CN111505942A - 一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器的设计方法 - Google Patents

一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器的设计方法 Download PDF

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CN111505942A CN202010432398.1A CN202010432398A CN111505942A CN 111505942 A CN111505942 A CN 111505942A CN 202010432398 A CN202010432398 A CN 202010432398A CN 111505942 A CN111505942 A CN 111505942A
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郑世祺
梁丙鋆
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China University of Geosciences
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China University of Geosciences
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    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

Abstract

本发明提供一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，包括：S1、获取由N个具有严格状态反馈的子系统组成的分数阶互联系统的动力学方程；S2、采用自适应反步法，利用径向基神经网络对未知的非线性函数以及虚拟控制率的分数阶导数进行估计、利用光滑函数对未知互联项进行补偿、利用分数阶辅助系统对输入非线性进行补偿，最终确定子系统的分数阶自适应率、虚拟控制率、自适应控制率；S3、分析互联系统整体的稳定性完成对分数阶互联系统的分散式自适应控制器的设计。本发明的有益效果：对互联系统内部的未知互联项、未知非线性函数以及输入非线性进行了建模并估计，简化了控制器设计的计算量，解决了互联系统中的不确定性问题。

Description

一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器的设计方法
技术领域
本发明涉及互联系统的控制设计，尤其涉及一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法。
背景技术
互联系统是由按照某种特定方式互相连接的子系统构成的一类复合大规模系统，在实际应用中广泛存在，比如电力系统、机械系统、化工生产系统、智能交通系统、计算机网络通讯系统、航天系统和多智能体系统等。由于子系统之间相互联接，互联系统具有高维度、强耦合、强不确定性等特点。随着科学技术的发展与生产生活的需要，在工业生产和社会生活中控制系统的规模越来越大，系统之间的联系与影响越来越复杂，传统的关于单系统的控制理论研究难以直接用来解决互联系统的分析与控制问题。
分散式控制作为大规模系统的控制理论中的一个重要分支，对规模较大且有整体性能要求的互联系统提供了高效实用的控制设计方案。分散式控制的基本思想是，为各个子系统设计独立的子控制器，由子控制器根据子系统的信息对自身进行控制，通过这些子控制器的共同作用来实现互联系统的控制目标。分散式控制将互联系统分为多个子系统，有效解决了互联系统的维数问题，减少了所需处理的信息量，使各个子系统可以实现实时控制，提高了控制准确性。当某个子系统因故障与其他子系统之间不再发生关联时，不会影响互联系统的整体稳定性，进而使得整个互联系统的容错能力和可靠性得到了提高，因此分散式控制被广泛用于互联系统的控制设计中。
随着研究的深入以及实际工程环境的复杂，一般采用非线性系统模型对互联系统进行更精确的建模描述，考虑到非线性互联系统可能受到的不确定因素，为使互联系统的模型更准确且更具有一般性，需要一种合适的控制方法来对具有不确定性的非线性互联系统进行分析与控制。自适应反步控制方法是一种常用方法，针对具有严格反馈形式的系统，通过设计自适应控制器使得系统可以根据自身信息处理系统中的不确定因素，可以应用于各种系统和过程的控制中，因此得到了广泛的研究及应用。自适应反步控制方法通过将状态变量考虑为“虚拟控制量”并为它们设计控制率，从而递归设计控制器。因此，设计的Lyapunov函数包含整个系统的状态量，可以直接得到系统的跟踪结果。该方法的优点在于其提供了一个系统的过程来设计控制器，且使用灵活，完整考虑了系统的非线性，从而提高了系统的控制性能。
分数阶微积分由于其自身的性质得到了越来越多的关注和研究，与整数阶模型相比，分数阶模型可以更简单且精确地描述许多复杂系统的动力学过程，比如电机、信号处理和弹性材料等。对于含有不确定性的单输入单输出分数阶非线性系统，基于分数阶Lyapunov稳定理论，已有部分学者提出了相应的自适应反步控制方法，实现了系统的稳定或跟踪。考虑到对互联系统中的子系统进行单独分析时，由分数阶系统可以更好地建模描述，因此可以延伸得到，分数阶互联系统也可以更精确地描述系统的动力学特性。但目前关于分数阶互联系统的研究较少，尤其是分数阶互联系统的自适应控制方向，仍处于起步阶段，并没有相关的研究成果，分数阶互联系统的自适应控制问题亟待解决。
分数阶互联系统的自适应控制问题面临着中多的挑战和问题。对于含有多种未知部分的互联系统，比如未知的互联项、非线性函数、控制增益、外部扰动等，如何设计一个分散式自适应控制器，是需要面临的一个新挑战。另外，根据实际情况考虑，当系统输入面临尺隙和饱和等输入非线性时，如何设计合理的控制器，也是等待解决的问题。
发明内容
有鉴于此，本发明提供了一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，针对含有输入非线性的严格状态反馈的分数阶互联系统，采用反步法，通过引入补偿光滑函数和神经网络，设计了分散式自适应控制器，从而实现每个子系统对输入信号的跟踪，同时确保整个互联系统维持稳定。
本发明提供一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，包括以下步骤：
S1、获取由N个子系统组成的分数阶互联系统的动力学方程：
Figure BDA0002501051100000031
其中，i表示第i个子系统方程组，i＝1,2,…,N；n表示第i个子系统中的状态量的个数，n和N为正整数，且n＞1；j表示第i个子系统方程组中的第j个方程，j＝1,…,n-1；xi,j表示第i个子系统方程组中第j个方程的状态量， yi表示第i个子系统的输出；ui(vi)表示子系统受到输入非线性影响后的实际控制输入，vi表示期望的控制输入；α∈(0,1)是分数阶互联系统的阶数，
Figure BDA0002501051100000032
表示分数阶导数符号；
动力学方程中的未知量包括fi,j(X)、fi,n(X)、
Figure BDA0002501051100000033
φi,n(xi)、bi、di，其中，fi,j(X)、fi,n(X)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知互联项，X＝[x1,…,xN]T是互联系统的所有子系统的状态量；
Figure BDA0002501051100000034
φi,n(xi)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知的非线性函数，
Figure BDA0002501051100000035
xi＝[xi,1,…,xi,n]T；bi表示未知的控制增益，di表示未知的外部扰动；
S2、根据子系统的动力学方程中的未知量，采用自适应反步法，确定子系统的分数阶自适应率、虚拟控制率、以及自适应控制率；自适应反步法的过程为：
在第1步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000036
进行估计，设计第1步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,1满足收敛条件；在第j步中，j＝2,…,n-1，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000041
以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，设计第j步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,j满足收敛条件；在第n步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数φi,n(xi)以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，利用光滑函数对未知互联项 fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿，利用分数阶辅助系统对受到输入非线性影响的实际控制输入ui(vi)进行补偿，使得采用的Lyapunov函数Vi,n满足收敛条件；
S3、对互联系统的所有子系统按照步骤S2确定其分数阶自适应率、虚拟控制率、自适应控制率，计算互联系统整体的Lyapunov函数V，求其α阶导数并展开，得到互联项部分，利用光滑函数对互联项进行补偿，通过放缩光滑函数中的系数补偿掉互联部分的影响，使得互联系统整体的Lyapunov 函数V满足收敛条件，完成分散式自适应控制器的设计，实现每个子系统对输入信号的跟踪，确保整个互联系统保持稳定。
进一步地，所述步骤S2中，
所述分数阶自适应率包括参数θi,j、参数
Figure BDA0002501051100000042
以及参数
Figure BDA0002501051100000043
其中参数θi,j用于估计未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000044
Figure BDA0002501051100000045
用于估计未知的控制增益bi，
Figure BDA0002501051100000046
表示对未知的外部扰动di的估计；
所述虚拟控制率为自适应反步法的过程变量，在每一步中，将 xi,2,xi,3,…,xi,n视为虚拟控制量，并设计相应的虚拟控制率τi,1,τi,2,...,τi,n-1，来构建误差量，其中，对于第i个子系统中第j个方程，构建得到的误差量为 zi,j＝xi,j-τi,j-1-δi,j,j＝2,...,n，δi,j表示随机误差；
所述自适应控制率vi用于对子系统的输入进行控制，即步骤S1中期望的控制输入。
进一步地，所述步骤S2中，所述利用径向基神经网络进行估计的具体过程为：选择高斯函数
Figure BDA0002501051100000047
利用径向基神经网络确定最优权重θ*以及在所述最优权重下的逼近误差ε(x)，得到非线性函数的估计值
Figure BDA0002501051100000048
其中，在自适应反步法的第2步至第n步中，将虚拟控制率的分数阶导数与未知的非线性函数进行结合，组成新的未知非线性函数。
进一步地，所述步骤S2中，所述输入非线性影响包括尺隙和饱和特性，实际控制输入ui(vi)与期望的控制输入vi的数学模型为：
Figure BDA0002501051100000051
Figure BDA0002501051100000052
式中，
Figure BDA0002501051100000053
分别表示实际控制输入ui(vi)与期望的控制输入vi的导数，vri、vli分别表示饱和特性中线性范围的上下限，Uup,i、Ulow,i分别表示饱和特性中实际控制输入的最大值、最小值，cli、cri表示尺隙特性的两个特征根，mi表示饱和特性中线性范围内的传递系数。
进一步地，所述步骤S2中，所述分数阶辅助系统为：
Figure BDA0002501051100000054
式中，Δui＝ui-vi，表示对系统的输入非线性所做的补偿，用于将实际控制输入ui转化为期望的控制输入vi；pi＝1/bi，gi,j表示可调节的设计参数， j＝1,...n-1。
进一步地，所述步骤S2中的自适应反步法的具体过程为：
第1步：根据子系统需跟踪的参考信号yri，定义误差变量zi,1＝yi-yri-δi,1，δi,1表示辅助系统变量，再根据子系统的动力学方程组中的第一个方程
Figure BDA0002501051100000055
引入状态量xi,2，并将xi,2视为虚拟控制量，计算zi,1的α阶导数
Figure BDA0002501051100000056
并结合误差量的定义zi,2＝xi,2-τi,1-δi,2，引入虚拟控制率τi,1；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000057
进行估计；选取Lyapunov函数
Figure BDA0002501051100000058
其中，
Figure BDA0002501051100000059
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure BDA00025010511000000510
与实际采用的分数阶自适应率θi,1的误差值，λi,1为误差的相关系数，Λi,1为λi,1的反对称阵，求所述Lyapunov 函数Vi,1的α阶导数，设计虚拟控制率τi,1以及分数阶自适应率θi,1，使得Vi,1满足条件
Figure BDA0002501051100000061
其中ξi,1包括非负常数以及互联项；
第j步，j＝2,…,n-1：根据上一步的虚拟控制量xi,j以及子系统的动力学方程组中的第j个方程
Figure BDA0002501051100000062
引入状态量xi,j+1，并将 xij+1视为虚拟控制量，计算zij的α阶导数
Figure BDA0002501051100000063
再结合误差量的定义 zi,j+1＝xi,j+1-τi,j-δi,j+1，引入虚拟控制率τi,j；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000064
以及上一步的虚拟控制率τi,j-1的α阶导数
Figure BDA0002501051100000065
进行估计；选取Lyapunov函数
Figure BDA0002501051100000066
其中，
Figure BDA0002501051100000067
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure BDA0002501051100000068
与实际采用的分数阶自适应率θi,j的误差值，λi,j为误差的相关系数，Λi,j为λi,j的反对称阵，求所述Lyapunov函数Vi,j的α阶导数，设计虚拟控制率τi,j以及分数阶自适应率θi,j，使得Vi,j满足条件
Figure BDA0002501051100000069
其中ξi,j包括非负常数以及互联项；
第n步：根据上一步的虚拟控制量xi,n以及子系统的动力学方程组的最后一个方程
Figure BDA00025010511000000610
引入控制输入ui(vi)，利用所述分数阶辅助系统中的补偿量Δui将控制输入ui(vi)转换成期望输入vi，通过所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数φi,n(xi)以及上一步的虚拟控制率τi,n-1的α阶导数
Figure BDA00025010511000000611
进行估计，利用所述光滑函数对子系统的未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿；选取Lyapunov函数
Figure BDA00025010511000000612
其中，
Figure BDA00025010511000000613
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure BDA00025010511000000614
与实际采用的分数阶自适应率θi,n的误差值，λi,n为误差的相关系数，Λi,n为λi,n的反对称阵，求所述Lyapunov函数Vi,n的α阶导数，设计自适应控制率vi以及分数阶自适应率θi,n、
Figure BDA00025010511000000615
使得Vi,n满足条件
Figure BDA00025010511000000616
其中ξi,n为非负常数。
进一步地，所述利用光滑函数对未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿的具体过程为：根据实际物理模型，存在假设：
Figure BDA00025010511000000617
式中，ψq(yq)表示已知的非线性函数，q＝1,2,…,N，βi,q表示第i个子系统与第q个子系统的比例系数；所述光滑函数为
Figure BDA00025010511000000618
ψi(·)表示第i个子系统中已知的非线性函数；利用上述假设，通过缩放使得参数
Figure BDA0002501051100000071
βq,i表示第q个子系统与第i个子系统的比例系数，从而对未知互联项进行补偿。
进一步地，所述步骤S3中，所述互联系统整体的Lyapunov函数为
Figure BDA0002501051100000072
求其α阶导数并展开，得到互联项部分，利用光滑函数
Figure BDA0002501051100000073
通过放缩每个子系统的系数
Figure BDA0002501051100000074
补偿互联项部分的影响，使得Lyapunov函数满足收敛条件
Figure BDA0002501051100000075
其中ξ为非负常数，完成分散式自适应控制器的设计。
本发明提供的技术方案带来的有益效果是：
(1)对于互联系统内部的未知互联项，引入一个光滑函数进行补偿，在分析互联系统的稳定性时，通过放缩变换，消除了互联项的影响，确保了系统的稳定性；
(2)将系统模型中的未知非线性函数和设计过程中的虚拟控制率的分数阶导数组合在一起，形成新的未知非线性函数，并使用径向基神经网络对其进行近似估计，在简化控制器的计算量的同时，解决了系统中的不确定性问题；
(3)构建了一个分数阶辅助系统，用来补偿系统控制输入受到的尺隙和饱和等输入非线性的影响。
附图说明
图1是本发明实施例提供的分数阶互联系统的分散式自适应控制器的设计流程图；
图2是本发明实施例提供的理想化后的输入非线性表现示意图；
图3是本发明应用例提供的互联系统对第一参考信号的输出跟踪效果图；
图4是本发明应用例提供的互联系统的实际控制输入的示意图；
图5是本发明应用例提供的互联系统受到输入非线性影响后的第一个子系统的控制输入的示意图；
图6是本发明应用例提供的互联系统对第二参考信号的输出跟踪效果图；
图7是本发明应用例提供的互联系统对第二参考信号的跟踪误差示意图；
图8是本发明应用例提供的互联系统对第二参考信号进行跟踪时两个子系统的控制输入示意图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的实施方式作进一步地描述。
请参考图1，本实施例提供的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，包括以下步骤：
S1、获取由N个具有严格状态反馈的子系统组成的分数阶互联系统的动力学方程：
Figure BDA0002501051100000081
其中，i表示第i个子系统方程组，i＝1,2,…,N；n表示第i个子系统中的状态量的个数，n和N为正整数，且n＞1；j表示第i个子系统方程组中的第j个方程，j＝1,…,n-1；xi,j表示第i个子系统方程组中第j个方程的状态量， yi表示第i个子系统的输出；fi,j(X)、fi,n(X)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知互联项，X＝[x1,…,xN]T是互联系统的所有子系统的状态量，
Figure BDA0002501051100000082
φi,n(xi)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知的非线性函数，
Figure BDA0002501051100000083
xi＝[xi,1,…,xi,n]T，bi表示未知的控制增益，di表示未知的外部扰动，ui(vi)表示子系统受到输入非线性影响后的实际控制输入，vi表示期望的控制输入；α∈(0,1)是分数阶互联系统的阶数，
Figure BDA0002501051100000091
表示分数阶导数符号。
S2、根据子系统的动力学方程中的未知量，采用自适应反步法，确定子系统的分数阶自适应率、虚拟控制率、以及自适应控制率；自适应反步法的过程为：
在第1步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000092
进行估计，设计第1步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,1满足收敛条件；在第j(j＝2,…,n-1)步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000093
以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，设计第j步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,j满足收敛条件；在第n步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数φi,n(xi)以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，利用光滑函数对未知互联项 fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿，利用分数阶辅助系统对受到输入非线性影响的实际控制输入ui(vi)进行补偿，使得采用的Lyapunov函数Vi,n满足收敛条件。
所述分数阶自适应率包括参数θi,j、参数
Figure BDA0002501051100000094
以及参数
Figure BDA0002501051100000095
其中参数θi,j用于估计未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000096
Figure BDA0002501051100000097
用于估计未知的控制增益bi，
Figure BDA0002501051100000098
表示对未知的外部扰动di的估计；其中，对子系统中未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000099
进行估计的模型为：
Figure BDA00025010511000000910
式中，参数θ即为径向基神经网络的权重向量，
Figure BDA00025010511000000911
一般选择高斯函数。本实施例采用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure BDA00025010511000000912
进行逼近处理，确定理想的最优权重θ*以及在该最优权重下的逼近误差ε(x)，由此得到非线性函数的估计值
Figure BDA00025010511000000913
在自适应反步法中每一步确定得到的最优权重θ*即为参数θi,j。
所述虚拟控制率为自适应反步法的过程变量，在每一步中，将 xi,2,xi,3,...,xi,n视为虚拟控制量，并设计相应的虚拟控制率τi,1,τi,2,...,τi,n-1，来构建误差量zi,j＝xi,j-τi,j-1-δi,j,j＝2,...,n。需要注意的是，本实施例考虑到虚拟控制率的分数阶导数的计算量大且计算复杂，将虚拟控制率的分数阶导数和子系统中未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000101
进行结合，组成新的未知非线性函数，根据(2)采用径向基神经网络进行近视估计，简化计算量。
所述自适应控制率vi用于对子系统的输入进行控制。具体地，系统的常见非线性包括尺隙以及饱和特性，理想化后的输入非线性表现形式如图2所示，对子系统受到输入非线性影响后的实际控制输入ui(vi)进行建模，其数学表达式为：
Figure BDA0002501051100000102
式中，
Figure BDA0002501051100000103
分别表示实际控制输入ui(vi)与期望的控制输入vi的导数，vri、vli分别表示饱和特性中线性范围的上下限，Uup,i、Ulow,i分别表示饱和特性中实际控制输入的最大值、最小值，cli、cri表示尺隙特性的两个特征根，mi表示饱和特性中线性范围内的传递系数，上述参数均由实际系统元件确定。具体地，饱和特性体现为，子系统的实际控制输入ui(vi)具有限制，其最大值为 Uup,i＝mi(vri-cri)，最小值为Ulow,i＝mi(vli-cli)；尺隙特性体现为，当期望的控制输入vi在区间[vli,vri]内时，子系统的实际控制输入处于滞环的影响中。
本实施例构建分数阶辅助系统对互联系统的输入非线性ui(vi)以及未知的控制增益bi进行补偿，所述分数阶辅助系统的方程如下：
Figure BDA0002501051100000104
式中，Δui＝ui-vi，表示对系统的输入非线性所做的补偿，用于将实际控制输入ui转化为期望的控制输入vi；定义pi＝1/bi，估计得到分数阶自适应参数
Figure BDA0002501051100000105
gi,j表示可调节的设计参数，j＝1,...n-1。
需要说明的是，对于子系统的未知互联项fi(X)，根据实际物理模型可以得到假设：
Figure BDA0002501051100000111
式中，ψq(yq)表示已知的非线性函数，q＝1,2,…,N，βi,q表示第i个子系统与第q个子系统的比例系数。由以上假设(7)可知，互联项符合一定的增长限制。
具体地，自适应反步法的过程为：
第1步：根据子系统需跟踪的参考信号yri，定义误差变量zi,1＝yi-yri-δi,1，δi,1表示辅助系统变量，即实现zi,1收敛在0的任意小的区间内，再根据子系统的动力学方程组(1)中的第一个方程
Figure BDA0002501051100000112
引入状态量xi,2，并将xi,2视为虚拟控制量，计算zi,1的α阶导数
Figure BDA0002501051100000113
再结合误差量的定义zi,2＝xi,2-τi,1-δi,2，引入虚拟控制率τi,1；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型(2)对未知的非线性函数
Figure BDA0002501051100000114
进行估计；选择合适的 Lyapunov函数Vi,1并求其α阶导数，设计虚拟控制率τi,1以及分数阶自适应率θi1，使得Vi1满足收敛条件
Figure BDA0002501051100000115
其中ξi,1包括非负常数以及互联项；优选地，本实施例在第1步中采用的Lyapunov函数为：
Figure BDA0002501051100000116
式中，
Figure BDA0002501051100000117
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure BDA0002501051100000118
与实际采用的分数阶自适应率θi,1的误差值，λi,1为误差的相关系数，Λi,1为λi,1的反对称阵。
第j(j＝2,…,n-1)步：根据上一步的虚拟控制量xi,j以及子系统的动力学方程组(1)中的第j个方程
Figure BDA0002501051100000119
引入状态量xi,j+1，并将xi,j+1视为虚拟控制量，计算zi,j的α阶导数
Figure BDA00025010511000001110
再结合误差量的定义 zi,j+1＝xi,j+1-τi,j-δi,j+1，引入虚拟控制率τi,j；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型(2)对未知的非线性函数
Figure BDA00025010511000001111
以及上一步的虚拟控制率τi,j-1的α阶导数
Figure BDA00025010511000001112
进行估计；选择合适的Lyapunov函数Vi,j并求其α阶导数，设计虚拟控制率τi,j以及分数阶自适应率θi,j，使得Vi,j满足条件
Figure BDA0002501051100000121
其中ξi,j包括非负常数以及互联项；优选地，本实施例在第j步中采用的Lyapunov函数为：
Figure BDA0002501051100000122
式中参数含义与式(6)类似。
第n步：根据上一步的虚拟控制量xi,n以及子系统的动力学方程组(1) 的最后一个方程
Figure BDA0002501051100000123
引入控制输入ui(vi)，利用所述分数阶辅助系统(4)中的补偿量Δui将控制输入ui(vi)转换成期望输入vi，通过所述径向基神经网络的估计模型(2)对未知的非线性函数φi，n(xi)以及上一步的虚拟控制率τi,n-1的α阶导数
Figure BDA0002501051100000124
进行估计，利用所述光滑函数
Figure BDA0002501051100000125
对子系统的未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿；选择合适的Lyapunov函数Vi,n并求其α阶导数，设计自适应控制率vi以及分数阶自适应率θi,n、
Figure BDA0002501051100000126
使得Vi,n满足条件
Figure BDA0002501051100000127
其中ξi,n为非负常数。
具体地，在第n步中引入光滑函数
Figure BDA0002501051100000128
对未知互联项fi(X)进行补偿，根据假设(5)，当设计参数
Figure BDA0002501051100000129
的选取满足
Figure BDA00025010511000001210
时，βq,i表示第q个子系统与第i个子系统的比例系数，利用所述光滑函数可以抵消未知互联项的影响。
S3、对互联系统的所有子系统按照步骤S2确定其分数阶自适应率、虚拟控制率、自适应控制率，计算互联系统整体的Lyapunov函数V，求其α阶导数并展开，得到互联项部分，利用光滑函数对互联项进行补偿，通过放缩光滑函数中的系数补偿掉互联部分的影响，使得互联系统整体的Lyapunov 函数满足收敛条件，完成分散式自适应控制器的设计。
具体地，所述互联系统整体的Lyapunov函数为
Figure BDA00025010511000001211
求其α阶导数并展开，根据假设(5)，引入光滑函数
Figure BDA00025010511000001212
通过放缩每个子系统的系数
Figure BDA00025010511000001213
补偿互联项部分的影响，使得Lyapunov函数满足
Figure BDA00025010511000001214
其中ξ表示非负常数，完成分散式自适应控制器的设计，实现每个子系统对输入信号的跟踪，确保整个互联系统保持稳定。
应用例
本发明实施例设计得到的分散式自适应控制器用于解决新提出的一类分数阶互联系统的跟踪控制问题，为验证本发明实施例设计得到的分散式自适应控制器可以有效地控制系统的输出跟踪，本应用例考虑一分数阶互联系统，包括两个子系统，其数学模型如下：
Figure BDA0002501051100000131
式中，控制增益[b1,b2]＝[3,2]，外部扰动[d1,d2]＝[0.2sin(πt),0.1sin(2t)+0.2cost]，阶数α＝0.8，状态初值为xi＝[1,1]T，[Uup,1,Ulow,1]＝[5,-5]，[Uup,2,Ulow,2]＝[6,-6]，mi＝1， [cl1,cr1]＝[-0.1,0.1]，[cl2,cr2]＝[-0.2,0.2]。
选择第一参考信号为yr1＝yr2＝0。请参考图3，其为互联系统对第一参考信号的输出跟踪效果图，两个子系统的输出y1、y2均收敛在0的足够小的范围内，表明控制效果良好；请参考图4，其为互联系统的实际控制输入的示意图，两个子系统的实际控制输入u1、u2均受到了输入饱和的影响；请参考图5，其为输入非线性影响下的第一个子系统的控制输入的示意图，图中显示了第一个子系统在输入非线性影响前后的控制输入v1和u1，表明第一个子系统的控制输入受到了饱和和尺隙的影响。
选择第二参考信号yr1＝yr2＝sin2t。请参考图6，其为互联系统对第二参考信号的输出跟踪效果图，两个子系统的输出均对第二参考信号进行了良好跟踪；请参考图7，其为互联系统对第二参考信号的跟踪误差示意图，跟踪误差在5％以内，表明设计得到的控制器具有良好的控制效果，图8为互联系统对第二参考信号进行跟踪时两个子系统的控制输入。
在本文中，所涉及的前、后、上、下等方位词是以附图中零部件位于图中以及零部件相互之间的位置来定义的，只是为了表达技术方案的清楚及方便。应当理解，所述方位词的使用不应限制本申请请求保护的范围。
在不冲突的情况下，本文中上述实施例及实施例中的特征可以相互结合。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、获取由N个子系统组成的分数阶互联系统的动力学方程：
Figure FDA0002501051090000011
其中，i表示第i个子系统方程组，i＝1,2,…,N；n表示第i个子系统中的状态量的个数，n和N为正整数，且n＞1；j表示第i个子系统方程组中的第j个方程，j＝1,…,n-1；xi,j表示第i个子系统方程组中第j个方程的状态量，yi表示第i个子系统的输出；ui(vi)表示子系统受到输入非线性影响后的实际控制输入，vi表示期望的控制输入；α∈(0,1)是分数阶互联系统的阶数，
Figure FDA0002501051090000012
表示分数阶导数符号；
动力学方程中的未知量包括fi,j(X)、fi,n(X)、
Figure FDA0002501051090000013
φi,n(xi)、bi、di，其中，fi,j(X)、fi,n(X)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知互联项，X＝[x1,…,xN]T是互联系统的所有子系统的状态量；
Figure FDA0002501051090000014
φi,n(xi)分别表示第i个子系统中第j个方程以及第n个方程的未知的非线性函数，
Figure FDA0002501051090000015
xi＝[xi,1,...,xi,n]T；bi表示未知的控制增益，di表示未知的外部扰动；
S2、根据子系统的动力学方程中的未知量，采用自适应反步法，确定子系统的分数阶自适应率、虚拟控制率、以及自适应控制率；自适应反步法的过程为：
在第1步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure FDA0002501051090000016
进行估计，设计第1步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,1满足收敛条件；在第j步中，j＝2,…,n-1，利用径向基神经网络对未知的非线性函数
Figure FDA0002501051090000017
以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，设计第j步的虚拟控制率以及分数阶自适应率，使得采用的Lyapunov函数Vi,j满足收敛条件；在第n步中，利用径向基神经网络对未知的非线性函数φi,n(xi)以及上一步的虚拟控制率的α阶导数进行估计，利用光滑函数对未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿，利用分数阶辅助系统对受到输入非线性影响的实际控制输入ui(vi)进行补偿，使得采用的Lyapunov函数Vi,n满足收敛条件；
S3、对互联系统的所有子系统按照步骤S2确定其分数阶自适应率、虚拟控制率、自适应控制率，计算互联系统整体的Lyapunov函数V，求其α阶导数并展开，得到互联项部分，利用光滑函数对互联项进行补偿，通过放缩光滑函数中的系数补偿掉互联部分的影响，使得互联系统整体的Lyapunov函数V满足收敛条件，完成分散式自适应控制器的设计，实现每个子系统对输入信号的跟踪，确保整个互联系统保持稳定。
2.根据权利要求1所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，
所述分数阶自适应率包括参数θi,j、参数
Figure FDA0002501051090000021
以及参数
Figure FDA0002501051090000022
其中参数θi,j用于估计未知的非线性函数
Figure FDA0002501051090000023
Figure FDA0002501051090000024
用于估计未知的控制增益bi，
Figure FDA0002501051090000025
表示对未知的外部扰动di的估计；
所述虚拟控制率为自适应反步法的过程变量，在每一步中，将xi,2,xi,3,...,xi,n视为虚拟控制量，并设计相应的虚拟控制率τi,1,τi,2,...,τi,n-1，来构建误差量，其中，对于第i个子系统中第j个方程，构建得到的误差量为zi,j＝xi,j-τi,j-1-δi,j,j＝2,...,n，δi,j表示随机误差；
所述自适应控制率vi用于对子系统的输入进行控制，即步骤S1中期望的控制输入。
3.根据权利要求1所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述利用径向基神经网络进行估计的具体过程为：选择高斯函数
Figure FDA0002501051090000026
利用径向基神经网络确定最优权重θ*以及在所述最优权重下的逼近误差ε(x)，得到非线性函数的估计值
Figure FDA0002501051090000031
其中，在自适应反步法的第2步至第n步中，将虚拟控制率的分数阶导数与未知的非线性函数进行结合，组成新的未知非线性函数。
4.根据权利要求1所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述输入非线性影响包括尺隙和饱和特性，实际控制输入ui(vi)与期望的控制输入vi的数学模型为：
Figure FDA0002501051090000032
Figure FDA0002501051090000033
式中，
Figure FDA0002501051090000034
分别表示实际控制输入ui(vi)与期望的控制输入vi的导数，vri、vli分别表示饱和特性中线性范围的上下限，Uup,i、Ulow,i分别表示饱和特性中实际控制输入的最大值、最小值，cli、cri表示尺隙特性的两个特征根，mi表示饱和特性中线性范围内的传递系数。
5.根据权利要求1所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S2中，所述分数阶辅助系统为：
Figure FDA0002501051090000035
式中，Δui＝ui-vi，表示对系统的输入非线性所做的补偿，用于将实际控制输入ui转化为期望的控制输入vi；pi＝1/bi，gi,j表示可调节的设计参数，j＝1,...n-1。
6.根据权利要求1所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S2中的自适应反步法的具体过程为：
第1步：根据子系统需跟踪的参考信号yri，定义误差变量zi,1＝yi-yri-δi,1，δi,1表示辅助系统变量，再根据子系统的动力学方程组中的第一个方程
Figure FDA0002501051090000041
引入状态量xi,2，并将xi,2视为虚拟控制量，计算zi,1的α阶导数
Figure FDA0002501051090000042
并结合误差量的定义zi,2＝xi,2-τi,1-δi,2，引入虚拟控制率τi,1；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数
Figure FDA0002501051090000043
进行估计；选取Lyapunov函数
Figure FDA0002501051090000044
其中，
Figure FDA0002501051090000045
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure FDA0002501051090000046
与实际采用的分数阶自适应率θi,1的误差值，λi,1为误差的相关系数，Λi,1为λi,1的反对称阵，求所述Lyapunov函数Vi,1的α阶导数，设计虚拟控制率τi,1以及分数阶自适应率θi,1，使得Vi,1满足条件
Figure FDA0002501051090000047
其中ξi,1包括非负常数以及互联项；
第j步，j＝2,…,n-1：根据上一步的虚拟控制量xi,j以及子系统的动力学方程组中的第j个方程
Figure FDA0002501051090000048
引入状态量xi,j+1，并将xi,j+1视为虚拟控制量，计算zi,j的α阶导数
Figure FDA0002501051090000049
再结合误差量的定义zi,j+1＝xi,j+1-τi,j-δi,j+1，引入虚拟控制率τi,j；另一方面，根据所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数
Figure FDA00025010510900000410
以及上一步的虚拟控制率τi,j-1的α阶导数
Figure FDA00025010510900000411
进行估计；选取Lyapunov函数
Figure FDA00025010510900000412
其中，
Figure FDA00025010510900000413
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure FDA00025010510900000414
与实际采用的分数阶自适应率θi,j的误差值，λi,j为误差的相关系数，Λi,j为λi,j的反对称阵，求所述Lyapunov函数Vi,j的α阶导数，设计虚拟控制率τi,j以及分数阶自适应率θi,j，使得Vi,j满足条件
Figure FDA00025010510900000415
其中ξi,j包括非负常数以及互联项；
第n步：根据上一步的虚拟控制量xi,n以及子系统的动力学方程组的最后一个方程
Figure FDA00025010510900000416
引入控制输入ui(vi)，利用所述分数阶辅助系统中的补偿量Δui将控制输入ui(vi)转换成期望输入vi，通过所述径向基神经网络的估计模型对未知的非线性函数φi,n(xi)以及上一步的虚拟控制率τi,n-1的α阶导数
Figure FDA00025010510900000417
进行估计，利用所述光滑函数对子系统的未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿；选取Lyapunov函数
Figure FDA00025010510900000418
其中，
Figure FDA00025010510900000419
表示径向基神经网络估计得到的最优权重
Figure FDA00025010510900000420
与实际采用的分数阶自适应率θi,n的误差值，λi,n为误差的相关系数，Λi,n为λi,n的反对称阵，求所述Lyapunov函数Vi,n的α阶导数，设计自适应控制率vi以及分数阶自适应率θi,n、
Figure FDA00025010510900000421
使得Vi,n满足条件
Figure FDA00025010510900000422
其中ξi,n为非负常数。
7.根据权利要求6所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述利用光滑函数对未知互联项fi(X)＝[fi,1(X),…,fi,n(X)]T进行补偿的具体过程为：根据实际物理模型，存在假设：
Figure FDA0002501051090000051
式中，ψq(yq)表示已知的非线性函数，q＝1,2,…,N，βi,q表示第i个子系统与第q个子系统的比例系数；所述光滑函数为
Figure FDA0002501051090000052
ψi(·)表示第i个子系统中已知的非线性函数；利用上述假设，通过缩放使得参数
Figure FDA0002501051090000053
βq,i表示第q个子系统与第i个子系统的比例系数，从而对未知互联项进行补偿。
8.根据权利要求7所述的分数阶互联系统的分散式自适应控制器设计方法，其特征在于，所述步骤S3中，所述互联系统整体的Lyapunov函数为
Figure FDA0002501051090000054
求其α阶导数并展开，得到互联项部分，利用光滑函数
Figure FDA0002501051090000055
通过放缩每个子系统的系数
Figure FDA0002501051090000056
补偿互联项部分的影响，使得Lyapunov函数满足收敛条件
Figure FDA0002501051090000057
其中ξ为非负常数，完成分散式自适应控制器的设计。
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