CN111897210A - 压电陶瓷微定位平台建模方法 - Google Patents

Abstract

一种压电陶瓷微定位平台建模方法，属于控制技术领域。本发明的目的是使Hammerstein‑like模型结构能够精确地描述压电陶瓷微定位平台的率相关迟滞特性，以提高压电陶瓷微定位平台的定位控制精度的压电陶瓷微定位平台建模方法。本发明步骤是：确定描述压电陶瓷微定位平台迟滞特性的Hammerstein‑like模型结构与组成，用1hz的正弦静态电压驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移，获得一系列密度函数值与模型实际输出，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型，由设定的驱动电压得到对应的静态模型输出和动态非线性子模型，通过离线辨识与在线辨识的结合完成整个Hammerstein‑like模型的建立。本发明实现了离线与在线辨识方法的灵活应用，与平台的精密定位控制奠定了基础。

Description

压电陶瓷微定位平台建模方法

技术领域

本发明属于控制技术领域。

背景技术

压电陶瓷微定位平台在精密定位的应用中，由于压电陶瓷材料具有一定的迟滞特性，会影响压电陶瓷微定位平台的定位精度，使控制精度变差，因此国内外学者提出了很多迟滞非线性模型与模型辨识方法。

中国地质大学的Gan Jinqiang等人在经典的Duhem模型中引入三角函数，提出了一种改进的Duhem模型，并且采用非线性最小二乘法确定模型参数。通过六组不同频率或振幅的实验验证了改进的Duhem模型良好的描述能力；莫纳斯蒂尔大学的K.Hergli等人将Preisach模型应用于用于铁磁材料的滞后特性描述，并提出了一种基于遗传算法的随机辨识模型参数方法；An Dong等人基于畴壁理论分析了压电陶瓷作动器的迟滞规律，设计在不同部分的迟滞曲线上分别建立局部PI模型构成一个三级PI模型，并通过二次规划优化算法得到三层PI模型的权值和阈值；郭咏新等人在2014年利用Hammerstein模型对超磁致伸缩作动器的率相关迟滞非线性进行建模，分别以改进的PI模型和ARX构成Hammerstein模型的两部分，很好的在1～100Hz上描述了超磁致伸缩作动器的迟滞特性。

模块化非线性模型是近年来非线性建模的研究热点，Hammerstein模型通常由两部分子模型一起构成，能够很好地描述很多非线性过程，如电力系统、中和过程和非线性预报器等，应用领域广泛。Hammerstein模型的改进多在于非线性环节的建模方法，有多项式形式，但非线性模块复杂时会出现维数灾难问题；基函数的线性组合形式，当非线性函数变量多是需要较高的阶次；基于数据的神经网络模型、唯象模型等适用于系统较难参数化的情况，近年研究较多。

由于模型存在不可测量的中间变量，辨识问题成为建立模型的难点。主要有两种方法：一种采用迭代和过参数化法、频域法等同步辨识模型参数；一种利用特殊信号分离非线性与线性环节辨识各环节参数。

发明内容

本发明的目的是使Hammerstein-like模型结构能够精确地描述压电陶瓷微定位平台的率相关迟滞特性，以提高压电陶瓷微定位平台的定位控制精度的压电陶瓷微定位平台建模方法。

本发明步骤是：

步骤一：确定描述压电陶瓷微定位平台迟滞特性的Hammerstein-like模型结构与组成，由一个静态迟滞子模型和一个动态非线性子模型串联而成，静态迟滞子模型由KP模型来描述，动态非线性子模型用最小二乘支持向量机来表示；

将迟滞现象理解为一些K_p迟滞算子在Preisach平面上的积分作用，表达式为：

v(t)＝H[u(t)]＝∫_PK_p[u(t),ξ_p]μ(p)dp (1)

式中，u(t)为系统迟滞输入，v(t)为系统迟滞输出，H[·]代表系统迟滞输入与输出的关系函数，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p)为密度函数；Preisach平面的表达式为：

P＝{p(p₁,p₂)∈R×R:p_min≤p₁≤p₂≤p_max} (2)

式中，p_min和p_max分别代表迟滞输入饱和值的极小值与极大值；

KP算子表达式为：

式中，ξ_p(t)取决于算子的极值；

其中，i为转折点的次序，r[u(t)]表示算子的边界函数，具体为：

若定义L为Preisach面的均分数目，那么分割为L×L的平面的每一个格子的长度a为：

KP算子的个数为N＝0.5(L+2)(L+1)；

将KP模型的表达式离散化，写为算子与密度函数乘积的加权形式：

假设{v(i),y(i)}(i＝1,2,...,N_i)为LS-SVM的一组样本数据，通过非线性变换将样本数据从输入空间映射到高维特征空间；根据结构风险最小化原则，函数估计问题表示为：

其中，

为核空间映射函数，w为权矢量，e(i)为误差量，b为偏置量，r_L为正则化参数；

构造拉格朗日方程：

其中α(i)为拉格朗日乘子；为最小化目标函数值，使拉格朗日函数对w,e,b,α的偏导数等于零，得到：

将上式消去w和e，得到LS-SVM模型为

其中，

而核函数K_er选取为径向基核函数，表示为：

步骤二：用1hz的正弦静态电压u(t)驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移y(t)；

步骤三：根据静态输入电压信号u(t)与输出位移信号y(t)，采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，得到一系列密度函数值与模型实际输出v(t)；

辨识算法具体步骤如下：

a)将鸟巢群体初始化并定义搜索的适应度函数f，随机初始化鸟巢的位置X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，设定算法参数如群体的大小、发现外来鸟蛋的概率p_a等；

适应度函数选择为平台实际输出位移与模型输出位移的相对误差，写作：

b)根据定义的适应度函数计算鸟巢位置的对应值，则当代鸟巢有一个最优的适应度值；

c)保存上一步的最优适应度值，同时由莱维飞行方式搜索当代其他位置鸟巢的下一代位置；鸟巢位置更新如下：

其中，

和

分别表示第i(i＝1,2,...,n)个鸟巢在第k代与(k+1)代的位置向量X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，d为鸟巢的维度，j为鸟巢的任意第j维；

为点对点乘法；α是步长控制因子，步长表示为：

式中，α₀为常数，

表示第k代最优解；

按照莱维概率分布产生的莱维随机搜索路径如下：

式中，u,v服从标准正态分布；λ＝1.5；φ的表达式为：

所以，布谷鸟搜索位置更新公式为：

d)比较更新后的鸟巢位置适应度值与上一代保存的最优适应度值，若更新后的适应度值更优，则把更新值作为下一代的最优值；

e)产生随机数r∈[0,1]与发现外来鸟蛋的概率p_a比较，代表主人鸟发现外来鸟蛋的可能性，若r＞p_a，代表鸟蛋被发现的概率高需要随机改变鸟巢位置，反之不需改变，保存最优的鸟巢位置与对应的适应度函数值F1；

f)以保留的最理想的鸟巢位置作为遗传算法的初始化种群，并初始化遗传算法的其他参数，如种群规模、交叉概率、变异概率等；

g)选择二进制编码方法对初始化种群进行编码操作，然后对种群进行选择运算，交叉运算和变异运算；

选择一个适应度函数值作为门限值，低于适应度函数门限值的个体被复制，个体X_i被选中的概率为：

式中，f(X_i)是父代个体X_i的适应度函数值，且所有个体被复制的概率之和为1，即：

h)保留获得的理想种群，并计算其适应度函数值F2；

i)比较理想鸟巢位置适应度函数值F1与理想种群适应度函数值F2的大小，选择并保留适应度函数值较小的鸟巢位置或种群作为本次寻优的最优解；

j)若没达到设定的迭代次数，则返回步骤b)，否则，执行下一步；

k)输出全局最优解；

步骤四：由已经辨识得到的KP子模型可获得各种不同设定的驱动电压的模型输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的对应实际输出信号y(t)，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型；

已经获得的KP子模型为静态模型，由设定的驱动电压得到对应的静态模型输出，动态最小二乘支持向量机子模型通过在线辨识方法得到拉格朗日乘子α(i)与偏置量b，从而获得动态非线性子模型，通过离线辨识与在线辨识的结合完成整个Hammerstein-like模型的建立。

本发明建立的Hammerstein-like模型在结构上有明显的改进，静态非线性子模型与动态非线性子模型的串联结构使模型不仅能够描述压电陶瓷微定位平台的静态迟滞特性，而且能够精确描述率相关迟滞特性与更广泛的非线性，实验证明在平台驱动电压达到100hz时建模的最大率在3％以内；模型采用先离线辨识静态迟滞子模型后在线辨识动态非线性子模型的辨识方法，实现了离线与在线辨识方法的灵活应用。Hammerstein-like模型的精确性证明了模型在压电陶瓷微定位平台建模方面的有效性，与平台的精密定位控制奠定了基础。

附图说明

图1是Hammerstein-like模型结构图；

图2是KP算子图；

图3是布谷鸟遗传混合优化算法流程图；

图4是辨识静态KP子模型获得的模型输出和实际输出的迟滞环曲线图；

图5是辨识静态KP子模型获得的模型输出和实际输出的误差对比图；

图6是1hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图。

图7是1hz的驱动电压下模型误差对比图；

图8是10hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图；

图9是10hz的驱动电压下模型误差对比图；

图10是50hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图；

图11是50hz的驱动电压下模型误差对比图；

图12是100hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图；

图13是100hz的驱动电压下模型误差对比图。

具体实施方式

Hammerstein-like模型由一个静态迟滞子模型和一个动态非线性子模型串联组成，静态迟滞子模型由Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型来描述，动态非线性子模型用最小二乘支持向量机来表示。辨识方法为先根据平台静态输入电压信号u(t)与输出位移信号y(t)，采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，得到密度函数值与模型实际输出v(t)；然后由已经辨识得到的KP子模型可获得各种不同设定的驱动电压的模型输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的对于实际输出信号y(t)，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型；最后获得建立的Hammerstein-like模型。

本发明的步骤是：

步骤一：确定描述压电陶瓷微定位平台迟滞特性的Hammerstein-like模型结构与组成，由一个静态迟滞子模型和一个动态非线性子模型串联而成，静态迟滞子模型由Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型来描述，动态非线性子模型用最小二乘支持向量机来表示。

步骤二：用1hz的正弦静态电压u(t)驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移y(t)。

步骤三：根据输入电压信号u(t)与输出位移信号y(t)，采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，得到模型实际输出v(t)。

步骤四：由已经辨识得到的KP子模型可获得各种不同设定的驱动电压的模型输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的对于实际输出信号y(t)，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型。

结合附图对本发明的步骤做进一步描述：

步骤一：确定描述压电陶瓷微定位平台迟滞特性的Hammerstein-like模型结构与组成，由一个静态迟滞子模型和一个动态非线性子模型串联而成，静态迟滞子模型由KP模型来描述，动态非线性子模型用最小二乘支持向量机来表示。静态迟滞KP子模型可以由一系列KP迟滞算子K_p与密度函数μ(p_i,p_j)乘积的加权形式表示，能够描述压电陶瓷微定位平台的静态迟滞特性，Hammerstein-like模型结构如图1所示。

其中，KP模型是一种典型的算子模型。模型将迟滞现象理解为一些K_p迟滞算子在Preisach平面上的积分作用，数学表达式为：

v(t)＝H[u(t)]＝∫_PK_p[u(t),ξ_p]μ(p)dp (1)

式中，u(t)为KP子模型的迟滞输入，v(t)为KP子模型迟滞输出，H[·]代表迟滞输入与输出的关系函数，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p_i,p_j)为密度函数，KP算子的个数为与表达式中的积分平面被均匀划分成的网格数量有关。

Preisach平面的表达式为：

P＝{p(p₁,p₂)∈R×R:p_min≤p₁≤p₂≤p_max} (2)

式中，p_min和p_max分别代表迟滞输入饱和值的极小值与极大值。

KP算子如图2，其表达式为：

式中，ξ_p(t)取决于算子的极值，具体如下：

其中，i为转折点的次序，r[u(t)]表示算子的边界函数，具体为：

若定义L为Preisach面的均分数目，那么分割为L×L的平面的每一个格子的长度a为：

KP算子的个数为N＝0.5(L+2)(L+1)。

将KP模型的表达式离散化，写为算子与密度函数乘积的加权形式：

动态非线性子模型是采用最小二乘支持向量机表达，优点为全局最优性好和泛化能力强。

假设{v(i),y(i)}(i＝1,2,...,N_i)为LS-SVM的一组样本数据，通过非线性变换将样本数据从输入空间映射到高维特征空间。根据结构风险最小化原则，函数估计问题表示为：

其中，

为核空间映射函数，w为权矢量，e(i)为误差量，b为偏置量，r_L为正则化参数。

构造拉格朗日方程：

其中α(i)为拉格朗日乘子。为最小化目标函数值，使拉格朗日函数对w,e,b,α的偏导数等于零，可以得到：

动态最小二乘支持向量机子模型通过非线性变换将样本数据从输入空间映射到高维特征空间解决函数估计问题，不仅能描述压电驱动微定位平台的率相关特性，而且能够对静态迟滞部分的非线性进行补充描述，描述更广泛的复杂非线性行为。

将上式消去w和e，得到LS-SVM模型为

其中，其中α(i)为拉格朗日乘子，e(i)为误差量，b为偏置量，N_i为样本数据个数，核函数K_er选取为径向基核函数，

而核函数K_er选取为径向基核函数，表示为：

步骤二：用1hz的正弦静态电压u(t)驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移y(t)。

步骤三：根据静态输入电压信号u(t)与输出位移信号y(t)，采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，得到一系列密度函数值与模型实际输出v(t)。

静态迟滞KP子模型采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识，以确定模型中的一系列密度函数值使设定的适应度函数值最小。辨识算法具有参数少，收敛对参数变化不敏感以及全局搜索能力强的优势。

首先，将群体初始化并定义算法的适应度函数，随机初始化鸟巢的位置，设定算法的参数如群体的大小、发现外来鸟蛋的概率等；然后采用布谷鸟搜索算法的搜索流程获得下一代鸟巢位置并保留对应的适应度函数值F1；之后以保留的最理想的鸟巢位置作为遗传搜索的初始化种群，并进行种群编码操作、选择运算，交叉运算和变异运算，获得的理想种群，并计算其适应度函数值F2；比较理想鸟巢位置适应度函数值F1与理想种群适应度函数值F2的大小，选择并保留适应度函数值较小的鸟巢位置或种群作为本次寻优的最优解；最后，检查算法是否达到设定的迭代次数，若达到则输出最优解，否则重新进行搜索过程。

辨识算法具体步骤如下：

a)将鸟巢群体初始化并定义搜索的适应度函数f，随机初始化鸟巢的位置X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，设定算法参数如群体的大小、发现外来鸟蛋的概率p_a等；

适应度函数选择为平台实际输出位移与模型输出位移的相对误差，写作：

b)根据定义的适应度函数计算鸟巢位置的对应值，则当代鸟巢有一个最优的适应度值；

c)保存上一步的最优适应度值，同时由莱维飞行方式搜索当代其他位置鸟巢的下一代位置；

鸟巢位置更新如下：

其中，

和

分别表示第i(i＝1,2,...,n)个鸟巢在第k代与(k+1)代的位置向量X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，d为鸟巢的维度，j为鸟巢的任意第j维；

为点对点乘法；α是步长控制因子，步长表示为：

式中，α₀为常数，

表示第k代最优解。

按照莱维概率分布产生的莱维随机搜索路径如下：

式中，u,v服从标准正态分布；λ＝1.5；φ的表达式为：

所以，布谷鸟搜索位置更新公式为：

d)比较更新后的鸟巢位置适应度值与上一代保存的最优适应度值，若更新后的适应度值更优，则把更新值作为下一代的最优值；

e)产生随机数r∈[0,1]与发现外来鸟蛋的概率p_a比较，代表主人鸟发现外来鸟蛋的可能性，若r＞p_a，代表鸟蛋被发现的概率高需要随机改变鸟巢位置，反之不需改变。保存最优的鸟巢位置与对应的适应度函数值F1；

f)以保留的最理想的鸟巢位置作为遗传算法的初始化种群，并初始化遗传算法的其他参数，如种群规模、交叉概率、变异概率等；

g)选择二进制编码方法对初始化种群进行编码操作，然后对种群进行选择运算，交叉运算和变异运算；

采用二进制编码方式，即将优化问题的可行解编码为二进制数，编码长度对问题的精度求解有影响，将编码长度设置为8位。选择轮盘赌法进行群体选择运算。选择一个适应度函数值作为门限值，低于适应度函数门限值的个体被复制。个体X_i被选中的概率为：

式中，f(X_i)是父代个体X_i的适应度函数值，且所有个体被复制的概率之和为1。即：

选择单点交叉运算方式，运算简单且效率高。在父代的两个个体编码中各设置一个断点，将一个编码分成两部分再将各自的后半部分交换重新组合成两个新的子代个体编码。选择互换变异方式，即，随机交换两个父代个体的编码中发生变异的位置编码来产生新的子代个体。

h)保留获得的理想种群，并计算其适应度函数值F2；

i)比较理想鸟巢位置适应度函数值F1与理想种群适应度函数值F2的大小，选择并保留适应度函数值较小的鸟巢位置或种群作为本次寻优的最优解；

j)若没达到设定的迭代次数，则返回步骤b)，否则，执行下一步；

k)输出全局最优解。

遗传算法全局捜索能力强，捜索效率也比较高，搜索空间要更加的大，一定程度上可以避免由于莱维飞行具有跳跃性导致寻优时间增长和求解精度不够的情况，使算法具有改善全局搜索和避免局部最优的优势。图3为布谷鸟遗传混合优化算法流程图。

步骤四：由已经辨识得到的KP子模型可获得各种不同设定的驱动电压的模型输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的对应实际输出信号y(t)，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型。

已经获得的KP子模型为静态模型，可以由设定的驱动电压得到对应的静态模型输出。动态最小二乘支持向量机子模型由KP子模型的输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的实际输出信号y(t)通过在线辨识方法得到拉格朗日乘子α(i)与偏置量b，从而获得动态非线性子模型，完成整个Hammerstein-like模型的建立。

在离线辨识KP子模型的仿真中：

KP模型中的离散化数L＝15，因此需要辨识的参数为136个。采用频率为1hz的静态驱动电压与对应位移数据进行辨识。辨识算法参数设置如下，鸟巢数量设置为25，鸟巢主人发现外来鸟蛋的概率设置为0.22，交叉概率设置为0.5，种群变异概率设置为0.1，迭代次数设置为4000，仿真时间为5s。

图4为辨识静态KP子模型获得的模型输出和实际输出的迟滞环曲线图，图5为辨识静态KP子模型获得的模型输出和实际输出的误差对比图。辨识数据为静态1hz驱动电压与对应平台输出位移。从图中可以看出，布谷鸟遗传混合优化算法最大误差率与均方根误差分别为1.03％和0.1097，相比布谷鸟搜索算法误差值更小，应用布谷鸟遗传混合优化算法辨识的静态KP子模型对静态电压驱动的平台特性具有较好的描述能力。

实例：

步骤1：采用图1所示的Hammerstein-like模型结构以描述压电陶瓷微定位平台的频率相关迟滞特性。其中静态KP迟滞子模型中，将Preisach面的均分为L×L的格子，取L＝15，KP算子的个数为N＝136；最小二乘支持向量机子模型的样本数据为模型的中间量v(t)及其延迟环节量和平台位移输出量y(t)及其延迟环节量。

步骤2：用1hz的正弦静态电压u(t)驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移y(t)，一组静态数据用于辨识静态KP迟滞子模型。

步骤3：采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，利用布谷鸟搜索位置更新公式(18)与选择、交叉和变异运算公式(19)(20)得到一系列密度函数值。其中，鸟巢数量与种群数量设置一致，为25；p_a为鸟巢主人发现外来鸟蛋的概率，决定被保留鸟蛋的比例，p_a＝0.22；交叉运算与变异运算是产生新的个体的运算方法，交叉概率设置为0.5，变异概率设置为0.1；迭代次数为4000。与遗传算法的组合使布谷鸟搜索避免陷入局部最优，改善了搜索算法的全局性能。

步骤4：辨识动态最小二乘支持向量机子模型的数据为驱动电压通过KP子模型获得的中间量v(t)及其延迟环节变量和平台的位移输出量y(t)及其延迟环节，即

{v(t),，…,(t-v_N)；y(t-1),…,y(t-y_N)} (21)

其中，v_N与y_N分别表示模型的输入延迟阶数和输出延迟阶数。模型的输入延迟阶数和输出延迟阶数的取值对模型复杂性与预测精度都有较大的影响，v_N＝2,y_N＝3；正则化参数r_L和径向基核函数参数ζ在很大程度上决定了模型的学习能力和泛化能力，r_L＝9.9，ζ＝0.88。模型参数可由不同的驱动电压与对应的平台输出位移通过在线辨识方法直接获得。

采用不同频率的电压信号驱动压电陶瓷微定位平台证明模型的有效性，并与KP迟滞模型对比证明率相关迟滞描述能力。图6为1hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图，图7为1hz的驱动电压下模型误差对比图，Hammerstein-like模型的最大误差率为0.03％，KP迟滞模型的最大误差率为1.67％；图8为10hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图，图9为10hz的驱动电压下模型误差对比图，Hammerstein-like模型的最大误差率为0.24％，KP迟滞模型的最大误差率为3.18％；图10为50hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图，图11为50hz的驱动电压下模型误差对比图，Hammerstein-like模型的最大误差率为1.9％，KP迟滞模型的最大误差率为5.45％；图12为100hz的驱动电压下模型与实际输出迟滞环曲线对比图，图13为100hz的驱动电压下模型误差对比图，Hammerstein-like模型的最大误差率为2.54％，KP迟滞模型的最大误差率为7.95％。

Claims (1)

1.一种压电陶瓷微定位平台建模方法，其特征在于：其步骤是：

步骤一：确定描述压电陶瓷微定位平台迟滞特性的Hammerstein-like模型结构与组成，由一个静态迟滞子模型和一个动态非线性子模型串联而成，静态迟滞子模型由KP模型来描述，动态非线性子模型用最小二乘支持向量机来表示；

将迟滞现象理解为一些K_p迟滞算子在Preisach平面上的积分作用，表达式为：

v(t)＝H[u(t)]＝∫_PK_p[u(t),ξ_p]μ(p)dp (1)

式中，u(t)为系统迟滞输入，v(t)为系统迟滞输出，H[·]代表系统迟滞输入与输出的关系函数，K_p代表KP迟滞算子，与迟滞输入有关，ξ_p为保存迟滞输出极值的自变量，μ(p)为密度函数；Preisach平面的表达式为：

P＝{p(p₁,p₂)∈R×R:p_min≤p₁≤p₂≤p_max} (2)

式中，p_min和p_max分别代表迟滞输入饱和值的极小值与极大值；

KP算子表达式为：

式中，ξ_p(t)取决于算子的极值；

其中，i为转折点的次序，r[u(t)]表示算子的边界函数，具体为：

若定义L为Preisach面的均分数目，那么分割为L×L的平面的每一个格子的长度a为：

KP算子的个数为N＝0.5(L+2)(L+1)；

将KP模型的表达式离散化，写为算子与密度函数乘积的加权形式：

假设{v(i),y(i)}(i＝1,2,...,N_i)为LS-SVM的一组样本数据，通过非线性变换将样本数据从输入空间映射到高维特征空间；根据结构风险最小化原则，函数估计问题表示为：

其中，

为核空间映射函数，w为权矢量，e(i)为误差量，b为偏置量，r_L为正则化参数；

构造拉格朗日方程：

其中α(i)为拉格朗日乘子；为最小化目标函数值，使拉格朗日函数对w,e,b,α的偏导数等于零，得到：

将上式消去w和e，得到LS-SVM模型为

其中，

而核函数K_er选取为径向基核函数，表示为：

步骤二：用1hz的正弦静态电压u(t)驱动压电陶瓷微定位平台，得到对应的输出位移y(t)；

步骤三：根据静态输入电压信号u(t)与输出位移信号y(t)，采用布谷鸟遗传混合优化算法辨识静态迟滞KP子模型，得到一系列密度函数值与模型实际输出v(t)；

辨识算法具体步骤如下：

a)将鸟巢群体初始化并定义搜索的适应度函数f，随机初始化鸟巢的位置X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，设定算法参数如群体的大小、发现外来鸟蛋的概率p_a等；

适应度函数选择为平台实际输出位移与模型输出位移的相对误差，写作：

b)根据定义的适应度函数计算鸟巢位置的对应值，则当代鸟巢有一个最优的适应度值；

c)保存上一步的最优适应度值，同时由莱维飞行方式搜索当代其他位置鸟巢的下一代位置；鸟巢位置更新如下：

其中，

和

分别表示第i(i＝1,2,...,n)个鸟巢在第k代与(k+1)代的位置向量X_i＝x_i1,x_i2,...,x_ij,...,x_id，d为鸟巢的维度，j为鸟巢的任意第j维；

为点对点乘法；α是步长控制因子，步长表示为：

式中，α₀为常数，

表示第k代最优解；

按照莱维概率分布产生的莱维随机搜索路径如下：

式中，u,v服从标准正态分布；λ＝1.5；φ的表达式为：

所以，布谷鸟搜索位置更新公式为：

d)比较更新后的鸟巢位置适应度值与上一代保存的最优适应度值，若更新后的适应度值更优，则把更新值作为下一代的最优值；

e)产生随机数r∈[0,1]与发现外来鸟蛋的概率p_a比较，代表主人鸟发现外来鸟蛋的可能性，若r＞p_a，代表鸟蛋被发现的概率高需要随机改变鸟巢位置，反之不需改变，保存最优的鸟巢位置与对应的适应度函数值F1；

f)以保留的最理想的鸟巢位置作为遗传算法的初始化种群，并初始化遗传算法的其他参数，如种群规模、交叉概率、变异概率等；

g)选择二进制编码方法对初始化种群进行编码操作，然后对种群进行选择运算，交叉运算和变异运算；

选择一个适应度函数值作为门限值，低于适应度函数门限值的个体被复制，个体X_i被选中的概率为：

式中，f(X_i)是父代个体X_i的适应度函数值，且所有个体被复制的概率之和为1，即：

h)保留获得的理想种群，并计算其适应度函数值F2；

i)比较理想鸟巢位置适应度函数值F1与理想种群适应度函数值F2的大小，选择并保留适应度函数值较小的鸟巢位置或种群作为本次寻优的最优解；

j)若没达到设定的迭代次数，则返回步骤b)，否则，执行下一步；

k)输出全局最优解；

步骤四：由已经辨识得到的KP子模型可获得各种不同设定的驱动电压的模型输出信号v(t)与压电陶瓷微定位平台的对应实际输出信号y(t)，采用直接辨识方法得到动态最小二乘支持向量机子模型；

已经获得的KP子模型为静态模型，由设定的驱动电压得到对应的静态模型输出，动态最小二乘支持向量机子模型通过在线辨识方法得到拉格朗日乘子α(i)与偏置量b，从而获得动态非线性子模型，通过离线辨识与在线辨识的结合完成整个Hammerstein-like模型的建立。

Images