CN109240089B - 在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法，本方法首先对具有随机非线性、乘性噪声、测量丢失和输入约束的离散时变系统的状态方程进行描述，然后建立该系统的跟踪控制器模型和系统误差模型；通过分析推导给出估计误差的方差约束和跟踪误差的概率约束，从而利用线性矩阵不等式方法求解离散时变系统的最优跟踪控制器。本方法针对具有随机非线性、随机测量丢失、乘性噪声和输入约束的离散系统，贴近实际系统，引入概率目标约束，大大降低跟踪控制器的设计难度，提高离散时变系统的适用性，降低设计的保守性。

Description

在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法

技术领域

本发明涉及随机时变系统内部通信方法技术领域，尤其涉及一种在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法。

背景技术

近几十年中，理论研究领域和工程领域的学者对跟踪控制问题做出很多努力，跟踪控制的应用包括航天器姿态跟踪控制、飞行跟踪控制、无人机轨迹跟踪控制、自适应模糊跟踪控制、网络控制系统、多智能体系统等等。

一般来说，现有技术中的大多数跟踪控制问题都假设系统是时不变的，由于大多数实际动态系统都有一定的时变参数，所以这种假设相对来说比较严格。近年来，时变系统的控制和滤波问题备受研究者关注。其中，只有少数结果研究了跟踪控制问题，对非线性和线性系统的误差约束有限时域跟踪控制问题进行了初步研究，其研究的目的是设计一种确定性跟踪控制器，使得估计误差和跟踪误差最小化。而且相关文献中所考虑的系统是确定性的系统。当考虑随机时变系统时，因为随机噪声的值可能非常大甚至无界，所以很难设计跟踪控制器使得跟踪误差有界。即使可以找到这样的界限，但是它是在最坏情况下获得的，所以误差界比较大，给设计带来了极大的保守性。在这种情况下，通常要求跟踪误差的方差最小化或有界，然而，除了方差约束性能之外，概率约束的性能更优化，即设计跟踪控制器以确保跟踪误差的概率小于规定的界限(或落在某个区域内)足够大。这种跟踪控制问题被称为概率约束跟踪控制问题。到目前为止，这种问题并没有引起研究者的足够重视，这是本发明的第一个动机。

另一方面，控制约束的问题在实际控制系统中广泛存在，因为执行器不能执行无限能量控制指令(由于安全或技术原因)。输入约束的存在是破坏平衡点的重要来源之一，甚至能导致不稳定现象。特别是在跟踪控制设计过程中，输入约束的存在将直接导致目标跟踪的失败。因此，考虑控制系统中的输入约束非常有必要。已经有研究在线性时不变系统的随机最优控制中考虑了硬输入约束，但是对于时变系统，受输入约束影响的跟踪控制问题尚未得到很好的研究，这是本发明的另一个动机。

在关于跟踪控制的文献资料中，通常隐含地假设测量的输出始终可用。然而，据报道，跟踪控制中的测量输出有时仅由噪声组成，因为测量不是连续的，而是包含缺失的观测值。丢失现象的原因主要有跟踪目标的高机动性，间歇性传感器故障，测量失败等。通常，这种丢失(或传感器故障)是随机发生的，并且多个传感器的丢失率彼此不同，这增加了分析和控制的复杂性。在过去的二十年中，一些科研人员已经研究了含有测量丢失的控制系统的控制以及估计问题。然而，含有测量丢失的跟踪控制问题尚未得到足够的重视。此外，为了更真实地反映系统，所考虑的系统模型应包括时变参数，非线性，随机噪声，输入约束以及乘性噪声。在这样的系统模型中，相应的分析和控制会变得更复杂但更有挑战性，这也是本发明的意义所在。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法，本方法针对具有随机非线性、乘性噪声，测量丢失和输入约束的离散时变系统，引入概率目标约束，提高随机控制系统的适用性，降低设计的保守性。

为解决上述技术问题，本发明在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法包括如下步骤：

步骤一、对具有随机非线性、乘性噪声、测量丢失和输入约束的离散时变系统进行分析，建立该系统的状态方程：

y_k＝C_kx_k+E_kω_2k (2)

其中，x_k∈Rⁿ为状态变量，y_k∈R^m为测量输出，Rⁿ和R^m分别表示n维欧氏空间和m维欧氏空间，

为乘性噪声，i＝1，2，…，l，l为乘性噪声的序列数，

u_k为跟踪控制器信号，A_k、A_ik、B_k、C_k、D_k、E_k分别为已知适当维数的时变矩阵，ω_1k和ω_2k分别是控制过程和测量输出噪声，期望值为零，方差分别为W_1k和W_2k，f(k,x_k)是随机非线性函数，且满足f(k,0)＝0及式(3)的边界条件，

[f(k,x_k)-F_1kx_k]^T[f(k,x_k)-F_2kx_k]≤0 (3)

其中，k∈[0,N-1],[0,N]表示集合{0,1,...,N}，N为有限步数，F_1k和F_2k是已知的矩阵序列，F_1k-F_2k＞0；

步骤二、在实际系统中，由于数据包丢失，间歇性传感器故障，从多个传感器中收集的测量输出可能不完整，将实际测量输出y_k缺失现象描述为：

y_k＝Φ_kC_Kx_k+E_kω_2k (4)

其中，

diag{}代表块对角矩阵，

是服从贝努利分布的随机变量，

的期望值为

从而容易得到

期望值为

步骤三、建立随机控制系统的跟踪控制模型：

其中，r_k∈Rⁿ是参考信号，

是给定的能量有界参考输入，

和

是适当维数的已知矩阵；

建立状态估计器模型为：

建立跟踪控制器模型为：

其中，

是估计状态，N_k、M_k和K_k是待设计的时变矩阵；

分别定义估计误差

跟踪误差g_k＝x_k-r_k，则，

其中，

D_2k＝[D_k-M_kE_k]；

由于物理条件的限制，随机控制系统广泛存在输入约束，跟踪控制器输入约束形式为：

步骤四、在状态乘性噪声和随机测量丢失因素制约的条件下设计跟踪控制器，使得设定估计方差在有限时域k∈[0,N-1]上最小，即

的期望值≤P_k (11)

同时，最小化tr{P_k}，其中，tr{P_k}表示矩阵P_k的迹；

使得跟踪误差g_k落入给定集合Ω_k的概率大于给定的概率p∈[0,1]，并且找到最小Ω_k，使得

pr{g_k∈Ω_k}＞p (12)

其中，pr表示事件的发生概率，

同时，最小化tr{Q_k},tr{Q_k}表示矩阵Q_k的迹,P_k和Q_k是待设计的矩阵序列。

由于本发明在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法采用了上述技术方案，即本方法首先对具有随机非线性、乘性噪声、测量丢失和输入约束的离散时变系统的状态方程进行描述，然后建立该系统的跟踪控制器模型和系统误差模型；通过分析推导给出估计误差的方差约束和跟踪误差的概率约束，从而利用线性矩阵不等式方法求解离散时变系统的最优跟踪控制器。本方法针对具有随机非线性、随机测量丢失、乘性噪声和输入约束的离散系统，贴近实际系统，引入概率目标约束，大大降低跟踪控制器的设计难度，提高离散时变系统的适用性，降低设计的保守性。

附图说明

下面结合附图和实施方式对本发明作进一步的详细说明：

图1为本发明在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法流程框图；

图2是实例中概率约束跟踪控制器设计算法的流程图；

图3是实例中输出的测量丢失状态图；

图4是实例中跟踪误差及其上限图；

图5是实例中具有约束的实际控制输入图；

图6是实例中无约束的实际控制输入图。

具体实施方式

实施例如图1所示，本发明在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法包括如下步骤：

步骤一、对具有随机非线性、乘性噪声、测量丢失和输入约束的离散时变系统进行分析，建立该系统的状态方程：

y_k＝C_kx_k+E_kω_2k (2)

其中，x_k∈Rⁿ为状态变量，y_k∈R^m为测量输出，Rⁿ和R^m分别表示n维欧氏空间和m维欧氏空间，

为乘性噪声，i＝1，2，…，l，l为乘性噪声的序列数，

u_k为跟踪控制器信号，A_k、A_ik、B_k、C_k、D_k、E_k分别为已知适当维数的时变矩阵，ω_1k和ω_2k分别是控制过程和测量输出噪声，期望值为零，方差分别为W_1k和W_2k，f(k,x_k)是随机非线性函数，且满足f(k,0)＝0及式(3)的边界条件，

[f(k,x_k)-F_1kx_k]^T[f(k,x_k)-F_2kx_k]≤0 (3)

其中，k∈[0,N-1],[0,N]表示集合{0,1,...,N}，N为有限步数，F_1k和F_2k是已知的矩阵序列，F_1k-F_2k＞0；

步骤二、在实际系统中，由于数据包丢失，间歇性传感器故障或丢失，从多个传感器中收集的测量输出可能不完整，将实际测量输出y_k缺失现象描述为：

y_k＝Φ_kC_Kx_k+E_kω_2k (4)

其中，

diag{}代表块对角矩阵，

是服从贝努利分布的随机变量，

的期望值为

从而容易得到

期望值为

步骤三、建立随机控制系统的跟踪控制模型：

其中，r_k∈Rⁿ是参考信号，

是给定的能量有界参考输入，

和

是适当维数的已知矩阵；

建立状态估计器模型为：

建立跟踪控制器模型为：

其中，

是估计状态，N_k、M_k和K_k是待设计的时变矩阵；

分别定义估计误差

跟踪误差g_k＝x_k-r_k，

则，

其中，

D_2k＝[D_k-M_kE_k]；

由于物理条件的限制，随机控制系统广泛存在输入约束，跟踪控制器输入约束形式为：

步骤四、本方法的目的是在状态乘性噪声和随机测量丢失因素制约条件下设计跟踪控制器，使得设定估计方差在有限时域k∈[0,N-1]上最小，即

的期望值≤P_k (11)

同时，最小化tr{P_k}，其中，tr{P_k}表示矩阵P_k的迹；

使得跟踪误差g_k落入给定集合Ω_k的概率大于给定的概率p∈[0,1]，并且找到最小Ω_k，使得

pr{g_k∈Ω_k}＞p (12)

其中，pr表示事件的发生概率，

同时，最小化tr{Q_k},tr{Q_k}表示矩阵Q_k的迹,P_k和Q_k是待设计的矩阵序列。

本方法基于概率约束的跟踪控制进行研究，跟踪控制用于受输入约束影响的一类时变系统，本方法设计一组基于有限水平观测器的跟踪控制参数，使得估计误差是方差有界和最小化，跟踪误差落在某个区域的概率可以评估和保证。

与已有的研究及现有技术对比，本方法对于概率约束跟踪控制问题，首次研究了一类具有输入约束的随机时变系统；将概率目的转换为易处理目的；且所考虑的系统包含时变参数，非线性，随机噪声，测量丢失，输入约束以及乘性噪声，这些因素非常通用而且全面，因此更接近真实的工程系统；同时提出一种递归算法以获得观测器增益以及跟踪控制器增益，该方法在权衡违反约束和最小化约束集两者之间有着较好的灵活性。

以下引理提出一种通过多维切比雪夫约束来替换概率约束的方法：

引理1：对于给定的p∈[0，1]和矩阵Q＞0,若要满足以下不等式P_r{z∈Ω)＞p(13)

则有：

其中

是随机变量，

该引理1提供了一种易处理的方法来替换/解决概率椭球约束，如式(12)，通过使用引理1，给出了式(12)保证概率约束的充分条件：

结合引理1和式(15)的帮助，为了解决本方法所需解决的技术问题，概率约束跟踪控制问题可以表示为：

在有限时间域k∈[0，N-1]内找到参数N_k，M_k和K_k，以及两个正定矩阵P_k+1，Q_k+1的序列，以便解决以下优化问题：

且满足约束条件式(10)，

其中：

估计误差的方差约束分析：

定理1：考虑离散时变系统状态方程式(1)，受输入约束式(10)和随机测量丢失，如果存在正矩阵序列P_k，+1，矩阵序列N_k，M_k和K_k，以及标量序列τ_1k，τ_2k，α_k和β_k，使得：

其中：

则式(11)在有限域k∈[0，N-1]成立。

证明1：通过数学归纳法推导，首先k＝0的时候，式(11)成立，这是给定的初始状态满足条件；然后，假设在第k步的时候，式(11)仍然成立，k∈[0，N-1]时有：

接下来只要证明式(11)在k+1成立即可；

由

易得到

由式(10)得到：

其中，

注意到：

其中，

在式(22)中，

可以总结出：

其中，Π_k＝diag{Π_1k，Π_2k，0}

从式(3)和式(21)中得到：

其中：

通过利用Schur定理补充引理，可以从式(18)和式(19)得到：

通过利用S-procedure可以从式(18)、式(19)、式(24)-式(27)知，若要

成立，则有：

再通过Schur定理补充引理知，式(17)和式(31)等价，式(11)和式(20)等价，证毕。

跟踪误差的概率约束分析：

将导出概率约束式(11)的成立条件，通过使用引理1，知道如果式(15)成立，则概率约束式(14)满足。接下来，推导出式(15)在任意的k∈[0，N-1]都成立的充分条件。

定理2：考虑离散时变系统状态方程式(1)，受输入约束式(10)和随机测量丢失，如果存在正矩阵序列Q_k+1，矩阵序列N_k，M_k和K_k，以及标量序列τ_3k，τ_4k和ε_k，使得式(20)和以下公式成立：

其中：

则式(15)在k∈[0，N-1]成立。

证明2：同定理1的证明，用数学归纳法推导，首先，设置

初始状态(k＝0)时满足式(15)，然后假设式(15)在任意的k步都成立，即：

接下来，需要证明在k+1步式(15)仍然成立。

其中：

同定理1相似，利用S-procedure和Schur completment可以完整证明2。

通过使用定理1和定理2，使用半定规划方法(SDP)来解决具有乘性噪声、随机测量丢失和输入约束的离散时变系统状态方程式(1)及式(2)的约束跟踪控制问题。

定理3：对于具有输入约束式(10)的离散时变系统状态方程式(1)，如果存在正定矩阵序列P_k+1，Q_k+1，矩阵序列N_k，M_k和K_k，以及正标量序列τ_ik(i＝1，2，3，4)，α_k，β_k和ε_k用以解决以下凸优化问题：

s.t.(17)-(20)(32)(33)

其中，J_k＝tr(diag{P_k+1，Q_k+1})，故解决了最优化问题式(16)，同时得到状态估计器和跟踪控制器式(6)和式(7)。

定理3中的凸优化问题式(36)可以通过递归矩阵不等式方法来解决，因此提出一种基于半定规划的算法来解决概率约束跟踪控制问题。通过使用该算法，可以在每个步时间同时求解估计参数和跟踪控制参数。

如图2所示，该概率约束跟踪控制器设计算法包括如下步骤：

步骤1：设置k＝0，选择初始值x₀，

和P₀Q₀，满足初始条件，设定值P和步数N；

步骤2：在满足输入约束式(10)的同时，从式(36)计算J_k，矩阵序列P_k+1，Q_k+1，N_k，M_kK_k和α_k，β_k，ε_k，τ_ik(i＝1，2，3，4)，通过式(5)和式(6)，得出r_k+1和

更新P_k＝P_k+1，Q_k＝Q_k+1；

步骤3：设置，如果k＜N，转步骤2，否则转步骤4。

步骤4：结束。

上述各类公式中符号说明：

表示n维欧氏空间；对于矩阵A，A^T和A^-1分别表示其转置和反转；tr(A)表示矩阵A的迹；X≥Y(X＞Y)表示X-Y是正半正定(正定)，其中X和Y是对称矩阵；P_r表示事件“·”的发生概率；

和

分别表示z的期望和z对x的期望；在对称块矩阵中，“*”用于表示由对称性引起的项的省略号；diag{}代表块对角矩阵；[0，N]表示集合{0，1，...，N}。

实例验证：

考虑F-404飞机发动机系统，线性化模型的标称系统参数A和C，

在实际系统中，特别是飞机发动机系统中，系统受到外力的干扰，外力是由阵风、结构振动、重力梯度、传感器或执行器噪声引起的，因此，有必要考虑系统中的非线性干扰，时变参数，乘性噪声，状态和测量干扰。通过将采样周期设置为0.5s并考虑非理想条件，得到如表1所示状态估计器和跟踪控制器增益：

表1状态估计器和跟踪控制器增益

采用本方法的离散时变系统状态方程式(1)，测量输出式(4)和跟踪控制模型式(5)的参数为：

非线性函数f(k，x_k)为

F_1k＝diag{0.1+0.05sin(k)，0.15+0.08sin(k)，0.1+0.02sin(k)}，

F_2k＝diag{0.05，0.1+0.02sin(k)，0.08}，

初始值为x₀＝[0.2；0.3；0.4]，r₀＝[0.1；0.5；0.2]，

P₀＝Q₀＝diag{1，1，1}，W₁＝5，W₂＝3。

首先，在概率p＝0.9，即Pr{g_k∈Ω_k}＞0.9，通过使用定理3和算法1，可以求解基于概率约束状态估计器的跟踪控制问题，可以计算每个时间步长的状态估计器参数和跟踪控制器增益，如表1所示。考虑到测量输出的测量缺失，对于

和

两个传感器的缺失状态如图3所示(1代表正常情况，0代表缺失)；跟踪误差g_k及其上界如图4所示，图中实线为跟踪误差，虚线为跟踪误差上界，从图4中可以发现，大多数跟踪误差都在其上限之下。

为了表现输入约束的有效性，，实际的控制输入如图5所示，如果删除输入约束，控制输入如图6所示，对比图5和图6，如果对控制输入没有任何限制，控制的能量将变得非常大。

为了定量地显示概率约束的跟踪控制工作，对p＝0.9，p＝0.8和p＝0.7各运行100次，发现违反概率约束p的次数分别为41，216和453，也就是说违反率分别为0.82％，4.32％，9.06％。这个违反率分别小于设定好的10％，20％和30％。

通过计算，发现实际违规率小于预先设定的概率，这意味着本方法是有效的；当p＝0.0001时，算法1是不可解的，这意味着，对于本验证，不能设计状态估计器和跟踪控制器使得在某个区域跟踪误差跟随的概率任意地接近1。

Claims (1)

1.一种在概率目标约束下随机控制系统跟踪控制器的设计方法，其特征在于本方法包括如下步骤：

步骤一、对具有随机非线性、乘性噪声、测量丢失和输入约束的离散时变系统进行分析，建立该系统的状态方程：

y_k＝C_kx_k+E_kω_2k (2)

其中，x_k∈Rⁿ为状态变量，y_k∈R^m为测量输出，Rⁿ和R^m分别表示n维欧氏空间和m维欧氏空间，

为乘性噪声，i＝1，2，…，l，l为乘性噪声的序列数，

u_k为跟踪控制器信号，A_k、A_ik、B_k、C_k、D_k、E_k分别为已知适当维数的时变矩阵，ω_1k和ω_2k分别是控制过程和测量输出噪声，期望值为零，方差分别为W_1k和W_2k，f(k,x_k)是随机非线性函数，且满足f(k,0)＝0及式(3)的边界条件，

[f(k,x_k)-F_1kx_k]^T[f(k,x_k)-F_2kx_k]≤0 (3)

其中，k∈[0,N-1],[0,N]表示集合{0,1,...,N}，N为有限步数，F_1k和F_2k是已知的矩阵序列，F_1k-F_2k＞0；

步骤二、在实际系统中，由于数据包丢失，间歇性传感器故障，从多个传感器中收集的测量输出可能不完整，将实际测量输出y_k缺失现象描述为：

y_k＝Φ_kC_Kx_k+E_kω_2k (4)

其中，

diag{}代表块对角矩阵，

是服从贝努利分布的随机变量，

的期望值为

从而容易得到

期望值为

为简便起见，用

表示；

步骤三、建立随机控制系统的跟踪控制模型：

其中，r_k∈Rⁿ是参考信号，

是给定的能量有界参考输入，

和

是适当维数的已知矩阵；

建立状态估计器模型为：

建立跟踪控制器模型为：

其中，

是估计状态，N_k、M_k和K_k是待设计的时变矩阵；

分别定义估计误差

跟踪误差g_k＝x_k-r_k，则，

其中，

D_2k＝[D_k -M_kE_k]；

由于物理条件的限制，随机控制系统广泛存在输入约束，跟踪控制器输入约束形式为：

步骤四、在状态乘性噪声和随机测量丢失因素制约的条件下设计跟踪控制器，使得设定估计方差在有限时域k∈[0,N-1]上最小，即

同时，最小化tr{P_k}，其中，tr{P_k}表示矩阵P_k的迹；

使得跟踪误差g_k落入给定集合Ω_k的概率大于给定的概率p∈[0,1]，并且找到最小Ω_k，使得

pr{g_k∈Ω_k}＞p (12)

其中，pr表示事件的发生概率，

同时，最小化tr{Q_k},P_k和Q_k是待设计的矩阵序列。

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