CN111435253A - 四旋翼飞行器有界输出控制 - Google Patents

Abstract

一种四旋翼飞行器有界输出控制方法。本发明针对四旋翼飞行器实际起飞时输出值超调过大问题，设计了一种基于障碍Lyapunov函数(barrier Lyapunov function，BLF)的有界输出控制方法，该方法不仅能使四旋翼飞行器的实际输出值跟踪上期望输出值，还能够使实际输出值始终保持在预先设定的安全范围内。该方法采用BLF与滑模控制相结合设计控制器，利用BLF将传统滑模面约束在一定的范围内，从而保证四旋翼飞行器输出值保持在一定的范围内，最后证明了该控制系统是稳定的，同时能保证实际输出值有界。

Description

四旋翼飞行器有界输出控制

技术领域

本发明属于四旋翼无人飞行器的技术领域，特别是涉及一种四旋翼无人飞行器的输出有界控制方法。

背景技术

近些年来，四旋翼飞行器由于其结构简单且具有垂直起降、定点悬停、侧飞、倒飞等高机动性的特点而被广泛关注，其中控制器的设计是一个研究热点，各国学者都在设计不同的控制器对四旋翼无人机的位置、姿态进行控制。目前对四旋翼飞行器的控制方法主要有PID控制、反步法控制、动态面控制、滑模控制、自抗扰控制等。虽然这些方法有效地实现了四旋翼飞行器的稳定控制，但鲜有考虑其有界输出问题，对四旋翼飞行器来说，其位置、姿态的有界输出控制有助于改善其动态性能，且能够有效保证四旋翼飞行器和操作人员的安全。

目前实现有界输出控制的方法主要有：基于不变集和允许集的控制、模型预测控制、参考设定法。然而，以上方法要么依赖于数值计算要么所提出的算法相当复杂，很难应用到实际系统中。一些学者应用障碍Lyapunov函数(barrier Lyapunov function，BLF)方法实现了有界输出控制，针对一类严格反馈非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器来保证输出有界。针对一类含有Bouc-Wen迟滞模型的输出受限非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器，解决了系统输出有界问题。针对海洋表面船只系统的输出受限问题，利用BLF结合反步法设计控制律，并用神经网络来逼近未知模型参数和干扰项。但是基于BLF函数的非线性系统反步控制中，存在控制器结构复杂、约束量初值选取区间小等问题，针对以上问题一些学者提出了一种基于非线性映射的自适应反步控制方案，增加了系统初值选取，降低了控制器设计的复杂性。一些学者提出采用切换控制方法，通过滑模控制将系统约束量控制到BLF的收敛域之内，然后采用BLF和反步法设计控制器，实现输出有界控制。针对一类具有未建模动态的非线性系统，有学者提出一种基于BLF和自适应动态面的控制方案，采用动态面的控制方法相较于反步法，降低了控制器设计的复杂性，但是反步法和动态面控制方法需要对控制对象进行精确建模，抗干扰能力较差。

因此，本发明提供了一种新颖的四旋翼飞行器控制方法，针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题，设计了一种四旋翼飞行器有界输出控制，该方法不仅能保证四旋翼飞行器姿态角能快速跟踪上期望值，还能使姿态角始终保持在一定的安全范围内，从而实现四旋翼飞行器的安全稳定控制。

发明内容

本发明的目的是解决现有四旋翼飞行器稳定控制存在的不足，提供了一种四旋翼飞行器有界输出控制方法。

本发明提出了一种新颖的四旋翼飞行器的稳定控制方法。该方法最大的特点是不仅能保证四旋翼飞行器系统输出能快速跟踪上期望值，还能使系统输出值始终保持在一定的安全范围内，从而实现四旋翼飞行器的安全稳定控制。该控制方法利用障碍Lyapunov函数将传统滑模面约束在一定的范围内，从而使系统输出能够始终保持在一定的安全范围内，仿真结果证明本方法有效可靠。

本发明主要做出了以下几方面贡献：1.与普通稳定控制方法相比，本发明所提控制所发不仅能保证四旋翼飞行器系统输出能快速跟踪上期望值，还能使系统输出始终保持在一定的安全范围内；2.与上述解决方案相比，本发明采用BLF与滑模控制方案相结合设计控制器，具有更强的鲁棒性和更简单的控制器结构；3.大多数文献只进行了数值仿真，本发明进行了实验验证。

本发明提供的四旋翼飞行器有界输出控制方法包括：

1、一种四旋翼飞行器有界输出控制方法，其特征在于包括以下步骤：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示。地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴。机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴。F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角。

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

忽略陀螺效应、参数摄动等模型不确定影响及外部干扰，采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中m为四旋翼飞行器质量，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角，I_x，I_y，I_z分别为关于x，y，z轴的转动惯量，l为力臂，U₁，U₂，U₃，U₄为中间控制输入。

将四旋翼飞行器动力学模型看作是一个由6个子系统组成的大规模复杂系统，由公式(1)可知，每个子系统都可以写成如下的单输入单输出系统：

其中，a_i，b_i为系统已知参数，a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z，b₁＝1/J_x，b₂＝1/J_y，b₃＝1/J_z，x_k(k＝1，2，…，12)为系统状态变量，x₁＝x，

x₃＝y，

x₅＝z，

x₇＝φ，

x₉＝θ，

x₁₁＝ψ，

y_i(i＝1，2，…，6)为系统输出，U_x，U_y，U_z，U_φ，U_θ，U_ψ为系统虚拟控制输入：

第3，相关引理和假设

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理1：定义如下形式的滑模面：

其中e_i＝y_i-y_id，λ_i(i＝1，2，3，4，5，6)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (5)

成立，则有输出值|y₁|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0；

证明：通过求解微分方程(4)，可得：

将公式(5)代入公式(6)，可得：

经过一些简单的计算，可得：

e^-λt[e_i(0)+(k_ci-A_0i)]-(k_ci-A_0i)＜e_i＜e^-λt[e_i(0)-(k_ci-A_0i)]+(k_ci-A_0i) (8)

因为e^-λt＞0以及|e_i(0)|＜(k_c-A₀)，所以：

-(k_ci-A_0i)＜e_i＜(k_ci-A_0i) (9)

由假设1可知：

|y_id|≤A_0i (10)

又因为e_i＝y_i-y_id，所以：

-k_ci＜y_i＜k_ci (11)

或者：

|y_i|＜k_ci (12)

引理2：对于任意正常数k_b，令

并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω，δ]^T∈N，h：R₊×N→R^l+1在定义域内是关于时间t分段连续函数并且满足局部一致Lipschitz条件。假设存在函数U：＝R^l→R₊和V₁：δ→R₊在各自的定义域连续可导且正定，并满足如下条件：

V₁(s)→∞，δ→-k_borδ→k_b (14)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (15)

其中，γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数。令V(η)：＝V₁(δ)+U(ω)，初始值δ(0)在集合δ∈(-k_b，k_b)内，如果有下列不等式：

成立，则δ∈(-k_b，k_b)，

第4，控制系统设计

第4.1，四旋翼飞行器的双闭环控制

根据四旋翼飞行器模型的特点，设计双闭环控制回路，内环为姿态控制，外环为位置控制，附图2给出了四旋翼飞行器双闭环控制策略结构图，由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着耦合关系，俯仰角和滚转角的期望值φ_d和θ_d是通过姿态解算模块得到的。在实际飞行中，由于俯仰角和滚转角都很小，故对其进行小角度假设，即sinφ≈φ，cosφ≈1，sinθ≈θ，cosθ≈1。

由式(3)此可得：

反解算得到φ_d和θ_d：

第4.2，控制器设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题，设计一种四旋翼飞行器有界输出控制方法使得闭环系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束。由引理1可知，要保证四旋翼飞行器输出值满足|y_i|＜k_ci的约束，必须先要保证滑模面|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)。为了保证所有的输出值有界，本文内外环控制器都采用BLF和滑模相结合的方法设计控制器，下文以俯仰通道为例进行设计。

对滑模面

求导，得：

结合式(2)可得：

设计如下形式的趋近律：

其中k₁，k₂为正常数。

结合式(13)和式(14)设计如下控制律：

定理1针对控制对象(5)所描述的四旋翼飞行器系统，若采用(19)式的控制律且满足|e_θ(0)|＜k_c-A₀和|s_θ(0)|＜k_b时，则可使四旋翼飞行器系统的输出y₁跟踪期望输出y_1d，同时保证|y₁|＜k_c。

证明：定义障碍Lyapunov函数：

对公式(23)求得：

将式(21)和式(22)代入式(24)可知：

由引理1和引理2可知，定理1成立。

同理可得到其它通道的控制器：

本发明的优点和有益效果

本发明提供了一种四旋翼飞行器有界输出控制方法。本发明主要做出了以下几方面贡献：1.与普通稳定控制方法相比，本发明所提控制所发不仅能保证四旋翼飞行器系统输出能快速跟踪上期望值，还能使系统输出始终保持在一定的安全范围内；2.与上述解决方案相比，本发明采用BLF与滑模控制方案相结合设计控制器，具有更强的鲁棒性和更简单的控制器结构；3.大多数文献只进行了数值仿真，本发明进行了实验验证。

附图说明：

图1为地面坐标系和机体坐标系的定义

图2为四旋翼飞行器双闭环控制策略结构图

图3为实验平台环境

图4为仿真结果：四旋翼飞行器位置环x轴传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图5为仿真结果：四旋翼飞行器位置环y轴传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图6为仿真结果：四旋翼飞行器位置环z轴传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图7为仿真结果：四旋翼飞行器姿态环滚转角传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图8为仿真结果：四旋翼飞行器姿态环俯仰角传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图9为仿真结果：四旋翼飞行器姿态环偏航角传统滑模和本发明方法对比[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹；点划线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图10为实验结果：四旋翼飞行器姿态环传统滑模跟踪俯仰角轨迹[虚线：界；实线：传统滑模方法(SMC)跟踪轨迹]

图11为实验结果：四旋翼飞行器姿态环本发明方法跟踪俯仰角轨迹[虚线：界；实线：本文方法(SMC+BLF)跟踪轨迹]

具体实施方式：

1、一种四旋翼飞行器有界输出控制方法，其特征在于包括以下步骤：

1、一种四旋翼飞行器有界输出控制方法，其特征在于包括以下步骤：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示。地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴。机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴。F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角。

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

忽略陀螺效应、参数摄动等模型不确定影响及外部干扰，采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中m为四旋翼飞行器质量，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角，I_x，I_y，I_z分别为关于x，y，z轴的转动惯量，l为力臂，U₁，U₂，U₃，U₄为中间控制输入。

将四旋翼飞行器动力学模型看作是一个由6个子系统组成的大规模复杂系统，由公式(1)可知，每个子系统都可以写成如下的单输入单输出系统：

其中，a_i，b_i为系统已知参数，a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z，b₁＝1/J_x，b₂＝1/J_y，b₃＝1/J_z，x_k(k＝1，2，…，12)为系统状态变量，x₁＝x，

x₃＝y，

x₅＝z，

x₇＝φ，

x₉＝θ，

x₁₁＝ψ，

y_i(i＝1，2，…，6)为系统输出，U_x，U_y，U_z，U_φ，U_θ，U_ψ为系统虚拟控制输入：

第3，相关引理和假设

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理1：定义如下形式的滑模面：

其中e_i＝y_i-y_id，λ_i(i＝1，2，3，4，5，6)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (5)

成立，则有输出值|y₁|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0；

证明：通过求解微分方程(4)，可得：

将公式(5)代入公式(6)，可得：

经过一些简单的计算，可得：

e^-λt[e_i(0)+(k_ci-A_0i)]-(k_ci-A_0i)＜e_i＜e^-λt[e_i(0)-(k_ci-A_0i)]+(k_ci-A_0i) (8)

因为e^-λt＞0以及|e_i(0)|＜(k_c-A₀)，所以：

-(k_ci-A_0i)＜e_i＜(k_ci-A_0i) (9)

由假设1可知：

|y_id|≤A_0i (10)

又因为e_i＝y_i-y_id，所以：

-k_ci＜y_i＜k_ci (11)

或者：

|y_i|＜k_ci (12)

引理2：对于任意正常数k_b，令

并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω，δ]^T∈N，h：R₊×N→R^l+1在定义域内是关于时间t分段连续函数并且满足局部一致Lipschitz条件。假设存在函数U：＝R^l→R₊和V₁：δ→R₊在各自的定义域连续可导且正定，并满足如下条件：

V₁(s)→∞，δ→-k_borδ→k_b (14)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (15)

其中，γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数。令V(η)：＝V₁(δ)+U(ω)，初始值δ(0)在集合δ∈(-k_b，k_b)内，如果有下列不等式：

成立，则δ∈(-k_b，k_b)，

第4，控制系统设计

第4.1，四旋翼飞行器的双闭环控制

根据四旋翼飞行器模型的特点，设计双闭环控制回路，内环为姿态控制，外环为位置控制，附图2给出了四旋翼飞行器双闭环控制策略结构图，由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着耦合关系，俯仰角和滚转角的期望值φ_d和θ_d是通过姿态解算模块得到的。在实际飞行中，由于俯仰角和滚转角都很小，故对其进行小角度假设，即sinφ≈φ，cosφ≈1，sinθ≈θ，cosθ≈1。

由式(3)此可得：

反解算得到φ_d和θ_d：

第4.2，控制器设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题，设计一种四旋翼飞行器有界输出控制方法使得闭环系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束。由引理1可知，要保证四旋翼飞行器输出值满足|y_i|＜k_ci的约束，必须先要保证滑模面|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)。为了保证所有的输出值有界，本文内外环控制器都采用BLF和滑模相结合的方法设计控制器，下文以俯仰通道为例进行设计。

对滑模面

求导，得：

结合式(2)可得：

设计如下形式的趋近律：

其中k₁，k₂为正常数。

结合式(13)和式(14)设计如下控制律：

定理1针对控制对象(5)所描述的四旋翼飞行器系统，若采用(19)式的控制律且满足|e_θ(0)|＜k_c-A₀和|s_θ(0)|＜k_b时，则可使四旋翼飞行器系统的输出y₁跟踪期望输出y_1d，同时保证|y₁|＜k_c。

证明：定义障碍Lyapunov函数：

对公式(23)求得：

将式(21)和式(22)代入式(24)可知：

由引理1和引理2可知，定理1成立。

同理可得到其它通道的控制器：

第5，仿真和实验结果。

第5.1，仿真结果

本文通过Matlab/Simulink仿真来验证所设计控制器的有效性，将本文所提方法(SMC+BLF)与传统滑模控制方法(SMC)进行了对比仿真，两种情况初始值、期望值和所使用的滑模面相同。

四旋翼飞行器的初始值为：

期望值为(x_d，y_d，z_d)＝(0.5，0.5，0.3)，(φ_d，θ_d，ψ_d)＝(0，0，0)。

四旋翼飞行器输出值的界限可以根据实际飞行环境进行设定，经过查阅四旋翼飞行器实物飞行实验资料可知，飞行器飞行过程中滚转角和俯仰角在飞行过程中不能超过40°(弧度约为0.698)，否则很容易产生飞行事故，因此，本文仿真中位置和姿态的输出界限分别设为k_c1＝1.1m，k_c2＝0.6rad以俯仰通道为例，k_b＝λ_θ(k_c-A₀)＝0.6λ_θ，e_θ(0)＝0，

满足|s_θ(0)|＜k_b，|e_θ(0)|＜k_c-A₀的条件，同理易知四旋翼飞行器的所有通道都满足初始条件。

四旋翼飞行器的参数为：

m＝1.79kg，g＝9.81m/s²，l＝0.2m，I_x＝I_y＝0.03kg·m²，I_z＝0.04kg·m²

控制器参数选择为：

λ_x＝λ_y＝1.41，λ_z＝λ_θ＝λ_φ＝λ_ψ＝3，k_i＝0.5，(i＝1，3，5，7，9，11)，k_j＝5，(j＝2，4，6，8，10，12)

如附图，图4为位置x仿真对比图、图5为位置y仿真对比图、图7为姿态φ仿真对比图和图8为姿态θ仿真对比图，可见四旋翼飞行器在传统滑模控制器的控制下，输出值x，y，φ，θ有较大的超调，都达到或超过所设定的界限，需要较长的时间跟踪上期望值，在本发明设计控制器的控制下，相对于传统滑模控制器的控制，输出值x，y，φ，θ全局都在预先设定的界限之内，超调值和跟踪时间都大大减小，如附图，图6为位置z仿真对比图和图9为姿态ψ仿真对比图，可见输出值z，ψ在两种控制器的控制下，控制效果非常接近是由于这两个通道与其他通道不存在串级控制、控制模型较为简单而且仿真为理想环境造成的。

5.2，实验结果

本发明利用加拿大Quanser公司开发的四旋翼无人机实验平台进行实验验证，实验平台的环境如附图3所示。由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着藕合关系，其水平位置的变化，是通过改变姿态角的来实现的，可以说姿态角的控制是实现四旋翼飞行器稳定飞行的前提和基石，本发明仅进行了姿态实验验证。

本发明以俯仰通道为例，用本发明所提方法(SMC+BLF)与传统滑模控制器(SMC)进行角度跟踪对比实验，两种方法采用相同的初始值和期望值，初始值约为0.4°，期望值为10°，设置的界限为21°，易知本实验初始时刻的状态满足初始条件的要求，如附图，如其中图10为传统滑模(SMC)控制结果，图11为本文所提方法(SMC+BLF)控制结果，可见两种控制器都能快速跟踪上期望值，然而传统滑模控制器的输出值超过了预先设定的界限，本发明控制器的输出值则没有，从而验证了本发明方法的有效性。

Claims (1)

1.一种四旋翼飞行器有界输出控制方法，其特征在于包括以下步骤：

第1，定义系统坐标系

定义了地面坐标系{E}和四旋翼飞行器的机体坐标系{B}两个坐标系，坐标系相对关系如附图1所示；地面坐标系以四旋翼起飞位置作为坐标原点，先让x_e轴在水平面内指向某一方向，z_e轴垂直于地面向上，按照右手定则确定y_e轴；机体坐标系坐标原点为机体重心，定义了x_b轴正方向为四旋翼飞行器的前进方向，z_b轴垂直于机体平面向上，按照右手定则确定y_b轴；F_i(i＝1，2，3，4)表示四旋翼飞行器四个旋翼产生的升力，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角；

第2，建立四旋翼飞行器姿态子系统动力学模型

忽略陀螺效应、参数摄动等模型不确定影响及外部干扰，采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器姿态动力学模型为如下形式：

其中m为四旋翼飞行器质量，φ，θ，ψ分别为滚转角，俯仰角和偏航角，I_x，I_y，I_z分别为关于x，y，z轴的转动惯量，l为力臂，U₁，U₂，U₃，U₄为中间控制输入；

将四旋翼飞行器动力学模型看作是一个由6个子系统组成的大规模复杂系统，由公式(1)可知，每个子系统都可以写成如下的单输入单输出系统：

其中，a_i，b_i为系统已知参数，a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z，b₁＝1/J_x，b₂＝1/J_y，b₃＝1/J_z，x_k(k＝1，2，…，12)为系统状态变量，x₁＝x，

x₃＝y，

x₅＝z，

x₇＝φ，

x₉＝θ，

x₁₁＝ψ，

y_i(i＝1，2，…，6)为系统输出，U_x，U_y，U_z，U_φ，U_θ，U_ψ为系统虚拟控制输入：

第3，相关引理和假设

假设1：系统输出的期望信号y_id以及它的二阶导数已知并且有界，即存在正常数A_0i，A_1i，A_2i使得如下条件成立|y_id|≤A_0i，

引理1：定义如下形式的滑模面：

其中e_i＝y_i-y_id，λ_i(i＝1，2，3，4，5，6)为正常数参数，令初始时刻误差为|e_i(0)|＜k_ci-A_0i，若不等式：

|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i) (5)

成立，则有输出值|y_i|＜k_c，

成立，其中k_ci＞0；

引理2：对于任意正常数k_b，令

并且

为开集，考虑如下系统：

令η：＝[ω，δ]^T∈N，h：R₊×N→R^l+1在定义域内是关于时间t分段连续函数并且满足局部一致Lipschitz条件；假设存在函数U：＝R^l→R₊和V₁：δ→R₊在各自的定义域连续可导且正定，并满足如下条件：

V₁(s)→∞，δ→-k_borδ→k_b (7)

γ₁(||ω||)≤U(ω)≤γ₂(||ω||) (8)

其中，γ₁，γ₂属于无穷大κ类函数；令V(η)：＝V₁(δ)+U(ω)，初始值δ(0)在集合δ∈(-k_b，k_b)内，如果有下列不等式：

成立，则δ∈(-k_b，k_b)，

第4，控制系统设计

第4.1，四旋翼飞行器的双闭环控制

根据四旋翼飞行器模型的特点，设计双闭环控制回路，内环为姿态控制，外环为位置控制，附图2给出了四旋翼飞行器双闭环控制策略结构图，由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着耦合关系，俯仰角和滚转角的期望值φ_d和φ_d是通过姿态解算模块得到的；在实际飞行中，由于俯仰角和滚转角都很小，故对其进行小角度假设，即

sinφ≈φ，cosφ≈1，sinθ≈θ，cosθ≈1；

由式(3)此可得：

反解算得到φ_d和θ_d：

第3.2，控制器设计

本文的控制目标为针对四旋翼飞行器实际起飞时姿态超调过大问题，设计一种四旋翼飞行器有界输出控制方法使得闭环系统中所有信号都是有界的，并且满足|y_i|＜k_ci的约束；由引理1可知，要保证四旋翼飞行器输出值满足|y_i|＜k_ci的约束，必须先要保证滑模面|s_i|＜λ_i(k_ci-A_0i)；为了保证所有的输出值有界，本文内外环控制器都采用BLF和滑模相结合的方法设计控制器，下文以俯仰通道为例进行设计；

对滑模面

求导，得：

结合式(2)可得：

设计如下形式的趋近律：

其中k₁，k₂为正常数；

结合式(13)和式(14)设计如下控制律：

同理可得到其它通道的控制器：

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