CN112730980B - 基于非理想lpf的非基带脉冲信号fri采样与参数估计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，该方法由两个并行的采样通道构成，分别对非基带脉冲及其基信号进行频谱搬移，然后进行低通滤波并低速采样，以此获取非基带脉冲信号及其基信号的部分频谱信息。利用测试信号和基信号之间的频谱相关性，实现对非理想LPF频率效应的消除，从而提高了参数估计精度。通过仿真实验表明，本发明方法实现了对非基带脉冲序列的有限新息率采样，并且信号的重构精度大大提高，抗噪声能力也有很大提高。

Description

基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法

技术领域

本发明涉及信号处理技术领域，具体涉及一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法。

背景技术

在信号处理技术领域中，为了无失真的重构出待测信号，这就要求采样系统满足Nyqiust采样定理，也即要求采样频率需要大于两倍的奈奎斯特率。随着现代信号处理技术的发展，信号的频率不断递增，使用Nyqiust采样定理对其进行采样就需要更高的采样速率，而现有的模数转换器(ADC)器件所能达到的采样速率并没有那么高，并且极高的采样速率的ADC器件价格昂贵。因此，如何降低信号的采样速率，并且在低速采样率的情况下无失真的恢复出原信号，成为一个热门问题。当前，针对超宽带信号比较成熟的欠Nyqiust采样方法有压缩感知(CS)采样理论和有限新息率采样理论。

有限新息率(Finite Rate of Innovation，简称FRI)采样理论是由 Vetterli等人在2002年提出，这是一种利用信号参数化特性来对信号进行采样，然后经过特定算法的处理对信号完成恢复的欠Nyqiust采样方法。该理论尤其适用于由一系列短脉冲组成的参数化宽带信号。一种比较经典并且容易硬件实现的FRI采样结构如图1所示。该采样结构的主要组成部分是采样核(即低通滤波器的单位冲激响应)模块和低速采样模块。其中，输入模拟宽带信号x(t)通过低通滤波器(Low Pass Filter，简称LPF)之后得到低频信号y(t)，该信号y(t)中包含了测试信号x(t)的基带频谱信息；然后，使用采样间隔为T_s(大于Nyquist 采样间隔)的ADC器件对信号y(t)进行低速采样，获得的采样样本y[n] 中即包含了测试信号x(t)的低频分量，通过特定的谱估计算法就可以从采样样本y[n]中恢复出测试信号x(t)的未知参数，进而重构出源信号。在FRI采样系统中谱估计算法的选择尤为重要，最为常用的谱估计算法有零化滤波器方法和子空间估计(ESPRIT)算法。FRI采样系统中的采样频率只与信号的新息率有关，通常来说信号的新息率是远小于信号的Nyquist采样速率，所以FRI采样理论可以大幅降低信号的采样速率。

当前，已有许多专家学者对FRI采样理论进行研究：Sudarshan 等人在2015年提出了非对称脉冲序列的FRI采样方法；国内的哈尔滨工业大学也对FRI采样理论进行了一系列的研究，例如心电图信号的FRI采样方法。然而，上述FRI采样方法是建立在采样核函数为Sinc 函数，也就是理想低通滤波器LPF的前提下。众所周知，理想的LPF 在实际应用中是不存在的。因此，现有FRI采样方法由于受到LPF非理想效应的影响，普遍存在较大的参数估计误差，进而导致信号重构效果较差。此外，由于LPF仅能够获取信号的低频信息，现有FRI采样方法的研究只能适用于基带信号，而对于非基带脉冲序列无法适用。因此，如何获取非基带脉冲序列的频谱信息，并消除Sinc采样核的非理想效应，是影响FRI采样系统性能的一个重要问题。

发明内容

为了克服已有技术的不足，针对如何对非基带脉冲序列进行FRI 采样，并消除滤波器的非理想效应的问题，本发明提出一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，首先，为了获取非基带脉冲信号的频谱信息，采用频谱搬移的思想将被测信号和其基信号的频谱同时搬移到基带，通过非理想LPF后进行低速均匀采样，以此获取含有滤波器非理想效应和非基带脉冲序列的调制频谱信息的采样样本；然后，通过设计一个参数联合估计算法消除LPF的非理想效应，并重构被测信号的未知参数信息。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，包括以下步骤：

步骤一，生成测试信号和基信号，测试信号表示为:

其中，t∈[0,T)为观测时间，

为测试信号中未知的时延和幅度参数，假设时延参数t_l位于时间网格上，即t_l＝Tn/N，其中N为时间网格数，n为正整数，基信号为已知的非基带脉冲序列h(t)，测试信号的新息率表示为ρ＝2L/T；

步骤二，对测试信号和基信号分别进行频谱搬移过程，采用余弦信号分别对测试信号x(t)和基信号h(t)进行调制，该调制信号及其频谱分别表示为：

其中，f为调制信号的频率，其取值大小设置为基信号的中心频率，由于基信号是已知的，该中心频率也是已知的，Ω_f＝2πf为对应的模拟角频率，此处，调制信号需满足以下条件：

其中，m为任意的整数，Ω_B＝2πf_B，f_B为测试信号x(t)的频域最大频率，N为时间网格数，测试信号和基信号经过余弦调制过后，时域上可描述为两个模拟信号的乘积，即：x_p(t)＝x(t)·p(t)，h_p(t)＝h(t)·p(t)；而在频域上，根据卷积定理，在频谱上表现为频谱搬移，该频谱搬移过程用以下公式来描述：

其中，X_P(Ω)和H_P(Ω)分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)的频谱；

步骤三，对测试信号和基信号分别进行低通滤波过程，采用了实际的非理想LPF，将该非理想LPF的截止频率记为f_cut，其冲激响应记为g(t)，对应的频率响应记为G(Ω)，将频谱搬移之后的测试信号x_p(t) 和基信号h_p(t)分别进行低通滤波处理，以获取其基带频谱信息，该低通滤波过程描述为以下公式：

其中，

和

分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)经过低通滤波过程之后的信号频谱；

步骤四，对测试信号和基信号分别进行低速采样过程。为了实现信号的离散化，采用f_s≥2f_cut的采样速率对滤波后的测试信号和基信号分别进行均匀采样；

步骤五，利用测试信号和基信号的样本消除滤波器的非理想效应，并估计出未知参数。

进一步，所述步骤四的实现步骤如下：

步骤4.1：采样函数初始化，采样过程一般可使用脉冲串作为采样函数进行建模，即使用一组连续的周期冲激串对经过滤波之后的信号进行低速采样，采样函数s(t)表示为：

其中T_s为采样周期，f_s＝1/T_s为采样频率，这里要求采样频率要满足奈奎斯特采样定理，即采样频率大于滤波器截止频率f_cut的2倍，避免造成混叠现象，由于LPF截止频率f_cut要远小于测试信号带宽，因此极大地降低了测试信号的采样速率；

步骤4.2：对测试信号进行低速均匀采样，测试信号x(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本y(t) 为：

y(t)＝{[x(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (7)

上式经过连续时间傅里叶变换得到y(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(8)可视为一个无混叠周期延拓的信号。将采样样本y(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即可获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(8)表示为：

步骤4.3：对基信号进行低速均匀采样，基信号h(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本r(t)为：

r(t)＝{[h(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (10)

上式经过连续时间傅里叶变换得到r(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱同样是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(11)可视为一个无混叠周期延拓的信号，将采样样本r(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(11)表示为：

再进一步，所述步骤五的实现方式如下：

步骤5.1：将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，在获取测试信号和基信号的样本之后，通过离散傅里叶变换即可获取其频谱信息，分别如公式(9)和公式(12)所示，为了消除频谱中非理想LPF的影响，首先将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，得到以下公式：

经过这种处理方式，即得到不含有LPF非理想效应的频谱样本

步骤5.2：计算测试信号频谱搬移表达式。为了对公式(13)进行化简，根据测试信号x(t)和基信号h(t)之间的数学关系，得测试信号的频谱表达式为：

然后计算测试信号频谱搬移表达式，公式如下：

根据步骤一和步骤二得到Ω_ft_l＝2πmn，因此有

那么由公式(15)进一步得：

步骤5.3：公式化简并离散化处理，将步骤5.2中的公式(16)代入到步骤5.1中，即对其进行化简为：

取其中k个样本，即令Ω＝2πk/T，公式(17)表达为：

其中

为获取的样本处理之后的结果，是已知的；那么公式(18) 中只含有未知参数

是一个典型的谱估计问题，根据谱估计算法求解出测试信号的未知参数，求解出未知参数则代表信号重构成功。

优选的，谱估计算法为零化滤波器方法或子空间估计法。

本发明的有益效果主要表现在：经典的FRI采用系统适用于测试信号为基带信号的情况，且没有考虑滤波器带来的非理想效应的影响。而本发明方法使用测试信号调频的频域信息，可以完成对非基带脉冲序列的FRI采样，且消除滤波器的非理想效应。本发明方法使用一种双通道并行的采样结构，引入了调制信号p(t)，将测试信号和基信号的频谱搬移到合适的区域，再对其进行低速采样。之后进行一系列处理之后可以获取非基带的频域信息，最后利用算法对样本信息进行处理可以得到消除了非理想效应之后的重构结果。使用本发明方法的优势在于待测信号不局限于基带信号，可以是非基带的，而且能够同时消除滤波器的非理想效应，很大程度上提高信号的重构精度。

附图说明

图1是经典FRI采样结构图。

图2是基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法的流程图。

图3是非理想低通滤波器频率特性曲线。

图4是不同系统抗噪性能比较图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，包括以下步骤：

步骤一，生成测试信号和基信号，测试信号表示为:

其中，t∈[0,T)为观测时间，

为测试信号中未知的时延和幅度参数，假设时延参数t_l位于时间网格上，即t_l＝Tn/N，其中N为时间网格数，n为正整数，基信号为已知的非基带脉冲序列h(t)，测试信号的新息率表示为ρ＝2L/T；

步骤二，对测试信号和基信号分别进行频谱搬移过程，采用余弦信号分别对测试信号x(t)和基信号h(t)进行调制，该调制信号及其频谱分别表示为：

其中，f为调制信号的频率，其取值大小设置为基信号的中心频率，由于基信号是已知的，该中心频率也是已知的，Ω_f＝2πf为对应的模拟角频率，此处，调制信号需满足以下条件：

其中，m为任意的整数，Ω_B＝2πf_B，f_B为测试信号x(t)的频域最大频率，N为时间网格数，测试信号和基信号经过余弦调制过后，时域上可描述为两个模拟信号的乘积，即：x_p(t)＝x(t)·p(t)，h_p(t)＝h(t)·p(t)；而在频域上，根据卷积定理，在频谱上表现为频谱搬移，该频谱搬移过程用以下公式来描述：

其中，X_P(Ω)和H_P(Ω)分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)的频谱；

步骤三，对测试信号和基信号分别进行低通滤波过程，采用了实际的非理想LPF，将该非理想LPF的截止频率记为f_cut，其冲激响应记为g(t)，对应的频率响应记为G(Ω)，将频谱搬移之后的测试信号x_p(t) 和基信号h_p(t)分别进行低通滤波处理，以获取其基带频谱信息，该低通滤波过程描述为以下公式：

其中，

和

分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)经过低通滤波过程之后的信号频谱；

步骤四，对测试信号和基信号分别进行低速采样过程。为了实现信号的离散化，采用f_s≥2f_cut的采样速率对滤波后的测试信号和基信号分别进行均匀采样；

所述步骤四的实现步骤如下：

步骤4.1：采样函数初始化，采样过程一般可使用脉冲串作为采样函数进行建模，即使用一组连续的周期冲激串对经过滤波之后的信号进行低速采样，采样函数s(t)表示为：

其中T_s为采样周期，f_s＝1/T_s为采样频率，这里要求采样频率要满足奈奎斯特采样定理，即采样频率大于滤波器截止频率f_cut的2倍，避免造成混叠现象，由于LPF截止频率f_cut要远小于测试信号带宽，因此极大地降低了测试信号的采样速率；

步骤4.2：对测试信号进行低速均匀采样，测试信号x(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本y(t) 为：

y(t)＝{[x(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (7)

上式经过连续时间傅里叶变换得到y(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(8)可视为一个无混叠周期延拓的信号。将采样样本y(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即可获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(8)表示为：

步骤4.3：对基信号进行低速均匀采样，基信号h(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本r(t)为：

r(t)＝{[h(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (10)

上式经过连续时间傅里叶变换得到r(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱同样是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(11)可视为一个无混叠周期延拓的信号，将采样样本r(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(11)表示为：

步骤五，利用测试信号和基信号的样本消除滤波器的非理想效应，并估计出未知参数。

所述步骤五的实现方式如下：

步骤5.1：将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，在获取测试信号和基信号的样本之后，通过离散傅里叶变换即可获取其频谱信息，分别如公式(9)和公式(12)所示，为了消除频谱中非理想LPF的影响，首先将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，得到以下公式：

经过这种处理方式，即得到不含有LPF非理想效应的频谱样本

步骤5.2：计算测试信号频谱搬移表达式。为了对公式(13)进行化简，根据测试信号x(t)和基信号h(t)之间的数学关系，得测试信号的频谱表达式为：

然后计算测试信号频谱搬移表达式，公式如下：

根据步骤一和步骤二得到Ω_ft_l＝2πmn，因此有

那么由公式(15)进一步得：

步骤5.3：公式化简并离散化处理，将步骤5.2中的公式(16)代入到步骤5.1中，即对其进行化简为：

取其中k个样本，即令Ω＝2πk/T，公式(17)表达为：

其中

为获取的样本处理之后的结果，是已知的；那么公式(18) 中只含有未知参数

是一个典型的谱估计问题，现有的成熟的谱估计算法有零化滤波器方法和子空间估计法，根据这些算法就可以求解出测试信号的未知参数，求解出未知参数则代表信号重构成功。

为了验证本发明方法的性能，进行了仿真实验验证。利用软件 Matlab来进行软件仿真，使用信号

作为待测信号，幅度参数设置为a_l＝[0.8,0.7,0.9,0.6]，时延参数设置为 t_l＝[0.2,0.5,0.7,0.8]。基信号设置为已知的非基带脉冲序列，信号的带宽设置为4K，最后的低速采样频率设置为500Hz。调制信号 p(t)＝cos(2πft)，其中f＝500Hz。

实验一，在FRI采样系统和本发明方法系统使用理想化的低通滤波器对信号进行处理，再使用合适的算法对采样样本进行处理重构出待测信号的未知参数。测试的结果如表1所示。从实验结果中可以观察出，使用理想滤波器对信号进行处理是可以高精度的重构出待测信号的时延和幅度参数，此时滤波器不存在非理想效应。

表1

实验二，在FRI采样系统和本发明方法中，使用非理想化的滤波器对输入信号进行处理，非理想低通滤波器的频率特性曲线如图3 所示。实验结果如表2所示，从实验结果中明显看出由于非理想效应的影响，经典FRI采样系统的重构效果没有本发明方法的重构结果精确。

表2

实验三，对经典的FRI采样系统和本发明方法进行抗噪性实验。两个系统都加入高斯白噪声，信噪比从0dB增加到60dB，每步5dB。为了更好的观察抗噪效果，两个系统中分别选用零化滤波器算法和子空间估计算法对信号进行重构，将结果进行比较。利用不用的重构算法，经典的FRI采样系统和本发明方法系统的抗噪性能如图4所示。从时延参数的归一化均方误差(NMSE)来抗，在采用相同谱估计算法的情况下，本发明方法参数估计结果更优，系统抗噪性更强。

本说明书的实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，仅作说明用途。本发明的保护范围不应当被视为仅限于本实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域的普通技术人员根据本发明构思所能想到的等同技术手段。

Claims (4)

1.一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤一，生成测试信号和基信号，测试信号表示为：

其中，t∈[0,T)为观测时间，

为测试信号中未知的时延和幅度参数，假设时延参数t_l位于时间网格上，即t_l＝Tn/N，其中N为时间网格数，n为正整数，基信号为已知的非基带脉冲序列h(t)，测试信号的新息率表示为ρ＝2L/T；

步骤二，对测试信号和基信号分别进行频谱搬移过程，采用余弦信号分别对测试信号x(t)和基信号h(t)进行调制，该调制信号及其频谱分别表示为：

其中，f为调制信号的频率，其取值大小设置为基信号的中心频率，由于基信号是已知的，该中心频率也是已知的，Ω_f＝2πf为对应的模拟角频率，此处，调制信号需满足以下条件：

其中，m为任意的整数，Ω_B＝2πf_B，f_B为测试信号x(t)的频域最大频率，N为时间网格数，测试信号和基信号经过余弦调制过后，时域上可描述为两个模拟信号的乘积，即：x_p(t)＝x(t)·p(t)，h_p(t)＝h(t)·p(t)；而在频域上，根据卷积定理，在频谱上表现为频谱搬移，该频谱搬移过程用以下公式来描述：

其中，X_P(Ω)和H_P(Ω)分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)的频谱；

步骤三，对测试信号和基信号分别进行低通滤波过程，采用了实际的非理想LPF，将该非理想LPF的截止频率记为f_cut，其冲激响应记为g(t)，对应的频率响应记为G(Ω)，将频谱搬移之后的测试信号x_p(t)和基信号h_p(t)分别进行低通滤波处理，以获取其基带频谱信息，该低通滤波过程描述为以下公式：

其中，

和

分别为调制后信号x_p(t)和h_p(t)经过低通滤波过程之后的信号频谱；

步骤四，对测试信号和基信号分别进行低速采样过程，为了实现信号的离散化，采用f_s≥2f_cut的采样速率对滤波后的测试信号和基信号分别进行均匀采样；

步骤五，利用测试信号和基信号的样本消除滤波器的非理想效应，并估计出未知参数。

2.如权利要求1所述的一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，其特征在于，所述步骤四的实现步骤如下：

步骤4.1：采样函数初始化，采样过程使用脉冲串作为采样函数进行建模，即使用一组连续的周期冲激串对经过滤波之后的信号进行低速采样，采样函数s(t)表示为：

其中T_s为采样周期，f_s＝1/T_s为采样频率，这里要求采样频率要满足奈奎斯特采样定理，即采样频率大于滤波器截止频率f_cut的2倍，避免造成混叠现象，由于LPF截止频率f_cut要远小于测试信号带宽，因此极大地降低了测试信号的采样速率；

步骤4.2：对测试信号进行低速均匀采样，测试信号x(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本y(t)为：

y(t)＝{[x(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (7)

上式经过连续时间傅里叶变换得到y(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(8)可视为一个无混叠周期延拓的信号，将采样样本y(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即可获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(8)表示为：

步骤4.3：对基信号进行低速均匀采样，基信号h(t)通过非理想滤波器之后进行低速采样，采样速率f_s≥2f_cut，获得采样样本r(t)为：

r(t)＝{[h(t)·p(t)]*g(t)}·s(t) (10)

上式经过连续时间傅里叶变换得到r(t)的频域表达为：

由此可见，采样样本的频谱同样是一种以Ω_s＝2πf_s为周期的周期延拓，根据步骤4.1，系统设置的采样速率满足奈奎斯特采样定理，频谱不会发生混叠现象，所以上述公式(11)可视为一个无混叠周期延拓的信号，将采样样本r(t)量化处理后，经过离散傅里叶变换，即获取一个周期的频域信息，等价的表示方式为，令n＝0，公式(11)表示为：

3.如权利要求2所述的一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，其特征在于，所述步骤五的实现方式如下：

步骤5.1：将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，在获取测试信号和基信号的样本之后，通过离散傅里叶变换即可获取其频谱信息，分别如公式(9)和公式(12)所示，为了消除频谱中非理想LPF的影响，首先将测试信号的频谱和基信号的频谱相除，得到以下公式：

经过这种处理方式，即得到不含有LPF非理想效应的频谱样本

步骤5.2：计算测试信号频谱搬移表达式，为了对公式(13)进行化简，根据测试信号x(t)和基信号h(t)之间的数学关系，得测试信号的频谱表达式为：

然后计算测试信号频谱搬移表达式，公式如下：

根据步骤一和步骤二得到Ω_ft_l＝2πmn，因此有

那么由公式(15)进一步得：

步骤5.3：公式化简并离散化处理，将步骤5.2中的公式(16)代入到步骤5.1中，即对其进行化简为：

取其中k个样本，即令Ω＝2πk/T，公式(17)表达为：

其中

为获取的样本处理之后的结果，是已知的；那么公式(18)中只含有未知参数

是一个典型的谱估计问题，根据谱估计算法求解出测试信号的未知参数，求解出未知参数则代表信号重构成功。

4.如权利要求3所述的一种基于非理想LPF的非基带脉冲信号FRI采样与参数估计方法，其特征在于，谱估计算法为零化滤波器方法或子空间估计法。

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