CN107272639A

CN107272639A - 刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法

Info

Publication number: CN107272639A
Application number: CN201710421305.3A
Authority: CN
Inventors: 高志峰; 程鹏; 蒋国平; 钱默抒; 林金星; 曹腾; 周泽鹏; 韩冰
Original assignee: Nanjing Post and Telecommunication University
Current assignee: Nanjing Post and Telecommunication University; Nanjing University of Posts and Telecommunications
Priority date: 2017-03-09
Filing date: 2017-06-07
Publication date: 2017-10-20
Anticipated expiration: 2037-06-07
Also published as: CN107272639B

Abstract

本发明公开了刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法。首先建立刚性航天器的姿态动力学模型和运动模型；在刚性航天器反作用飞轮发生效率损伤故障的情况下建立其数学模型；再分别设计非线性故障检测观测器以及自适应非线性故障估计观测器用于未知故障的快速检测和精确估计；最后利用所获得的故障估计信息来设计自适应滑模容错控制器。本发明考虑了容错控制器的瞬态性能，实现了刚性航天器在发生反作用飞轮效率损伤故障的情况下，能够准确、快速对未知故障进行检测、估计和调节。将外部扰动对系统造成的影响同时被考虑进来，系统能够相对独立地进行故障诊断模块与容错控制器的设计，既简化了设计过程，更有利于工程中的实现。

Description

刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法

技术领域

本发明属于航空航天飞行控制领域，具体涉及一种刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法。

背景技术

由于航天器任务的多样性和复杂性及其恶劣的工作条件(例如真空、失重、高低温和强辐射)，航天器机械以及电气部件面临着老化使得执行器容易发生故障。

航天器组件故障一旦发生，不仅会使姿态控制系统的性能有所下降，还会使得整个姿态控制系统变得不稳定，严重的话航天器的空间任务也会因此而失败。所以，航天器要求姿态控制系统的安全性和可靠性能够达到一个很高的水平。然而，在航天器姿态控制系统中反作用飞轮容易发生故障(如：卡死故障、效率损伤故障、偏差故障等)。

姿态控制系统是航天器最重要的子系统之一，因而进行航天器姿态控制的容错设计得到了专家和学者的普遍关注。在过去十年中，已经产生了关于航天器容错控制的一些研究成果，在实际航天工程中具有很强的实用价值，而刚性航天器的姿态控制已经成为航天工程的重要基准，这是因为刚性航天器在人类进行的各种空间实验及应用中具有广泛的应用价值，例如空间监视，会合和对接，在轨服务等。因此，围绕刚性航天器进行的姿态控制系统故障诊断与容错控制研究，更具有理论意义以及实用价值。

但就目前自适应反演滑模控制技术已有的研究成果来说，还存在以下几个方面的问题：

(1)系统到达滑模面所需要的时间难达到快速性要求

(2)进行故障估计难达到快速而又准确，精度难以精确

(3)航天器姿态控制系统对执行器故障难达到高容忍性要求

(4)传统的设计方法过于复杂，使得在工程中难以实现

发明内容

本发明解决的技术问题是提供一种刚性航天器姿态控制系统在反作用飞轮出现效率损伤故障时，能够对未知效率损伤故障进行实时的检测并进行精确的故障估计，并使系统自主消除反作用飞轮效率损伤故障对整个姿态控制系统的影响，还能够保证容错控制器的瞬态性能，达到刚性航天器预期姿态性能指标的故障诊断与容错控制技术。

为了解决上述问题，本发明提出了刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法，包含以下步骤：

步骤一、建立刚性航天器的姿态动力学模型和运动学模型，具体如下：

其中，σ∈R^3×1为姿态角向量，其中包括偏航角俯仰角θ、和滚转角ψ；ω∈R^3×1为姿态角速度向量，包括偏航角速度ω_x、俯仰角速度ω_y、和滚转角速度ω_z；非线性元素定义为u＝[u_x,u_y,u_z]^T为反作用飞轮产生的总的控制力矩；J∈R^3×3表示刚性航天器的总惯性矩阵；d(t)∈R^3×1表示外部扰动力矩，

由反作用飞轮产生的总的控制力矩u可以写成下列表示形式：

u＝Dτ(t)

其中，D＝[D₁,D₂,D₃,D₄]∈R^3×4为反作用飞轮的配置矩阵，表示每个反作用飞轮对航天器的角加速度产生的影响；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃,τ₄]^T表示由四个反作用飞轮产生的力矩，根据小姿态角原理，刚性航天器动力学和运动学模型可以写成：

y＝σ

其中，

步骤二、建立刚体航天器反作用飞轮效率损伤故障发生情形下的数学模型，具体如下：

考虑反作用飞轮全部或部分控制力失效的情况，使用表示由四个反作用飞轮中的第i个反作用飞轮所产生的控制力矩：

其中，e_i∈(0,1]是一个未知的常数，表示第i个反作用飞轮的效率损伤因子，τ_i表示由控制器产生的第i个反作用飞轮期望的控制信号，其中i＝1,2,3,4。e_i(t)＝1表示第i个反作用飞轮工作正常，0＜e_i(t)＜1为第i个反作用飞轮发生效率损伤故障，但仍在工作；刚性航天器在反作用飞轮发生效率损伤故障时的动力学模型可以表示为：

其中，E＝diag{e₁,e₂,e₃,e₄}；

步骤三、在刚性航天器反作用飞轮发生效率损伤故障时，建立故障检测观测器：

其中，为角速度向量ω的估计值；λ_i＞0表示故障检测观测器的特征值矩阵；ρ＝[1,1,1]^T，

综上，可以得到故障检测观测器的误差方程表示如下：

r＝e_w

其中，

为了对故障检测观测器产生的残差r进行评估，选择一个阈值量J_th，如果||r||_2,T小于或等于该阈值量J_th，则判断为无故障，如果||r||_2,T大于该阈值量J_th，则判断为有故障发生需要警报；其中，残差评估函数||r||_2,T由下式决定：

其中，t∈(0,T]为有限时间窗口，表示时间窗口的长度是有限的，由于在整个时间范围内对残差信号进行评估难以实现，因而希望故障尽早地被检测到；

步骤四、在刚性航天器反作用飞轮发生效率损伤故障时，建立故障估计观测器，具体如下：

E(t)为对角矩阵，E(t)τ(t)可以写成下列形式：

E(t)τ(t)＝U(t)e(t)

其中，U₁＝diag{τ₁,τ₂,τ₃,τ₄}，e＝[e₁,e₂,e₃,e₄]^T,利用上述,等式，反作用飞轮发生效率损伤故障时的航天器动力学模型可以表示为：

在发生反作用飞轮效率损伤以及外部扰动存在时，对角速度环设计如下故障估计观测器：

其中，为w的估计值，表示反作用飞轮效率损伤因子的估计值，可以由下式得到：

其中γ＞0，定义使用上述观测器，得到的状态估计误差动态方程为：

步骤五、根据步骤四所获得的实时故障估计信息，设计容错控制器，具体如下：

定义下列误差变量：

e₁＝σ-σ_d,e₂＝w-w_d

对外部姿态角环，引入滑模面如下：

其中，K₁＝diag{k₁,k₁,k₁}，k₁为一个正奇数，对S₁对时间求导，得到

对选取的滑模面选取指数趋近率：

其中，v₁和ε₁是两个正的标量，

根据上述等式，虚拟控制输入w_d选择为：

对内部姿态角速度环设计滑模面：

其中，K₂＝diag{k₂,k₂,k₂}，k₂为一个正奇数，对S₂对时间求导，得到

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₂和ε₂是两个正的标量，

根据上述等式，控制输入τ选择为：

其中，为的估计值，ρ＝[1,1,1]^T，的参数更新率设计为：

步骤六、设计改进的容错控制方案，保证改进后的容错控制器还具备良好的瞬态性能，即不论是否发生反作用飞轮效率损伤故障，跟踪误差z＝σ-σ_d始终能够保持在指定的瞬态性能范围，选择具有性质的递减平滑函数δ_i(t):R+→R+{0}作为性能界函数，对于规定的标量和如果始终满足以下条件，则可以实现保证瞬态性能，

其中，和分别为z_i(t)的下界和上界，δ_i(0)的减小速率引入z_i(t)的收敛速度的下界，

为了设计渐近稳定控制器，然后用于变换后的系统以实现对原始系统的渐近跟踪，引入平滑且严格递增的函数为T_i(v_i)，其具有以下性质：

(3)T_i(0)＝0.

根据变换函数T_i(v_i)的性质(1)和(2)，性能条件可以写为：

z_i(t)＝δ_i(t)T_i(v_i)

由于变换函数T_i(v_i)的严格单调性以及δ_i(t)≠0，其反函数可以表示为：

其中v_i可以看作一种新型的误差变量，

如果以及通过设计的控制器可以确保v_i(t)在t＞0时有界，即存在此外，根据函数T_i(v_i)的性质(3)，如果成立，则可以实现渐近跟踪(即)，这里变换函数δ_i(t)T_i(v_i)设计如下：

其中，明显T_i(v_i)具有性质(1)-(3)，

误差变量v_i可写为：

其中，k_i(t)＝z_i(t)/δ_i(t)，

对v_i对时间进行求导：

其中ξ_i定义为：

由于函数T_i(v_i)的性质(1)以及可知ξ_i≠0，通过将等式中的替换为控制系统方程可以写成：

y＝θ

其中，ξ＝diag{ξ₁,ξ₂,ξ₃}，δ＝diag{δ₁,δ₂,δ₃}，z＝[e₁₁,e₁₂,e₁₃]^T，

v＝[v₁,v₂,v₃]^T，根据上式，规定性能界限可以被并入到原始航天器姿态系统之中；

步骤七、为了设计航天器姿态控制方案保证航天器性能，定义下列变量：

z₁＝v,z₂＝ω-ω_d

其中，ω_d是待设计的虚拟控制量，

对姿态角环，设计滑模面：

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₁和ε₁是两个正的标量，

虚拟控制输入w_d选择为：

在角速度误差z₂的基础上，对姿态角速度环设计滑模面：

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₂和ε₂是两个正的标量，

控制输入τ选择为：

其中，为的估计值，ρ＝[1,1,1]^T，的参数更新率设计为：

本发明还进一步提出一种上述利用刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法来验证系统在发生故障时鲁棒稳定性的方法，具体包含以下步骤：

步骤1、定义Lyapunov函数：

步骤2、对V对时间进行求导，可得如下等式：

将步骤七中的ω_d代入上述等式，得到

再将上面步骤七中的τ代入到上述等式，得到

进一步可以得到

步骤3：通过选择足够大的ε_i和v_i，容易看出下列不等式成立。即通过上述证明过程可验证系统的稳定性。

本发明与现有技术相比具有以下显著的进步：

(1)本发明研究的故障类型为发生概率较高的刚性航天器反作用飞轮发生效率损伤故障，设计过程中外部扰动对系统造成的影响同时被考虑进来，更加切合实际。

(2)故障诊断模块使用了故障诊断观测器和故障估计观测器，可以快速检测，并准确估计出反作用飞轮效率损伤故障。采用主动容错策略，能够实时获取故障信息，并通过使用反演控制和滑模控制来进行自适应主动容错控制器的设计，控制器参数可以实时更新，渐近的调节未知反作用飞轮故障对闭环姿态控制系统的影响。

(3)本发明考虑了容错控制器的瞬态性能，通过选择平滑的变换函数作为限定跟踪误差瞬态性能的界函数，使用误差转换的策略，定义新的转换误差变量，从而将保证跟踪误差瞬态性能的问题转化为研究新的转换误差变量有界性的问题，使得改进后的容错控制器能够保证航天器姿态系统跟踪误差始终保持在指定的瞬态性能范围。实现了刚性航天器在发生反作用飞轮效率损伤故障的情况下，还能够满足航天器姿态控制系统的高要求。

(4)本发明设计过程同时使用了多种现代控制理论设计方法(如自适应控制、滑模控制、反演控制等)，可以快速、准确的对未知反作用飞轮效率损伤故障进行检测、估计和调节，并使刚性航天器姿态控制系统在发生反作用飞轮效率损伤故障时仍然可以正常工作运行，具有很强的实用价值。

(5)系统能够相对独立地进行故障诊断模块与容错控制器的设计，不仅简化了设计过程，更有利于工程中的实现。

附图说明

图1是本发明的故障诊断与容错控制方法结构框图；

图2是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，效率损伤因子估计曲线；

图3、图4分别是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，使用本文步骤七中的容错控制策略时的姿态角跟踪响应曲线和实际控制输入响应曲线；

图5是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，使用本文步骤七中的容错控制策略时的姿态角跟踪误差曲线；

图6是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，仿真结果可以表明姿态角跟踪误差始终处于设定的性能界中。

具体实施方式

现结合说明书附图对本发明的具体实施方式做进一步的详细介绍。为了本领域的技术人员可以更好地了解本发明的具体实施步骤，本发明还提供了利用Matlab2014a软件进行故障诊断与容错控制的仿真验证结果。

如图1所示，当刚性航天器反作用飞轮效率损伤故障发生时，为了使姿态控制系统达到期望的姿态，通过非线性故障检测观测器以及自适应故障估计观测器建立起故障诊断模块，对所发生的故障进行在线的检测与估计，并利用故障估计信息进行自适应滑模容错控制器设计，使得刚性航天器姿态控制系统对故障具有高容忍性。

为了解决上述问题，本发明提出了刚性航天器反作用飞轮效率损伤故障的检测、估计及其调节技术，包含以下步骤：

步骤一、建立刚性航天器的姿态动力学模型和运动模型，具体如下：

其中，σ∈R^3×1为姿态角向量，其中包括偏航角俯仰角θ、和滚转角ψ；ω∈R^3×1为姿态角速度向量，包括偏航角速度ω_x、俯仰角速度ω_y、和滚转角速度ω_z；非线性元素定义为u＝[u_x,u_y,u_z]^T为反作用飞轮产生的总的控制力矩；J∈R^3×3表示刚性航天器的总惯性矩阵；d(t)∈R^3×1表示外部扰动力矩。

由反作用飞轮产生的总的控制力矩u可以写成下列表示形式：

u＝Dτ(t)

其中，D＝[D₁,D₂,D₃,D₄]∈R^3×4为反作用飞轮的配置矩阵，表示每个反作用飞轮对航天器的角加速度产生的的影响；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃,τ₄]^T表示由四个反作用飞轮产生的力矩。根据小姿态角原理，刚性航天器动力学模型可以写成：

y＝σ

其中，

步骤二、在刚性航天器反作用飞轮发生效率损伤故障的情况下，建立其数学模型，具体如下：

考虑反作用飞轮全部或部分控制力失效的情况。我们使用表示由四个反作用飞轮中的第i个反作用飞轮所产生的控制力矩：

其中，e_i∈(0,1]是一个未知的常数，表示第i个反作用飞轮的效率损伤因子。τ_i表示由控制器产生的第i个反作用飞轮期望的控制信号，其中i＝1,2,3,4。e_i(t)＝1表示第i个反作用飞轮工作正常，0＜e_i(t)＜1为第i个反作用飞轮发生效率损伤故障，但仍在工作。综上所述，刚性航天器在反作用飞轮发生效率损伤故障时的动力学模型可以表示为：

其中，E＝diag{e₁,e₂,e₃,e₄}。

其中，为角速度向量ω的估计值；λ_i＞0表示故障检测观测器的特征值矩阵；ρ＝[1,1,1]^T。

综上，可以得到故障检测观测器的误差方程表示如下：

r＝e_w

其中，

为了估计产生的残差r，通常采用的方法是选择一个所谓的阈值量J_th，在这个基础上，使用下列逻辑关系

其中，所谓的残差估计函数||r||_2,T由下式决定：

其中，t∈(0,T]为有限时间窗口。表示时间窗口的长度是有限的。由于在整个时间范围内估计残差信号难以实现，因而希望尽早的检测到故障。当使用故障检测观测器检测到反作用飞轮发生效率损伤故障时，接下来就是故障估计。

E(t)为对角矩阵，E(t)τ(t)可以写成下列形式：

E(t)τ(t)＝U(t)e(t)

其中，U₁＝diag{τ₁,τ₂,τ₃,τ₄}，e＝[e₁,e₂,e₃,e₄]^T。利用上述等式，反作用飞轮发生效率损伤故障时的航天器动力学模型可以表示为：

其中，为w的估计值，表示反作用飞轮效率损伤因子的估计值。可以由下式得到：

其中γ＞0。定义使用上述观测器，得到的状态估计误差动态方程为：

定义下列误差变量：

e₁＝σ-σ_d,e₂＝w-w_d

对外部姿态角环，引入滑模面如下：

对选取的滑模面选取指数趋近率：

其中，v₁和ε₁是两个正的标量。

根据上述等式，虚拟控制输入w_d选择为：

对内部姿态角速度环设计滑模面：

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₂和ε₂是两个正的标量。

根据上述等式，控制输入τ选择为：

其中，为的估计值，ρ＝[1,1,1]^T。的参数更新率设计为：

步骤六、设计改进的容错控制方案，保证改进后的容错控制器还具备良好的瞬态性能。即不论是否发生反作用飞轮效率损伤故障，跟踪误差z＝σ-σ_d始终能够保持在指定的瞬态性能范围。

选择具有性质的递减平滑函数δ_i(t):R+→R+{0}作为性能界函数。例如，其中δ_i0＞δ_i∞且η_i＞0。对于规定的标量和如果始终满足以下条件，则可以实现保证瞬态性能，

其中，和分别为z_i(t)的下界和上界。δ_i(0)的减小速率引入z_i(t)的收敛速度的下界。

为了设计渐近稳定控制器，然后用于变换系统以实现对原始系统的渐近跟踪。引入平滑且严格递增的函数为T_i(v_i)，其具有以下性质：

(1)

(2)

(3)T_i(0)＝0.

根据变换函数T_i(v_i)的性质(1)和(2)，性能条件可以写为：

z_i(t)＝δ_i(t)T_i(v_i)

其中v_i可以看作一种新型的误差变量。

如果以及通过设计的控制器可以确保v_i(t)在t＞0时有界，即存在此外，根据函数T_i(v_i)的性质(3)，如果成立，则可以实现渐近跟踪(即)。在本文中，变换函数δ_i(t)T_i(v_i)设计如下：

其中，明显T_i(v_i)具有性质(1)-(3)。

误差变量v_i可写为：

其中，k_i(t)＝z_i(t)/δ_i(t)。

对v_i对时间进行求导：

其中ξ_i定义为：

由于函数T_i(v_i)的性质(1)以及可知ξ_i≠0。通过将等式中的替换为控制系统方程可以写成：

y＝θ

其中，ξ＝diag{ξ₁,ξ₂,ξ₃}， z＝[e₁₁,e₁₂,e₁₃]^T，

v＝[v₁,v₂,v₃]^T。根据上式，规定性能界限现在可以被并入到原始航天器姿态系统之中。

z₁＝v,z₂＝ω-ω_d

其中，ω_d是待设计的虚拟控制量。

对姿态角环，设计滑模面：

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₁和ε₁是两个正的标量。

虚拟控制输入w_d选择为：

在角速度误差z₂的基础上，对姿态角速度环设计滑模面：

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₂和ε₂是两个正的标量。

控制输入τ选择为：

其中，的估计值，ρ＝[1,1,1]^T。的参数更新率设计为：

同时，本发明还提出一种利用上述刚性航天器反作用飞轮效率损伤故障的检测、估计及其调节技术，验证系统在发生故障的情况下鲁棒稳定性的方法，包含以下步骤：

步骤一、定义Lyapunov函数：

对V对时间进行求导，可得如下等式：

将步骤七中的ω_d代入上述等式，得到

再将步骤七中的τ代入到上述等式，得到

进一步可以得到

通过选择足够大的ε_i和v_i，容易看出下列不等式成立。即通过上述证明过程可验证系统的稳定性。

本发明利用Matlab2014a软件，对所提出的故障诊断与容错控制方法进行了仿真验证工作：

(1)刚性航天器姿态控制系统仿真参数选取如下：

总惯性矩阵外部扰动矩阵

(2)初始参数选取：

偏航角俯仰角θ₀＝1.5deg，和滚转角ψ₀＝2deg；偏航角速度ω_x0＝0deg/s、俯仰角速度ω_y0＝0deg/s和滚转角速度ω_z0＝0deg/s；轨道角速度ω₀＝0.0012rad/s。y_d＝σ_d

为期望的系统输出信号。设定为θ_d＝1deg,ψ_d＝3deg；虚拟控制器ω_d和实际控制器τ的增益系数选择为

K₁＝diag{1,1,1},K₂＝diag{3,3,3}

v₁＝1.5,v₂＝5,ε₁＝1.2,ε₂＝4

(3)反作用飞轮效率损伤因子选取如下：

在仿真时假设未知反作用飞轮效率损伤故障在不同时刻发生，即

为了显示容错控制方案的有效性，在此给出必需的仿真比较结果。首先，使用本发明中设计的控制器在反作用飞轮效率损伤故障情况下进行仿真，通过使用故障估计观测器，可以得到效率损伤故障E的估计值如图2所示；图3、图4分别是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，使用本文步骤七中的容错控制策略时的姿态角跟踪响应曲线和实际控制输入响应曲线；图5是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，使用本文步骤七中的容错控制策略时的姿态角跟踪误差曲线；图6是当反作用飞轮效率损伤故障发生时，仿真结果可以表明姿态角跟踪误差始终处于设定的性能界中。

本发明未详细说明部分都属于领域技术人员公知常识，以上所述仅为本发明的一个具体实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法，其特征在于，包含以下步骤：

由反作用飞轮产生的总的控制力矩u可以写成下列表示形式：

u＝Dτ(t)

<mrow> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> </mrow>

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y＝σ

其中，

其中，e_i∈(0,1]是一个未知的常数，表示第i个反作用飞轮的效率损伤因子，τ_i表示由控制器产生的第i个反作用飞轮期望的控制信号，其中i＝1,2,3,4，e_i(t)＝1表示第i个反作用飞轮工作正常，0＜e_i(t)＜1为第i个反作用飞轮发生效率损伤故障，但仍在工作；刚性航天器在反作用飞轮发生效率损伤故障时的动力学模型可以表示为：

<mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，E＝diag{e₁,e₂,e₃,e₄}；

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其中，为角速度向量ω的估计值；Λ＝diag{λ₁,λ₂,λ₃}，λ_i＞0表示故障检测观测器的特征

值矩阵；ρ＝[1,1,1]^T，

综上，可以得到故障检测观测器的误差方程表示如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>w</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&Lambda;e</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>I</mi> <mo>-</mo> <mi>E</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>&kappa;</mi> </mrow>

r＝e_w

其中，

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E(t)为对角矩阵，E(t)τ(t)可以写成下列形式：

E(t)τ(t)＝U(t)e(t)

<mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>U</mi> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>w</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>U</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&rho;</mi> </mrow>

<mrow> <mover> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&gamma;U</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>w</mi> <mo>~</mo> </mover> </mrow>

<mrow> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&omega;</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>U</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>&kappa;</mi> <mo>;</mo> </mrow>

定义下列误差变量：

e₁＝σ-σ_d,e₂＝w-w_d

对外部姿态角环，引入滑模面如下：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow>

对选取的滑模面选取指数趋近率：

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2

其中，v₁和ε₁是两个正的标量，

根据上述等式，虚拟控制输入w_d选择为：

<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对内部姿态角速度环设计滑模面：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，v₂和ε₂是两个正的标量，

根据上述等式，控制输入τ选择为：

<mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>DD</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>JK</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>JS</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Jv</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为的估计值，ρ＝[1,1,1]^T，的参数更新率设计为：

<mrow> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&Gamma;</mi> </mfrac> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow>

步骤六、设计改进的容错控制方案，保证改进后的容错控制器还具备良好的瞬态性能，即不论是否发生反作用飞轮效率损伤故障，跟踪误差z＝σ-σ_d始终能够保持在指定的瞬态性能范围，选择具有性质的递减平滑函数δ_i(t):R+→R+{0}作为性能界函数，对于规定的标量0＜ε _i≤1和如果始终满足以下条件，则可以实现保证瞬态性能，

<mrow> <mo>-</mo> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo><</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo><</mo> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>&ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow>

其中，-ε _iδ_i(0)和分别为z_i(t)的下界和上界，δ_i(0)的减小速率引入z_i(t)的收敛速度的下界，

(1)

(2)

(3)T_i(0)＝0.

根据变换函数T_i(v_i)的性质(1)和(2)，性能条件可以写为：

z_i(t)＝δ_i(t)T_i(v_i)

<mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中v_i可以看作一种新型的误差变量，

<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow>

其中，明显T_i(v_i)具有性质(1)-(3)，

误差变量v_i可写为：

<mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，k_i(t)＝z_i(t)/δ_i(t)，

对v_i对时间进行求导：

<mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中ξ_i定义为：

<mrow> <msub> <mi>&xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <munder> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </munder> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>&delta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>&delta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

y＝θ

z₁＝v,z₂＝ω-ω_d

其中，ω_d是待设计的虚拟控制量，

对姿态角环，设计滑模面：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>&delta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow>

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，v₁和ε₁是两个正的标量，

虚拟控制输入w_d选择为：

<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&sigma;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mi>&sigma;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&delta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在角速度误差z₂的基础上，对姿态角速度环设计滑模面：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

对上述滑模面选取指数趋近率如下：

其中，v₂和ε₂是两个正的标量，

控制输入τ选择为：

<mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>DD</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>JK</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&xi;JS</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Jv</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为的估计值，ρ＝[1,1,1]^T，的参数更新率设计为：

<mrow> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&Gamma;</mi> </mfrac> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow>

2.一种利用权利要求1所述的刚性航天器反作用飞轮故障的检测、估计及其调节方法来验证系统在发生故障时鲁棒稳定性的方法，其特征在于包含以下步骤：

步骤一、定义Lyapunov函数：

步骤二：对V对时间进行求导，可得如下等式：

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&Gamma;</mi> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow>

将步骤七中的ω_d代入上述等式，得到

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&xi;e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>&omega;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&omega;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&Gamma;</mi> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow>

再将步骤七中的τ代入到上述等式，得到

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&xi;z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&xi;S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&Gamma;</mi> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&Gamma;</mi> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

进一步可以得到

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

步骤三：通过选择足够大的ε_i和v_i，容易看出下列不等式成立，即通过上述证明过程可验证系统的稳定性。