递推算法辨识的误差最大值为0.0118mm，但是随着算法不断的对密度参数进行调整更新，模型的辨识误差越来越小，总体误差在0.008mm左右，该算法是收敛的，辨识的时间越长，最后模型的精度越高，证明了采用KP模型对MSMA执行器迟滞现象进行数学建模的可行性和有效性，为以后磁控形状记忆合金的的控制研究奠定了基础。

附图说明

图1是磁控形状记忆合金执行器工作原理图；

图2是用于辨识的磁控形状记忆合金执行器输入输出曲线图；

图3是离散化数L=15时最小二乘法辨识的密度参数值立体图；

图4是利用递推最小二乘法辨识的KP模型输出和实际输出跟踪效果图；

图5是利用递推最小二乘法辨识的KP模型输出和实际输出的迟滞环曲线图；

图6是利用递推最小二乘法辨识的KP模型输出与实际输出误差图；

图7是磁控形状记忆合金执行器迟滞现象与温度的关系示意图；

图8是模型参考自适应控制系统结构图；

图9是离散化数L=10时自适应递推算法辨识的密度参数值立体图；

图10是利用自适应递推算法辨识的KP模型输出与实际输出跟踪效果图；

图11是利用自适应递推算法辨识的KP模型输出与实际输出误差图。

具体实施方式

本发明对于参数辨识问题，本发明中提到两种方法，分别是加权递推最小二乘法和自适应递推算法，并对两种方法的实验结果进行比较。MSMA执行器是根据MSMA材料的形变机理制成的一种驱动装置，通过形状的改变产生较大的回复力，从而对外做功，其工作原理如图1所示。KP模型的基本思想是认为迟滞现象是由一系列迟滞算子叠加而成的：

a、KP模型数学表达式为：

（1）

式中，为迟滞输出；为KP迟滞算子；为系统的输入；为迟滞算子输出的前一个极值；为Preisach平面的积分区域；是系统的最大输入；为Preisach平面的密度函数；

根据MSMA执行器输出位移的实际情况，对KP算子的值域区间进行改进，从[-1,1]改为[0,1],使KP迟滞算子全部位于第一象限，改进后的KP算子如下所示，此时KP算子的数学表达式为：

（2）

式中，是前一个KP算子极值的记忆值，随着输入输出情况的变化而变化；

每当的符号发生变化时，的值就更新为变化前一时刻KP算子的输出值，并将此输出值一直保存到下一次的符号变化时。用表达式来描述的这一特性：

（3）

式中，代表变化的次数；

表达式（2）中函数表示KP算子主环上升和下降的边界函数，其表达式为:

（4）

为了便于计算，表达式（1）的积分函数形式可以根据数学积分的意义转化为代数求和的形式。方法是对式（1）的积分区域Preisach平面用均匀分布的条水平线和垂直线划分成网格。离散化的网格数共有个，每个网格的左下节点坐标就是表达式（2）中。计算，通过表达式（5）求得：

（5）

经过离散化之后，设每个算子对应的平均密度为，对应的平均密度为，那么KP迟滞模型的表达式（1）可以写成表达式（6）的形式：

（6）

式中，为每个网格对应的迟滞算子，为每个网格对应的平均密度；其物理意义可以理解为：迟滞系统的输出等于所有KP算子乘以对应平均密度所得积的叠加。从表达式（6）可以看出，栅格化线的条数越大，迟滞模型的输出越接近于系统的实际输出，模型的精确度越高；同时导致计算量越大，运算的时间变慢，所以，在实际的控制系统中，需要根据控制目标要求灵活合理的选择参数。

当根据实际控制系统精度的需要确定了离散化参数之后，每个迟滞算子也可以根据输入信号按照表达式（2）进行确定，要建立MSMA执行器的迟滞模型，需要根据实际的输入输出数据对KP模型的每个密度参数进行辨识。

为了便于记忆和书写，将记为，令：

（7）

式（6）可以简写为：

（8）

如果把MSMA执行器的实验输出数据作为MSMA执行器的实际真实输出数据，把辨识的密度参数作为KP模型的密度参数，那么KP模型的模型输出可以表示为：

（9）

则模型输出的误差可以表示为：

（10）

取准则函数为：

（11）

参数辨识估计的目标是得到函数最小时参数的值；

b、递推最小二乘法：

应用最小二乘算法递推公式（12）可辨识出参数：

（12）

其中，公式（12）中的第一个表达式为KP模型的参数化模型；

c、自适应递推算法：

在任意时刻，设KP模型的密度参数估计值为，对应的密度参数真实值为，则KP模型的估计输出值为：

（13）

以系统的实际输出值作为KP模型密度参数对应的输出值，则根据自适应控制律得到密度参数的自适应更新表达式为：

（14）

由控制系统的自适应控制律，得到改进后的KP模型的表达式为：

(15）

式中，表示KP模型的密度参数矩阵，表示密度参数对应KP算子矩阵；

设矩阵为KP模型的真实密度参数,为估计值,则真实输出和模型输出值分别为:

(16)

两者之间的误差为:

(17)

设性能指标函数为：

（18）

为了使指标函数取得最小值，沿着的负梯度方向变更参数，即

（19）

式中，是自适应增益，的表达式如下：

（20）

将式（20）代入（19）中可得：

（21）

式（21）即为调节KP模型的自适应律。

图2为执行器用于辨识的输入输出曲线图。在加权递推最小二乘法仿真实验中：

KP模型中的离散化数

需要辨识的参数为136个

辨识算法中的加权矩阵，新数据和旧数据拥有相同的权重。

辨识出来的密度参数立体图如图3所示，利用该组参数辨识数据，给出输入数据，得到模型的迟滞曲线，如图5所示。

按照KP模型的数学表达式，用每一时刻的KP算子乘以对应的密度参数得到对应时刻的模型输出值，为了便于比较，对MSMA执行器的输入数据、实际数据和模型的输出数据进行整理分析。其中，图4是递推最小二乘法辨识的KP模型输出和实际输出跟踪效果图，表明KP模型的输出与实际数据基本一致。图6为模型输出与实际输出误差图，从图中可以看出最大误差为0.0022mm，实验结果验证了递推最小二乘算法的有效性。

由于MSMA执行器中的迟滞非线性现象随着外部温度的变化而变化，当系统的温度发生变化时不能很好地描述系统的输入输出关系，必然导致控制精度下降。为了解决这个问题，提出一种在线估计KP模型密度参数的自适应算法来建立能够实时描述MSMA执行器输入输出关系的自适应KP模型，并按照系统的输入输出关系进行随时调整来达到控制系统实际输出高精度跟随系统期望输出的目的。当MSMA执行器周围温度发生变化时，其输入输出关系组成的迟滞环也发生变化，如图7所示。当工作环境温度从初始状态t0=25℃逐渐增加到t3=50℃时，迟滞环的左半部分逐渐增加，右半部分表现为先增加后减小的过程，迟滞环整体变窄。

模型参考自适应控制是从模型跟踪问题或者模型参考控制问题发展而来的。只要设计者掌握被控对象的数学模型和它应该满足的性能指标，即可提出一个“参考模型”以描述期望的闭环系统输入输出性能。设计任务是找到一种反馈控制律使被控对象闭环系统的性能与参考模型的性能基本一致，其控制系统的基本原理如图8所示。

根据KP模型输出表达式，当其离散化参数确定之后，输入信号对应的KP算子是不变的，要建立迟滞输出随温度变化的KP模型，可以设KP模型的密度参数是可变的，即密度参数随着温度的不同而不同，这就要求能够根据系统的输入输出状态找到当前密度参数与当前输出以及前一时刻密度参数的数学关系。在任意时刻，KP模型的估计输出值为：

以系统的实际输出值作为KP模型密度参数对应的输出值，则根据自适应控制律可以得到密度参数的自适应更新表达式为：，其中，为自适应增益，数值越大，调整的速率越快。该递推算法为KP密度参数的自适应在线调整算法，可以使建立的KP模型与系统真实输出的误差越来越小，预测的模型精度越来越高。在自适应递推算法仿真试验中：

算法采用在线辨识，为了减小数据占用内存和节省计算时间，取KP模型的离散化数

需要辨识的密度未知参数个数为66个，密度参数值采用自适应递推算法表达式进行实时估计与修正

算法中自适应增益为

仿真时间为100ms，采样时间为0.1ms

辨识出来的密度参数立体图如图9所示，利用该组参数辨识数据，给出输入数据，得到模型的输出与实际输出跟踪效果图，如图10所示，表明KP模型的输出与实际数据基本一致。图11为模型输出与实际输出误差图，从图中可以看出，在辨识算法的开始阶段，辨识误差比较大（出现在10ms左右），辨识的最大误差为0.0118mm，随着算法不断的对密度参数进行调整更新，模型的辨识误差越来越小，总体误差在0.008mm左右，小于开始阶段的误差，该算法是收敛的，辨识的时间越长，最后模型的精度越高，证明了此种算法的有效性，可以应用于执行器的实时建模控制中。

Claims (1)

1.一种基于KP模型的磁控形状记忆合金执行器建模方法，其特征在于：采用加权递推最小二乘法和自适应递推算法两种方法，其步骤是：

a、KP模型数学表达式为：

（1）

式中，为迟滞输出；为KP迟滞算子；为系统的输入；为迟滞算子输出的前一个极值；为Preisach平面的积分区域；是系统的最大输入；为Preisach平面的密度函数；

KP算子的值域区间从[-1,1]改为[0,1]，KP算子的数学表达式为：

（2）

式中，是前一个KP算子极值的记忆值；

用表达式来描述的这一特性：

（3）

式中，代表变化的次数；

表达式（2）中函数表示KP算子主环上升和下降的边界函数，其表达式为:

（4）

表达式（1）的积分函数形式根据数学积分的意义转化为代数求和的形式，计算，通过表达式（5）求得：

（5）

设每个算子对应的平均密度为，对应的平均密度为，那么KP迟滞模型的表达式（1）可以写成表达式（6）的形式：

（6）

式中，为每个网格对应的迟滞算子，为每个网格对应的平均密度；

将记为，令：

（7）

式（6）可以简写为：

（8）

辨识的密度参数作为KP模型的密度参数，那么KP模型的模型输出可以表示为：

（9）

则模型输出的误差可以表示为：

（10）

取准则函数为：

（11）

参数辨识估计的目标是得到函数最小时参数的值；

b、递推最小二乘法：

应用最小二乘算法递推公式（12）可辨识出参数：

（12）

其中，公式（12）中的第一个表达式为KP模型的参数化模型；

c、自适应递推算法：

在任意时刻，设KP模型的密度参数估计值为，对应的密度参数真实值为，则KP模型的估计输出值为：

（13）

根据自适应控制律得到密度参数的自适应更新表达式为：

（14）

由控制系统的自适应控制律，得到改进后的KP模型的表达式为：

(15）

式中，表示KP模型的密度参数矩阵，表示密度参数对应KP算子矩阵；

设矩阵为KP模型的真实密度参数,为估计值,则真实输出和模型输出值分别为:

(16)

两者之间的误差为:

(17)

设性能指标函数为：

（18）

沿着的负梯度方向变更参数，即

（19）

式中，是自适应增益，的表达式如下：

（20）

将式（20）代入（19）中可得：

（21）

式（21）即为调节KP模型的自适应律。