CN108983703B - 超精密运动系统前馈控制器参数整定方法 - Google Patents

超精密运动系统前馈控制器参数整定方法 Download PDF

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Abstract

一种超精密运动系统前馈控制器参数整定方法，若反馈控制器直流增益为有限值，跟踪误差与参考轨迹N阶导数成正比，即跟踪误差与参考轨迹N阶导数有相同形状，则判定N阶导数前馈系数不准确，用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹的N+1阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数；若反馈控制器直流增益为无穷大并只含有一阶积分，跟踪误差与参考轨迹的N+1阶导数成正比，判定N阶导数前馈系数不准确，用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹N+2阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数，N从2逐渐以步长1增加，直至跟踪性能满足要求。可大幅减小加减速域跟踪误差，减小建立时间，提升系统产率。

Description

超精密运动系统前馈控制器参数整定方法
技术领域
本专利涉及一种超精密运动系统前馈控制器参数整定方法，属于超精密运动控制领域。
背景技术
超精密运动系统广泛应用于光刻机工件台，原子力显微镜，扫描隧道显微镜等高端制造装备和仪器设备中。该类运动系统单个工作周期会先后经历加速域、匀速域和减速域三个区间，加速域或减速域结束后误差收敛到指定精度范围内所需时间为建立时间，误差收敛后方能进行后续的工作，建立时间的长短直接影响系统产率，减小建立时间因而有重要的理论和应用价值。建立时间属于系统的动态性能，减小建立时间的主要手段是在反馈控制的基础上采用前馈控制来减小加减速域误差，进而减小建立时间提升系统动态性能。
前馈控制器设计的指导思想是逆模型原理，即用前馈控制器去逼近被控对象模型的逆。前馈控制器一般根据系统辨识所得模型进行设计，系统辨识不可避免的存在误差，因此真实的模型参数难以获得，这将导致前馈控制器难以满足超精密运动控制的需求，在工程实践中需要对前馈控制器参数进行整定。以加速度前馈为例，工程上常将运动系统简化为一个质量块，该模型对应的前馈控制器即是运动控制中广泛应用的加速度前馈，理想的加速度前馈系数即是系统的总质量，系统的总质量一般通过系统辨识得到，与真实质量存在偏差，前馈控制器参数微小的偏差也会对超精密运动系统造成显著影响，因此前馈控制器参数整定不可或缺。参考轨迹的三阶到五阶导数分别称为jerk，snap，crackle。除加速度前馈外，实际的运动系统常需进一步采用三阶导数前馈(又叫jerk前馈)、四阶导数前馈(又叫snap前馈)等高阶前馈。各阶前馈系数的高效整定是一个技术难点，开发高性能的前馈控制器参数整定算法具有重要的理论和工程价值。
发明内容
针对前文所述问题，本发明公开了一种超精密运动系统前馈控制器参数整定方法，采用前馈控制加反馈控制的两自由度控制策略，前馈控制器和反馈控制器并联连接，将参考轨迹各阶导数作为前馈控制器输入信号，利用跟踪误差与前馈控制器、反馈控制器和参考轨迹的关系进行如下整定：
若反馈控制器直流增益为有限值，跟踪误差与参考轨迹N阶导数成正比，即跟踪误差与参考轨迹N阶导数具有相同的形状，则判定N阶导数前馈系数不准确，利用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹的N+1阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数；
若反馈控制器直流增益为无穷大并只含有一阶积分，跟踪误差与参考轨迹的N+1阶导数成正比，则判定N阶导数前馈系数不准确，利用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹的N+2阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数，
其中，N从2逐渐以步长1增加，直至跟踪性能满足要求。
优选地，通过轨迹规划或者在线实时差分得到参考轨迹各阶导数作为前馈控制器输入信号。
优选地，所述超精密运动系统是具有一个刚体模态和多个振动模态的多质量块模型。
优选地，被控对象模型，即用于对超精密运动系统进行建模的多质量块模型的传递函数为
Figure BDA0001722429720000021
其中，Gp(s)是被控对象模型传递函数；
m是系统总质量；
ζi是各阶振动模态的阻尼比；
ωi是各阶振动模态的共振频率；
αi是系统常数；
Gr(s)代表刚体模态的传递函数；
Gf(s)代表所有M-1个共振模态的传递函数；
s为拉普拉斯变量；
M为多质量块模型中质量块的个数。
优选地，跟踪误差的传递函数为
Figure BDA0001722429720000031
其中，
Figure BDA0001722429720000032
e(s)是轨迹跟踪误差；
Figure BDA0001722429720000033
是被控对象模型传递函数的逆；
F(s)是前馈控制器；
Gc(s)是反馈控制器；
r(s)是参考轨迹；
y(s)是系统输出；
Si(s)为输入扰动灵敏度函数。
优选地，如果反馈控制器直流增益为有限值，采用纯反馈控制，则跟踪误差与各高阶导数项的关系如下公式：
Figure BDA0001722429720000034
其中，
Figure BDA0001722429720000035
为由被控对象模型、采样周期和系统延时决定的系统常数；
r(2)(s)为r(s)二阶导数的拉普拉斯变换，r(3)(s)为r(s)三阶导数的拉普拉斯变换，以此类推；
Gc(0)为反馈控制器直流增益，即拉普拉斯变量s等于0时反馈控制器传递函数Gc(s)的值；
T为采样周期；
τ为系统延时。
优选地，如果反馈控制器含有一阶积分，则跟踪误差相应修正为
Figure BDA0001722429720000041
其中，r(3)(s)为r(s)三阶导数的拉普拉斯变换，r(4)(s)为r(s)四阶导数的拉普拉斯变换，以此类推。
优选地，被控对象模型还包括零阶保持器和延时环节，
零阶保持器和延时环节综合作用的被控对象模型的逆模型为
Figure BDA0001722429720000042
其中T为采样周期，τ为系统延时，Gzoh(s)为零阶保持器传递函数。
优选地，通过系统辨识方法得到系统质量的估计值，作为2阶导数前馈系数，即加速度前馈系数的初始值，用N阶导数前馈系数乘以不小于0.5倍的采样周期作为N+1阶导数前馈系数的初始值，其中，N大于等于2。
前馈控制器参数微小的偏差也会对超精密运动系统造成显著影响，除加速度前馈外，实际的运动系统常需进一步采用三阶导数前馈、四阶导数前馈等高阶前馈。本发明利用跟踪误差与前馈控制器、反馈控制器、系统动力学和参考轨迹的关系，通过观察跟踪误差形状，利用二分法依次先后整定加速度前馈系数、jerk前馈系数、snap前馈系数，大幅减小加减速域的跟踪误差，进而减小建立时间，提升系统的产率。
附图内容
图1是表示本发明实施例的两自由度控制系统的示意图；
图2是表示本发明实施例的多质量块模型；
图3是表示本发明实施例的包含延时和零阶保持器的控制系统方框图；
图4是表示本发明实施例的反馈控制器直流增益为有限值时前馈控制器参数整定算法流程图；
图5是表示本发明实施例的反馈控制器含一阶积分环节时前馈控制器参数整定算法流程图；
图6-1是表示本发明实施例的所用位移参考轨迹；
图6-2是表示本发明实施例的所用速度参考轨迹；
图6-3是表示本发明实施例的所用加速度参考轨迹；
图6-4是表示本发明实施例的所用三阶参考轨迹；
图6-5是表示本发明实施例的所用四阶参考轨迹；
图7-a是表示本发明实施例的反馈控制器为PD时，采用不准确加速度前馈时的跟踪误差曲线；
图7-b是表示本发明实施例的反馈控制器为PID时，采用不准确加速度前馈时的跟踪误差曲线；
图8-a是表示本发明实施例的反馈控制器为PD时，采用准确加速度前馈时的跟踪误差曲线；
图8-b是表示本发明实施例的反馈控制器为PID时，采用准确加速度前馈时的跟踪误差曲线；
图9-a是表示本发明实施例的采用准确加速度前馈和jerk前馈时的跟踪误差曲线；
图9-b是表示本发明实施例的采用准确加速度前馈和jerk前馈时的跟踪误差曲线。
具体实施方式
下面将参考附图来描述本发明所述的超精密运动系统前馈控制器参数整定方法的实施例。本领域的普通技术人员可以认识到，在不偏离本发明的精神和范围的情况下，可以用各种不同的方式或其组合对所描述的实施例进行修正。因此，附图和描述在本质上是说明性的，而不是用于限制权利要求的保护范围。此外，在本说明书中，附图未按比例画出，并且相同的附图标记表示相同的部分。
本实施例的超精密运动系统前馈控制器参数整定方法，利用跟踪误差与前馈控制器、反馈控制器和参考轨迹的关系进行如下整定：这里的被控对象指超精密运动系统，参考轨迹指超精密运动系统需要跟踪的运动轨迹，若反馈控制器直流增益为有限值，跟踪误差与参考轨迹N阶导数成正比，即具有相同形状，则判定N阶导数前馈系数不准确，利用二分法(二分法具体的应用过程在下文中说明)整定N阶导数前馈系数，直至残余误差形状与参考轨迹的N+1阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数；若反馈控制器直流增益为无穷大并只含有一阶积分，跟踪误差与参考轨迹的N+1阶导数成正比，则判定N阶导数前馈系数不准确，通过二分法调整N阶导数前馈系数，直至残余误差形状与参考轨迹的N+2阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数，其中，N从2逐渐以步长1增加，直至跟踪性能满足要求。
超精密运动系统一般由悬浮式直线或平面电机驱动，来自外部环境的摩擦力可以忽略，因此系统可以建模为图2所示的多质量块模型，包含一个刚体模态和M-1个振动模态，即其传递函数为：
Figure BDA0001722429720000061
其中，Gp(s)是多质量块模型传递函数，也即是被控对象模型；
m是系统总质量；
ζi是各阶振动模态的阻尼比；
ωi是各阶振动模态的共振频率；
αi是系统常数；
Gr(s)代表刚体模态的传递函数；
Gf(s)代表所有M-1个共振模态的传递函数；
s为拉普拉斯变量；
M为多质量块模型中质量块的个数。
超精密运动系统一般采用图1所示的前馈+反馈的两自由度控制策略来减小建立时间，其中F(s)是前馈控制器，Gc(s)是反馈控制器，r(s)是参考轨迹，y(s)是系统输出，e(s)是跟踪误差，跟踪误差的传递函数为：
Figure BDA0001722429720000071
其中Si(s)为输入扰动灵敏度函数(input disturbance sensitivityfunction)，其公式如下：
Figure BDA0001722429720000072
假设轨迹能量主要位于低频段，并且反馈控制器增益为有限值，那么
Figure BDA0001722429720000073
而如果反馈控制器含有一个积分，那么公式(4)修正为
Figure BDA0001722429720000074
其中
Figure BDA0001722429720000075
Figure BDA0001722429720000076
为
Figure BDA0001722429720000077
的直流增益，即
Figure BDA0001722429720000078
在s等于0时的取值。对逆模型
Figure BDA0001722429720000079
进行逼近，有
Figure BDA00017224297200000710
其中
Figure BDA00017224297200000711
在s＝0处由级数展开不难得到
Figure BDA0001722429720000081
Figure BDA0001722429720000082
由各阶共振模态组成，单个共振模态可以展开为
Figure BDA0001722429720000083
其中ai i＝1,2,…为由被控对象模型决定的系统常数。将(7)、(8)代入(6)有
Figure BDA0001722429720000084
如果反馈控制器直流增益为有限值，采用纯反馈控制，即令F(s)＝0，将(4)、(9)代入(2)有
Figure BDA0001722429720000085
其中r(2)(s)为r(s)二阶导数(即加速度)的拉普拉斯变换，r(4)(s)为r(s)四阶导数的拉普拉斯变换，以此类推。
Gc(0)为反馈控制器直流增益，即拉普拉斯变量s等于0时反馈控制器传递函数Gc(s)的值。
在一个可选实施例中，实际的控制系统多为数字控制系统，且不可避免存在延时，因此被控对象模型应包含零阶保持器和延时环节，见图3。零阶保持器和延时环节综合作用的传递函数的逆模型为
Figure BDA0001722429720000086
其中T为采样周期，τ为系统延时，Gzoh(s)为零阶保持器传递函数。此时等效被控对象模型的逆模型为零阶保持器、延时环节和原被控对象模型的乘积的逆，即是有
Figure BDA0001722429720000091
Figure BDA0001722429720000092
为考虑零阶保持器和系统延时后的等效被控对象模型的传递函数，将(4)、(12)代入(2)，跟踪误差应该修正为
Figure BDA0001722429720000093
其中
Figure BDA0001722429720000094
为由被控对象模型、采样周期和系统延时决定的系统常数。可以看到，跟踪误差由二阶导数(加速度)项、三阶导数(jerk)项及各高阶导数项组成，可以证明低阶误差项的数量级大于高阶项，此时跟踪误差近似为
Figure BDA0001722429720000095
变换到时域为
Figure BDA0001722429720000096
即跟踪误差与参考轨迹加速度成正比，时域上即是有相同的形状，该部分跟踪误差可以由加速度前馈补偿。
F(s)＝mas2 (16)
采用加速度前馈后，将(16)、(12)、(4)代入(2)，可得
Figure BDA0001722429720000097
理想加速度前馈系数为ma＝m，如果加速度前馈系数不准确，那么跟踪误差依旧与加速度成正比，如果加速度前馈系数准确，那么公式13中的高阶误差项不能再忽略，且此时三阶误差项占主导，即是有
Figure BDA0001722429720000101
即跟踪误差与参考轨迹的jerk成正比，时域上即是有相同的形状，该部分跟踪误差可以由jerk前馈补偿，此时前馈控制器变为
F(s)＝mas2+mjs3 (19)
不难得到准确的jerk前馈系数为
Figure BDA0001722429720000102
同理，采用jerk前馈补偿后，跟踪误差由四阶误差项占主导
Figure BDA0001722429720000103
即跟踪误差与参考轨迹的snap成正比，时域上即是有相同的形状，该部分误差可以由snap前馈补偿，此时前馈控制器变为
F(s)＝mas2+mjs3+mss4 (22)
类似地，当采用准确的snap前馈后，跟踪误差与参考轨迹的五阶导数crackle成正比。
要求反馈控制器直流增益为有限值，即没有积分。如果反馈控制器含有积分，则需要进行修正。以反馈控制器只含有一阶积分为例，此时Si(s)的公式采用(5)而非(4)，误差展开式(13)相应修正为
Figure BDA0001722429720000104
跟踪误差与前馈控制器和反馈控制器的关系相应修正为：当加速度前馈不准确时，跟踪误差形状与jerk相同；当采用准确加速度前馈，jerk前馈系数不准确时，跟踪误差形状与snap相同；当采用准确的加速度和jerk前馈，snap前馈不准确时，跟踪误差形状与crackle相同，以此类推。
直接计算各阶前馈系数需要知道模型参数，但根据以上所述跟踪误差与前馈控制器、反馈控制器和被控对象模型的关系，可以通过观察时域上误差的形状来判断前馈系数是否准确，进而实现前馈控制器参数的整定。
下面以一超精密磁悬浮工件台为具体实例说明本发明提出的前馈控制器参数整定方法的具体实施方式。本实施例所用六自由度超精密磁悬浮运动台，该运动台采用粗精叠层结构，粗动台用以实现微米级长行程运动，微动台用以实现纳米级超精密运动。本实施例所用跟踪控制的参考轨迹为图6-1至6-5所示的四阶轨迹，在x方向进行跟踪控制实验。优选地，本实例分别采用PD控制器和PID控制器作为反馈控制器，PD控制器对应反馈控制器无积分，直流增益有限的情况；PID控制器对应含有一阶积分环节的情况。控制带宽均为230Hz，系统的采样周期为200μs。
以该超精密运动台为实施例，前馈控制器参数整定过程具体如下：
(1)整定加速度前馈系数。通过例如系统辨识的方法得到系统质量的估计值，作为加速度前馈系数，图7-a给出反馈控制器为PD时的跟踪误差，误差形状与参考轨迹二阶导数即加速度相同，表明加速度前馈系数不准确；图7-b给出反馈控制器为PID时的跟踪误差，误差形状与参考轨迹三阶导数即jerk相同，表明加速度前馈系数不准确。当反馈控制器为PD时，可以通过例如二分法来调节加速度前馈系数。
下面说明一下二分法的具体调节步骤为：
①先确定加速度前馈系数调整方向，确定方法为，如果跟踪误差形状与参考轨迹加速度相同，但是幅值差一个符号，即如果以横轴为时间，纵轴为幅值，跟踪误差与参考轨迹加速度关于横轴对称，表明已有加速度前馈系数偏大，应该朝减小加速度前馈系数的方向调节加速度前馈系数大小，反之，应该朝增大加速度前馈系数的方向调节加速度前馈系数大小；
②朝确定好的调整方向调整加速度前馈系数大小，调整幅值取已有加速度前馈系数的十分之一或者一个较小比例为宜；
③观察调整加速度前馈系数后跟踪误差形状，如果跟踪误差形状与参考轨迹加速度相同，且调整前跟踪误差与调整后跟踪误差符号相反，表明加速度前馈系数调整量过大，取调整前和调整后的加速度前馈系数的均值即中点作为新的加速度前馈系数；如果跟踪误差形状与参考轨迹加速度相同，且调整前跟踪误差与调整后跟踪误差符号相同，表明加速度前馈系数调整量不足，朝相同方向继续增大加速度前馈系数；
④重复以上步骤直至跟踪误差形状与参考轨迹三阶导数即jerk相同，表明加速度前馈系数准确。图7-a中跟踪误差形状与参考轨迹加速度相同，且符号也相同，表明加速度前馈系数偏小，应朝增大加速度前馈系数方向调整加速度前馈，利用二分法反复调节加速度前馈系数，直至跟踪误差与参考轨迹三阶导数即jerk相同，见图8-a，表明加速度前馈系数已足够精确；同理，当反馈控制器为PID时，通过二分法调节加速度前馈系数，当跟踪误差形状与snap相同时，表明加速度前馈系数准确，见图8-b。
(2)如果跟踪性能不满足要求，继续整定jerk前馈系数。用加速度前馈系数乘上0.5倍采样周期作为jerk前馈系数初始值，或者采用其他方法得到jerk前馈初始值。当反馈控制器为PD时，只要跟踪误差形状与jerk相同，表明jerk前馈系数不准确，采用二分法调节jerk前馈系数，直至残余误差形状与snap相同，见图9-a。在该实施例中，整定好的加速度前馈和jerk前馈已经可以提供足够好的跟踪控制性能，直接使加减速域的跟踪误差与匀速域一致；当反馈控制器为PID时，只要跟踪误差形状与snap相同，表明snap前馈系数不准确，采用二分法调节jerk前馈系数，直至残余误差形状与crackle成正比，见图9-b，在该实施例中，整定好的加速度前馈和jerk前馈已经可以提供足够好的跟踪控制性能，直接使加减速域的跟踪误差与匀速域一致。
(3)如果跟踪性能不满足要求，继续整定snap前馈系数。当反馈控制器为PD时，只要跟踪误差形状与snap相同，表明snap前馈系数不准确，通过二分法调节snap前馈系数，直至残余误差形状与crackle相同；当反馈控制器为PID时，只要跟踪误差形状与crackle相同，表明snap前馈系数不准确，通过二分法调节snap前馈系数，直至残余误差形状与pop相同。在该实施例中，准确的加速度和jerk前馈已经可以提供足够好的跟踪性能，没有进一步整定snap前馈的必要。
(4)如果跟踪性能不满足要求，继续整定高阶前馈系数。只要待跟踪的参考轨迹相应阶次可导，即可以采用对应阶次的前馈。由低到高逐次整定各阶前馈系数直至跟踪性能满足要求或者已达参考轨迹所支持的最大阶次的前馈。
以上实施例以PD和PID作为反馈控制器，但该方法并不依赖于具体的控制器形式，而是依据反馈控制器直流增益是否有限，是否含有积分环节来从跟踪误差形状来判断前馈系数的准确度，进而实现前馈系数的整定。以上实施例以一六自由度超精密磁悬浮运动台为实验对象，但该方法并不依赖于特定的实验平台。
以上所述仅为本发明的优选实施例，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种超精密运动系统前馈控制器参数整定方法，其特征在于，采用前馈控制加反馈控制的两自由度控制策略，前馈控制器和反馈控制器并联连接，将参考轨迹各阶导数作为前馈控制器输入信号，利用跟踪误差与前馈控制器、反馈控制器和参考轨迹的关系进行如下整定：
若反馈控制器直流增益为有限值，跟踪误差与参考轨迹N阶导数成正比，即跟踪误差与参考轨迹N阶导数具有相同的形状，则判定N阶导数前馈系数不准确，利用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹的N+1阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数；
若反馈控制器直流增益为无穷大并只含有一阶积分，跟踪误差与参考轨迹的N+1阶导数成正比，则判定N阶导数前馈系数不准确，利用二分法整定N阶导数前馈系数，直至跟踪误差形状与参考轨迹的N+2阶导数相同，即得准确的N阶导数前馈系数，
其中，N从2逐渐以步长1增加，直至跟踪性能满足要求，
其中，被控对象模型，即用于对超精密运动系统进行建模的多质量块模型的传递函数为
Figure FDA0002265753780000011
其中，Gp(s)是被控对象模型传递函数；
m是系统总质量；
ζi是各阶振动模态的阻尼比；
ωi是各阶振动模态的共振频率；
αi是系统常数；
Gr(s)代表刚体模态的传递函数；
Gf(s)代表所有M-1个共振模态的传递函数；
s为拉普拉斯变量；
M为多质量块模型中质量块的个数，
其中，跟踪误差的传递函数为
Figure FDA0002265753780000021
其中，
Figure FDA0002265753780000022
e(s)是轨迹跟踪误差；
Figure FDA0002265753780000023
是被控对象模型传递函数的逆；
F(s)是前馈控制器；
Gc(s)是反馈控制器；
r(s)是参考轨迹；
y(s)是系统输出；
Si(s)为输入扰动灵敏度函数，
其中，如果反馈控制器直流增益为有限值，采用纯反馈控制，则跟踪误差与各高阶导数项的关系如下公式：
Figure FDA0002265753780000024
其中，
Figure FDA0002265753780000025
为由被控对象模型、采样周期和系统延时决定的系统常数；
r(2)(s)为r(s)二阶导数的拉普拉斯变换，r(3)(s)为r(s)三阶导数的拉普拉斯变换，以此类推；
Gc(0)为反馈控制器直流增益，即拉普拉斯变量s等于0时反馈控制器传递函数Gc(s)的值；
T为采样周期；
τ为系统延时，
其中，如果反馈控制器含有一阶积分，则跟踪误差相应修正为
Figure FDA0002265753780000031
其中，r(3)(s)为r(s)三阶导数的拉普拉斯变换，r(4)(s)为r(s)四阶导数的拉普拉斯变换，以此类推，
其中，被控对象模型还包括零阶保持器和延时环节，零阶保持器和延时环节综合作用的被控对象模型的逆模型为
Figure FDA0002265753780000032
其中T为采样周期，
τ为系统延时，
Gzoh(s)为零阶保持器传递函数，
其中，通过系统辨识方法得到系统质量的估计值，作为2阶导数前馈系数，即加速度前馈系数的初始值，用N阶导数前馈系数乘以不小于0.5倍的采样周期作为N+1阶导数前馈系数的初始值，其中，N大于等于2。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，
通过轨迹规划或者在线实时差分得到参考轨迹各阶导数作为前馈控制器输入信号。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述超精密运动系统是具有一个刚体模态和多个振动模态的多质量块模型。
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