CN111443600A - 一种时滞系统最优鲁棒分数阶PIλD控制器的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于自动控制相关技术领域，并公开了一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法。该方法包括下列步骤：(a)构建待优化控制系统的闭环传递函数；(b)获得该闭环传递函数关于所述PI^λD控制器中未知参数的特征方程；(c)构建所述待优化一阶惯性延迟控制系统所需满足的约束条件，利用所述特征方程确定所述PI^λD控制器中未知参数的取值范围，根据所述约束条件和取值范围求解并获得所述PI^λD控制器中未知参数的值，以此确定所述PI^λD控制器，即实现优化过程。通过本发明，实现对PI^λD控制器的优化，并使得控制系统具有很强的鲁棒性和最优的动态性能。

Description

一种时滞系统最优鲁棒分数阶PIλD控制器的优化方法

技术领域

本发明属于自动控制相关技术领域，更具体地，涉及一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法。

背景技术

时滞系统是工业系统中最为常见的一类系统，针对此系统的分数阶控制器设计极为重要，分数阶PI^λD控制器的传递函数：

其中，K_p、K_i和K_d分别为比例、微分和积分增益，λ为积分阶次，其范围为：0＜λ＜2，由于与经典PID控制器相比，多出一个可调参数，可以实现更好的控制性能，但是由于可调参数更多，参数整定有一定的困难。

目前，对于分数阶控制器的整定主要分为频域整定法和时域整定法，频域整定法即所设计的控制系统满足一定的频域指标，但是不能保证最优的动态性能；时域整定法即通过优化算法满足最小的性能指标(积分平方误差，时间乘以误差绝对值积分等)，但是不能满足用户希望的频域指标，并且鲁棒性较差。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其中通过构建该控制系统的约束条件，以及获取未知参数的求解范围，最后通过寻求最优未知参数值，以此获得最优的PI^λD控制器，实现对PI^λD控制器的优化，并使得整个控制系统鲁棒性强。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，该方法包括下列步骤：

(a)对于待优化一阶惯性延迟控制系统，该控制系统中采用分数阶PI^λD控制器和增益-相位裕度测试器进行闭环控制，构建所述控制系统的闭环传递函数；

(b)将所述一阶惯性延迟控制系统、PI^λD控制器和增益-相位裕度测试器各自对应的传递函数带入所述闭环传递函数中，以此获得该闭环传递函数的特征方程，其中，所述PI^λD控制器中包含多个未知参数；

(c)构建所述待优化一阶惯性延迟控制系统所需满足的约束条件，确定所述PI^λD控制器中未知参数的取值范围，根据所述约束条件和取值范围求解并获得所述PI^λD控制器中未知参数的值，以此确定所述PI^λD控制器，即实现优化过程。

进一步优选地，在步骤(a)中，所述闭环传递函数G(s)按照下列表达式进行：

其中，M_T(A,φ)是增益-相位裕度测试器，

是分数阶PI^λD控制器，P(s)是时滞系统，A和φ分别是增益-相位裕度测试器的增益裕度和相位裕度；s是拉普拉斯算子，s＝jω。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述一阶惯性延迟控制系统的传递函数为：

其中，K、T和L分别是时滞系统增益、时间常数和时间延迟常数，L取值范围为大于或等于0；

所述PI^λD控制器的传递函数为：

其中，K_p、K_i和K_d分别是比例、积分和微分增益，λ是积分阶次；

所述增益-相位裕度测试器的传递函数为：

M_T(A,φ)＝Ae^-jφ

其中，A是幅值裕度，φ是相位裕度。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述特征方程按照下列表达式进行：

D(s；K_p,K_i,λ,K_d,A,φ)＝s^λ(Ts+1)+(K_ps^λ+K_i+K_ds^1+λ)Ae^-jφe^-Ls

其中，K_p、K_i和K_d分别是比例系数、积分增益和微分增益，λ为积分阶次，K、T和L分别是时滞系统增益、时间常数和时间延迟常数，A和φ分别是增益-相位裕度测试器的增益裕度和相位裕度。

进一步优选地，在步骤(c)中，所述约束条件包括以下四个约束：

其中，φ_m为相位裕度，ω_gc为穿越频率，ITAE为时间误差绝对值积分，T为仿真总时间，e(t)为实际输出与输入参考信号的差值，t为实时仿真时间。

进一步优选地，在步骤(c)中，所述PI^λD控制器中未知参数的取值范围按照下列步骤进行确定：

(c1)对于所述特征方程，按照积分的分数阶次、实根边界、无穷根边界和复根边界分别确定特征方程中未知参数λ和K_d的取值范围,K_i的边界，以及K_p和K_i的求解表达式；

(c2)建立以所述K_p和K_i为横纵坐标的坐标平面，在该平面内绘制获得复根边界和实根边界，该复根边界和实根边界围成闭合区域；

(c3)在所述闭合区域的内部和外部的点进行阶跃响应仿真验证，阶跃响应稳定的点所在的区域即为稳定区域，该稳定区域内对应的K_p和K_i的取值范围即为所述K_p和K_i的取值范围。

进一步优选地，在步骤(c1)中，所述λ的取值范围是(0,2)，K_i的边界值为0，K_d的取值范围为

进一步优选地，在步骤(c1)中，所述K_p和K_i的求解表达式如下：

其中，

B₁＝ω^λC₂-Tω^1+λS₂

B₂＝Tω^1+λC₂+ω^λS₂

E＝K_pω^λC₂+K_i+K_dω^1+λC₃

F＝K_pω^λS₂+K_dω^1+λS₃

C₁＝cos(φ+ωL),

S₁＝sin(φ+ωL),

其中，B₁、B₂、E、F、C₁、C₂、C₃、S₁、S₂和S₃均是中间变量，ω是频率。

进一步优选地，在步骤(c)中，所述求解所述PI^λD控制器中未知参数的值按照下列方式进行：

首先，确定待优化一阶惯性延迟控制系统的传递函数中参数K、T和L的值，以此确定K_d具体的取值范围，根据实际需要设定具体所需满足的所述约束条件(一)和(二)；

接着，在λ和K_d的取值范围内对λ和K_d进行赋值，使其满足约束条件(一)～(三)，同时利用λ和K_d计算相应的K_p和K_i；

最后，利用满足约束条件的(一)～(三)的λ，K_d，K_p和K_i值仿真计算ITAE指标，ITAE指标的最小值对应的λ，K_d，K_p和K_i即为最终所需的参数值。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，具备下列有益效果：

1.本发明采用构建该控制系统的频域约束条件相位裕度和穿越频率，使控制系统能够满足用户的频域指标；

2本发明通过构建控制系统的平相位约束条件，使得控制系统对控制回路的增益具有很强的鲁棒性；

3.本发明通过构建控制系统的时域约束指标，使得控制系统的动态性能最优；

4.综合来讲，本发明同时考虑频域与时域指标，能够使控制系统具有很强的鲁棒性，同时具有最优的动态控制性能。

附图说明

图1是按照本发明的优选实施例所构建的一阶惯性延迟控制系统示意图；

图2是按照本发明的优选实施例所构建的K_p和k_i的稳定区域确定示意图；

图3是按照本发明的优选实施例所构建的满足φ_m＝50°和ω_gc＝5rad/s的K_p和k_i的取值示意图；

图4是按照本发明的优选实施例所构建的所有满足φ_m＝50°和ω_gc＝5rad/s的K_p和k_i和平相位特征点(K_d＝0)；

图5是按照本发明的优选实施例所构建的不同的K_d所对应的所有满足φ_m＝50°和ω_gc＝5rad/s的K_p和k_i；

图6是按照本发明的优选实施例所构建的所有的平相位曲线，其中，(a)是平相位曲线所对应的参数K_p，K_i和λ值，(b)是平相位曲线所对应的参数K_d和λ；

图7是按照本发明的优选实施例所构建的J_ITAE与λ对应图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

一种时滞系统的最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的设计方法，该方法针对一阶惯性延迟控制系统，如图1所示，该控制系统的传递函数为：

对于具体的一阶惯性延迟系统，其中K、T和L为已知值，在本发明的一个实施例中，T＝1,K＝1,L＝0.1，对分数阶PI^λD控制器的参数进行优化整定，其传递函数如下：

其中，K_p、K_i和K_d分别为比例、微分和积分增益，λ为积分阶次，其范围为：λ∈(0,2)，所用到的工具为Gain-Phase Margin Tester,即增益-相位裕度测试器，其传递函数为：

M_T(A,φ)＝Ae^-jφ

其中，A为幅值裕度，φ为相位裕度。

步骤包括：

步骤1：得到待优化一阶惯性延迟系统的闭环传递函数，如下：

该传递函数对应的特征方程为：

D(s；K_p,K_i,λ,K_d,A,φ)＝s^λ(Ts+1)+(K_ps^λ+K_i+K_ds^1+λ)Ae^-jφe^-Ls.

步骤2：确定各未知参数的范围：

A.积分的分数阶次λ∈(0,2)；

B.根据实根边界，即D(s＝0)＝0,得到K_i＝0；

C.根据无穷根边界D(s＝+∞)＝0,得到

D.根据复根边界D(s＝jω)＝0，得到

D(s＝jω；K_p,K_i,λ,K_d,A,φ)＝(jω)^λ(jTω+1)+(K_p(jω)^λ+K_i+K_d(jω)^λ+1)Ae^-jφe^-jLω＝0

实部和虚部分别等于0，即：

B₁+AKC₁E+AKS₁F＝0,

B₂+AKC₁F-AKS₁E＝0

其中

B₁＝ω^λC₂-Tω^1+λS₂

B₂＝Tω^1+λC₂+ω^λS₂

E＝K_pω^λC₂+K_i+K_dω^λ+1C₃

F＝K_pω^λS₂+K_dω^1+λS₃

C₁＝cos(φ+ωL),

S₁＝sin(φ+ωL),

解方程，得到

如图2所示，图中建立以所述K_p和K_i为横纵坐标的坐标平面，在该平面内绘制获得复根边界和实根边界，该复根边界和实根边界围成闭合区域；在闭合区域的内部和外部的点进行阶跃响应仿真验证，阶跃响应稳定的点所在的区域即为稳定区域，该稳定区域内对应的K_p和K_i的取值范围即为K_p和K_i的取值范围，该K_p和K_i的取值范围用于验证最终获得的K_p和K_i的值是否合格，在该取值范围内的值则合格，否则，不合格。

步骤3：构建约束条件

相位裕度φ_m

穿越频率ω_gc

平相位特征

时间误差绝对值积分(ITAE)

步骤4：根据约束条件和未知参数的取值范围，求解未知参数的值，具体如下：

(1)对于待优化的控制系统，其传递函数中的参数K、T和L为已知值，根据实际需要确定控制系统所要满足的穿越频率ω_gc和相位裕度φ_m；

根据无穷根边界条件，得到K_d的范围；

在K_d和λ各自的取值范围内给K_d和λ进行赋值，分别为K_d1和λ₁，然后根据步骤2中的复根边界公式，计算获得K_p和K_i，取不同的λ值，得到一系列点参数对(k_pj，k_ij，k_d1，λ_j),所有的点所对应的控制系统都满足给定的穿越频率和相位裕度。

(2)找到满足平相位特征的点：

由复根边界公式解方程得

则，

上式为平相位特征(即对ω求导＝0)的表达式，所有步骤3得到的点通过上式进行验证，找到满足上式的参数对，即满足平相位特征的参数；

(3)得到所有满足给定穿越频率、相位裕度和平相位条件的点

在范围

内对K_d赋予不同的值，返回步骤3，得到所有满足平相位特征的参数对(k_pji，k_iji，k_dji，λ_ji)，并且他们同时满足给定的相位裕度和穿越频率。

(4)通过上述对λ和K_d的赋值，获得满足穿越频率、相位裕度和平相位条件的参数值(k_pji，k_iji，k_dji，λ_ji)，带入控制器参数在simulink中仿真，计算ITAE指标，选定最小的ITAE指标对应的控制器参数，即为所设计的最优鲁棒分数阶PI^λD控制器。

下面将结合具体的实施例进一步说明本发明。

a)给定确定的一节惯性延迟系统：T＝1,K＝1,L＝0.1。给定所设计的控制系统满足的穿越频率为ω_gc＝5rad/s，相位裕度为φ_m＝50°。

b)根据无穷根根边界条件B，得到K_d∈[-1,1]，选择K_d＝0,λ＝0.5，令φ_m＝0°根据复跟边界条件C得到图2中的复根边界线，选择一个随机点进行测试，得到稳定区域和不稳定区域。

c)考虑相位裕度φ_m＝50°。其中K_d＝0,λ＝0.5，根据复跟边界条件C得到图2中φ_m＝50°的曲线，线上所有的点都满足相位裕度φ_m＝50°。

d)考虑穿越频率ω_gc＝5rad/s。控制器参数可以确定为图3中的三角形，给定不同的λ，重复C和D，得到不同的曲线和三角形。扫描所有的λ∈(0,2)，可以得到图4所示的图形，所有三角形多对应的控制器参数都满足给定的ω_gc＝5rad/s和φ_m＝50。

e)将上述图(4)中的所有的点带入到步骤4中(2)的公式中进行验算，找到此方程的解，所对应的点为图4交叉点，此点满足平相位特征，所对应的控制器参数满足给定的ω_gc＝5rad/s，φ_m＝50°和平相位特征。

f)给定不同的K_d，重复步骤c)，d)和e)得到不同的平相位点如图5所示，扫描所有的K_d∈(-1,1)，得到平相位曲线如图6中的(a)和(b)所示，线上所有的点所对应的参数都满足ω_gc＝5rad/s，φ_m＝50°和平相位特征。

g)轮流选择平相位曲线上的点进行仿真，计算得到J_ITAE,，λ和J_ITAE对应图如图7所示，选择最小的J_ITAE所对应的控制器参数即为所设计的鲁棒最优分数阶PI^λD。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)对于待优化一阶惯性延迟控制系统，该控制系统中采用分数阶PI^λD控制器和增益-相位裕度测试器进行闭环控制，构建所述控制系统的闭环传递函数；

(b)将所述一阶惯性延迟控制系统、PI^λD控制器和增益-相位裕度测试器各自对应的传递函数带入所述闭环传递函数中，以此获得该闭环传递函数的特征方程，其中，所述PI^λD控制器中包含多个未知参数；

(c)构建所述待优化一阶惯性延迟控制系统所需满足的约束条件，确定所述PI^λD控制器中未知参数的取值范围，根据所述约束条件和取值范围求解并获得所述PI^λD控制器中未知参数的值，以此确定所述PI^λD控制器，即实现优化过程。

2.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(a)中，所述闭环传递函数G(s)按照下列表达式进行：

其中，M_T(A,φ)是增益-相位裕度测试器，

是分数阶PI^λD控制器，P(s)是时滞系统，A和φ分别是增益-相位裕度测试器的增益裕度和相位裕度；s是拉普拉斯算子，s＝jω。

3.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述一阶惯性延迟控制系统的传递函数为：

其中，K、T和L分别是时滞系统增益、时间常数和时间延迟常数，L取值范围为大于或等于0；；

所述PI^λD控制器的传递函数为：

其中，K_p、K_i和K_d分别是比例系数、积分增益和微分增益，λ是积分阶次；

所述增益-相位裕度测试器的传递函数为：

M_T(A,φ)＝Ae^-jφ

其中，A是幅值裕度，φ是相位裕度。

4.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述特征方程按照下列表达式进行：

D(s；K_p,K_i,λ,K_d,A,φ)＝s^λ(Ts+1)+(K_ps^λ+K_i+K_ds^1+λ)Ae^-jφe^-Ls

其中，K_p、K_i和K_d分别是比例系数、积分增益和微分增益，λ为积分阶次，K、T和L分别是时滞系统增益、时间常数和时间延迟常数，A和φ分别是增益-相位裕度测试器的增益裕度和相位裕度。

5.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述约束条件包括以下四个约束：

其中，φ_m为相位裕度，ω_gc为穿越频率，ITAE为时间误差绝对值积分，T为仿真总时间，e(t)为实际输出与输入参考信号的差值，t为实时仿真时间。

6.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述PI^λD控制器中未知参数的取值范围按照下列步骤进行确定：

(c1)对于所述特征方程，按照积分的分数阶次、实根边界、无穷根边界和复根边界分别确定特征方程中未知参数λ和K_d的取值范围,K_i的边界，以及K_p和K_i的求解表达式；

(c2)建立以所述K_p和K_i为横纵坐标的坐标平面，在该平面内绘制获得复根边界和实根边界，该复根边界和实根边界围成闭合区域；

(c3)在所述闭合区域的内部和外部的点进行阶跃响应仿真验证，阶跃响应稳定的点所在的区域即为稳定区域，该稳定区域内对应的K_p和K_i的取值范围即为所述K_p和K_i的取值范围。

7.如权利要求5所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(c1)中，所述λ的取值范围是(0,2)，K_i的边界值为0，K_d的取值范围为

8.如权利要求5所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(c1)中，所述K_p和K_i的求解表达式如下：

其中，

B₁＝ω^λC₂-Tω^1+λS₂

B₂＝Tω^1+λC₂+ω^λS₂

E＝K_pω^λC₂+K_i+K_dω^1+λC₃

F＝K_pω^λS₂+K_dω^1+λS₃

C₁＝cos(φ+ωL),

S₁＝sin(φ+ωL),

其中，B₁、B₂、E、F、C₁、C₂、C₃、S₁、S₂和S₃均是中间变量，ω是频率。

9.如权利要求1所述的一种时滞系统最优鲁棒分数阶PI^λD控制器的优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述求解所述PI^λD控制器中未知参数的值按照下列方式进行：

首先，确定待优化一阶惯性延迟控制系统的传递函数中参数K、T和L的值，以此确定K_d具体的取值范围，根据实际需要设定具体所需满足的所述约束条件(一)和(二)；

接着，在λ和K_d的取值范围内对λ和K_d进行赋值，使其满足约束条件(一)～(三)，同时利用λ和K_d计算相应的K_p和K_i；

最后，利用满足约束条件的(一)～(三)的λ，K_d，K_p和K_i值仿真计算ITAE指标，ITAE指标的最小值对应的λ，K_d，K_p和K_i即为最终所需的参数值。

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