CN117094130B - 基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，属于电子设备系统辨识技术领域，解决了最小二乘算法收敛速度慢且辨识精度不高的技术问题。其技术方案为：一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，其技术方案为：包括以下步骤：步骤1)建立分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型；步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程。本发明的有益效果为：本发明提出的极大似然最小二乘算法有较快的收敛速度和较高的收敛精度，能较好的适用于对分数阶压电陶瓷系统的建模和参数辨识。

Description

基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法

技术领域

本发明涉及供电系统辨识技术领域，尤其涉及一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法。

背景技术

随着社会的发展，高层建筑已经成为城镇居民最主要的生活工作空间，城镇给电网的电量已不能满足建筑的生活用电要求，二次加压供电成为目前最常见的供电方式。二次加压供电系统主要由压电陶瓷及配电设施等组成。其中，压电陶瓷是二次加压供电设施的重要组成部分，主要作用为调节一定时间内用户用电量与供电量之间的差值。为了更好地对供电过程进行分析和预测，所以需要为压电陶瓷建立相应的系统模型，同时辨识所建立模型的参数。为此，不少研究者们也提出了不同的辨识方法，如：牛顿迭代算法、最小二乘算法和头脑风暴算法等。

牛顿迭代算法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂；最小二乘算法在跟踪时变参数过程中存在数据量变多而导致数据饱和的问题；作为群智能算法的头脑风暴算法虽然可以较好地应用在不同工况，但是新个体的产生依赖于群内和群间的有机组合，具有一定的局限性。

文献基于Hammerstein模型的压电陶瓷作动器建模及补偿方法中指出，压电陶瓷具有迟滞、蠕变等非线性效应，如果不采取任何补偿措施，由压电陶瓷驱动的快速倾斜镜会有15％左右的角位置偏差，无法直接用于光束的精密控制。我们的发明采用了极大似然最小二乘算法来辨识分数阶压电陶瓷模型，就是为了解决压电陶瓷的迟滞、蠕变等非线性效应问题。

如何解决上述技术问题为本发明面临的课题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，它有较快的收敛速度和较高的收敛精度，能较好地适用于对分数阶压电陶瓷系统的建模和参数辨识。

本发明是通过如下措施实现的：具体包括以下步骤：

步骤1)建立分数阶压电陶瓷系统的输入输出数学模型。建立数学模型可以帮助我们提高问题解决的效率和准确性。通过将实际问题抽象为数学模型，可以对其进行精确的描述和分析，从而更有效地解决问题，也可以帮助我们深入理解问题本质，发现其中规律和关联。

步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程。构建算法的辨识流程可以让我们对新数据进行准确分类快速处理大量数据，帮助我们更好的理解模型。

作为本发明提供的基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法进一步优化方案，所述步骤1)的具体建模步骤如下：

(1-1)构建一个分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型的结构。

(1-2)根据此模型，构建出分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型表达式如下：

y(t)＝x(t)+w(t), (4)

上述公式中各符号的含义：u(t)是模型输入信号，y(t)是模型输出信号，v(t)是一个均值为0、方差为σ²且满足高斯分布的白噪声，中间变量u(t)，x(t)和w(t)是中间不可测量的信号，q^-1是单位延迟符号：q^-1y(t)＝y(t-1)，A(q)，B(q)和C(q)是常数多项式，具有以下定义：

其中，多项式因子a_i，b_j和c_k是待估计的参数，γ是多项式的分数阶数。

(1-3)则中间信号x(t)和w(t)可以表示为：

w(t)＝[1-C(q)]w(t)+v(t),

化简得：

本发明采用了Grünwald Letnikov(GL)定义求解分数阶导数，GL定义可以表示为：

其中Δ是离散分数阶差分算子，Δ^γx(th)是函数x(th)的γ阶分数导数，令t＝th，其中h是采样间隔，t是计算导数逼近的样本数，将式(7)带入式(5)，(6)，离散后的中间信号x(t)和w(t)为：

模型中非线性环节的输出是多项式形式，可以表示为：

其中，ε_i是需要辨识的未知系数，而多项式函数的阶数γ是已知的；

(1-4)得到分数阶压电陶瓷系统的Hammerstein非线性模型的辨识模型：

上述公式中，φ(t)为系统的信息向量，表示为：

θ为系统的参数向量，表示为：

其中，c分别定义为：

中的a，ε，b分别定义为：

所述基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型参数辨识方法的进一步设计在于，所述步骤2)具体为：

步骤2-1)初始化，给定循环次数L；

步骤2-2)将输入压力作为压电陶瓷系统模型的输入数据x(t),输出电流作为输出数据y(t)，根据式(8)计算压电陶瓷的压力差x(t)；

步骤2-3)将信息向量中的中间变量x(t)、w(t)、非线性部分u(t)和不可测噪声v(t)替换为其估计值和/>根据式(12)计算/>

步骤2-4)根据式(14)计算增益向量L(t)；

步骤2-5)根据式(15)计算参数向量的估计值

步骤2-6)根据式(8)、(15)计算估计的中间变量和估计的噪声/>由式(7)的GL定义计算中间变量分数阶导数/>

步骤2-7)判断是否达到最大循环次数，若没有达到，程序跳转到步骤2-3)，若达到，进入步骤2-8)；

步骤2-8)输出结果，完成辨识。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

(1)本发明建立了分数阶压电陶瓷Hammerstein非线性系统参数辨识的模型，将输入压力作为输入数据，利用极大似然最小二乘算法对该模型参数进行辨识；由图4可看出该算法可以很好的辨识模型内部参数。

(2)相比极大似然算法和最小二乘算法，极大似然最小二乘算法更新每个循环中的中间变量和噪声从而得到估计的信息向量，使收敛速度得到提升。极大似然最小二乘算法能够更好的辨识非线性系统，且辨识的精度也较高，得到的估计误差较小；同时，也说明本辨识方法对于分数阶压电陶瓷Hammerstein非线性模型有较好的适用性。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。

图1为本发明提供的基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷Hammerstein非线性系统辨识方法的整体流程图。

图2为本发明提供的基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷参数辨识方法的分数阶压电陶瓷示意图。

图3为本发明提供的极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷参数辨识方法的一般模型示意图。

图4为本发明辨识参数与真实值的误差示意图。

图5为本发明辨识参数与真实值的误差示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。当然，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

参见图1至图4，本发明提供其技术方案为，一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，具体步骤如下：

步骤1)建立分数阶压电陶瓷系统的输入输出数学模型。

步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程。

作为本发明提供的基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷系统辨识方法进一步优化方案，所述步骤1)的具体建模步骤如下：

(1-1)构建一个分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型的结构。

(1-2)根据此模型，构建出分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型表达式如下：

y(t)＝x(t)+w(t), (4)

上述公式中各符号的含义：u(t)是模型输入信号，y(t)是模型输出信号，v(t)是一个均值为0、方差为σ²且满足高斯分布的白噪声，中间变量x(t)和w(t)是中间不可测量的信号，q^-1是单位延迟符号：q^-1y(t)＝y(t-1)，A(q)，B(q)和C(q)是常数多项式，具有以下定义：

其中，多项式因子a_i，b_j和c_k是待估计的参数，γ是多项式的分数阶数。

(1-3)则中间信号x(t)和w(t)表示为：

w(t)＝[1-C(q)]w(t)+v(t),

化简得：

采用了Grünwald Letnikov(GL)定义求解分数阶导数，GL定义表示为：

其中Δ是离散分数阶差分算子，Δ^γx(th)是函数x(th)的γ阶分数导数，令t＝th，其中h是采样间隔，t是计算导数逼近的样本数，将式(7)带入式(5)，(6)，离散后的中间信号x(t)和w(t)为：

模型中非线性环节的输出是多项式形式，表示为：

其中，ε_i是需要辨识的未知系数，而多项式函数的阶数γ是已知的；

(1-4)得到分数阶压电陶瓷系统的Hammerstein非线性模型的辨识模型：

上述公式中，φ(t)为系统的信息向量，表示为：

φ(t)＝[-Δ^γx(t-1),-Δ^γx(t-2),…,-Δ^γx(t-n_a),

θ为系统的参数向量，表示为：

其中，c分别定义为：

中的a，ε，b分别定义为：

优选地，所述步骤1)的模型为分数阶Hammerstein非线性模型。

优选地，所述步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程的具体步骤如下：

步骤2-1)初始化，给定循环次数L；

步骤2-2)将输入压力作为压电陶瓷系统模型的输入数据u(t)，输出电流作为输出数据y(t)，根据式(8)计算压电陶瓷压力差x(t)；

步骤2-3)将信息向量中的中间变量x(t)、w(t)、非线性部分和不可测噪声v(t)替换为其估计值/>和/>根据式(12)计算/>

步骤2-4)根据式(14)计算增益向量L(t)；

步骤2-5)根据式(15)计算参数向量的估计值

步骤2-6)根据式(8)、(15)计算估计的中间变量和估计的噪声/>由式(7)的GL定义计算中间变量分数阶导数/>

步骤2-7)判断是否达到最大循环次数，若没有达到，程序跳转到步骤2-3)，若达到，进入步骤2-8)；

步骤2-8)输出结果，完成辨识。

本实施例采用的分数阶压电陶瓷系统简图如图2所示。其中，u(t)为压电陶瓷的输入压力，是压力差值，x(t)是压电陶瓷预计压力差，y(t)是压电陶瓷实际电流。

通过上述提到的分数阶Hammerstein模型，可以将本实施例建立以下模型：

A(q)＝1+a₁q^-γ+a₂q^-2γ＝1+1.55q^-γ+0.96q^-2γ

B(q)＝1+b₁q^-γ+b₂q^-2γ＝1+0.50q^-γ+0.70q^-2γ

C(q)＝1+c₁q^-γ+c₂q^-2γ＝1+1.25q^-γ+1.38q^-2γ

分数阶γ＝0.2

对比上述模型和步骤1)，可得

a₁＝1.55,a₂＝0.96,b₁＝0.50,b₂＝0.70,ε₁＝0.61,c₁＝1.25,c₂＝1.38

为了方便将所需辨识的参数代入遗忘增广随机梯度算法，将所需辨识的参数组成一个参数向量θ，令所需辨识的参数如下：

θ＝[a₁,a₂,b₁,b₂,ε₁,c₁,c₂],

根据步骤2-1)初始化，给定循环次数L；

根据步骤2-2)获得分数阶压电陶瓷系统模型的输入输出数据，计算压力差u(t)；

根据步骤2-3)计算信息向量的估计值φ(t)；

根据步骤2-4)计算增益向量L(t)；

根据步骤2-5)更新参数向量的估计值

根据步骤2-6)计算估计的中间变量和估计的噪声/>计算中间变量和噪声的估计分数阶导数/>

根据步骤2-7)和步骤2-8)完成循环，输出结果。

其中，在设定循环次数L时需要考虑几个问题：循环次数过小，会导致辨识结果不理想，从而导致辨识精度低的问题。循环次数过大，又会造成计算量大的问题。

使用本发明的基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷模型参数辨识方法进行的参数辨识结果如图4所示。可以看出，本方法的辨识精度较高，待辨识参数的估计值与真实值非常接近。同时，也说明本辨识方法对于分数阶压电陶瓷模型的参数辨识有较好的适用性。

实施例2

参见图5，本发明提供其技术方案为，一种带遗忘因子的随机算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，具体步骤如下：

步骤1)建立分数阶压电陶瓷系统的输入输出数学模型。

步骤2)构建带遗忘因子的随机算法的辨识流程。

优选地，所述步骤2)构建带遗忘因子的随机算法的辨识流程的具体步骤如下：

步骤2-1)初始化，给定循环次数L,；

步骤2-2)将输入压力作为压电陶瓷系统模型的输入数据u(t)，输出电流作为输出数据y(t)，根据式(8)计算压电陶瓷压力差；

步骤2-3)将信息向量中的中间变量x(t)、w(t)、非线性部分和不可测噪声v(t)替换为其估计值/>和/>根据式(16)计算信息矩阵/>

步骤2-4)根据式(17)计算新息向量e(t)；

步骤2-5)根据式(18)计算r(t)；

步骤2-6)根据式(18)计算参数向量的估计值

步骤2-7)根据式(8)、(15)计算估计的中间变量和估计的噪声/>由式(7)的GL定义计算中间变量分数阶导数/>

步骤2-8)判断是否达到最大循环次数，若没有达到，程序跳转到步骤2-3)，若达到，进入步骤2-9)；

步骤2-9)输出结果，完成辨识。

本实施例采用的分数阶压电陶瓷系统简图如图2所示。其中，u(t)为压电陶瓷的输入压力，u(t)是压力差值，x(t)是压电陶瓷预计压力差，y(t)是压电陶瓷实际电流。

通过上述提到的分数阶Hammerstein模型，可以将本实施例建立以下模型：

A(q)＝1+a₁q^-γ+a₂q^-2γ＝1+1.55q^-γ+0.96q^-2γ

B(q)＝1+b₁q^-γ+b₂q^-2γ＝1+0.50q^-γ+0.71q^-2γ

C(q)＝1+c₁q^-γ+c₂q^-2γ＝1+1.43q^-γ+1.80q^-2γ

分数阶γ＝0.3

对比上述模型和步骤1)，可得

a₁＝1.55,a₂＝0.96,b₁＝0.50,b₂＝0.71,ε₁＝0.44,ε₂＝0.72,c₁＝1.43,c₂＝1.80

为了方便将所需辨识的参数代入带遗忘因子的随机算法，将所需辨识的参数组成一个参数向量θ，令所需辨识的参数如下：

θ＝[a₁,a₂,b₁,b₂,ε₁,ε₂,c₁,c₂],

根据步骤2-1)初始化，给定循环次数L；

根据步骤2-2)获得分数阶压电陶瓷系统模型的输入输出数据，计算压力差u(t)；

根据步骤2-3)计算信息向量的估计值φ(t)；

根据步骤2-4)计算新息向量e(t)；

根据步骤2-5)计算r(t)；

根据步骤2-6)更新参数向量的估计值

根据步骤2-7)计算估计的中间变量和估计的噪声/>计算中间变量和噪声的估计分数阶导数/>

根据步骤2-8)和步骤2-9)完成循环，输出结果。

其中，在设定循环次数L时需要考虑几个问题：循环次数过小，会导致辨识结果不理想，从而导致辨识精度低的问题。循环次数过大，又会造成计算量大的问题。

使用本发明的带遗忘因子的随机算法的分数阶压电陶瓷模型参数辨识方法进行的参数辨识结果如图5所示。可以看出，本方法的辨识精度相比于极大似然最小二乘的算法辨识精度较小。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于极大似然最小二乘算法的分数阶压电陶瓷辨识方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1)建立分数阶压电陶瓷系统的输入输出数学模型；

所述步骤1)的建模步骤如下：

(1-1)构建一个分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型的结构；

(1-2)根据此模型，构建出分数阶压电陶瓷系统Hammerstein非线性模型表达式如下：

y(t)＝x(t)+w(t), (4)

其中，u(t)是模型输入信号，y(t)是模型输出信号，v(t)是一个均值为0、方差为σ²且满足高斯分布的白噪声，中间变量x(t)和w(t)是中间不可测量的信号，q^-1是单位延迟符号：q^-1y(t)＝y(t-1)，A(q)，B(q)和C(q)是常数多项式，具有以下定义：

其中，多项式因子a_i，b_j和c_k是待估计的参数，γ是多项式的分数阶数；

(1-3)则中间信号x(t)和w(t)表示为：

采用了Grünwald Letnikov(GL)定义求解分数阶导数，GL定义表示为：

其中Δ是离散分数阶差分算子，Δ^γx(th)是函数x(th)的γ阶分数导数，令t＝th，其中h是采样间隔，t是计算导数逼近的样本数，将式(7)带入式(5)，(6)，离散后的中间信号x(t)和w(t)为：

模型中非线性环节的输出是多项式形式，表示为：

其中，ε_i是需要辨识的未知系数，而多项式函数的阶数γ是已知的；

(1-4)得到分数阶压电陶瓷系统的Hammerstein非线性模型的辨识模型：

上述公式中，φ(t)为系统的信息向量，表示为：

φ(t)＝[-Δ^γx(t-1),-Δ^γx(t-2),…,-Δ^γx(t-n_a),

θ为系统的参数向量，表示为：

其中，定义为：

所述步骤1-1)的模型为分数阶Hammerstein非线性模型；

步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程；所述步骤2)构建极大似然最小二乘算法的辨识流程的步骤如下：

步骤2-1)初始化，给定循环次数L；

步骤2-2)将输入压力作为压电陶瓷系统模型的输入数据u(t)，输出电流作为输出数据y(t)，根据式(8)计算压电陶瓷压力差x(t)；

步骤2-3)将信息向量中的中间变量x(t)、w(t)、非线性部分和不可测噪声v(t)替换为其估计值/>和/>根据式(12)计算/>

步骤2-4)根据式(14)计算增益向量L(t)；

步骤2-5)根据式(15)计算参数向量的估计值

步骤2-6)根据式(8)、(15)计算估计的中间变量和估计的噪声/>由式(7)的GL定义计算中间变量分数阶导数/>

步骤2-7)判断是否达到最大循环次数，若没有达到，程序跳转到步骤2-3)，若达到，进入步骤2-8)；

步骤2-8)输出结果，完成辨识。