CN111796518B - 磁控形状记忆合金执行器位移控制方法 - Google Patents

磁控形状记忆合金执行器位移控制方法 Download PDF

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CN111796518B CN202010519724.2A CN202010519724A CN111796518B CN 111796518 B CN111796518 B CN 111796518B CN 202010519724 A CN202010519724 A CN 202010519724A CN 111796518 B CN111796518 B CN 111796518B
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Abstract

一种磁控形状记忆合金执行器位移控制方法，属于智能材料及其机构建模与控制领域。本发明的目的是将神经网络与迭代学习控制相结合，设计了基于神经网络的迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统收敛条件的磁控形状记忆合金执行器位移控制方法。本发明步骤是：建立可以描述磁控形状记忆合金执行器率相关迟滞非线性的Volterra级数模型，并利用神经网络构建Volterra级数的核函数；采用神经网络拟合迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统的收敛条件。本发明不但放宽了迭代学习控制的适用条件，更符合实际应用环境，还提高了迭代学习控制的鲁棒性，提升控制品质。

Description

磁控形状记忆合金执行器位移控制方法
技术领域
本发明属于智能材料及其机构建模与控制领域。
背景技术
进入二十世纪九十年代以来，随着精密制造业的蓬勃发展，传统的机械加工制造方式已经不能满足现代工业飞速发展的需要，人们对高精度、高分辨率定位技术提出了新的要求。以压电陶瓷、形状记忆合金和超磁致伸缩材料等新兴智能材料为核心器件的执行器因其具备微-纳米级的精密定位能力，近些年来成为了各个国家在高精尖制造领域研究的热点。
磁控形状记忆合金执行器是利用磁控形状记忆合金材料的磁性形状记忆效应，在磁场的作用下产生形变，能保证微纳米级分辨率机械运动的高精度微定位机构，有着传统电机驱动不可比拟的优势。由于其具有体积小、响应快、功耗低、位移分辨率高等优点，在智能结构、精密加工、纳米技术、微电子工程、精密光学、生物工程等领域有广泛的应用前景，如磁控形状记忆合金执行器驱动无阀泵、天文望远镜定位系统等。然而磁控形状记忆合金材料内部具有的迟滞非线性严重制约了其在各个领域的应用。为解决磁控形状记忆合金执行器位移复杂迟滞非线性的问题，实现磁控形状记忆合金执行器微纳米级精度定位控制，需要提出更有效的控制策略，设计性能优异的控制器。
磁控形状记忆合金执行器具有迟滞动态特性复杂、系统参数未知等特点，所以传统的控制方法难以达到满意的控制效果。迭代学习控制在不需要辨识系统参数及需求很少先验知识的情况之下即可取得理想的控制效果，在很多传统控制方法难以解决的复杂被控对象控制过程中发挥了重要的作用。
发明内容
本发明的目的是将神经网络与迭代学习控制相结合，设计了基于神经网络的迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统收敛条件的磁控形状记忆合金执行器位移控制方法。
本发明步骤是：
步骤1：建立可以描述磁控形状记忆合金执行器率相关迟滞非线性的Volterra级数模型，并利用神经网络构建Volterra级数的核函数；
Volterra级数模型的表达式为：
Figure BDA0002531555420000011
其中，u(k)和ym(k)为系统的输入输出，hn和K为Volterra级数的核函数和记忆长度；
综合考虑模型的精度以及计算复杂度，当K选取为2时Volterra级数模型的表达式为：
Figure BDA0002531555420000012
为了避免Volterra级数的维数灾难并获得较高建模精度，采用神经网络构建Volterra级数模型的核函数，神经网络的表达式为：
Figure BDA0002531555420000013
Xj(k)＝f(Sj(k)) (4)
Figure BDA0002531555420000021
其中，
Figure BDA0002531555420000022
和
Figure BDA0002531555420000023
分别表示输入层到隐含层和隐含层到输出层的权值，Sj(k)和Xj(k)分别表示隐含层第j个神经元的输入和输出，O(k)和Ii(k)分别表示神经网络的输出和输入，f(·)为隐含层激活函数；
当采用神经网络构建volterra级数模型时，以系统当前时刻和历史时刻的输入值作为神经网络的输入向量，即Ii(k)＝[u(k),u(k-1),u(k-2)]，神经网络的优化算法采用梯度下降法，综合考虑计算复杂度和建模精度隐含层的神经元个数选为7，输出层的神经元个数为1，网络初始权值设定为0到1的随机值；
步骤2：采用神经网络拟合迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统的收敛条件；
第一步：在利用迭代学习算法设计控制器时，为了保证算法的收敛性，以下假设是必需的：对于以磁控形状记忆合金执行器为被控对象的非线性系统，系统的离散时间状态空间表达式如下：
Figure BDA0002531555420000024
其中，k＝0,1,...,N-1为系统的离散时间，up(k)为系统输入，xp(k)为系统状态，C为具有适当维数的系数矩阵，N为期望时间长度且为正整数，p为迭代次数，g(·)为非线性函数；
假设1：所有信号都定义在有限时间区间内且对于一个有限的参考轨迹，系统应存在唯一的控制律和理想的系统状态；即：对于k∈[0,N-1]，系统表示如下：
Figure BDA0002531555420000025
其中，ur(k)为理想控制输入，xr(k)为理想系统状态，yr(k)为理想系统输出；
假设2：非线性函数g(·)沿着迭代轴方向满足广义Lipschitz条件，即：
||g(x1(k),u1(k))-g(x2(k),u2(k))||≤L(||x1(k)-x2(k)||+|u1(k)-u2(k)|)(8)
其中，L＞0表示Lipschitz常数；
假设3：初始状态误差有界，即：
||xr(0)-xp(0)||≤∈ (9)
其中，∈为大于零的常数；
第二步：对于受控系统(6)，设计如下形式的迭代学习控制器，控制律为：
Figure BDA0002531555420000026
该控制律的近似公式为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),(ep-1(k+1)-ep-1(k))) (11)
则控制律可以写为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),ep-1(k+1)) (12)
其中，f为未知函数；
综合考虑神经网络的精度和计算复杂度，采用结构为3-7-1的多输入单输出三层神经网络对未知函数f进行拟合，选取sigmoid函数为中间隐含层的激活函数，神经网络的输入向量为
Figure BDA0002531555420000027
神经网络初始权值为0至1之间的随机值；
第三步：采用梯度下降法优化网络的参数使损失函数最小化时，损失函数的计算需要用到模型信息，为使神经网络参数能够在线更新，用步骤1中所建立的模型计算步骤2中神经网络的损失函数；
令损失函数为
Figure BDA0002531555420000031
利用梯度下降算法最小化损失函数使得神经网络的参数不断接近理想参数，使用梯度下降法求得神经网络参数的更新法则公式为：
Figure BDA0002531555420000032
其中，θ表示神经网络参数，η表示学习率，ep代表磁控形状记忆合金执行器实际输出和期望位移之间的误差；
采用步骤1中建立的磁控形状记忆合金执行器迟滞模型的输出ym代替(13)中的yp计算损失函数，即：
Figure BDA0002531555420000033
由式(13)计算神经网络参数的更新值，并重复以上步骤以获得理想的神经网络参数直至系统跟踪误差达到设定要求。
本发明利用神经网络出色的泛化性能弥补了传统迭代学习控制在非线性系统控制问题中的不足。相比于传统的非线性控制方法，基于神经网络的迭代学习控制对磁控形状记忆合金执行器具有更好的控制效果，且提升了迭代学习控制器的鲁棒性和对非线性系统的控制性能。本发明不但放宽了迭代学习控制的适用条件，更符合实际应用环境，还提高了迭代学习控制的鲁棒性，提升控制品质。
附图说明
图1是基于神经网络的Volterra级数模型结构框图；
图2是基于神经网络迭代学习控制的磁控形状记忆合金执行器位移控制结构框图。
具体实施方式
本发明提供的一种基于神经网络迭代学习控制的磁控形状记忆合金执行器位移控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立可以描述磁控形状记忆合金执行器率相关迟滞非线性的Volterra级数模型，并利用神经网络构建Volterra级数的核函数；
Volterra级数模型的表达式为：
Figure BDA0002531555420000034
其中，k＝0,1,...,N-1为离散时刻，N为期望时间长度且为正整数，n为模型阶数，p为迭代次数,up(k)和
Figure BDA0002531555420000036
为第p次迭代时模型的输入和输出值，hn(κ1,...,κn)和K为模型的n阶核函数和记忆长度，κn为第n项对应的记忆延时。
综合考虑模型的精度以及计算复杂度，当n选取为2时Volterra级数模型的表达式为：
Figure BDA0002531555420000035
为了避免Volterra级数的维数灾难并获得高建模精度，采用神经网络构建Volterra级数模型的核函数，图1为基于神经网络的Volterra级数模型的结构图。
神经网络的表达式为：
Figure BDA0002531555420000041
Xj(k)＝f(Sj(k)) (4)
Figure BDA0002531555420000042
其中，ωij为输入层第i个神经元与隐含层第j个神经元的连接权值，ωj为隐含层第j个神经元与输出层神经元连接的权值，Sj(k)和Xj(k)分别表示隐含层第j个神经元的输入和输出值。
O(k)表示神经网络的输出值，Ii(k)表示神经网络输入层第i个神经元的输入值。
隐含层激活函数f(·)选取为双极性sigmoid函数，表达式如下：
Figure BDA0002531555420000043
其中，x表示双极性sigmoid函数的输入值，e为常数。
当采用神经网络构建Volterra级数模型时，以执行器当前时刻和历史时刻的输入值作为神经网络的输入向量，即I(k)＝[up(k),up(k-1),up(k-2)]。综合考虑计算复杂度和建模精度，隐含层的神经元个数选为7，输出层的神经元个数为1。
神经网络初始权值设定为0到1的随机值，优化算法采用梯度下降法，根据梯度下降法求得神经网络参数的更新法则公式为：
Figure BDA0002531555420000044
ωj(k)＝ωj(k-1)+η*Δωj(k)+α(ωj(k-1)-ωj(k-2)) (8)
Figure BDA0002531555420000045
ωij(k)＝ωij(k-1)+η*Δωij(k)+α(ωij(k-1)-ωij(k-2)) (10)
Figure BDA0002531555420000046
Figure BDA0002531555420000047
其中，α＝0.5是学习速率调整系数，η*＝0.2为学习率，
Figure BDA0002531555420000048
为第p次迭代时的建模误差，yp(k)为在第p次迭代时执行器实际输出值，Ep(k)为误差函数，Δωj(k)和Δωij(k)分别表示ωj和ωij的变化量。
步骤2：采用神经网络拟合迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统的收敛条件。
第一步：在利用迭代学习算法设计控制器时，为了保证算法的收敛性，以下假设是必需的：
对于以磁控形状记忆合金执行器为被控对象的非线性系统，系统的离散时间状态空间表达式可写为如下形式：
Figure BDA0002531555420000049
其中，xp(k)为系统在第p次迭代时的系统状态量，C为具有适当维数的系数矩阵，g(·)为非线性函数。
假设1：所有信号都定义在有限时间区间内且对于一个有限的参考轨迹
Figure BDA00025315554200000410
系统应存在唯一的理想控制律
Figure BDA00025315554200000411
和理想的系统状态
Figure BDA00025315554200000412
即：对于k∈[0,N-1]，系统表示如下：
Figure BDA00025315554200000413
假设2：非线性函数g(·)沿着迭代轴方向满足广义Lipschitz条件。即
||g(x1(k),u1(k))-g(x2(k),u2(k))||≤L(||x1(k)-x2(k)||+|u1(k)-u2(k)|)(15)
其中，L＞0表示Lipschitz常数。
假设3：初始状态误差有界，即：
Figure BDA0002531555420000051
其中，∈为大于零的常数。
第二步：对于受控系统(13)，设计如下形式的迭代学习控制器，控制律为：
Figure BDA0002531555420000052
该控制律的近似公式为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),(ep-1(k+1)-ep-1(k))) (18)
则控制律可以写为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),ep-1(k+1)) (19)
其中，f为未知函数，ep-1(k)为第p-1次迭代时系统误差值。
图2是基于神经网络迭代学习控制的磁控形状记忆合金执行器位移控制结构框图。综合考虑神经网络的精度和计算复杂度，采用结构为3-7-1的多输入单输出三层神经网络对未知函数f进行拟合，选取sigmoid函数为中间隐含层的激活函数。神经网络的输入向量为
Figure BDA0002531555420000053
网络初始权值为0至1之间的随机值。对于实际控制过程而言，系统初始状态误差是难以避免的，控制算法的收敛条件关系到整个控制系统的稳定性，因此需要从理论角度获得系统初始状态误差不为零时控制器的收敛条件以确保控制系统的可靠运行。
为获得系统的收敛条件，令：
Figure BDA0002531555420000054
Figure BDA0002531555420000055
Figure BDA0002531555420000056
其中，fu和fe分别为未知非线性函数f对控制量u和系统误差ep的偏导数。
对式(19)应用泰勒公式展开并保留一阶项可得：
Δup+1(k)＝fu(k)Δup(k)-fe(k)Δep(k)-fe(k+1)Δep(k+1) (23)
其中
Figure BDA0002531555420000057
根据步骤2的假设1可得：
Figure BDA0002531555420000058
其中
Figure BDA0002531555420000059
将式(24)带入式(23)并应用矩阵范式不等式性质可得：
||Δup+1(k)||≤||fu(k)Δup(k)||+||fe(k)CΔxp(k)||+||fe(k+1)CΔxp(k+1)||(25)
根据步骤2的假设2，式(24)可表示为：
||Δxp(k+1)||≤L||Δxp(k)||+L|Δup(k)| (26)
由数学归纳法可得：
Figure BDA00025315554200000510
Figure BDA00025315554200000511
根据假设3可得：
Figure BDA0002531555420000061
Figure BDA0002531555420000062
定义λ范数
Figure BDA0002531555420000063
其中sup表示上界限，α为大于零的常数。
将式(29)、(30)带入式(25)可得：
Figure BDA0002531555420000064
令α＝L，则：
Figure BDA0002531555420000065
同理可得：
Figure BDA0002531555420000066
令
Figure BDA0002531555420000067
则
式(31)可表示为：
Figure BDA0002531555420000068
当δ+βρ1+γρ2＜1时有：
Figure BDA0002531555420000069
即：
Figure BDA00025315554200000610
结合式(27)有：
Figure BDA00025315554200000611
所以可知当δ+βρ1+γρ2＜1时，随着系统迭代次数的增加，跟踪误差会收敛到和∈成比例的区域内。即：对于非线性系统(6)，在满足假设条件(13)、(14)、(15)时，应用控制律(19)，如果有δ+βρ1+γρ2＜1成立，则系统的跟踪误差会有界收敛于和初态误差∈呈比例关系大小的范围内。
第三步：采用梯度下降法优化网络的参数使损失函数最小化时，损失函数的计算需要用到模型信息，为使神经网络参数能够在线更新，用步骤1中所建立的模型计算步骤2中神经网络的损失函数。
令损失函数
Figure BDA0002531555420000071
利用梯度下降算法最小化损失函数使得神经网络参数不断接近理想的参数。使用梯度下降法求得神经网络参数的更新法则公式为：
Figure BDA0002531555420000072
其中，Δθp表示第p次迭代时神经网络参数的变化量，η＝0.4表示学习率。
采用步骤1中建立的磁控形状记忆合金执行器迟滞模型的输出
Figure BDA0002531555420000073
代替(37)中的yp计算损失函数，即：
Figure BDA0002531555420000074
式(37)计算的是神经网络参数的更新值，则第p+1次迭代时神经网络参数θp+1可表示为：
θp+1＝θp+Δθp(39)
重复以上神经网络参数更新过程以获得理想的神经网络参数直至系统跟踪误差达到设定要求。

Claims (1)

1.一种磁控形状记忆合金执行器位移控制方法，其特征在于：其步骤是：
步骤1：建立可以描述磁控形状记忆合金执行器率相关迟滞非线性的Volterra级数模型，并利用神经网络构建Volterra级数的核函数；
Volterra级数模型的表达式为：
Figure FDA0002531555410000011
其中，u(k)和ym(k)为系统的输入输出，hn和K为Volterra级数的核函数和记忆长度；
综合考虑模型的精度以及计算复杂度，当K选取为2时Volterra级数模型的表达式为：
Figure FDA0002531555410000012
为了避免Volterra级数的维数灾难并获得较高建模精度，采用神经网络构建Volterra级数模型的核函数，神经网络的表达式为：
Figure FDA0002531555410000013
Xj(k)＝f(Sj(k)) (4)
Figure FDA0002531555410000014
其中，
Figure FDA0002531555410000015
和
Figure FDA0002531555410000016
分别表示输入层到隐含层和隐含层到输出层的权值，Sj(k)和Xj(k)分别表示隐含层第j个神经元的输入和输出，O(k)和Ii(k)分别表示神经网络的输出和输入，f(·)为隐含层激活函数；
当采用神经网络构建volterra级数模型时，以系统当前时刻和历史时刻的输入值作为神经网络的输入向量，即Ii(k)＝[u(k),u(k-1),u(k-2)]，神经网络的优化算法采用梯度下降法，综合考虑计算复杂度和建模精度隐含层的神经元个数选为7，输出层的神经元个数为1，网络初始权值设定为0到1的随机值；
步骤2：采用神经网络拟合迭代学习控制器，并给出系统初始状态在有界范围内变化时系统的收敛条件；
第一步：在利用迭代学习算法设计控制器时，为了保证算法的收敛性，以下假设是必需的：对于以磁控形状记忆合金执行器为被控对象的非线性系统，系统的离散时间状态空间表达式如下：
Figure FDA0002531555410000017
其中，k＝0,1,...,N-1为系统的离散时间，up(k)为系统输入，xp(k)为系统状态，C为具有适当维数的系数矩阵，N为期望时间长度且为正整数，p为迭代次数，g(·)为非线性函数；
假设1：所有信号都定义在有限时间区间内且对于一个有限的参考轨迹，系统应存在唯一的控制律和理想的系统状态；即：对于k∈[0,N-1]，系统表示如下：
Figure FDA0002531555410000018
其中，ur(k)为理想控制输入，xr(k)为理想系统状态，yr(k)为理想系统输出；
假设2：非线性函数g(·)沿着迭代轴方向满足广义Lipschitz条件，即：
||g(x1(k),u1(k))-g(x2(k),u2(k))||≤L(||x1(k)-x2(k)||+|u1(k)-u2(k)|) (8)
其中，L＞0表示Lipschitz常数；
假设3：初始状态误差有界，即：
||xr(0)-xp(0)||≤∈ (9)
其中，∈为大于零的常数；
第二步：对于受控系统(6)，设计如下形式的迭代学习控制器，控制律为：
Figure FDA0002531555410000021
该控制律的近似公式为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),(ep-1(k+1)-ep-1(k))) (11)
则控制律可以写为：
up(k)＝f(up-1(k),ep-1(k),ep-1(k+1)) (12)
其中，f为未知函数；
综合考虑神经网络的精度和计算复杂度，采用结构为3-7-1的多输入单输出三层神经网络对未知函数f进行拟合，选取sigmoid函数为中间隐含层的激活函数，神经网络的输入向量为
Figure FDA0002531555410000022
神经网络初始权值为0至1之间的随机值；
第三步：采用梯度下降法优化网络的参数使损失函数最小化时，损失函数的计算需要用到模型信息，为使神经网络参数能够在线更新，用步骤1中所建立的模型计算步骤2中神经网络的损失函数；
令损失函数为
Figure FDA0002531555410000023
利用梯度下降算法最小化损失函数使得神经网络的参数不断接近理想参数，使用梯度下降法求得神经网络参数的更新法则公式为：
Figure FDA0002531555410000024
其中，θ表示神经网络参数，η表示学习率，ep代表磁控形状记忆合金执行器实际输出和期望位移之间的误差；
采用步骤1中建立的磁控形状记忆合金执行器迟滞模型的输出ym代替(13)中的yp计算损失函数，即：
Figure FDA0002531555410000025
由式(13)计算神经网络参数的更新值，并重复以上步骤以获得理想的神经网络参数直至系统跟踪误差达到设定要求。
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