CN112395546B - 一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，属于数字信号处理技术领域。本方法的创新点在于：基于信号在线性正则域的表征，通过设计一类新型的紧支撑的采样核，实现对有限新息率信号降采样，然后，通过高分辨谱估计，完成信号重构。相较现有技术，本方法根据信号的有限新息率和线性正则变换的4个自由参数，设计不同的新型紧支撑采样核，能够以远低于传统Nyquist采样率的降采样数据实现信号的完美重构，打破了Nyquist采样理论对信号带限和采样率的要求和限制，对降低数模转换设备要求、减少储存空间及计算能耗，进一步促进信息领域发展具有重要意义。

Description

一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法

技术领域

本发明涉及一种数字信号降采样与重构处理方法，尤其涉及一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，属于数字信号处理技术领域。

背景技术

在数字信号处理领域，传统的Nyquist采样理论为了不失真地完美重构信号，要求采样率大于或等于2倍的带限信号的带宽，这种方式，支撑并实现了从模拟信号处理到数字信号处理的飞跃，极大地提升了雷达、通信、导航等信息系统的性能。

然而，随着现代信息领域的飞速发展，以及雷达、通信、导航等信息系统要求的不断提高，信号带宽达到几百兆赫兹甚至千兆赫兹(例如超宽带信号与图像处理)。这对数模转换设备、储存空间以及计算能耗提出了巨大的挑战。

为了满足对信息系统性能的要求，除了改进硬件设备外，往往还必须从信号采样与信号处理的层面来获取信号有效信息。因此，尽可能地降低信号采样率，成为信息发展领域中亟待解决的问题之一。

现有的信号降采样方法主要基于两类：压缩感知理论和有限新息率理论。

其中，基于压缩感知(CS)降采样理论的方法，首先要对信号进行稀疏表征，经典的稀疏化的方法有离散余弦变换(DCT)、傅里叶变换(FFT)、离散小波变换(DWT)或其几种方法结合等。由于不同的信号存在不同的稀疏基，因此，需要找到信号的最稀疏表达，然后再进行降采样，最后采用重构方法对信号进行重构。尽管压缩感知的方法，降低了信号的采样率，但是，其重构结果受到采样数据、稀疏化方法和采样栅格的影响，不可避免地出现更大的重构误差，容易导致基于此降采样的信号完美重构失败。

基于有限新息率理论的方法，最初是针对非带限信号提出的，根据信号中参数的自由度得到采样率。一般情况下，基于这种方法的降采样率远远低于Nyquist采样率和CS降采样率。采样核的设计是最关键的一步。常用的采样核分为两类：(1)基于Sinc函数类：其中Sinc函数求和(SoS)是一种常见的采样核，已经应用到雷达、声呐、超宽带图像处理等信息与工程领域。(2)再生核：常见的E指数再生核、多项式再生核或两者结合的一般再生核。这类再生核存在明显缺陷，即，难以实现对多个信号组成的脉冲串的完美重构，在实际工程中应用较少。另外，降采样理论仅限于在傅里叶域，没有在更一般的变换域中得以推广和应用，同时难以在重构中获取信号精细的特征。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术的缺陷，创造性地提出一种新的基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法。

本方法的创新点在于：基于信号在线性正则域的表征，通过设计一类新型的紧支撑的采样核，实现对有限新息率信号降采样，然后，通过高分辨谱估计，完成信号重构。

线性正则变换(Linear canonical transform，LCT)，是在20世纪70年代出现的一种时频变换，最初应用于光学领域，随之成为了信号处理领域的研究热点之一。它具有3个自由参量，当选取不同的矩阵参数时，能够转变为传统傅里叶变换、分数阶傅里叶变换和Fresnel变换，因此，在进行信号和图像处理时，参数的灵活性使得它获得比传统的变换更好的特性。

为了更好地阐述本发明方法，首先对其涉及的基本概念进行说明：

定义1：对于信号x(t)∈L²(R)，其线性正则变换(LCT)定义为：

其中，L²(R)表示实数域R上的二次可积函数空间，即x(t)是二次可积函数，t∈R；K_A(t,u)是线性正则变换的变换核，其定义为：

其中，

表示K_A(t,u)的复共轭，j是虚数单位，π是圆周率，u是线性正则变换域的频率；δ(t)是冲激函数，其定义为δ(t)＝0,t≠0,且

线性正则变换的参数矩阵为

且|A|＝1a,b,c,d∈R，实现函数的旋转和拉伸变换，此处设b≠0。

定义2：对于周期为τ的信号x(t)∈L²(R)，其线性正则级数(Linear canonicalseries，LCS)定义为：

其中，

Φ_A(t,m)＝Φ_A(t,mu₀) (5)

则信号x(t)用线性正则系数表征为：

定义3：对于信号x(t),g(t)∈L²(R)，线性正则域卷积定义为：

其中，

对于信号x(t),g(t)∈L²(R)，如果

则：

其中

一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，包括以下步骤：

步骤1：信号降采样。

步骤1.1：对于有限新息率为ρ的周期信号x(t)，用线性正则系数对其表征，得到包含由未知的自由参数决定的信号模型Q[m]。

步骤1.2：在线性正则域内，设计一类紧支撑的Sinc函数求和(SoS_A)的采样核H(u)，其在时域表征为E指数函数的求和形式h(t)。

其中，Sinc函数(E指数函数)的个数N，由信号的有限新息率和线性正则变换的参数矩阵决定，其满足：N≥2M_A+1，

且B≥ρ。

步骤1.3：将步骤1.1中的稀疏信号x(t)，与步骤1.2中的采样核h(t)进行时域卷积，此卷积为定义3中的卷积“*A”，完成对信号的采样，从而得到信号的降采样数据y(nT)。

步骤1.1-1.3可进一步归纳表述如下：

对周期为τ的Dirac脉冲串信号x(t)，其有限新息率

SoS_A采样核h(t)为在线性正则域带宽为[-Bπ,Bπ],B≥ρ的理想低通滤波器。对x(t)滤波后得到的y(t)＝x(t)*_Ah(-t)在t＝nT,n＝0,1,…,N-1进行均匀采样，当N≥2M_A+1，

时，y(nT)包含信号x(t)的全部特征：

y(nT)＝x(t)*_Ah(-t)|_t＝nT n＝0,1,…,N-1 (10)

步骤2：对降采样后的信号进行重构。

步骤2.1：对步骤1.3得到降采样数据y(nT)，通过高分辨谱估计的方法零化滤波，实现对时间位置的重构：

构造零化滤波A(z)去零化采样序列中的Q[m]，得到零化滤波器的系数

根据其系数和时间位置的关系，得到稀疏信号的时间位置

的重构。

步骤2.2.：结合步骤2.1的时间位置，得到范德蒙矩阵U和对角矩阵V，采用最小二乘法，实现对信号幅度

的重构。

有益效果

本发明方法，相对现有技术，具有以下优点：

本方法根据信号的有限新息率和线性正则变换的4个自由参数，设计不同的新型紧支撑采样核，能够以远低于传统Nyquist采样率的降采样数据实现信号的完美重构，打破了Nyquist采样理论对信号带限和采样率的要求和限制，对降低数模转换设备要求、减少储存空间及计算能耗，进一步促进信息领域发展具有重要意义。

附图说明

图1为本发明设计的新型紧支撑的采样核由5个Sinc函数求和得到的采样核；

图2为本发明的整个采样过程示意图；

图3为2个Dirac组成的脉冲串及其在线性正则域的表征；

图4为基于本发明提出的降采样方法的采样结果和线性正则域的低通结果；

图5为基于本发明提出的采样与重构方法的重构结果；

图6为9的随机Dirac组成的脉冲串及其在线性正则域的表征；

图7为基于压缩感知不同数据量对图6中稀疏信号的重构结果；

图8为基于E指数再生采样核和一般再生采样核对图6中稀疏信号的重构结果；

图9为基于有限新息率降采样方法在傅里叶域和线性正则域对图6中稀疏信号的重构结果；

图10为基于不同的降采样方法在不同噪声环境下对时间位置重构的鲁棒性；

图11为雷达回波信号在时域、傅里叶域及线性正则域的表征；

图12为基于本发明提出的降采样方法对雷达回波信号的降采样和时延估计结果。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，包括以下步骤：

步骤1：信号降采样。

步骤1.1：对于有限新息率为ρ的周期信号x(t)，用线性正则系数对其表征，得到包含由未知的自由参数决定的信号模型Q[m]。

具体地：

对由L个冲激脉冲组成的周期脉冲串信号x(t)：

其周期为τ，有限新息率为

用线性正则级数将其表征为：

其中，

包含了信号的全部自由参数：时间位置

和幅度

步骤1.2：在线性正则域内，设计一类紧支撑的Sinc函数求和SoS_A的采样核H(u)，其在时域表征为E指数函数的求和形式h(t)。

具体地：

根据信号的有限新息率ρ和其在具体线性正则域的表征，设计一类Sinc函数求和SoS_A的采样核H(u)：

其中，

且|A|＝1a,b,c,d∈R,b≠0。

采样核H(u)在时域的对应表达形式为E指数函数的求和形式h(t)：

其中，

表示λ_a,b(u)的复共轭,

Sinc函数的个数N，由信号的有限新息率和线性正则变换的参数矩阵共同决定，其满足N≥2M_A+1,

且B≥ρ。

采样核看作是理想的低通滤波器，其带宽由有限新息率决定，即

图1即为采样核在时域和线性正则域的表征，从中可发现，其紧支撑性质和理想低通滤波的性质。

步骤1.3：将步骤1.1中的稀疏信号x(t)，与步骤1.2中的采样核h(t)进行时域卷积，此卷积为定义3中的卷积“*_A”，完成对信号的采样，从而得到信号的降采样数据y(nT)。

具体地：

根据线性正则域的卷积定理，对步骤1.1中的有限新息率信号x(t)和步骤1.2采样核h(t)进行卷积，然后进行均匀采样，得到降采样的序列

其中，采样点数满足N≥2M_A+1且

步骤2：对降采样信号进行重构。

步骤2.1:对于步骤1.3中得到降采样数据

采用高分辨谱估计方法零化滤波A[k]，使其零化离散序列中Q[m]。

具体地：

首先，构造零化滤波器，使其z变换为：

且

不失一般性，令A₀＝1，其零化过程转换为：

求解得到A[l],进一步得到

从而得到时间位置

步骤2.2：根据步骤2.1重构的时间位置，构造范德蒙矩阵U和对角矩阵V，采用最小二乘法求解：

通过上述步骤，得到信号幅度

再结合步骤1中的时间位置信息，从而完成信号的重构。

实施例

图1展示了线性正则域中由5个Sinc函数组成的新型的紧支撑的SoS_A采样核，图2为本发明方法的整个采样过程。

为了说明本发明中降采样与重构方法，首先，如图3所示，以2个Dirac组成的脉冲串为例，其有限新息率

所用采样点数N＝5。图4给出了脉冲串信号的预滤波效果和均匀降采样结果，同时考虑了其在线性正则域的表征和低通采样结果。基于上述降采样数据和本发明中采用的高分辨谱估计方法，可实现信号的完美重构结果，如图5所示。此数值信号的例子证实了本发明方法，能够以远低于传统Nyquist采样理论要求的采样数据实现对信号的完美重构。同时本发明方法打破了传统Nyquist采样理论对信号带限和采样率的要求和限制，对降低数模转换设备要求、减少储存空间和计算能耗具有重要意义。

其次，选择现有的具有代表性的降采样方法：压缩感知及常见的基于有限新息率的其他采样核的降采样方法作为对比，进一步验证本发明中提出的方法的重构优势。9个随机Dirac信号组成的脉冲串信号及其在线性正则域的表征列在图6，离散信号长度为W。考虑到在压缩感知所使用的数据量对稀疏信号的重构效果有直接关系，本发明分别基于W/4和

的降采样数据量，采用正交匹配追踪法进行重构(图7)。观察图7可发现，尽管图7(b)存在重构误差，但其重构效果明显提升了很多。这是由于图7(b)中采用的数据量

多于图7(a)中所使用的数据量W/4。需要说明的是下面图8和图9的降采样数据量都是低于Nyquist采样数据和图7中压缩感知的降采样数据量。图8是基于再生核的有限新息率降采样方法得到的重构结果，其中图8(a)是基于E指数再生核的降采样方法的重构结果，图8(b)是基于满足strang-fix条件的一般再生采样核(可看作E指数再生核与多项式再生核的结合)的降采样方法的结果。从图8中的重构结果来看，基于再生类采样核的有限新息率采样与重构方法不能很好的实现信号重构。实际上，这是因为这类方法不适用于包含多个Dirac脉冲的脉冲串信号才产生的较差的重构结果。基于SoS类采样核的有限新息率降采样方法的重构结果列为图9，其中图9中的两个重构结果分别是基于傅里叶域和线性正则域。观察图9可进一步得到，本发明提出的基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法能够实现信号的完美重构。为了研究其在噪声环境中的重构性能，以均方误差作为衡量标准，选择在信噪比范围[-10，60]内进行测试与检验，其结果列为图10。观察图10可得，随着信噪比的增加，所有方法的均方误差结果都呈下降趋势，但基于CS重构方法的结果明显具有不稳定性。四种基于有限新息率的降采样与重构方法的重构误差具有较高的相似性和稳定性，同时基于本发明中的降采样方法在较低的信噪比环境中具有更好的鲁棒性。这也说明了本发明提出的基于线性正则域的有限新息率降采样与重构方法的有效性和稳定性。

最后，将本发明中降采样方法应用到雷达回波信号的超分辨时延估计中，进一步开发其在实际中的应用潜力。假设雷达发射线性调频脉冲信号，其接收信号中包含了5个目标回波。接收信号在时域、傅里叶域以及线性正则域的表征列在图11中。基于本发明中的有限新息率的降采样方法，采样11个数据点(图12(a))作为降采样数据，用于对时延的重构，这是远远低于雷达领域大带宽信号的传统Nyquist采样率。通过本发明中的重构方法，可得到其超分辨时延估计结果(图12(b))，这为本发明的进一步应用于实际工作中奠定了很好的基础。

Claims (4)

1.一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

定义1：对于信号x(t)∈L²(R)，其线性正则变换定义为：

其中，L²(R)表示实数域R上的二次可积函数空间，即x(t)是二次可积函数，t∈R；K_A(t,u)是线性正则变换的变换核，其定义为：

其中，

表示K_A(t,u)的复共轭，j是虚数单位，π是圆周率，u是线性正则变换域的频率；δ(t)是冲激函数，其定义为δ(t)＝0,t≠0,且

线性正则变换的参数矩阵为

且|A|＝1a,b,c,d∈R，实现函数的旋转和拉伸变换，此处设b≠0；

定义2：对于周期为τ的信号x(t)∈L²(R)，其线性正则级数定义为：

其中，

Φ_A(t,m)＝Φ_A(t,mu₀) (5)

则信号x(t)用线性正则系数表征为：

定义3：对于信号x(t),g(t)∈L²(R)，线性正则域卷积定义为：

其中，

对于信号x(t),g(t)∈L²(R)，如果L_A{x(t)}＝X_A(u),L_A{g(t)}＝G_A(u)，则：

其中

步骤1：信号降采样；

步骤1.1：对于有限新息率为ρ的周期信号x(t)，用线性正则系数对其表征，得到包含由未知的自由参数决定的信号模型Q[m]；

步骤1.2：在线性正则域内，设计一类紧支撑的Sinc函数求和SoS_A的采样核H(u)，其在时域表征为E指数函数的求和形式h(t)；

根据信号的有限新息率ρ和其在具体线性正则域的表征，设计一类Sinc函数求和SoS_A的采样核H(u)：

其中，

且|A|＝1a,b,c,d∈R,b≠0；

采样核H(u)在时域的对应表达形式为E指数函数的求和形式h(t)：

其中，

表示λ_a,b(u)的复共轭,

Sinc函数的个数N，由信号的有限新息率和线性正则变换的参数矩阵共同决定，其满足N≥2M_A+1,

且B≥ρ；

采样核看作是理想的低通滤波器，其带宽由有限新息率决定，即

L表示信号x(t)中的冲激脉冲数量；

步骤1.3：将步骤1.1中的稀疏信号x(t)，与步骤1.2中的采样核h(t)进行时域卷积，此卷积为定义3中的卷积“*A”，完成对信号的采样，从而得到信号的降采样数据y(nT)，n表示对y(t)的第n个采样点；

步骤2：对降采样后的信号进行重构；

步骤2.1：对步骤1.3得到降采样数据y(nT)，利用高分辨谱估计方法进行零化滤波，实现对时间位置的重构：

构造零化滤波A(z)去零化采样序列中的Q[m]，得到零化滤波器的系数

根据其系数和时间位置的关系，得到稀疏信号的时间位置

的重构；

步骤2.2.：结合步骤2.1的时间位置，得到范德蒙矩阵U和对角矩阵V，采用最小二乘法，实现对信号幅度

的重构。

2.如权利要求1所述的一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，其特征在于，步骤1.1中，信号模型Q[m]具体为：

对由L个冲激脉冲组成的周期脉冲串信号x(t)：

其周期为τ，有限新息率为

L表示信号x(t)中的冲激脉冲数量，n表示对y(t)的第n个采样点，C_l表示信号幅度；用线性正则级数将其表征为：

其中，

包含了信号的全部自由参数：时间位置

和幅度

3.如权利要求1所述的一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，其特征在于，步骤1.3具体实现方法如下：

根据线性正则域的卷积定理，对步骤1.1中的有限新息率信号x(t)和步骤1.2采样核h(t)进行卷积，然后进行均匀采样，得到降采样的序列

其中，采样点数满足N≥2M_A+1且

4.如权利要求1所述的一种基于线性正则域的有限新息率信号降采样与重构方法，其特征在于，步骤2的具体实现方法如下：

首先，构造零化滤波器，使其z变换为：

其中，L表示信号x(t)中的冲激脉冲数量；-l表示变量z的幂数，即z的-l次幂；

且

其中，Q[m]表示由未知的自由参数决定的信号模型；

不失一般性，令A₀＝1，其零化过程转换为：

求解得到A[l],进一步得到

从而得到时间位置

t_l表示第l个时间位置；

然后，根据重构的时间位置，构造范德蒙矩阵U和对角矩阵V，采用最小二乘法求解：

通过上述步骤，得到信号幅度

再结合步骤1中的时间位置信息，从而完成信号的重构。

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