CN111897211B - 考虑约束条件的压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑约束条件的压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制方法，属于精密运动控制领域。本发明的目的是采用一种广义预测控制补偿迟滞特性对于压电陶瓷微定位平台在精确定位中的影响。本发明首先建立能够描述压电陶瓷微定位平台特性的约束模型，由迟滞部分和线性部分构成；然后构建约束广义预测控制器框架，利用预测模型获得压电定位系统的预测未来时刻输出值；并利用粒子群优化算法代替传统广义预测控制算法中的滚动优化过程，之后按照粒子群优化算法的位置与速度更新方式进行粒子寻优直到达到最大迭代次数；最后得到压电定位系统当前时刻控制量，并且证明系统稳定性。本发明能够满足系统约束条件并减少迟滞特性对压电陶瓷微定位平台定位控制的不良影响，实现精密轨迹跟踪控制。

Description

考虑约束条件的压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制方法

技术领域

本发明属于精密运动控制技术领域。

背景技术

在现代高精密仪器制造和超精密加工领域中，压电微定位技术占有核心地位。压电陶瓷具有很多传统智能材料所不具备的优势，例如，定位分辨率高、产生推力大、响应时间快以及不易受到磁场干扰等优点。然而，由于压电陶瓷固有的迟滞非线性严重制约了压电微定位平台的定位精度，进而限制了压电微定位平台进一步推广。针对压电陶瓷微定位平台因物理结构与机械特性的限制，在承受超过最大驱动电压或最大驱动电压变化率时，平台对于控制系统性能无法保证，甚至造成系统不稳定或平台的损坏的问题。

发明内容

本发明的目的是以约束非线性系统为研究对象，应用能够处理输入约束与输入变化率约束的广义预测控制理论，设计了能够同时满足控制性能要求和系统约束条件的考虑约束条件的压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制方法。

本发明步骤是：

步骤1：根据压电陶瓷微定位平台的驱动电压输入数据与位移输出数据，建立能够描述平台迟滞特性的约束模型，模型由CARIMA线性模型添加迟滞非线性项构成，迟滞项采用KP模型来描述；

压电陶瓷微定位系统由迟滞部分和线性部分构成的模型来描述，线性部分用CARIMA模型表示，系统模型写作：

A(_z ^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-1)+F_h(k)

其中，F_h(k)＝Cξ(k)/Δ+H_y(k)，C为常数项，H_y表示迟滞非线性项，ξ(k)为一个随机序列，表示某种随机噪声，Δ＝1-z^-1为差分算子；u(k)与y(k)分别为系统输入电压与输出位移；

u_min和u_max分别为控制量的下限值与上限值，用k时刻与k-1时刻的控制量差值表示控制增量，Δu_min和Δu_max分别为控制增量的下限值与上限值；

压电陶瓷微定位系统模型的迟滞非线性项H_y采用Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型来描述，由一系列KP迟滞算子K_p与密度函数μ(p_i,p_j)乘积的加权形式表示，能够描述压电陶瓷微定位平台的迟滞特性，具体为：

其中，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p_i,p_j)为密度函数，KP算子的个数为与表达式中的积分平面被均匀划分成的网格数量有关；

步骤2：构建约束广义预测控制器框架，以建立的模型作为实现压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制的广义预测控制方法的预测模型，利用预测模型计算得到压电定位系统的预测未来时刻输出值，并设置广义预测控制算法的参数，如最小预测时域，最大预测时域，控制时域等；通过Diophantine方程得到定位系统的j步后输出最优预测值，Diophantine方程定义如下：

其中，

由求解Diophantine方程得到约束系统滚动预测模型：

y⁰(k+j)＝G_jΔu(k+j-1)+F_jy(k)+H_jΔu(k-1)

其中，j＝1,2,...N₂，N₂为预测时域大小；

步骤3：利用粒子群优化算法代替传统广义预测控制算法中的滚动优化过程，对约束进行处理并搜索最优粒子，将预测电压控制矢量Δu作为搜索粒子位置，设置优化算法的适应度函数与粒子种群数、粒子维度、权重系数、加速度系数等参数；

将预测电压控制矢量Δu作为粒子群算法的搜索粒子位置，算法的适应度函数作为粒子群寻优目标，函数定义为：

其中，λ为控制增量系数；

对控制量约束的处理，借鉴惩罚函数法的思想，避免惩罚函数法中的平衡问题将惩罚函数与目标函数分离，应用在粒子更新过程中，定义一个控制量约束函数，表示为：

m(u)＝u-u_max≤0 (31)

定义单独惩罚函数：

独惩罚函数的正负代表了粒子是否满足约束条件，函数值的大小代表了粒子与约束的临界值的接近程度，将单独惩罚函数与适应度函数相结合，共同决定粒子更新规则；

步骤4：按照粒子群优化算法的位置与速度更新公式进行粒子寻优，直到达到最大迭代次数；

定义m个粒子组成的粒子群P＝{p₁,p₂,…,p_m}第i个粒子的空间位置和飞行速度分别用X_i＝{x_i,1,x_i,2,…,x_i,d}和V_i＝{v_i,1,v_i,2,…,v_i,d}表示，粒子速度更新公式如下：

其中，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,d，c₁,c₂都为正的加速常系数，w称为惯性权重，rand用于产生区间在(0,1)间的随机数，pbest＝{p_i,1,p_i,2,…,p_i,d}为粒子群个体极值，gbest＝{g₁,g₂,…,g_d}为粒子群全局极值，粒子位置更新公式如下：

步骤5：计算得到压电定位系统当前时刻控制量，并证明系统稳定性；

为求得压电定位系统当前时刻控制量，需要对系统作如下合理假设：

假设1：系统状态空间描述中矩阵可控，即

可控，

假设2：系统的噪声和外部扰动ξ(k)有界，由上文知迟滞项可由KP模型描述且辨识结果已知，因此迟滞项H_y(k)同样有界，因此F_h(k)有界，可表示为：|F_h(k)|≤ρ_h，

假设3：存在无约束最优控制的可行域包括原点领域，

将具有约束的迟滞系统描述式(1)改写为更简便的形式：

其中有，

进一步写为状态空间标准型的形式：

其中，

设置该系统的目标函数为

其中，

且设定预测域值与控制域值相同，同时对无约束迟滞系统将目标函数设置为：

将目标函数

设置为Lyapunov函数，有

将上式整理可得

因为0＜ρ₀≤1，而ε可以取一个很小的正数，所以存在一个N^*使

(1-ρ₀)(1+ε)＜1 (58)

即得到

所以系统假设下设计的控制率能够保证系统是稳定的，

系统当前时刻的控制量为：

u(k)＝u(k-1)+Δu(k) (60)。

本发明所设计的控制器更符合工业实际应用条件，对推动压电陶瓷微定位平台在微定位领域的进一步应用具有一定的推动作用。

本发明具有以下技术特点：

1.本发明以具有约束的压电陶瓷微定位系统为研究对象，采用广义预测控制为基本框架，利用预测模型预测系统未来时刻输出值，利用已知的系统未来时刻期望值与预测系统未来时刻输出值构建控制器目标函数，用粒子群优化算法代替广义预测控制中的滚动优化过程对输入约束与输入变化率约束进行处理。本方法实现压电陶瓷微定位平台的精密定位控制。

2.应用粒子群算法在求解优化问题时不局限描述问题的数学模型，而是取决于对问题目标函数的要求。采用基本广义预测控制算法与粒子群优化算法结合的方法可以达到压电陶瓷微定位系统对于约束的要求与补偿迟滞的目的，若问题可以目标函数的方式表达要求，方法可扩展到更多优化问题的求解，解决更多领域的问题。

附图说明

图1是KP算子图；

图2是约束广义预测控制框图；

图3是正弦期望信号轨迹跟踪实验图；

图4是正弦期望信号轨迹跟踪误差图；

图5是三角期望信号轨迹跟踪实验图；

图6是三角期望信号轨迹跟踪误差图。

具体实施方式

结合附图对本发明的步骤做进一步描述：

步骤1：根据压电陶瓷微定位平台的驱动电压输入数据与位移输出数据，建立能够描述平台迟滞特性的约束模型，模型由迟滞部分和线性部分构成，线性部分用自回归积分滑动平均(CARIMA)模型表示。

系统模型写作：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-1)+F_h(k)

其中，F_h(k)＝Cξ(k)/Δ+H_y(k)，C为常数项，H_y表示迟滞非线性项，ξ(k)为一个随机序列，表示某种随机噪声，Δ＝1-z^-1为差分算子；u(k)与y(k)分别为系统输入电压与输出位移，u_min和u_max分别为控制量的下限值与上限值，用k时刻与k-1时刻的控制量差值表示控制增量，Δu_min和Δu_max分别为控制增量的下限值与上限值；

压电陶瓷微定位系统模型的迟滞非线性项H_y采用Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型来描述，KP模型是一种典型的算子模型。模型将迟滞现象理解为一些K_p迟滞算子在Preisach平面上的积分作用，数学表达式为：

H_y(t)＝H[u(t)]＝∫_PK_p[u(t),ξ_p]μ(p)dp (2)

式中，u(t)为系统迟滞输入，v(t)为系统迟滞输出，H[·]代表系统迟滞输入与输出的关系函数，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p)为密度函数。

Preisach平面的表达式为：

P＝{p(p₁,p₂)∈R×R:p_min≤p₁≤p₂≤p_max} (3)

式中，p_min和p_max分别代表迟滞输入饱和值的极小值与极大值。

KP算子如图1，其表达式为：

式中，ξ_p(t)取决于算子的极值，具体如下：

其中，i为转折点的次序，r[u(t)]表示算子的边界函数，具体为：

若定义L为Preisach面的均分数目，那么分割为L×L的平面的每一个格子的长度a为：

KP算子的个数为N＝0.5(L+2)(L+1)。

将KP模型的表达式离散化，写为算子与密度函数乘积的加权形式：

步骤2：构建约束广义预测控制器框架，图2为约束广义预测控制框图。以建立的模型作为实现压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制的广义预测控制方法的预测模型，利用预测模型计算得到压电定位系统的预测未来时刻输出值。并设置广义预测控制算法的参数，如最小预测时域N₁，最大预测时域N₂，控制时域N_u等。

预测模型是广义预测控制的基础，利用预测模型预测系统未来时刻输出值，由已知的系统未来时刻期望值与预测系统未来时刻输出值构建控制器目标函数。通过Diophantine方程得到定位系统的j步后输出最优预测值，Diophantine方程定义如下：

其中，

分别求取E_j(z^-1)、F_j(z^-1)、G_j(z^-1)和H_j(z^-1)令方程成立。在推导中设定参数N₁＝1，C＝1。根据式(9)的第一个公式，当预测步数为j+1时，有：

1＝E_j+1(z^-1)A(z^-1)Δ+z^-(j+1)F_j+1(z^-1) (10)

可写作，

其中，

将式(9)中的j步预测公式与式(11)相减得到：

整理可得：

从上式中可以看出，左式中元素的所有0次幂到j-1次幂项的系数都为0，所以有E_j(z^-1)和E_j+1(z^-1)的所有前j次幂项的系数都相等，因此：

E_j+1(z^-1)＝E_j(z^-1)+e_jz^-j (14)

将式(14)代入式(13)得：

将上式全面展开，有：

整理有，

因此有上式中左右式同次幂项系数相等，得

即，方程中E_j(z^-1)和F_j(z^-1)的递推求解公式。递推初值公式由j＝1时的公式(9)得到，即：

得：

由式(9)中的第二式，有j+1步预测公式：

E_j+1(z^-1)B(z^-1)＝G_j+1(z^-1)+z^-(j+1)H_j+1(z^-1) (21)

将式(9)中的第二式与上式相减，得：

[E_j+1(z^-1)-E_j(z^-1)]B(z^-1)＝G_j+1(z^-1)-G_j(z^-1)+z^-j[z^-1H_j+1(z^-1)-H_j(z^-1)] (22)

由式(14)和式(22)结合可得：

G_j+1(z^-1)-G_j(z^-1)＝g_jz^-j (23)

将式(14)和式(23)代入式(22)可得：

e_jB(z^-1)＝g_j+z^-1H_j+1(z^-1)-H_j(z^-1) (24)

展开有：

同理上式左右两端的同次幂项系数相等，有：

即，方程中G_j(z^-1)和H_j(z^-1)的递推求解公式。递推初值公式由j＝1时的公式(9)得到，即：

e₀B(z^-1)＝G₁(z^-1)+z^-1H₁(z^-1) (27)

得：

Diophantine方程的求解完成，到约束系统滚动预测模型：

y⁰(k+j)＝G_jΔu(k+j-1)+F_jy(k)+H_jΔu(k-1)

其中，j＝1,2,...N₂。

步骤3：利用粒子群优化算法代替传统广义预测控制算法中的滚动优化过程，对约束进行处理并搜索最优粒子。将预测电压控制矢量Δu作为搜索粒子位置，设置优化算法的适应度函数与粒子种群数、粒子维度、权重系数、加速度系数等参数。

将预测电压控制矢量Δu作为粒子群算法的搜索粒子位置，算法的适应度函数作为粒子群寻优目标，函数定义为：

其中，λ为控制增量系数。

对控制量约束的处理，借鉴惩罚函数法的思想，避免惩罚函数法中的平衡问题将惩罚函数与目标函数分离，应用在粒子更新过程中。定义一个控制量约束函数，表示为：

m(u)＝u-u_max≤0 (31)

定义单独惩罚函数：

独惩罚函数的正负代表了粒子是否满足约束条件，函数值的大小代表了粒子与约束的临界值的接近程度。将单独惩罚函数与适应度函数相结合，共同决定粒子更新规则。

粒子群优化控制器中的粒子更新规则如下：

(1)当历史最优粒子与新粒子的单独惩罚函数均大于等于0时，说明都不满足约束条件，若新粒子的单独惩罚函数小于历史最优粒子则更新粒子，否则不进行更新；

(2)当历史最优粒子与新粒子的单独惩罚函数均小于0时，说明粒子均满足约束条件，则根据适应度函数进行更新；

(3)当历史最优粒子与新粒子的单独惩罚函数一个小于0一个大于0时，说明有粒子满足约束条件有粒子不满足约束条件。若是新粒子的惩罚函数小于0而历史最优粒子的惩罚函数大于等于0，则更新粒子，否则不进行更新。

步骤4：按照粒子群优化算法的位置与速度更新公式进行粒子寻优，直到达到最大迭代次数。

粒子群算法采用的是位置-速度搜索模型，是基于迭代和群体的优化工具。定义m个粒子组成的粒子群P＝{p₁,p₂,…,p_m}第i个粒子的空间位置和飞行速度分别用X_i＝{x_i,1,x_i,2,…,x_i,d}和V_i＝{v_i,1,v_i,2,…,v_i,d}表示。粒子速度更新公式如下：

其中，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,d，c₁,c₂都为正的加速常系数，w称为惯性权重，rand用于产生区间在(0,1)间的随机数，每个粒子在空间搜索中每一时刻都具有一个现在时刻位置与一个历史最优位置，pbest＝{p_i,1,p_i,2,…,p_i,d}为粒子群个体极值，gbest＝{g₁,g₂,…,g_d}为粒子群全局极值。粒子位置更新公式如下：

为了限制粒子更新速度不至于过大和保证算法稳定性，通常定义一个粒子速度最大值v_max，使

v_i,j≤v_max (36)

步骤5：计算得到压电定位系统当前时刻控制量,并证明系统稳定性。

为求得压电定位系统当前时刻控制量，需要对系统作如下合理假设：

假设1：系统状态空间描述中矩阵可控，即

可控。

假设2：系统的噪声和外部扰动ξ(k)有界，由上文知迟滞项可由KP模型描述且辨识结果已知，因此迟滞项H_y(k)同样有界，因此F_h(k)有界，可表示为：|F_h(k)|≤ρ_h。

假设3：存在无约束最优控制的可行域包括原点领域。

将具有约束的迟滞系统描述式(1)改写为更简便的形式：

其中有，

进一步写为状态空间标准型的形式：

其中，

设置该系统的目标函数为

其中，

且设定预测域值与控制域值相同。同时对无约束迟滞系统将目标函数设置为：

并且定义系统的具有可行域为I_∞，其中I为I_∞的一个子集。而符合目标函数J(x(k))有界，即J(x(k))≤δ，的x(k)的集合表示为S_δ。定义β为x^TQx的最大值，且满足

定理1：存在N′，对于

若x(k)∈S_δ,则x(k+1)∈S_δ。

证明：情况1：若x(k)∈S_β，有J(x(k))≤β。

因此：

其中有

所以

明显x(k+1)∈S_δ。

情况2：假设x(k)∈S_δ-S_β时定理4.1不成立的话，则

由定义可知

J(x(k+1))＞δ (45)

由对

存在一个预测域满足

由定义知

J(x(k))≤δ (47)

则有

若定义

ε＝minx^T(k)Qx(k)＞0 (49)

有

显然，不等式不成立，假设不成立，则x(k+1)∈S_δ。

定义函数

φ₀(0)＝lim_x→0φ₀(x)，则函数φ₀(x)在S_δ内具有右半连续性；定义

则函数

在S_δ内具有右半连续性。

定理2：对于N_u≥N′，定义δ＝max_x∈IJ(x)。已知，

在S_δ中一致收敛到零点。因此，对

存在N^*,对于N_u≥N^*，有

即，

因

有

定理3：由φ₀(x)的定义可知其最大值大于1，将其最大值表示为ρ₀ ^-1，即φ₀(x)≤ρ₀ ^-1，ρ₀ ^-1≥1。有

也可写作

将目标函数

设置为Lyapunov函数，有

将上式整理可得

因为0＜ρ₀≤1，而ε可以取一个很小的正数，所以存在一个N^*使

(1-ρ₀)(1+ε)＜1 (58)

即得到

所以系统假设下设计的控制率能够保证系统是稳定的。

系统当前时刻的控制量为：

u(k)＝u(k-1)+Δu(k) (60)

实例：

步骤1：根据压电陶瓷微定位平台的驱动电压输入数据u(t)与位移输出数据y(t)建立能够描述平台迟滞特性的约束模型。模型的迟滞非线性项采用KP模型来描述，将Preisach面的均分为L×L的格子，取L＝15，KP算子的个数为N＝136；

步骤2：构建约束广义预测控制器框架，利用预测模型通过Diophantine方程的求解得到定位系统的j步后输出最优预测值。设置广义预测控制算法的参数，最小预测时域N₁＝1，最大预测时域N₂＝5，控制时域N_u＝1；

步骤3：将预测电压控制矢量Δu作为搜索粒子位置，利用粒子群优化算法代替传统广义预测控制算法中的滚动优化过程，将单独惩罚函数与适应度函数相结合，共同决定粒子更新规则。优化算法的适应度函数同式(30)一致，优化问题维数d＝2，粒子种群数m＝19，权重系数w＝3.5，加速度系数c₁＝2,c₂＝1.1，平衡全局最优粒子和个体最优粒子的对于更新粒子的影响；

步骤4：按照粒子群优化算法的位置与速度更新公式进行粒子寻优，直到达到最大迭代次数；

步骤5：根据寻优最优电压增量与前一刻电压值计算得到压电定位系统当前时刻控制量。

采用不同的期望信号证明压电陶瓷微定位控制系统的有效性。设期望位移为正弦信号y_d(t)＝18sin(2πt+3/2π)+24，实验运行时间为5s，图3为正弦期望信号轨迹跟踪实验图，图4为正弦期望信号轨迹跟踪误差图，最大误差率为0.12％；设期望位移为幅值为34μm的三角波信号，实验运行时间为5s，图5为三角期望信号轨迹跟踪实验图，图6为三角期望信号轨迹跟踪误差图，最大误差率为0.19％。

Claims (1)

1.一种考虑约束条件的压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制方法，其特征在于：其步骤是：步骤1：根据压电陶瓷微定位平台的驱动电压输入数据与位移输出数据，建立能够描述平台迟滞特性的约束模型，模型由CARIMA线性模型添加迟滞非线性项构成，迟滞项采用KP模型来描述；

压电陶瓷微定位系统由迟滞部分和线性部分构成的模型来描述，线性部分用CARIMA模型表示，系统模型写作：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-1)+F_h(k)

其中，F_h(k)＝Cξ(k)/Δ+H_y(k)，C为常数项，H_y表示迟滞非线性项，ξ(k)为一个随机序列，表示系统的噪声和外部扰动，Δ＝1-z^-1为差分算子；u(k)与y(k)分别为系统输入电压与输出位移；

u_min和u_max分别为控制量的下限值与上限值，用k时刻与k-1时刻的控制量差值表示控制增量，Δu_min和Δu_max分别为控制增量的下限值与上限值；

压电陶瓷微定位系统模型的迟滞非线性项H_y采用Krasnosel’skii-Pokrovskii模型来描述，该模型简称为KP模型，由一系列KP迟滞算子K_p与密度函数μ(p_i,p_j)乘积的加权形式表示，能够描述压电陶瓷微定位平台的迟滞特性，具体为：

其中，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p_i,p_j)为密度函数，KP算子的个数为与表达式中的积分平面被均匀划分成的网格数量有关；

步骤2：构建约束广义预测控制器框架，以建立的模型作为实现压电陶瓷微定位平台轨迹跟踪控制的广义预测控制方法的预测模型，利用预测模型计算得到压电定位系统的预测未来时刻输出值，并设置广义预测控制算法的参数，即最小预测时域，最大预测时域，控制时域；通过Diophantine方程得到定位系统的j步后输出最优预测值，Diophantine方程定义如下：

其中，

由求解Diophantine方程得到约束系统滚动预测模型：

y⁰(k+j)＝G_jΔu(k+j-1)+F_jy(k)+H_jΔu(k-1)

其中，j＝1,2,...N₂，N₂为预测时域大小；

步骤3：利用粒子群优化算法代替广义预测控制算法中的滚动优化过程，对约束进行处理并搜索最优粒子，将预测电压控制矢量Δu作为搜索粒子位置，设置优化算法的适应度函数与粒子种群数、粒子维度、权重系数、加速度系数参数；

将预测电压控制矢量Δu作为粒子群算法的搜索粒子位置，算法的适应度函数作为粒子群寻优目标，函数定义为：

其中，λ为控制增量系数；

对控制量约束的处理，定义一个控制量约束函数，表示为：

m(u)＝u-u_max≤0 (31)

定义单独惩罚函数：

单独惩罚函数的正负代表了粒子是否满足约束条件，函数值的大小代表了粒子与约束的临界值的接近程度，将单独惩罚函数与适应度函数相结合，共同决定粒子更新规则；

步骤4：按照粒子群优化算法的位置与速度更新公式进行粒子寻优，直到达到最大迭代次数；定义m个粒子组成的粒子群P＝{p₁,p₂,…,p_m}，第i个粒子的空间位置和飞行速度分别用X_i＝{x_i,1,x_i,2,…,x_i,d}和V_i＝{v_i,1,v_i,2,…,v_i,d}表示，粒子速度更新公式如下：

其中，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,d，c₁,c₂都为正的加速常系数，w称为惯性权重，rand用于产生区间在(0,1)间的随机数，pbest＝{p_i,1,p_i,2,…,p_i,d}为粒子群个体极值，gbest＝{g₁,g₂,…,g_d}为粒子群全局极值，粒子位置更新公式如下：

步骤5：计算得到压电定位系统当前时刻控制量，并证明系统稳定性；

为求得压电定位系统当前时刻控制量，需要对系统作如下合理假设：

假设1：系统状态空间描述中矩阵可控，即

可控，

假设2：系统的噪声和外部扰动ξ(k)有界，因此迟滞非线性项H_y(k)同样有界，因此F_h(k)有界，表示为：|F_h(k)|≤ρ_h，

假设3：存在无约束最优控制的可行域包括原点邻域，

将具有约束的迟滞系统描述式(1)改写为更简便的形式：

其中有，

进一步写为状态空间标准型的形式：

其中，

设置该系统的目标函数为

其中，

R＝λI，且设定预测域值与控制域值相同，同时对无约束迟滞系统将目标函数设置为：

将目标函数

设置为Lyapunov函数，有

将上式整理可得

因为0＜ρ₀≤1，而ε为一个很小正数，所以存在一个N^*使

(1-ρ₀)(1+ε)＜1 (58)

即得到

所以系统假设下设计的控制率能够保证系统是稳定的，

系统当前时刻的控制量为：

u(k)＝u(k-1)+Δu(k) (60)。

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