CN107944176A - 一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法 - Google Patents

一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法 Download PDF

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CN107944176A CN201711279203.9A CN201711279203A CN107944176A CN 107944176 A CN107944176 A CN 107944176A CN 201711279203 A CN201711279203 A CN 201711279203A CN 107944176 A CN107944176 A CN 107944176A
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沈辉
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刘图远
张永康
邵劲力
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Abstract

本发明公开了一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，基于三轴球头铣刀的力学模型，建立考虑刀具倾斜角的对切入角和切出角的影响建立多轴铣削力模型，然后进行切削实验，根据测得不同进给速度下切削力，采用线性回归识别切削力系数，并仿真分析加工参数与刀具几何参数对切削力的影响，为优化多轴铣削加工工艺方法提供了一定的理论基础。

Description

一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法
技术领域
本发明涉及金属材料机加工领域，具体涉及一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法。
背景技术
铣削加工是零件表面成形的主要方法之一，随着数控技术持续不断的发展，被广泛的应用到复杂曲面的机械加工中。球头铣刀广泛应用于多轴精加工曲面由于其更好的适应性，并且刀具的方向对铣削加工过程和工件表面质量有显著影响。表面完整性好的零件对其疲劳性能，耐腐蚀性、稳定性和可靠性起着重要作用。钛合金的性能优异性使其广泛应用于在航空、航天等领域，但是，相对于其他材料，钛合金具有较差的切削加工性，在一定程度上影响其在航空航天制造业中的应用。钛合金难加工的主要影响因素有：切削温度高、切削散热差、粘刀现象严重等。而切削加工中的切削力对切削过程中的产生的热量，刀具的磨损，加工系统的振动起着决定性的作用，因此准确的预测切削力在切削加工中显得尤为重要。
发明内容
随着钛合金的广泛应用，国内外学者对钛合金的加工性进行了大量的研究，本发明基于三轴球头铣刀的力学模型，提出一种考虑刀具倾斜角的对切入角和切出角的影响建立多轴铣削力方法，然后根据平均切削力方法识别切削力系数，并仿真分析加工参数与刀具几何参数对切削力的影响，为优化多轴铣削加工工艺方法提供了一定的理论基础。
本发明通过以下技术方案实现：
一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，包括以下步骤：
步骤1：通过分析球头铣刀的空间几何参数关系，在刀具坐标系下建立刀具参数的几何关系；
步骤2：考虑刀具倾斜角的影响，通过传递矩阵建立工件坐标系与步骤1所述刀具坐标系的几何关系；
步骤3：在考虑剪切力和犁切力双重效应的基础上建立球头铣刀铣削力模型，针对刀具每个切削微元受力分析，建立在刀具坐标系下刀具径向、轴向、切向力学方程；
步骤4：根据刀具和和工件几何投影计算轴向切入角与切出角并对切削深度与径向切削宽度对切入角与切出角影响仿真分析；
步骤5：通过近似运算确定刀具位置角ku与kl上下边界；
步骤6：通过切削实验，根据测得不同进给速度下切削力，采用线性回归识别刀具与工件的切削力系数；
步骤7：根据已建立球头铣刀切削力的铣削力模型，通过修改不同的切削参数，得到不同的切削力仿真图像，进而进行分析对比。
优选地，具体包括如下步骤：
步骤1：首先分析球头铣刀的空间几何参数关系，通过旋转机床坐标系Z轴旋转得到刀具坐标系(Xc，Yc，Zc)，Xc指向刀刃曲线的切线方向，原点为球头铣刀顶点；假设P点是切削刃上一点，C点是球头铣刀刀头球心，则直线PC与Z轴负方向之间的夹角k定义为点P的位置角或轴向切深角：
其中R0为球头铣刀半径，R(z)为局部半径，通过下式所得：
Xc轴与OP在XOY平面内的夹角ψ定义为P点滞后角，则在刀具坐标系下P点的坐标Zc可以表示为：
Zc＝R0(1-cosk) (3)
当点P在球头铣刀的第j个切削刃上时，其Y轴方向的角位置可以表示如下：
径向滞为连接P点与(0,0,z)点的直线与切削刃底部的切线之间的夹角，滞后角ψ(v)取决于螺旋角，通过下式计算：
式中：i0——铣刀球面部分与圆柱部分交界处的螺旋角；
切深角φj(v)为螺旋槽j的切削刃上一点的角位移，从U轴开始测量，计算公式如下：
φj(v)＝φ+(j-1)φp-ψ(v) (5)
式中：φ——铣刀底部定点处的切深角；φp——刀具齿间角；
步骤2：分别建立机床坐标系(X，Y，Z)、工件坐标系(Xw，Yw，Zw)和加工坐标系(FCN)，并定义铣刀轴线绕纵向进给轴Zc转过的角度为前倾角l，铣刀轴线绕进给轴Xw转过的角度为倾角t；其中，机床坐标系(X，Y，Z)作为全局坐标存在，工件坐标系(Xw，Yw，Zw)是一个固定的直角坐标系，加工坐标系(FCN)中F、C、N三个方向分别为进给方向、纵向进给方向、工件表面法线方向；
根据上述定义的坐标系，通过传递矩阵T把刀具Xc，Yc，Zc坐标系中的切削力转换到Xw，Yw，Zw坐标系中，如式(7)所示：
步骤31：在考虑剪切力和犁切力双重效应的基础上建立球头铣刀铣削力模型，每个边缘韧点上的微元切削力可以通过下式计算：
式中，dS——切削刃微元；
db——切屑厚度微元；
tn——未切削处切削厚度；
Kte，Kre，Kae——边缘效应系数；
Kts，Krs，Kas——剪切效应系数；
步骤32：将步骤31所述各参数带入切削力计算公式后可得到在坐标系C下：Xc，Yc，Zc下的个方向上的单元切削力：
其中Txyz为坐标系变换矩阵如下：
步骤33：通过刀具坐标系与工件坐标系的变换矩阵Tx，yz可以得到在工件坐标系下测得的切削力值：
加和所有参与切削的切削刃单元受力，考虑不同切削刃的作用，得到在工件坐标系Xw，Yw，Zw下的球头铣刀总切削力()：
步骤4：根据轴向切入角与切出角的具体位置，得到切入角与切出角的具体计算关系：
当ae≤R时，
当ae＞R时，
其中，R是刀头半径；α是球头加工时铣刀倾斜角；ap是轴向切削深度；ae是径向切削深度；在直角三角形中，∠AOB能能从AB/计算得到，直线OA＝R-ap；直线AB是点B和工件表面垂直平面之间的距离，如图2(b)所示。球头铣刀加工过程中，刀具工件接触区是一个圆形曲面，半径为AB由下列式子计算得到：
最后用式(19)与(20)带入到等式(16-18)中，即可以得到轴向切入角与切出角
步骤5：通过以下公式运算确定A与点B点的极限轴向位置角ku与kl：
由于径向切削深度ae相对于刀具直径来说非常小，因此切削力计算式中的ku与kl应该是两个恒定的数值，所以任意切削点的两个位置角边界值θmin与θmax可以估计计算如下：
步骤6：以钛合金平板为铣削加工对象，以硬质合金球头铣刀为刀具，采用数控龙门铣床进行槽钛合金板，工件放置在测力仪上，两端用压块压紧固定，测力仪放置在铣床加工平台上，以六个不同的进给量(f1-f2-f3-f4-f5-f6)mm/tooth，主轴转速V(rpm)，轴向切深ap(mm)进行铣削实验；根据不同进给量测得铣削力数值，采用线性回归，识别出球头铣刀和钛合金下的切削力系数Ktc和Krc；
步骤7：根据已建立球头铣刀切削力的铣削力模型，通过修改不同的切削参数，可以得到不同的切削力仿真图像，进而进行分析对比，进行参数优化。
其中，所述步骤1中φp的计算公式下：
式中：n——刀齿数。
其中，步骤S2中的T由下式求解所得：
其中，所述dS和db可以表示如下：
tn计算方式如下式：
tn＝txsin(k)sin(θj),klow＜k＜kup (11)
其中，tx——进给量；
k——任一点在球头的位置角；
θj——是任一点角位置。
与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：
1.针对多轴铣削钛合金的铣削力难以建模预测的难题，基于三轴球头铣刀的力学模型，建立考虑刀具倾斜角的对切入角和切出角的影响建立多轴铣削力模型，
2.根据切削实验测得不同进给速度下切削力，采用线性回归识别切削力系数，并仿真分析加工参数与刀具几何参数对切削力的影响，为优化多轴铣削加工工艺方法提供了一定的理论基础。
3.通过仿真分析切削参数和刀具的几何条件的切削力影响，发现进给速度对切削力有显著的影响，而刀具螺旋角影响最小，同时发现随着倾角的减小，铣削力变大。
附图说明
通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：
图1为本发明球头铣刀几何参数示意图。
图2为本发明铣削系统切入角与切出角示意图。
图3为本发明削深度与径向切削宽度对切入角与切出角的影响。
图4为本发明铣削加工实验测量系统示意图。
图5为本发明球头铣刀刀齿个数对铣削力的影响。
图6为本发明切削深度对铣削力的影响。
图7为本发明径向切削宽度对铣削力的影响。
图8为本发明刀具直径对铣削力的影响。
图9为本发明刀具倾角对铣削力的影响。
图10为本发明刀具螺旋角对铣削力的影响。
图11为本发明进给量对铣削力的影响。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。
本发明实施例提供了一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，包括以下步骤：
步骤1：针对刀具铣削加工钛合金铣削力预测，首先分析球头铣刀的空间几何参数关系，如图1所示，通过旋转机床坐标系Z轴旋转得到刀具坐标系(Xc，Yc，Zc)，Xc指向刀刃曲线的切线方向得到的，原点是球头铣刀顶点。假设P点是切削刃上一点，C点是球头铣刀刀头球心，则直线PC与Z轴负方向之间的夹角k定义为点P的位置角(或轴向切深角)。
其中R0为球头铣刀半径，而局部半径R(z)的变化关系较容易得到：
Xc轴与OP在XOY平面内的夹角ψ定义为P点滞后角，则在刀具坐标系下P点的坐标Zc可以表示为：
Zc＝R0(1-cosk) (3)
当点P在球头铣刀的第j个切削刃上时，其Y轴方向的角位置可以表示如下：
径向滞为连接P点与(0,0,z)点的直线与切削刃底部的切线之间的夹角，滞后角ψ(v)取决于螺旋角，可以用式(4)计算：
式中：i0——铣刀球面部分与圆柱部分交界处的螺旋角。
切深角φj(v)为螺旋槽j的切削刃上一点的角位移，从U轴开始测量，计算公式为：
φj(v)＝φ+(j-1)φp-ψ(v) (5)
式中：φ——铣刀底部定点处的切深角；φp——刀具齿间角，计算公式如下：
式中：n——刀齿数。
步骤2：为了研究刀具倾斜铣削过程，需要引入更多的自由度，所以分别建立三个坐标，机床坐标系(X，Y，Z)作为全局坐标存在，工件坐标系(Xw，Yw，Zw)是一个固定的直角坐标系，在其中可以描述刀具路径等信息，为计算切削力，除了需要定义之前所述的刀具坐标系(Xc，Yc，Zc)外，加工坐标系(FCN)作为重要的研究坐标系也需对其定义，F、C、N三个方向分别为进给方向、纵向进给方向、工件表面法线方向。
由于多轴铣削大多应用于加工复杂曲面，球头铣刀需要时刻变换方向对其加工，所以定义铣刀轴线绕纵向进给轴Zc转过的角度为前倾角l，铣刀轴线绕进给轴Xw转过的角度为倾角t。
步骤3：根据步骤2定义的坐标系，为了计算理解的方便，通过传递矩阵T把刀具Xc，Yc，Zc坐标系中的切削力转换到Xw，Yw，Zw坐标系中，如式(7)所示。
T由式(8)求解：
步骤4：基于由P.Lee和Y.Altintas提出来的考虑剪切力和犁切力双重效应的基础上建立球头铣刀铣削力模型，每个边缘韧点上的微元切削力可以由下式计算：
式中，dS——切削刃微元；
db——切屑厚度微元；
tn——未切削处切削厚度；
Kte，Kre，Kae——边缘效应系数；
Kts，Krs，Kas——剪切效应系数；
其中，dS和db可以表示如：
tn计算方式如下式：
tn＝txsin(k)sin(θj),klow＜k＜kup (11)
其中，tx——进给量；
k——任一点在球头的位置角；
θj——是任一点角位置。
步骤5：把步骤4所述各参数带入切削力计算公式后可得到刀具坐标系下的个方向上的单元切削力(在坐标系C下：Xc，Yc，Zc)：
其中Txyz为坐标系变换矩阵，如下：
步骤6：通过刀具坐标系与工件坐标系的变换矩阵Tx，yz可以得到在工件坐标系下测得的切削力值：
加和所有参与切削的切削刃单元受力，考虑不同切削刃的作用，得到球头铣刀总切削力(在工件坐标系Xw，Yw，Zw下)如下：
步骤7：轴向切入角与切出角的具体位置，A点位置是球头铣刀切削刃开始进入切削的开始点，而B点位置是切的结束点，由于倾角l的存在，轴向切入角与切出角与三轴铣削明显不同，切入角与切出角应该以Y轴作为初始位置，在XOY平面内顺时针旋转得到的，如图2(a)：
点A、B是分别在半径为RA与RB的圆上，也就是说RA与RB是对应A，B两点的切削半径，其可以分别过A，B两点做Z轴垂线得到。所以可以得到切入角与切出角的具体计算关系：
当ae≤R时，
当ae＞R时，
其中，R是刀头半径；α是球头加工时铣刀倾斜角；ap是轴向切削深度；ae是径向切削深度；在直角三角形中，∠AOB能能从AB/计算得到，直线OA＝R-ap；直线AB是点B和工件表面垂直平面之间的距离，如图2(b)所示。球头铣刀加工过程中，刀具工件接触区是一个圆形曲面，半径为AB由下列式子计算得到：
最后用式(19)与(20)带入到等式(16-18)中，即可以得到轴向切入角与切出角仿真如图3所示。
步骤8：角ku与kl是确定每一个参与切削的切削刃有多长的切削刃参与切削，所以这两个参数对切削力影响很大，任意位置的极限轴向位置角与倾角有着直接的关系。点A与点B点的极限轴向位置角ku与kl可以分别表示如下：
步骤9：由于径向切削深度ae相对于刀具直径来说非常小，因此切削力计算式中的ku与kl应该是两个恒定的数值，所以任意切削点的两个位置角边界值θmin与θmax可以估计计算如下：
步骤10：以钛合金平板为铣削加工对象，以硬质合金球头铣刀为刀具，采用数控龙门铣床进行槽钛合金板，工件放置在测力仪上，两端用压块压紧固定，测力仪放置在铣床加工平台上，以六个不同的进给量(0.12-0.15-0.18)mm/tooth，主轴转速1000(rpm)，轴向切深0.5(mm)进行铣削实验。根据不同进给量测得铣削力数值，采用线性回归，识别出球头铣刀和钛合金下的切削力系数，如表1所示。
表1球头铣刀和钛合金的切削力系数。
步骤11：根据已建立球头铣刀切削力的铣削力模型，通过修改不同的切削参数，可以得到不同的切削力仿真图像，进而进行分析对比，进行参数优化。这在实际加工之前有很大的实用意义，为将来的加工提供重要依据，减少加工实验过程是时间，成本等的浪费。
齿数对铣削力的影响
如图5所示，其中图5(a)代表用刀齿N＝2的球头铣刀对工件进行加工所得到的铣削力图像；其中5(b)代表用刀齿N＝3的球头铣刀对工件进行加工所得到的铣削力图像，通过图5可知：只改变铣刀铣削刃个数对切削力大小没有影响，只影响了在一个铣刀旋转周期内铣削力的周期个数，铣削力周期个数与铣刀切削刃的个数相等，而切削中的切入角、切出角也随着切削刃个数的增大向后推移。
切削深度对铣削力的影响
如图6所示，粗线代表用切削深度ap＝1.0mm对工件进行加工所得到的铣削力图像；细线代表用切削深度ap＝0.8mm对工件进行加工得到的切削力图像。可知：当切削深度减小时，X、Y、Z三个方向上的切削力值都有所减小，所以总的切削力也当然变小；从图中也可以看出，当切削深度减小，即球头铣刀浸入工件的深度减小，切削力随之减小。
径向切削宽度对切削力的影响
如图7所示，其中，线代表用径向切削宽度ae＝2mm进行加工得到的切削力图像；细线代表径向切削宽度ae＝1mm进行加工得到的切削力图像，可知：当径向切削宽度ae减小时，X、Y、Z三个方向上的切削力值都有所减小，并且减小幅度比较大，所以总的切削力也当然变小；从图中也可以看出，当当径向切削宽度ae减小，即球头铣刀浸入工件的宽度减小，所以会影响切入角与切出角的大小变化，即切入角大小不变，而切出角大小随着切削深度的减小而减小，在铣削力的每个周期末端可以明显看出。而切削深度对铣削力周期等没有影响。
刀具直径大小对铣削力的影响
如图8所示，其中粗线代表有直径D＝8mm的球头铣刀进行加工得到的曲线；而细线代表用直径D＝5mm的球头铣刀加工得到的切削力曲线。由图8可知：当球头铣刀直径越大时所产生的切削力越大，这里的主要原因是球头铣刀直径变大，参与切削的球头部分变大，切削下来的切屑也变大，进而使产生的切削力变大；球头铣刀直径变大，切入角大小不变，但是切出角有微量变化，即随着球头铣刀的直径增大，切出角随着变小，但是变化幅度很小，可以从每一个铣削力周期末端看出。
刀具倾角对铣削力的影响
如图9所示，其中粗线代表用倾角为l＝15°的加工角度对工件进行加工；其中系线代表用倾角为l＝25°的加工角度对工件进行加工，由图9可知：随着倾角的变大，切削力随之适当变小。所以在加工过程中，可以适当提高倾角来减小切削力，但是实际加工中存在很多要考虑的因素，比如铣刀长度，刚度等问题，倾角不能一味的增大，取值要适当。
6.螺旋角对铣削力的影响
如图10所示，其中粗线代表用螺旋角为β＝38°的铣刀对工件进行加工；其中系线代表用螺旋角为β＝18°的铣刀对工件进行加工，仿真得到以下示意图改变铣刀的螺旋角大小，对铣削力最大值几乎没有影响，只不过在具体的某一位置上会对局部铣削力有所影响，但影响还是微小的；铣刀螺旋角对入切角大小没有影响，但是会对切出角有一定影响：切出角随着螺旋角的增大而增大。
7.进给量对切削力的影响
如图11所示，其中粗线代表用球头铣刀采用进给量0.2mm/s对工件进行加工；其中系线代表用用进给量0.1mm/s对工件进行加工，由图11可知：进几率的切削力最大值影响很大，微小的增加就可以引起较大的切削力变化。所以在实际加工中要合理的选取进几率。
以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (5)

1.一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：通过分析球头铣刀的空间几何参数关系，在刀具坐标系下建立刀具参数的几何关系；
步骤2：考虑刀具倾斜角的影响，通过传递矩阵建立工件坐标系与步骤1所述刀具坐标系的几何关系；
步骤3：在考虑剪切力和犁切力双重效应的基础上建立球头铣刀铣削力模型，针对刀具每个切削微元受力分析，建立在刀具坐标系下刀具径向、轴向、切向力学方程；
步骤4：根据刀具和和工件几何投影计算轴向切入角与切出角并对切削深度与径向切削宽度对切入角与切出角影响仿真分析；
步骤5：通过近似运算确定刀具位置角ku与kl上下边界；
步骤6：通过切削实验，根据测得不同进给速度下切削力，采用线性回归识别刀具与工件的切削力系数；
步骤7：根据已建立球头铣刀切削力的铣削力模型，通过修改不同的切削参数，得到不同的切削力仿真图像，进而进行分析对比。
2.如权利要求1所述的一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
步骤1：首先分析球头铣刀的空间几何参数关系，通过旋转机床坐标系Z轴旋转得到刀具坐标系(Xc，Yc，Zc)，Xc指向刀刃曲线的切线方向，原点为球头铣刀顶点；假设P点是切削刃上一点，C点是球头铣刀刀头球心，则直线PC与Z轴负方向之间的夹角k定义为点P的位置角或轴向切深角：
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其中R0为球头铣刀半径，R(z)为局部半径，通过下式所得：
Xc轴与OP在XOY平面内的夹角ψ定义为P点滞后角，则在刀具坐标系下P点的坐标Zc可以表示为：
Zc＝R0(1-cosk) (3)
当点P在球头铣刀的第j个切削刃上时，其Y轴方向的角位置可以表示如下：
径向滞为连接P点与(0,0,z)点的直线与切削刃底部的切线之间的夹角，滞后角ψ(v)取决于螺旋角，通过下式计算：
<mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>tani</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：i0——铣刀球面部分与圆柱部分交界处的螺旋角；
切深角φj(v)为螺旋槽j的切削刃上一点的角位移，从U轴开始测量，计算公式如下：
φj(v)＝φ+(j-1)φp-ψ(v) (5)
式中：φ——铣刀底部定点处的切深角；φp——刀具齿间角；
步骤2：分别建立机床坐标系(X，Y，Z)、工件坐标系(Xw，Yw，Zw)和加工坐标系(FCN)，并定义铣刀轴线绕纵向进给轴Zc转过的角度为前倾角l，铣刀轴线绕进给轴Xw转过的角度为倾角t；其中，机床坐标系(X，Y，Z)作为全局坐标存在，工件坐标系(Xw，Yw，Zw)是一个固定的直角坐标系，加工坐标系(FCN)中F、C、N三个方向分别为进给方向、纵向进给方向、工件表面法线方向；
根据上述定义的坐标系，通过传递矩阵T把刀具Xc，Yc，Zc坐标系中的切削力转换到Xw，Yw，Zw坐标系中，如式(7)所示：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>X</mi> <mi>w</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Y</mi> <mi>w</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mi>w</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>X</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Y</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤31：在考虑剪切力和犁切力双重效应的基础上建立球头铣刀铣削力模型，每个边缘韧点上的微元切削力可以通过下式计算：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，dS——切削刃微元；
db——切屑厚度微元；
tn——未切削处切削厚度；
Kte，Kre，Kae——边缘效应系数；
Kts，Krs，Kas——剪切效应系数；
步骤32：将步骤31所述各参数带入切削力计算公式后可得到在坐标系C下：Xc，Yc，Zc下的个方向上的单元切削力：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>X</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>Y</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>Z</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Txyz为坐标系变换矩阵如下：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>ksin&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>ksin&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>sinkcos&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>kcos&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤33：通过刀具坐标系与工件坐标系的变换矩阵T’xyz可以得到在工件坐标系下测得的切削力值：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>X</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>Y</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>Z</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>,</mo> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>X</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>Y</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <mi>Z</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
加和所有参与切削的切削刃单元受力，考虑不同切削刃的作用，得到在工件坐标系Xw，Yw，Zw下的球头铣刀总切削力()：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>X</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>Y</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>dF</mi> <mi>j</mi> <msub> <mi>Z</mi> <mi>w</mi> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤4：根据轴向切入角与切出角的具体位置，得到切入角与切出角的具体计算关系：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>O</mi> <mi>A</mi> </msub> <mi>A</mi> </mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>A</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mfrac> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>OO</mi> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mfrac> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当ae≤R时，
当ae＞R时，
其中，R是刀头半径；α是球头加工时铣刀倾斜角；ap是轴向切削深度；ae是径向切削深度；在直角三角形中，∠AOB能能从AB/计算得到，直线OA＝R-ap；直线AB是点B和工件表面垂直平面之间的距离，如图2(b)所示。球头铣刀加工过程中，刀具工件接触区是一个圆形曲面，半径为AB由下列式子计算得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>O</mi> <mo>,</mo> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>O</mi> <mo>,</mo> </msup> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>O</mi> <mo>,</mo> </msup> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>Ra</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>&amp;angle;</mo> <mi>A</mi> <mi>O</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mfrac> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mfrac> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>Ra</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>O</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>OA</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>OB</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
最后用式(19)与(20)带入到等式(16-18)中，即可以得到轴向切入角与切出角
步骤5：通过以下公式运算确定A与点B点的极限轴向位置角ku与kl：
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>A</mi> </msub> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>B</mi> </msub> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>O</mi> <mi>B</mi> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;angle;</mo> <mi>A</mi> <mi>O</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于径向切削深度ae相对于刀具直径来说非常小，因此切削力计算式中的ku与kl应该是两个恒定的数值，所以任意切削点的两个位置角边界值θmin与θmax可以估计计算如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤6：以钛合金平板为铣削加工对象，以硬质合金球头铣刀为刀具，采用数控龙门铣床进行槽钛合金板，工件放置在测力仪上，两端用压块压紧固定，测力仪放置在铣床加工平台上，以六个不同的进给量(f1-f2-f3-f4-f5-f6)mm/tooth，主轴转速V(rpm)，轴向切深ap(mm)进行铣削实验；根据不同进给量测得铣削力数值，采用线性回归，识别出球头铣刀和钛合金下的切削力系数Ktc和Krc；
步骤7：根据已建立球头铣刀切削力的铣削力模型，通过修改不同的切削参数，可以得到不同的切削力仿真图像，进而进行分析对比，进行参数优化。
3.如权利要求2所述的一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，其特征在于，所述步骤1中φp的计算公式下：
<mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：n——刀齿数。
4.如权利要求2所述的一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，其特征在于，步骤S2中的T由下式求解所得：
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
5.如权利要求2所述的一种球头铣刀多轴铣削钛合金铣削力预测方法，其特征在于，所述dS和db可以表示如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>Y</mi> <mover> <mi>j</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>Z</mi> <mover> <mi>k</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mn>4</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>tan</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>d</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
tn计算方式如下式：
tn＝txsin(k)sin(θj),klow＜k＜kup (11)
其中，tx——进给量；
k——任一点在球头的位置角；
θj——是任一点角位置。
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