CN114911154A - 一种分数阶pid控制器的系统化解析设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，属于控制器设计领域。其针对时滞系统，通过给定五个频域指标——相位裕度、增益穿越频率、幅值裕度、相位穿越频率、平相位，求解出分数阶PID的五个未知参数，由于相比于传统整数阶PID控制器多出两个分数阶阶次，使得整个控制系统的鲁棒性更好，实现相比于整数阶PID更好的跟踪和抗扰性能。
Description
技术领域
本发明属于控制器设计领域，更具体地，涉及一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法。
背景技术
时滞系统是工业系统中最为常见的一类系统，针对此系统的分数阶控制器设计极为重要。分数阶PID是有I.Podlubny在1994年提出的控制器，分数阶PID相比于传统整数阶PID控制器多了两个参数：分数阶积分阶次和分数阶微分阶次，因此，对于控制系统来讲可以提供更好的跟踪性能和更强的鲁棒性。但是，由于多出的两个参数让控制器设计变得尤为困难。到目前为止，分数阶PID的解析设计方法还属于空白。
发明内容
针对现有技术的缺陷和改进需求，本发明提供了一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，其目的在于通过给定五个频域指标，求解出分数阶PID的五个未知参数，实现相比于整数阶PID更好的跟踪和抗扰性能。
为实现上述目的，按照本发明的第一方面，提供了一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，幅值-相位测试器、分数阶PID控制器和时滞系统串联，时滞系统的输出作为反馈输入至幅值-相位测试器，该方法包括：
S1.采用幅值-相位测试器确定分数阶PID控制器的稳定区域，所述幅值-相位测试器的传递函数为CGMPT(A，φ)＝Ae-jφ，A表示幅值，φ表示相位；
S2.从稳定区域中选出满足相位裕度φm的Kp-Ki曲线：
固定φ＝φm，A＝1，任意给定一组λ，μ，Kd，让频率ω从0增大，得到满足相位裕度的Kp-Ki曲线，Kd，Kp，Ki分别表示控制器的微分增益、比例、积分，λ，μ分别表示分数阶积分和微分阶次；
S3.从满足相位裕度的Kp-Ki曲线选出满足增益穿越频率ωgc的Kp-Ki曲线：
固定ω＝ωgc，令λ＝0，从满足相位裕度的Kp-Ki曲线确定出一点(Kp，Ki)；让λ从0变化到2，确定出的点(Kp，Ki)构成同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线；
S4.从同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线选出满足平相位的平相位曲线：
令μ＝0，从同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线的所有点确定出一点，使其满足
让μ从0变化到2，确定出的点构成平相位曲线；
S5.从平相位曲线选出同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率ωpc的曲线：
从平相位曲线上所有的点确定出一点，使其满足开环传递函数的相位等于-π，让Kd从-1变化到1，确定出的点构成同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线；
S6.从同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线确定出一点，使其满足开环传递函数的幅值等于给定的幅值裕度，将其作为数阶PID控制器的参数。
优选地，步骤S1包括：
S11.采用幅值-相位测试器对分数阶PID控制器进行分析，得到闭环传递函数
其中，C(s)表示分数阶PID控制器传递函数，P(s)表示时滞系统传递函数，s表示拉普拉斯算子；
S12.以闭环传递函数的分母作为特征方程D(s)＝sλ(s+1)+Ae-j e-Ls(Kpsλ+Ki+Kdsλ+μ)，并令D(s＝jω)＝0，求解得到Kp-Ki曲线，称为复根边界；令D(s＝0)＝0，求解得到Kp-Ki得曲线，称为实根边界，复根边界和实根边界围成的区域为内区域，此外为外区域，其中，L表示时滞系统参数；
S13.从内区域随机选择一点Kp，Ki，Kd，λ，μ，代入分数阶PID控制器对时滞系统进行控制，若在控制下时滞系统能够实现稳定跟踪，则内区域为稳定区域，否则，外区域为稳定区域。
优选地，复根边界中
其中，各中间变量计算如下：
优选地，步骤S4中，
其中，各中间变量计算如下：
优选地，
其中，各中间变量计算如下：
其中，Arg[]为取相位函数。
优选地，开环传递函数的幅值
为实现上述目的，按照本发明的第二方面，提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现第一方面所述的方法的步骤。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案，能够取得以下有益效果：
本发明提出一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，其针对时滞系统，通过给定五个频域指标——相位裕度、增益穿越频率、幅值裕度、相位穿越频率、平相位，求解出分数阶PID的五个未知参数，由于相比于传统整数阶PID控制器多出两个分数阶阶次，使得整个控制系统的鲁棒性更好，实现相比于整数阶PID更好的跟踪和抗扰性能。
附图说明
图1为本发明提供的控制环路结构图；
图2为本发明提供的一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法流程图；
图3为本发明提供的满足相位裕度的Kp-Ki曲线图；
图4为本发明提供的同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线图；
图5为本发明提供的平相位曲线图；
图6为本发明提供的同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线图；
图7为本发明提供的PID控制器示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
如图1所示，幅值-相位测试器、分数阶PID控制器和时滞系统串联，时滞系统的输出作为反馈输入至幅值-相位测试器。
给定电机速度环控制对象：
其中，L是时滞系统参数。
分数阶PID控制器：
其中，Kp，Ki，Kd是控制器比例、积分和微分增益，λ，μ是分数阶积分和微分阶次。
如图2所示，本发明提供了一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，该方法包括：
步骤S1.采用幅值-相位测试器确定分数阶PID控制器的稳定区域，所述幅值-相位测试器的传递函数为CGMPT(A，φ)＝Ae-jφ，A表示幅值，φ表示相位。
优选地，步骤S1包括：
S11.采用幅值-相位测试器对分数阶PID控制器进行分析，得到闭环传递函数：
其中，C(s)表示分数阶PID控制器传递函数，P(s)表示时滞系统传递函数，s表示拉普拉斯算子。
S12.以闭环传递函数的分母作为特征方程D(s)＝sλ(s+1)+Ae-jφe-Ls(Kpsλ+Ki+Kdsλ+μ)，并令D(s＝jω)＝0，求解得到Kp-Ki曲线，称为复根边界；令D(s＝0)＝0，求解得到Kp-Ki得曲线，称为实根边界，复根边界和实根边界围成的区域为内区域，此外为外区域，其中，L表示时滞系统参数。
具体过程如下：
D(s＝jω)＝(jω)λ(jω+1)+Ae-jφe-Ljω(Kp(jω)λ+Ki+Kd(jω)λ+μ)
之后
B1+AC1E+AS1F＝0
B2+AC1F-AS1E＝0
其中，各中间变量计算如下：
之后，求得
让D(s＝0)＝0，可以得到一条Kp-Ki得曲线，这条曲线叫做实根边界。
稳定区域可以通过随机点测试来确定。
Ki＝0。
S13.从内区域随机选择一点Kp，Ki，Kd，λ，μ，代入分数阶PID控制器对时滞系统进行控制，若在控制下时滞系统能够实现稳定跟踪，则内区域为稳定区域，否则，外区域为稳定区域。
步骤S2.从稳定区域中得到满足相位裕度φm的Kp-Ki曲线。
固定φ＝φm，A＝1，任意给定一组λ，μ，Kd，让频率ω从0增大，得到满足相位裕度的Kp-Ki曲线如图3所示，Kd，Kp，Ki分别表示控制器的微分增益、比例、积分，λ，μ分别表示分数阶积分和微分阶次，这条曲线上所有的点即满足给定的相位裕度φm。
步骤S3.进一步得到满足相位裕度φm和增益穿越频率ωgc的Kp-Ki曲线。
固定ω＝ωgc，令λ＝0，从满足相位裕度的Kp-Ki曲线确定出一点(Kp，Ki)；让λ从0变化到2，确定出的点(Kp，Ki)构成同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线如图4所示。这条曲线上所有的点满足两个频域指标：相位裕度φm和幅值穿越频率ωgc。
步骤S4.进一步得到满足相位裕度φm、增益穿越频率ωgc和平相位的平相位曲线。
从同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线的所有点确定出一点，使其满足
让μ从0变化到2，确定出的点构成平相位曲线如图5所示。“平相位”可以保证控制系统对环路增益的鲁棒性。
通过上式得到：
之后，得到
则：
其中，各中间变量计算如下：
步骤S5.进一步得到满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率ωpc的曲线。
从平相位曲线上所有的点确定出一点，使其满足开环传递函数的相位等于-π，让Kd从-1变化到1，确定出的点构成同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线如图6所示。
优选地，
其中，各中间变量计算如下：
其中，Arg[]为取相位函数。
步骤S6.从同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线确定出一点，使其满足给定的幅值裕度，即得到所设计的分数阶PID控制器如图7中所示。
优选地，开环传递函数的幅值为：
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种分数阶PID控制器的系统化解析设计方法，其特征在于，幅值-相位测试器、分数阶PID控制器和时滞系统串联，时滞系统的输出作为反馈输入至幅值-相位测试器，该方法包括：
S1.采用幅值-相位测试器确定分数阶PID控制器的稳定区域，所述幅值-相位测试器的传递函数为CGMPT(A,φ)＝Ae-jφ，A表示幅值，φ表示相位；
S2.从稳定区域中选出满足相位裕度φm的Kp-Ki曲线：
固定φ＝φm，A＝1，任意给定一组λ,μ,Kd，让频率ω从0增大，得到满足相位裕度的Kp-Ki曲线，Kd,Kp,Ki分别表示控制器的微分增益、比例、积分，λ,μ分别表示分数阶积分和微分阶次；
S3.从满足相位裕度的Kp-Ki曲线选出满足增益穿越频率ωgc的Kp-Ki曲线：
固定ω＝ωgc，令λ＝0，从满足相位裕度的Kp-Ki曲线确定出一点(Kp,Ki)；让λ从0变化到2，确定出的点(Kp,Ki)构成同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线；
S4.从同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线选出满足平相位的平相位曲线：
令μ＝0，从同时满足相位裕度和增益穿越频率的Kp-Ki曲线的所有点确定出一点，使其满足
让μ从0变化到2，确定出的点构成平相位曲线；
S5.从平相位曲线选出同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率ωpc的曲线：
从平相位曲线上所有的点确定出一点，使其满足开环传递函数的相位等于-π，让Kd从-1变化到1，确定出的点构成同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线；
S6.从同时满足相位裕度、增益穿越频率、平相位和相位穿越频率的曲线确定出一点，使其满足开环传递函数的幅值等于给定的幅值裕度，将其作为数阶PID控制器的参数。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S1包括：
S11.采用幅值-相位测试器对分数阶PID控制器进行分析，得到闭环传递函数：
其中，C(s)表示分数阶PID控制器传递函数，P(s)表示时滞系统传递函数，s表示拉普拉斯算子；
S12.以闭环传递函数的分母作为特征方程D(s)＝sλ(s+1)+Ae-jφe-Ls(Kpsλ+Ki+Kdsλ+μ)，并令D(s＝jω)＝0，求解得到Kp-Ki曲线，称为复根边界；令D(s＝0)＝0，求解得到Kp-Ki得曲线，称为实根边界，复根边界和实根边界围成的区域为内区域，此外为外区域，其中，L表示时滞系统参数；
S13.从内区域随机选择一点Kp,Ki,Kd,λ,μ，代入分数阶PID控制器对时滞系统进行控制，若在控制下时滞系统能够实现稳定跟踪，则内区域为稳定区域，否则，外区域为稳定区域。
3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，复根边界中
其中，各中间变量计算如下：
4.如权利要求3所述的方法，其特征在于，步骤S4中，
其中，各中间变量计算如下：
5.如权利要求1至4任一项所述的方法，其特征在于，
其中，各中间变量计算如下：
其中，Arg[]为取相位函数。
6.如权利要求5所述的方法，其特征在于，开环传递函数的幅值
7.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被处理器执行时实现权利要求1至6任一项所述方法的步骤。
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