CN111435254A - 具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制 - Google Patents

Abstract

一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法。本发明针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题以及姿态动力学模型存在未知多变量耦合问题，设计了一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法，该方法利用分散控制策略首先对姿态子系统之间未知多变量耦合作合理假设，然后引入补偿信号补偿姿态子系统之间的未知多变量耦合。引入一个滤波误差变量，并利用BLF将滤波误差约束在一定的范围内，从而保证四旋翼飞行器的姿态始终保持在一定的范围内。最后通过实验证明了该方法不仅能使四旋翼飞行器的姿态快速跟踪上期望值，还能够使实际输出值始终保持在预先设定的安全范围内。

Description

具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制

技术领域

本发明属于四旋翼无人飞行器的技术领域，特别是涉及一种四旋翼无人飞行器的稳定控制方法。

背景技术

近些年来，四旋翼飞行器由于其结构简单且具有垂直起降、定点悬停、侧飞、倒飞等高机动性的特点而被广泛关注，其中控制器的设计是一个研究热点，各国学者都在设计不同的控制器对四旋翼无人机的位置、姿态进行控制。目前对四旋翼飞行器的控制方法主要有PID控制、反步法控制、动态面控制、滑模控制、自抗扰控制等。虽然这些方法有效地实现了四旋翼飞行器的稳定控制，但鲜有考虑其有界输出问题。

由于四旋翼飞行器的姿态和位置之间的耦合，即其水平位置的改变是通过改变姿态角来实现的；在实际飞行过程中，如果飞行器姿态角度太大，会很容易发生飞行事故；因此，四旋翼姿态的有界输出控制可以不仅有助于实现四旋翼飞行器的稳定飞行，还保证了四旋翼飞行器和操作员的安全。目前，一些学者开始应用障碍Lyapunov函数(barrierLyapunov function，BLF)实现有界输出控制，并取得了一些研究成果。针对一类严格反馈非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器来保证输出有界。针对一类含有Bouc-Wen迟滞模型的输出受限非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器，解决了系统输出有界问题。但是基于BLF和反步法相结合的控制方法中，存在控制器结构复杂、鲁棒性较弱、被约束变量的初始值选取区间小等问题。为了解决上述问题，本文引入了一个滤波误差变量，并利用BLF将滤波误差约束在一定的范围内，从而保证四旋翼飞行器的姿态始终保持在一定的范围内，与上述控制方法相比，该控制方法具有控制结构简单、鲁棒性较强的优点。

目前，大多数关于四旋翼飞行器控制算法的研究只是将所提出的控制方法进行数值仿真验证。也有一些学者开始在半实物仿真平台将所提出的控制方法进行实验验证，但是相关的报导并不多。在实际飞行中，由于受到外部干扰的影响以及自身硬件系统的限制，很难得到姿态子系统之间耦合项的精确值。为了方便实验的进行，许多研究学者通常选择忽略姿态子系统之间的耦合项或者认为建立的动力学模型是精确的。但是，事实上，对实际运行的四旋翼飞行器来说，精确的动力学模型是无法获得的，简化的动力学模型可能会降低控制系统的控制性能。在过去十年中，有许多国内外学者提出了利用分散控制策略来处理大规模复杂系统中的耦合问题。针对具有强耦合项的非线性复杂控制系统设计出了一种自适应分散控制器，对未知耦合项进行合理假设，利用自适应控制方法对其进行补偿，成功地解决了大规模复杂系统中耦合问题。针对一类具有不确定性的非线性大规模系统设计出了一种模糊自适应分散控制器。针对一类具有执行器故障和未知模型的强耦合非线性大规模控制系统提出了一种自适应分散容错控制方案。

因此，本发明提供了一种新颖的四旋翼飞行器稳定控制方法，针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题以及姿态动力学模型存在未知多变量耦合问题，设计了一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法，该方法不仅能保证四旋翼飞行器姿态角能快速跟踪上期望值，还能使姿态角始终保持在一定的安全范围内，从而实现四旋翼飞行器的安全稳定控制。

发明内容

本发明的目的是解决现有四旋翼飞行器稳定控制存在的不足，提供了一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器的分散控制方法。

本发明提出了一种新颖的四旋翼飞行器的稳定控制方法。该方法最大的特点是能够在在四旋翼飞行器姿态系统动力学模型具有未知强耦合的情况下，不仅能保证四旋翼飞行器姿态角能快速跟踪上期望值，还能使姿态角始终保持在一定的安全范围内，从而实现四旋翼飞行器的安全稳定控制。该控制方法利用障碍Lyapunov函数将滤波误差约束在一定的范围内，从而使系统输出能够始终保持在一定的安全范围内，利用分散控制策略对姿态系统之间未知耦合作出合理假设，使得当前姿态子系统不需要其他姿态子系统的姿态信息就可以解决姿态系统之间的未知耦合项。实验结果证明本方法有效可靠。

本发明主要做出了以下几方面贡献：1.与普通稳定控制方法相比，本发明所提控制所发不仅能保证四旋翼飞行器姿态角能快速跟踪上期望值，还能使姿态角始终保持在一定的安全范围内；2.利用分散控制策略处理姿态系统的未知耦合项，同时解决了多变量耦合和动力学模型不确定的问题；3.大多数研究四旋翼飞行器的论文只进行了数值仿真验证，本发明利用Qball2半实物仿真平台进行了实验验证。

本发明提供的具有姿态有界输出的四旋翼飞行器的分散控制方法包括：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示。地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴。机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴。F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角。

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中J_x，J_y，J_z分别表示关于坐标轴x，y，z的转动惯量，U_φ，U_θ，U_ψ分别表示滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩，J_r表示螺旋桨转动惯量，Ω＝(Ω₁+Ω₂-Ω₃-Ω₄)，Ω_i(i＝1，2，3，4)表示每个螺旋桨的转速，k_φ，k_θ，k_ψ表示空气阻力系数。

在四旋翼飞行器实际飞行过程中，由于受到外部干扰以及自身测量单元的限制，因此很难得到姿态子系统之间多变量耦合的精确值，因此本章假设姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，具体假设将在下文给出，定义符号Δ_n(φ，θ，ψ)(n＝φ，θ，ψ)表示未知的耦合项，所以四旋翼飞行器姿态动力学模型可以写成如下形式：

由分散控制策略可知，我们可以将四旋翼飞行器姿态动力学模型看作是一个由3个子系统组成的具有强耦合的大规模复杂系统。由公式(2)可知，每个姿态子系统都可以写成如下的状态空间表达式形式：

其中i＝1，2，3，x₁₁＝φ，x₂₁＝θ，x₃₁＝ψ和

为姿态子系统的状态变量，b₁＝l/J_x，b₂＝l/J_y，b₃＝1/J_z为姿态子系统的内部参数，u₁＝U_φ，u₂＝U_θ，u₃＝U_ψ为姿态子系统中选择的虚拟控制量，

为未知的姿态子系统之间的耦合部分，下文会对其进行合理假设。y₁，y₂，y₃为姿态子系统的系统输出。

第3，相关引理和假设

为了方便控制器的设计，本章节需要提出以下引理和假设：

引理1：令z＝[z₁，…，z_p]^T，Z：＝{z∈R^p：|z₁|＜κ₁，…，|z_p|＜κ_p}并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω^T，z^T]^T∈N并且h：R₊×N→R^l+p是定义域内关于时间t分段连续函数且满足局部一致Lipschitz条件。假设存在函数U：＝R^l→R₊和

在各自的定义域内连续可导并且正定，并满足如下条件：

V_i(z_i)→∞，|z_i|→κ_i； (5)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (6)

其中γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数。令函数

初始值z(0)∈Z，如果下列不等式在集合η∈N中：

成立，其中μ，α为正常数，那么ω始终保持有界并且z(t)∈Z，

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理2：定义如下形式的滤波误差：

其中e_i＝y_i-y_id(i＝1，2，3)，λ_i(i＝1，2，3)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (9)

成立。则有输出值|y₁|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0。

证明：通过求解微分方程(8)，可得：

将公式(9)代入公式(10)，可得：

经过一些简单的计算，可得：

e^-λt[e_i(0)+(k_ci-A_0i)]-(k_ci-A_0i)＜e_i＜e^-λt[e_i(0)-(k_ci-A_0i)]+(k_ci-A_0i)(12)

因为e^-λt＞0以及|e_i(0)|＜(k_c-A₀)，所以：

-(k_ci-A_0i)＜e_i＜(k_ci-A_0i) (13)

由假设1可知：

|y_id|≤A_0i (14)

又因为e_i＝y_i-y_id，所以：

-k_ci＜y_i＜k_ci (15)

或者：

|y_i|＜k_ci (16)

假设2：姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，并且满足以下条件：

Δ_i(x₁，x₂，x₃)＝θ_i(t)+δ_i(x₁，x₂，x₃) (17)

其中

d_i为未知的正常数，γ_i，k为未知的正常数，用来表示姿态子系统之间的耦合强度。

引理3：对于任意正常数k_b，在区间|s|＜k_b中有以下不等式成立：

第4，控制器的设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题以及姿态动力学模型存在未知多变量耦合问题，设计一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法，使得姿态闭环子系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束。由引理2可知，要保证四旋翼飞行器姿态输出的值域为|y_i|＜k_ci，必须先要保证滤波误差|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)。

由公式(3)和公式(8)可得：

在集合{s_i∈R：|s_i|＜k_bi}中设计如下的控制律：

将公式(20)代入公式(19)可得：

定理1：针对公式(3)所描述的四旋翼飞行器姿态子系统，如果采用如公式(20)所示的控制律并且满足|e_i(0)|＜k_ci-A₀和|s_i(0)|＜k_bi的条件，则闭环子系统的所有信号全局一致有界，并且姿态子系统的输出始终在一定的范围内，即|y_i|＜k_ci，

证明：针对每个姿态子系统考虑如下形式的Lyapunov函数：

其中s_i∈R：|s_i|＜k_bi，k_bi＝λ_i(k_ci-A_0i)。

求V_i关于时间t的导数可得：

将公式(21)代入公式(23)可得

通过Young’s不等式，可得

将公式(25)代入公式(24)可得

由假设2和不等式(a+b)²≤2a²+2b²，可知

将公式(27)代入公式(26)可得

利用不等式

和Young’s不等式，可得

将公式(29)代入公式(28)可得

其中

现在针对整个姿态系统考虑如下形式的Lyapunov函数

由公式(30)和公式(31)可知

根据引理2可知

由公式(32)和公式(33)可知

其中，μ＝min{2c_i}，

对公式(34)进行积分可得

由公式(35)可知V是有界的，所以s_i也是有界的，由文献[54]可知，由于s_i是有界的，所以e_i(t)和

也是有界的。由公式(20)可知，u_i，i＝1，2，3是有界的。由公式(34)和引理1可知，|s_i|＜k_bi，由引理1和假设1可知姿态子系统的系统输出是有界的，即满足|y_i|＜k_ci，

所以，由上述推导可得姿态子系统中所有信号都是有界的。

注1：在定理1证明过程中，函数V(s)是引理1中函数V(η)的一种特殊形式。

本发明的优点和有益效果

本发明提供了一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法。本发明主要做出了以下几方面贡献：1.与普通稳定控制方法相比，本发明所提控制所发不仅能保证四旋翼飞行器姿态角能快速跟踪上期望值，还能使姿态角始终保持在一定的安全范围内。2.利用分散控制策略处理姿态系统的未知耦合项，同时解决了多变量耦合和动力学模型不确定的问题。3.大多数研究四旋翼飞行器的论文只进行了数值仿真验证，本发明利用Qball2半实物仿真平台进行了实验验证。

附图说明：

图1为地面坐标系和机体坐标系的定义

图2为实验平台环境

图3表示实验结果：四旋翼飞行器的滚转角变化[实线：滚转角实际值；虚线：滚转角的限值]

图4表示实验结果：四旋翼飞行器的俯仰角变化[实线：俯仰角实际值；虚线：俯仰角的限值]

图5表示实验结果：四旋翼飞行器的偏航角变化[实线：偏航角实际值；虚线：偏航角的限值]

图6表示实验结果：滚转角的控制量

图7表示实验结果：俯仰角的控制量

图8表示实验结果：偏航角的控制量

具体实施方式：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示。地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴。机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴。F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角。

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中J_x，J_y，J_z分别表示关于坐标轴x，y，z的转动惯量，U_φ，U_θ，U_ψ分别表示滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩，J_r表示螺旋桨转动惯量，Ω＝(Ω₁+Ω₂-Ω₃-Ω₄)，Ω_i(i＝1，2，3，4)表示每个螺旋桨的转速，k_φ，k_θ，k_ψ表示空气阻力系数。

在四旋翼飞行器实际飞行过程中，由于受到外部干扰以及自身测量单元的限制，因此很难得到姿态子系统之间多变量耦合的精确值，因此本章假设姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，具体假设将在下文给出，定义符号Δ_n(φ，θ，ψ)(n＝φ，θ，ψ)表示未知的耦合项，所以四旋翼飞行器姿态动力学模型可以写成如下形式：

由分散控制策略可知，我们可以将四旋翼飞行器姿态动力学模型看作是一个由3个子系统组成的具有强耦合的大规模复杂系统。由公式(2)可知，每个姿态子系统都可以写成如下的状态空间表达式形式：

其中i＝1，2，3，x₁₁＝φ，x₂₁＝θ，x₃₁＝ψ和

为姿态子系统的状态变量，b₁＝l/J_x，b₂＝l/J_y，b₃＝1/J_z为姿态子系统的内部参数，u₁＝U_φ，u₂＝U_θ，u₃＝U_ψ为姿态子系统中选择的虚拟控制量，

为未知的姿态子系统之间的耦合部分，下文会对其进行合理假设。y₁，y₂，y₃为姿态子系统的系统输出。

第3，相关引理和假设

为了方便控制器的设计，本章节需要提出以下引理和假设：

引理1：令z＝[z₁，…，z_p]^T，Z：＝{z∈R^p：|z₁|＜κ₁，…，|z_p|＜κ_p}并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω^T，z^T]^T∈N并且h：R₊×N→R^l+p是定义域内关于时间t分段连续函数且满足局部一致Lipschitz条件。假设存在函数u：＝R^l→R₊和

在各自的定义域内连续可导并且正定，并满足如下条件：

V_i(z_i)→∞，|z_i|→κ_i； (5)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (6)

其中γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数。令函数

初始值z(0)∈Z，如果下列不等式在集合η∈N中：

成立，其中μ，α为正常数，那么ω始终保持有界并且z(t)∈Z，

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理2：定义如下形式的滤波误差：

其中e_i＝y_i-y_id(i＝1，2，3)，λ_i(i＝1，2，3)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (9)

成立。则有输出值|y₁|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0。

证明：通过求解微分方程(8)，可得：

将公式(9)代入公式(10)，可得：

经过一些简单的计算，可得：

e^-λt[e_i(0)+(k_ci-A_0i)]-(k_ci-A_0i)＜e_i＜e^-λt[e_i(0)-(k_ci-A_0i)]+(k_ci-A_0i)(12)

因为e^-λt＞0以及|e_i(0)|＜(k_c-A₀)，所以：

-(k_ci-A_0i)＜e_i＜(k_ci-A_0i) (13)

由假设1可知：

|y_id|≤A_0i (14)

又因为e_i＝y_i-y_id，所以：

-k_ci＜y_i＜k_ci (15)

或者：

|y_i|＜k_ci (16)

假设2：姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，并且满足以下条件：

Δ_i(x₁，x₂，x₃)＝θ_i(t)+δ_i(x₁，x₂，x₃) (17)

其中|θ_i(t)|≤d_i，

d_i为未知的正常数，γ_i，k为未知的正常数，用来表示姿态子系统之间的耦合强度。

引理3：对于任意正常数k_b，在区间|s|＜k_b中有以下不等式成立：

第4，控制器的设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题以及姿态动力学模型存在未知多变量耦合问题，设计一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法，使得姿态闭环子系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束。由引理2可知，要保证四旋翼飞行器姿态输出的值域为|y_i|＜k_ci，必须先要保证滤波误差|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)。

由公式(3)和公式(8)可得：

在集合{s_i∈R：|s_i|＜k_bi}中设计如下的控制律：

将公式(20)代入公式(19)可得：

定理1：针对公式(3)所描述的四旋翼飞行器姿态子系统，如果采用如公式(20)所示的控制律并且满足|e_i(0)|＜k_ci-A₀和|s_i(0)|＜k_bi的条件，则闭环子系统的所有信号全局一致有界，并且姿态子系统的输出始终在一定的范围内，即|y_i|＜k_ci，

证明：针对每个姿态子系统考虑如下形式的Lyapunov函数：

其中s_i∈R：|s_i|＜k_bi，k_bi＝λ_i(k_ci-A_0i)。

求V_i关于时间t的导数可得：

将公式(21)代入公式(23)可得

通过Young’s不等式，可得

将公式(25)代入公式(24)可得

由假设2和不等式(a+b)²≤2a²+2b²，可知

将公式(27)代入公式(26)可得

利用不等式

和Young’s不等式，可得

将公式(29)代入公式(28)可得

其中

现在针对整个姿态系统考虑如下形式的Lyapunov函数

由公式(30)和公式(31)可知

根据引理2可知

由公式(32)和公式(33)可知

其中，μ＝min{2c_i}，

对公式(34)进行积分可得

由公式(35)可知V是有界的，所以s_i也是有界的，由文献[54]可知，由于s_i是有界的，所以e_i(t)和

也是有界的。由公式(20)可知，u_i，i＝1，2，3是有界的。由公式(34)和引理1可知，|s_i|＜k_bi，由引理1和假设1可知姿态子系统的系统输出是有界的，即满足|y_i|＜k_ci，

所以，由上述推导可得姿态子系统中所有信号都是有界的。

注1：在定理1证明过程中，函数V(s)是引理1中函数V(η)的一种特殊形式。

第5，实验结果

在这部分中，本发明通过在加拿大Quanser公司的Qball2四旋翼飞行器实验平台上进行实物实验来验证所提算法的有效性，实验平台环境如附图2所示。整个实验平台硬件部分包括：一个Qball2四旋翼飞行器、一个路由器、一个地面站和6个OptiTrack摄像头。6个OptiTrack摄像头通过识别安装在Qball2四旋翼飞行器反射球来确定四旋翼在室内的实时位姿，摄像头通过USB线与地面站进行连接，四旋翼在室内的实时位姿能够被地面站上的实时控制软件读取，然后四旋翼的实时位姿和在MATLAB/Simulink上搭建的控制程序通过WiFi无线传输到Qball2四旋翼飞行器上，实现四旋翼的自主控制。

四旋翼飞行器姿态角的初始值选择为

期望值选择为(φ_d，θ_d，ψ_d)＝(0.17，0.17，0.17)rad。

经过查阅四旋翼飞行器实物飞行实验资料可知，飞行器飞行过程中滚转角和俯仰角在飞行过程中不能超过40°(弧度约为0.698)，否则很容易产生飞行事故，因此，本文仿真中位置和姿态的输出界限分别设为k_ci＝0.5rad。

以俯仰通道为例，k_b1＝λ₁(k_c1-A₀)＝0.33λ₁，e₁(0)＝0.17，

满足

|e₁(0)|＜k_c1-A₀的条件，同理易知四旋翼飞行器的所有通道都满足初始条件。

控制器参数选择为λ_i＝{5，5，4}，c_i＝{0.3，0.5，0.3}，最终参数的选择是根据实际飞行情况选取的。

为了证明所提算法的有效性，本章节进行了本章所提算法和传统滑模控制算法的角度跟踪对比实验。如附图，图3为滚转角输出的对比实验结果图，图4为俯仰角输出的对比实验结果图，图5为偏航角输出的对比实验结果图，图6为滚转角控制输入的实验结果图，图7为俯仰角控制输入的实验结果图，图8为偏航角控制输入的实验结果图；SMC+BLF表示本章所提算法，SMC表示传统滑模控制算法。

可见在本文所设计控制器和传统滑模控制器的控制下，滚转角、俯仰角和偏航角都能较快的跟踪上期望值，但是在实际起飞时，传统滑模控制器的控制输入要比本文所提算法的控制输入大，这就导致了在传统滑模控制下的滚转角、俯仰角和偏航角都超过了预先设定的安全范围，而在本文所提算法控制下滚转角、俯仰角和偏航角都始终保持在预先设定的安全范围内，从而证明了本文所提算法的有效性。

Claims (1)

1.一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法，其特征在于包括以下步骤：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示；地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴；机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴；F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角；

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中J_x，J_y，J_z分别表示关于坐标轴x，y，z的转动惯量，U_φ，U_θ，U_ψ分别表示滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩，J_r表示螺旋桨转动惯量，Ω＝(Ω₁+Ω₂-Ω₃-Ω₄)，Ω_i(i＝1，2，3，4)表示每个螺旋桨的转速，k_φ，k_θ，k_ψ表示空气阻力系数；

在四旋翼飞行器实际飞行过程中，由于受到外部干扰以及自身测量单元的限制，因此很难得到姿态子系统之间多变量耦合的精确值，因此本章假设姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，具体假设将在下文给出，定义符号Δ_n(φ，θ，ψ)(n＝φ，θ，ψ)表示未知的耦合项，所以四旋翼飞行器姿态动力学模型可以写成如下形式：

由分散控制策略可知，我们可以将四旋翼飞行器姿态动力学模型看作是一个由3个子系统组成的具有强耦合的大规模复杂系统；由公式(2)可知，每个姿态子系统都可以写成如下的状态空间表达式形式：

其中i＝1，2，3，x₁₁＝φ，x₂₁＝θ，x₃₁＝ψ和

为姿态子系统的状态变量，b₁＝l/J_x，b₂＝l/J_y，b₃＝1/J_z为姿态子系统的内部参数，u₁＝U_φ，u₂＝U_θ，u₃＝U_ψ为姿态子系统中选择的虚拟控制量，

为未知的姿态子系统之间的耦合部分，下文会对其进行合理假设；y₁，y₂，y₃为姿态子系统的系统输出；

第3，相关引理和假设

为了方便控制器的设计，本章节需要提出以下引理和假设：

引理1：令z＝[z₁，…，z_p]^T，Z：＝{z∈R^p：|z₁|＜κ₁，…，|z_p|＜κ_p}并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω^T，z^T]^T∈N并且h：R₊×N→R^l+p是定义域内关于时间t分段连续函数且满足局部一致Lipschitz条件；假设存在函数U：＝R^l→R₊和

在各自的定义域内连续可导并且正定，并满足如下条件：

V_i(z_i)→∞，|z_i|→κ_i； (5)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (6)

其中γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数；令函数

初始值z(0)∈Z，如果下列不等式在集合η∈N中：

成立，其中μ，α为正常数，那么ω始终保持有界并且z(t)∈Z，

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理2：定义如下形式的滤波误差：

其中e_i＝y_i-y_id(i＝1，2，3)，λ_i(i＝1，2，3)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (9)

成立；则有输出值|y₁|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0；

假设2：姿态子系统之间的多变量耦合是未知的，并且满足以下条件：

Δ_i(x₁，x₂，x₃)＝θ_i(t)+δ_i(x₁，x₂，x₃) (10)

其中|θ_i(t)|≤d_i，

d_i为未知的正常数，γ_i，k为未知的正常数，用来表示姿态子系统之间的耦合强度；

引理3：对于任意正常数k_b，在区间|s|＜k_b中有以下不等式成立：

第4，控制器的设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题以及姿态动力学模型存在未知多变量耦合问题，设计一种具有姿态有界输出的四旋翼飞行器分散控制方法使得姿态闭环子系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束；由引理2可知，要保证四旋翼飞行器姿态输出的值域为|y_i|＜k_ci，必须先要保证滤波误差|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)；

由公式(3)和公式(8)可得：

在集合{s_i∈R：|s_i|＜k_bi}中设计如下的控制律：

将公式(13)代入公式(12)可得：

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