CN105868163A - 多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，包括根据现有极大似然原理，构建出一种多变量差分方程模型中子系统极大似然准则函数；以多变量差分方程模型中子系统最大似然准则函数为基础，构建出多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法的实现流程；构建一套多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法。本发明采用极大似然原理和递推辨识方法，应用于线性多变量系统的参数估计。

Description

多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法

技术领域

本发明涉及一种多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法。

背景技术

数学模型在控制领域及其他工程领域具有非常重要的地位，它用于描述系统变量之间的相互关系。许多工业中的实际系统可以建模为多变量系统，它的特点在于系统中具有多个输入输出变量。与单变量系统相比，由于多变量系统变量多，维数高，结构复杂，故多变量系统的建模和辨识比单变量系统复杂。多变量系统可以用不同的数学模型来描述，比如状态空间模型、传递函数模型等。本发明适用于多变量差分方程模型的参数辨识。

在系统辨识和参数估计领域，极大似然辨识方法是一种非常有用的参数辨识方法，它最初由英国统计学家Fisher发展起来，是一种基于概率论的辨识方法。极大似然估计方法的基本思想是以观测数据和待辨识的未知参数为自变量构建一个似然函数或对数似然函数，通过极大化这个似然函数获得参数估计值。由于极大似然估计具有一致性、有效性和渐近正态性等统计性质，受到了国内外专家和学者的广泛关注，在许多领域都有广泛的应用。

按照辨识算法的执行方式来划分，递推辨识和迭代辨识是系统辨识中非常重要的两类辨识技术，与迭代辨识相比，递推辨识能够在线估计系统的参数，具有占用内存空间小、计算量小、可以在线估计系统参数的优点。

发明内容

本发明的目的在于提供一种利用极大似然原理和递推辨识方法，应用于线性多变量系统参数估计的多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法。

本发明的技术解决方案是：

一种多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，其特征是：包括下列步骤：

(1)根据现有极大似然原理，构建出一种多变量差分方程模型中子系统极大似然准则函数：

$J({\mathrm{\θ}}_i,t)=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{t}{\Σ}}{v}_i^2\left(k\right)$

上式符号说明：θ_i作为递推时刻t的参数向量，作为信息向量；

(2)以多变量差分方程模型中子系统最大似然准则函数为基础，构建出多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法的实现流程：

第一步：启动算法；

第二步：对递推时刻t进行初始化，初始值为1；

第三步：采集输入-输出数据u(t)和y(t)，构造出信息向量

第四步：计算滤波信息向量以及构造出

第五步：计算出L_i(t)和P_i(t)；

第六步：计算

第七步：实时刷新

第八步：递推时刻t加1，重复上述步骤；

上述各符号的含义：

输入变量：

输出变量：

子系统参数向量：

子系统参数向量：

子系统信息向量：

子系统信息向量：

子系统滤波信息向量：

子系统滤波信息向量：

协方差矩阵：

增益向量：

(3)结合步骤(2)流程构建一套多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，如下：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\θ}}}_i(t-1)+L_i\left(t\right){\hat{v}}_i\left(t\right),---\left(19\right)$

${\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)=\[y_j(t-1),y_j(t-2),\mathrm{...},y_j(t-n_i)\],---\left(25\right)$

${\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)=\[u_j(t-1),u_j(t-2),\mathrm{...},u_j(t-n_i)\],---\left(26\right)$

${\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij}\left(t\right)=\[{\hat{v}}_j(t-1),{\hat{v}}_j(t-2),\mathrm{...},{\hat{v}}_j(t-n_i)\],---\left(27\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-n_i),---\left(28\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}(t-n_i),---\left(29\right)$

${\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}(t-n_i).---\left(30\right)$

对上述算法中符号的说明：

定义输入变量为输出变量为

定义作为子系统参数向量；

定义为子系统参数向量；

定义为子系统信息向量；

定义作为子系统信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

作为协方差矩阵；

作为增益向量；

上述算法的具体步骤：

a)令t＝1,设置初始值P_i(0)＝p₀I，当以及

b)采集输入-输出数据u(t)和y(t)，分别通过式(25)、(26)、(27)构造和通过式(23)构造

c)分别通过式(28)、(29)、(30)计算和接着通过式(24)构造

d)分别通过式(20)、(21)、(22)计算L_i(t)P_i(t)以及

e)通过式(19)刷新所估参数

f)t值增加1，重复上述步骤。

本发明采用极大似然原理和递推辨识方法，应用于线性多变量系统的参数估计。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

图1是本发明极大似然递推最小二乘辨识算法流程图。

具体实施方式

一种多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，包括下列步骤：

(1)根据现有极大似然原理，构建出一种多变量差分方程模型中子系统极大似然准则函数：

$J({\mathrm{\θ}}_i,t)=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{t}{\Σ}}{v}_i^2\left(k\right)$

上式符号说明：θ_i作为递推时刻t的参数向量，作为信息向量；

(2)以多变量差分方程模型中子系统最大似然准则函数为基础，构建出多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法的实现流程：

第一步：启动算法；

第二步：对递推时刻t进行初始化，初始值为1；

第三步：采集输入-输出数据u(t)和y(t)，构造出信息向量

第四步：计算滤波信息向量以及构造出

第五步：计算出L_i(t)和P_i(t)；

第六步：计算

第七步：实时刷新

第八步：递推时刻t加1，重复上述步骤；

上述各符号的含义：

输入变量：

输出变量：

子系统参数向量：

子系统参数向量：

子系统信息向量：

子系统信息向量：

子系统滤波信息向量：

子系统滤波信息向量：

协方差矩阵：

增益向量：

(3)结合步骤(2)流程构建一套多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，如下：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\θ}}}_i(t-1)+L_i\left(t\right){\hat{v}}_i\left(t\right),---\left(19\right)$

${\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)=\[y_j(t-1),y_j(t-2),\mathrm{...},y_j(t-n_i)\],---\left(25\right)$

${\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)=\[u_j(t-1),u_j(t-2),\mathrm{...},u_j(t-n_i)\],---\left(26\right)$

${\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij}\left(t\right)=\[{\hat{v}}_j(t-1),{\hat{v}}_j(t-2),\mathrm{...},{\hat{v}}_j(t-n_i)\],---\left(27\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-n_i),---\left(28\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}(t-n_i),---\left(29\right)$

${\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}(t-1)-\mathrm{...}-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\stackrel{\widehat{-}}{v}}_{ij,f}(t-n_i).---\left(30\right)$

对上述算法中符号的说明：

定义输入变量为输出变量为

定义作为子系统参数向量；

定义为子系统参数向量；

定义为子系统信息向量；

定义作为子系统信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

作为协方差矩阵；

作为增益向量；

上述算法的具体步骤：

a)令t＝1,设置初始值P_i(0)＝p₀I，当以及

b)采集输入-输出数据u(t)和y(t)，分别通过式(25)、(26)、(27)构造和通过式(23)构造

c)分别通过式(28)、(29)、(30)计算和接着通过式(24)构造

d)分别通过式(20)、(21)、(22)计算L_i(t)、P_i(t)以及

e)通过式(19)刷新所估参数

f)t值增加1，重复上述步骤。

Claims (1)

1.一种多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，其特征是：包括下列步骤：

(1)根据现有极大似然原理，构建出一种多变量差分方程模型中子系统极大似然准则函数：

$J({\mathrm{\θ}}_i,t)=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{t}{\Σ}}{v}_i^2\left(k\right)$

上式符号说明：θ_i作为递推时刻t的参数向量，作为信息向量；

(2)以多变量差分方程模型中子系统最大似然准则函数为基础，构建出多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法的实现流程：

第一步：启动算法；

第二步：对递推时刻t进行初始化，初始值为1；

第三步：采集输入-输出数据u(t)和y(t)，构造出信息向量

第四步：计算滤波信息向量以及构造出

第五步：计算出L_i(t)和P_i(t)；

第六步：计算

第七步：实时刷新

第八步：递推时刻t加1，重复上述步骤；

上述各符号的含义：

输入变量：

输出变量：

子系统参数向量：

子系统参数向量：

子系统信息向量：

子系统信息向量：

子系统滤波信息向量：

子系统滤波信息向量：

协方差矩阵：

增益向量：

(3)结合步骤(2)流程构建一套多变量差分方程模型的极大似然递推最小二乘辨识算法，如下：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\θ}}}_i(t-1)+L_i\left(t\right){\hat{v}}_i\left(t\right),---\left(19\right)$

${\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)=\[y_j(t-1),y_j(t-2),...,y_j(t-n_i)\],---\left(25\right)$

${\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)=\[u_j(t-1),u_j(t-2),...,u_j(t-n_i)\],---\left(26\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{v}}}_{ij}\left(t\right)=\[{\hat{v}}_j(t-1),{\hat{v}}_j(t-2),...,{\hat{v}}_j(t-n_i)\],---\left(27\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{y}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-1)-...-{\hat{d}}_{ii,1}(t-1){\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_{ij,f}(t-n_i),---\left(28\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{u}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}\left(t-1\right){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}\left(t-1\right)-...-{\hat{d}}_{ii,1}\left(t-1\right){\widehat{\stackrel{\‾}{u}}}_{ij,f}\left(t-n_i\right),---\left(29\right)$

${\widehat{\stackrel{\‾}{v}}}_{ij,f}\left(t\right)={\widehat{\stackrel{\‾}{v}}}_{ij}\left(t\right)-{\hat{d}}_{ii,n_i}\left(t-1\right){\widehat{\stackrel{\‾}{v}}}_{ij,f}\left(t-1\right)-...-{\hat{d}}_{ii,1}\left(t-1\right){\widehat{\stackrel{\‾}{v}}}_{ij,f}\left(t-n_i\right).---\left(30\right)$

对上述算法中符号的说明：

定义输入变量为输出变量为

定义作为子系统参数向量；

定义为子系统参数向量；

定义为子系统信息向量；

定义作为子系统信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

定义为子系统滤波信息向量；

作为协方差矩阵；

作为增益向量；

上述算法的具体步骤：

a)令t＝1,设置初始值P_i(0)＝p₀I，当以及

b)采集输入-输出数据u(t)和y(t)，分别通过式(25)、(26)、(27)构造和通过式(23)构造

c)分别通过式(28)、(29)、(30)计算和接着通过式(24)构造

d)分别通过式(20)、(21)、(22)计算L_i(t)、P_i(t)以及

e)通过式(19)刷新所估参数

f)t值增加1，重复上述步骤。