CN108984474B - 一种非理想分段多项式信号的欠采样方法 - Google Patents

一种非理想分段多项式信号的欠采样方法 Download PDF

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Abstract

一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，本发明涉及非理想分段多项式信号的欠采样方法。本发明的目的是为了解决现有基于微分Dirac脉冲串提出的理想分段多项式欠采样方法对实际应用中的信号模型匹配度低，导致重构信号参数准确率低的问题。过程为：一，根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；二，求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本；三，求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，重构微分VPW脉冲串在(‑π,π)内的傅里叶系数，重构非理想分段多项式信号在(‑π,π)内的傅里叶系数，重构非理想分段多项式的时域波形。本发明用于信号处理技术领域。

Description

一种非理想分段多项式信号的欠采样方法
技术领域
本发明设计信号处理技术领域，特别涉及非理想分段多项式信号的欠采样方法。
背景技术
传统的奈奎斯特采样体系要求采样速率至少为信号带宽的二倍，而近年来由Vetterli和Marziliano等人提出的有限新息率(Finite Rate of Innovation,FRI)理论突破了奈奎斯特采样定理的限制，可以实现从少量数据中提取有用信息，从而大大降低采样率，避免高采样率要求带来的A/D设计难度大、系统处理速度快、数据冗余等问题。该理论通过设计合适的采样核对单位时间内自由度个数有限的参数化信号进行滤波，并以接近于信号新息率的速率进行采样，然后通过一定的重构算法精确恢复原信号的未知参数。新息率就是信号在单位时间内的自由度个数，具有有限新息率的信号就是FRI信号，FRI信号的新息率通常远低于其奈奎斯特频率。
分段多项式是典型的FRI信号，对于包含L段、最高阶次不超过R的理想分段多项式，其R+1阶导数为微分Dirac脉冲串，即：
Figure BDA0001684379140000011
其中，T为分段多项式信号的时间持续长度，
Figure BDA0001684379140000012
为分段多项式的各间断点，
Figure BDA0001684379140000013
为各间断点处不同阶次微分Dirac脉冲的幅度参数。Vetterli等人基于FRI理论提出了对理想分段多项式的欠采样方法，即利用特定的采样核获取分段多项式信号傅里叶系数后通过估计微分Dirac脉冲串的参数来重构原信号。理想的分段多项式在间断点处具有理想的过渡带，然而实际应用中的非理想分段多项式在间断点附近的过渡带则是非理想的，因此理想分段多项式模型与实际应用中信号模型不匹配。如何将微分Dirac脉冲串替换为其他形状更广泛的微分脉冲序列，从而对非理想分段多项式在间断点附近非理想的过渡带进行更精确的描述，是实现非理想分段多项式欠采样和精确重构的关键问题。
Dirac脉冲实际上是VPW脉冲的一种特例形式。Baechler等人针对ECG信号提出了基于洛伦兹脉冲及其Hilbert变换的VPW-FRI(Variable Pulse Width Finite Rate ofInnovation)模型，由对称子脉冲和反对称子脉冲两部分组成，表达式如下：
Figure BDA0001684379140000014
其中
Figure BDA0001684379140000021
Figure BDA0001684379140000022
为zl(t)的共轭形式，即
Figure BDA0001684379140000023
tl和rl分别为VPW脉冲的时延和脉宽参数，cl和dl为对称子脉冲和反对称子脉冲的幅度参数。当dl＝0且rl趋近于0时，VPW脉冲将变为时延tl处、幅度为cl的Dirac脉冲。因此微分Dirac脉冲串的一种替换形式为微分VPW脉冲串。
综上，现有基于微分Dirac脉冲串提出的理想分段多项式欠采样方法对实际应用中的信号模型匹配度低，导致重构信号参数准确率低。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有基于微分Dirac脉冲串提出的理想分段多项式欠采样方法对实际应用中的信号模型匹配度低，导致重构信号参数准确率低的问题，而提出一种非理想分段多项式信号的欠采样方法。
一种非理想分段多项式信号的欠采样方法具体过程为：
步骤一，根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；
步骤二，根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]；
步骤三，根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000024
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000025
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000026
根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000027
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000028
本发明的有益效果为：
本发明提出的一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型，根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]，根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000031
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000032
重构非理想分段多项式在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000033
根据非理想分段多项式在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000034
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000035
可以对信号间断点之间的过渡带进行重构，提高了重构信号参数准确率，具有更高的模型匹配度，通过实验验证了本发明方法提高了重构信号参数准确率，对实际信号具有更高的模型匹配度，与现有分段多项式前采样方法相比重构信号的信噪比提高了11.8317dB，并适用于噪声环境下非理想分段多项式信号重构问题，可以通过适当提高过采样比或增加拟合间断点个数来提高本方法的抗噪性。
附图说明
图1非理想分段多项式欠采样系统框图；
图2a为本发明方法对R＝0的理想分段多项式及非理想分段多项式的仿真结果图；
图2b为本发明方法对R＝1的理想分段多项式及非理想分段多项式的仿真结果图；
图3a为理想分段多项式欠采样方法对实际非理想方波脉冲信号重构的仿真结果图；
图3b为本发明方法对实际非理想方波脉冲信号重构的仿真结果图；
图4a为过采样比对本发明方法重构信号信噪比影响的仿真结果图；
图4b为拟合间断点个数对本发明方法重构信号信噪比影响的仿真结果图。
具体实施方式
具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式的一种非理想分段多项式信号的欠采样方法具体过程为：
步骤一，根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；
步骤二，根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]；
步骤三，根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串的频谱信息在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000041
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000042
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000043
根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000044
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000045
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；具体过程为：
假设待采样的R阶非理想分段多项式信号含L个间断点，非理想分段多项式信号R+1阶导数为微分VPW脉冲串，即：
Figure BDA0001684379140000046
所述非理想分段多项式信号为信号间断点附近过渡带非理想的分段多项式，图2a和图2b为阶数为R＝0时和R＝1时的理想分段多项式和非理想分段多项式信号；
其中，T为非理想分段多项式信号的时间持续长度，R、L取值为正整数，hl,r(t)为VPW脉冲，
Figure BDA0001684379140000047
为hl,r(t)的r阶导数，表示为：
Figure BDA0001684379140000048
其中zl(t)为中间变量，
Figure BDA0001684379140000049
Figure BDA00016843791400000410
为中间变量，
Figure BDA00016843791400000411
Figure BDA00016843791400000412
为各间断点位置即VPW脉冲的时延参数，
Figure BDA00016843791400000413
为脉冲的宽度参数，
Figure BDA00016843791400000414
为脉冲幅度参数，Im为虚部，rl为第l个脉冲的宽度，tl为第l个脉冲的时延，j为虚数单位。
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]；具体过程为：
假设FRI采样核为SoS采样核s(t)，FRI采样核系数为bk，且有
Figure BDA00016843791400000415
假设采样样本个数N≥2M+1，其中M≥2L(R+1)；
则均匀采样间隔Ts≤T/N，得到FRI采样值y[n]与待求非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]之间关系：
Figure BDA0001684379140000051
其中n＝0,1,…,N-1；k为傅里叶系数索引值，M/T为傅里叶系数频率最大值；
式(3)写成矩阵形式即：
Figure BDA0001684379140000052
上述公式简写为：
y＝V(-ts)Bx (5)
其中ts＝[0,T,2T,...,(N-1)T]H，(·)H表示矩阵转置；B为SoS采样核系数bk构成的对角矩阵，代表
Figure BDA0001684379140000053
V为中间矩阵，代表
Figure BDA0001684379140000054
x为傅里叶系数向量，代表
Figure BDA0001684379140000055
y为采样值向量，代表
Figure BDA0001684379140000056
通过对y＝V(-ts)Bx求逆，从采样样本中恢复非理想分段多项式信号的傅里叶系数样本：
x＝V-1(-ts)B-1y (6)。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤二中SoS采样核s(t)时域表达式为：
Figure BDA0001684379140000057
其系数bk须满足
Figure BDA0001684379140000061
从而保证SoS采样核是一个实值的滤波器，在物理上可实现，b-k为FRI采样核系数，*为共轭；并且
Figure BDA0001684379140000062
的设定与待求傅里叶系数的频率范围f有关，f∈[-M/T，M/T]，rect(·)为矩形窗。
步骤二中所述的集合
Figure BDA0001684379140000063
的范围变大时，对应的SoS采样核表达式也会发生变化，在频域上表现为低通滤波器的通带展宽。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤三中根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000064
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000065
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000066
根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000067
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000068
具体过程为：
对非理想分段多项式信号的重构是通过估计相应R+1阶导数微分VPW脉冲串的参数来实现的，先通过改进的谱估计方法(如零化滤波器法)恢复各脉冲的时延和宽度参数
Figure BDA0001684379140000069
然后用最小二乘法估计脉冲的幅度参数
Figure BDA00016843791400000610
该重构过程的具体实现步骤为：
步骤三一，获取微分VPW脉冲串的傅里叶系数样本：
设输入非理想分段多项式信号x(t)的傅里叶系数样本为X[k]，设微分VPW脉冲串x(R+1)(t)的傅里叶系数样本为X(R+1)[k]，则有：
Figure BDA00016843791400000611
步骤三二，通过改进的谱估计算法估计微分VPW脉冲串的时延和脉宽参数；
步骤三三，通过最小二乘法估计微分VPW脉冲串幅度参数；
步骤三四，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA00016843791400000612
步骤三五，根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000071
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000072
步骤三六，根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000073
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000074
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：所述步骤三二中通过改进的谱估计算法估计微分VPW脉冲串的时延和脉宽参数；具体过程为：
已知微分VPW脉冲串x(R+1)(t)的傅里叶系数表达式为：
Figure BDA0001684379140000075
对原始的零化滤波器作改进：
即零化滤波器的根由
Figure BDA0001684379140000076
扩展为
Figure BDA0001684379140000077
当k为正整数时，令
Figure BDA0001684379140000078
则上式(8)简写为可零化求解的形式：
Figure BDA0001684379140000079
其中al,r为中间变量；
对应的零化滤波器为：
Figure BDA00016843791400000710
其中z表示复数，即滤波器A(z)在z域中定义；
即零化滤波器的根
Figure BDA00016843791400000711
均为R+1重根，共包括M′＝L(R+1)个根，l＝1,...,L；通过零化滤波器的根恢复时延和脉宽参数，即
Figure BDA00016843791400000712
和
Figure BDA00016843791400000713
∠为求相运算。
其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。
具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是：所述步骤三三中通过最小二乘法估计微分VPW脉冲串幅度参数；具体过程为：
用最小二乘法求解如下线性组合来估计中间变量
Figure BDA00016843791400000714
xh＝Ya (11)
其中xh为傅里叶系数向量[X(R+1)[1],...,X(R+1)[M]]H，a为向量[a1,0,...,a1,R,...,aL,0,...,aL,R]H，Y为一个M×M矩阵，Y的第k行为
Figure BDA0001684379140000081
通过对xh＝Ya求逆，从傅里叶系数中恢复
Figure BDA0001684379140000082
a＝Y-1xh (12)
从
Figure BDA0001684379140000083
中恢复出
Figure BDA0001684379140000084
其它步骤及参数与具体实施方式一至六之一相同。
具体实施方式八：本实施方式与具体实施方式一至七之一不同的是：所述步骤三四中根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000085
具体过程为：
通过估计出的参数
Figure BDA0001684379140000086
和
Figure BDA0001684379140000087
按照公式(8)
Figure BDA0001684379140000088
计算微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000089
即
Figure BDA00016843791400000810
其它步骤及参数与具体实施方式一至七之一相同。
具体实施方式九：本实施方式与具体实施方式一至八之一不同的是：所述步骤三五中根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA00016843791400000811
重构非理想分段多项式在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA00016843791400000812
具体过程为：
根据微分VPW脉冲串x(R+1)(t)和非理想分段多项式之间的导数关系，按照如下公式重构非理想分段多项式在(-π,π)内(除零频点外)的傅里叶系数
Figure BDA00016843791400000813
Figure BDA00016843791400000814
零频点处傅里叶系数X[0]通过SoS采样核直接获取。
其它步骤及参数与具体实施方式一至八之一相同。
具体实施方式十：本实施方式与具体实施方式一至九之一不同的是：所述步骤三六中根据非理想分段多项式在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure BDA0001684379140000091
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure BDA0001684379140000092
具体公式为：
Figure BDA0001684379140000093
其它步骤及参数与具体实施方式一至九之一相同。
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
实施例一：
本实施例一种非理想分段多项式信号的欠采样方法具体是按照以下步骤制备的：
为了验证本发明方法的性能，将本发明中提出的非理想分段多项式欠采样方法和现有的理想分段多项式欠采样方法进行对比分析。两种方法的对比如表1所示。从表1可以看出，本发明方法能够对非理想分段多项式间断点之间的过渡带进行精确重构，具有更高的模型匹配度，但由于信号模型的新息率增大，因此要以重构所需样本数的适当增多作为代价。
表1欠采样方法性能对比
Figure BDA0001684379140000094
为了更清晰地说明本发明提出的欠采样方法的优势，进行了仿真实验来验证。为了定量地描述参数估计的准确性，便于比较，引入输出信号信噪比(Signal-to-NoiseRatio,SNR)作为评价指标。
Figure BDA0001684379140000095
其中x是待测信号向量，
Figure BDA0001684379140000096
是重构信号向量。
实验一，对本发明方法和理想分段多项式欠采样方法对实际信号的模型匹配度进行比较。待测信号采用从示波器采集到的一段非理想方波脉冲信号，示波器的采样率为2GHz，信号点数为1000，信号时间持续长度为T＝0.5μs。两种欠采样方法中对信号模型和采样结构的仿真参数设置如表2所示，仿真结果如图3a、3b所示。其中，采用理想分段多项式欠采样方法得到的重构信号信噪比为SNRo＝21.4376dB，采用本发明方法得到的重构信号信噪比为SNRo＝33.2693dB，因此本发明方法对实际信号具有更高的模型匹配度，重构信噪比提高了11.8317dB。
表2信号模型及采样结构仿真参数设置
Figure BDA0001684379140000101
实验二，下面对本发明方法的抗噪性进行分析，研究过采样比和拟合间断点个数对抗噪性的影响。间断点个数为L＝4，最高阶次为R＝0。在待测信号上叠加高斯白噪声，待测信号经过SoS采样核后进行过采样，然后对获得的傅里叶系数样本进行Cadzow降噪，并采用改进的零化滤波器法进行参数估计。实验中，过采样比(Oversampling Ratio,OSR)分别为1、2、4、8，间断点个数分别为4、6、8、10，输入信噪比从-20dB变化到100dB，每次实验做100次，获得平均的重构信号信噪比估计结果如图4a、4b所示。从图中可以看出，本发明提出的非理想分段多项式欠采样方法在适当提高采样率、适当增加拟合间断点个数的条件下可以具有更好的抗噪性能。
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (7)

1.一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述方法具体过程为：
步骤一，根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；
步骤二，根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]；
步骤三，根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000011
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000012
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000013
根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000014
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure FDA0003594518040000015
所述步骤二中根据微分VPW脉冲串模型设计SoS采样核s(t)，根据SoS采样核s(t)进行采样，得到FRI采样值y[n]，根据FRI采样值y[n]求解非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]；具体过程为：
假设FRI采样核为SoS采样核s(t)，FRI采样核系数为bk，且有
Figure FDA0003594518040000016
假设采样样本个数N≥2M+1，其中M≥2L(R+1)；
则均匀采样间隔Ts≤T/N，得到FRI采样值y[n]与待求非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]之间关系：
Figure FDA0003594518040000017
其中n＝0,1,…,N-1；k为傅里叶系数索引值，M/T为傅里叶系数频率最大值；
式(3)写成矩阵形式即：
Figure FDA0003594518040000018
上述公式简写为：
y＝V(-ts)Bx (5)
其中ts＝[0,T,2T,...,(N-1)T]H，(·)H表示矩阵转置；B为SoS采样核系数bk构成的对角矩阵，代表
Figure FDA0003594518040000021
V为中间矩阵，代表
Figure FDA0003594518040000022
x为傅里叶系数向量，代表
Figure FDA0003594518040000023
y为采样值向量，代表
Figure FDA0003594518040000024
通过对y＝V(-ts)Bx求逆，从采样样本中恢复非理想分段多项式信号的傅里叶系数样本：
x＝V-1(-ts)B-1y (6)
所述SoS采样核s(t)时域表达式为：
Figure FDA0003594518040000025
其系数bk须满足
Figure FDA0003594518040000029
b-k为FRI采样核系数，*为共轭；并且f∈[-M/T，M/T]，rect(·)为矩形窗。
2.根据权利要求1所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤一中根据待采样的非理想分段多项式信号建立微分VPW脉冲串模型；具体过程为：
假设待采样的R阶非理想分段多项式信号含L个间断点，非理想分段多项式信号R+1阶导数为微分VPW脉冲串，即：
Figure FDA0003594518040000026
其中，T为非理想分段多项式信号的时间持续长度，R、L取值为正整数，hl,r(t)为VPW脉冲，
Figure FDA0003594518040000027
为hl,r(t)的r阶导数，表示为：
Figure FDA0003594518040000028
其中zl(t)为中间变量，
Figure FDA0003594518040000031
Figure FDA0003594518040000032
为中间变量，
Figure FDA0003594518040000033
Figure FDA0003594518040000034
为各间断点位置即VPW脉冲的时延参数，
Figure FDA0003594518040000035
为脉冲的宽度参数，
Figure FDA0003594518040000036
为脉冲幅度参数，Im为虚部，rl为第l个脉冲的宽度，tl为第l个脉冲的时延，j为虚数单位。
3.根据权利要求2所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤三中根据非理想分段多项式信号傅里叶系数样本X[k]求解微分VPW脉冲串的信号的时延、宽度和幅度参数，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000037
根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000038
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000039
根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000310
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure FDA00035945180400000311
具体过程为：
步骤三一，获取微分VPW脉冲串的傅里叶系数样本：
设输入非理想分段多项式信号x(t)的傅里叶系数样本为X[k]，设微分VPW脉冲串x(R+1)(t)的傅里叶系数样本为X(R+1)[k]，则有：
Figure FDA00035945180400000312
步骤三二，通过改进的谱估计算法估计微分VPW脉冲串的时延和脉宽参数；
步骤三三，通过最小二乘法估计微分VPW脉冲串幅度参数；
步骤三四，根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000313
步骤三五，根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000314
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000315
步骤三六，根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000316
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure FDA00035945180400000317
所述步骤三二中通过改进的谱估计算法估计微分VPW脉冲串的时延和脉宽参数；具体过程为：
已知微分VPW脉冲串x(R+1)(t)的傅里叶系数表达式为：
Figure FDA0003594518040000041
对原始的零化滤波器作改进：
即零化滤波器的根由
Figure FDA0003594518040000042
扩展为
Figure FDA0003594518040000043
当k为正整数时，令
Figure FDA0003594518040000044
则上式(8)简写为可零化求解的形式：
Figure FDA0003594518040000045
其中al,r为中间变量；
对应的零化滤波器为：
Figure FDA0003594518040000046
其中z表示复数；
即零化滤波器的根
Figure FDA0003594518040000047
均为R+1重根，共包括M′＝L(R+1)个根，l＝1,...,L；通过零化滤波器的根恢复时延和脉宽参数，即
Figure FDA0003594518040000048
和
Figure FDA0003594518040000049
∠为求相运算。
4.根据权利要求3所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤三三中通过最小二乘法估计微分VPW脉冲串幅度参数；具体过程为：
用最小二乘法求解如下线性组合来估计中间变量
Figure FDA00035945180400000410
xh＝Ya (11)
其中xh为傅里叶系数向量[X(R+1)[1],...,X(R+1)[M]]H，a为向量[a1,0,...,a1,R,...,aL,0,...,aL,R]H，Y为一个M×M矩阵，Y的第k行为
Figure FDA00035945180400000411
k∈[1,M]；
通过对xh＝Ya求逆，从傅里叶系数中恢复
Figure FDA00035945180400000412
a＝Y-1xh (12)
从
Figure FDA0003594518040000051
中恢复出
Figure FDA0003594518040000052
5.根据权利要求4所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤三四中根据微分VPW脉冲串的时延、脉宽、幅度参数重构微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000053
具体过程为：
通过估计出的参数
Figure FDA0003594518040000054
和
Figure FDA0003594518040000055
按照公式(8)计算微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000056
即
Figure FDA0003594518040000057
6.根据权利要求5所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤三五中根据微分VPW脉冲串在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000058
重构非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA0003594518040000059
具体过程为：
根据微分VPW脉冲串x(R+1)(t)和非理想分段多项式之间的导数关系，按照如下公式重构非理想分段多项式在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000510
Figure FDA00035945180400000511
零频点处傅里叶系数X[0]通过SoS采样核直接获取。
7.根据权利要求6所述一种非理想分段多项式信号的欠采样方法，其特征在于：所述步骤三六中根据非理想分段多项式信号在(-π,π)内的傅里叶系数
Figure FDA00035945180400000512
重构非理想分段多项式的时域波形
Figure FDA00035945180400000513
具体公式为：
Figure FDA00035945180400000514
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