CN114578795B - 一种针对电动汽车eps的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，包括：反馈线性化、自适应控制、规定性能界线控制。该方法采用针对电动汽车EPS非线性运动学系统进行反馈线性化，通过适当的非线性反馈控制将电动汽车EPS非线性系统转化为线性系统，利用状态反馈自适应对不确定性的故障进行补偿，在此基础上，加入规定性能界线控制（PPB）对不确定性故障的瞬时超调进行抑制，保证了不确定性故障补偿的暂态性能。

Description

一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补 偿控制方法

技术领域

本发明属于电动汽车容错控制技术领域，具体涉及一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法。

背景技术

为了提高电动汽车的控制精度，减少不必要的经济损失和人员伤亡，增强电动汽车EPS的容错能力至关重要。容错控制表示系统出现故障后仍能运行的能力，是一个复杂的多学科交叉问题，涉及到多个研究领域，包括信号传输、故障诊断与预测、鲁棒控制等。对于集成化的飞行系统，发生故障是无法避免的而且会影响系统的政体性能和稳定性。容错控制系统的作用是在系统存在故障的时候，仍能够通过降低系统的性能来保证闭环结构的稳定性，从而避免坠机等事故和不必要的损失，因此意义重大。

现在电动汽车EPS故障补偿控制问题已经成为电动汽车容错控制领域的研究热点和关键技术之一。目前的容错控制技术主要分为主动容错控制和被动容错控制两类控制方法。主动容错控制(Active Fault Tolerant Control，AFTC)是一种通过故障诊断和隔离(Fault Diagnosis and Isolation，FDI)模块对系统进行在线重组的容错控制方法。故障诊断隔离模块能够得到系统故障的参数信息，然后将其反馈至控制器并进行增益和系数的调节，因此能够处理多种故障信息。与主动容错控制对应的是被动容错控制(PassiveFault Tolerant Control，PFTC)，它是在系统发生故障时，通过鲁棒控制技术在不改变控制器结构的同时保证系统稳定性的算法。对于被动容错控制系统，故障参数信息在控制律设计之前作为先验知识考虑在内，因此不包含故障诊断和隔离模块，系统响应速度更快时间更短，同时也有很好的鲁棒性能，传统的方法有极点配置法、定量反馈理论、H_∞算法和反步控制算法等。

通过对国内外学者的研究进行总结，两种容错方式都有很广泛的应用，各自都有优缺点。主动容错控制虽然能够处理多种系统故障，但是它对FDI的结果比较敏感，因此，此类方法比较依赖故障诊断与隔离模块的结果。此外，系统从出现故障到故障诊断隔离，再到控制器的调整，这个过程时间的消耗也会造成系统出现更多的差错。而且系统易受噪声的干扰。

发明内容

本发明所要解决的技术问题为：在满足用基于反馈线性化的自适应故障补偿控制的前提下，优化故障的瞬态性能，同时还要保证系统的稳定和渐近跟踪。为了解决上述技术问题，本发明提供了改进的参考自适应控制方法。具体发明内容由如下两部分组成：反馈线性化的故障补偿、加入规定性能界线控制(PPB)。

1.基于反馈线性化的故障补偿控制方法。具体步骤如下：

步骤1：建立电动汽车EPS系统所建立的动态模型为：

方向盘转向柱：

输出轴：

电机：

齿条：

式中，T_h为方向盘操纵扭矩；T_m、T_a分别为直流电机电磁转矩和电机输出助力矩；T_l为输出轴反向作用力矩；α为方向盘转角；δ为转向小齿轮(中间轴)x_r为转向齿条位移，r_p转向小齿轮半径；θ为电机转角；T_R为路面随机干扰；I_h为方向盘及转向柱的转动惯量；C_h为转向柱的粘性阴尼系数；N为减速机构的减速比；T_c为扭杆力矩，即扭矩传感器测出值T_c＝K_s(α-δ)；I_m为电机转动惯量；C_m为电机粘性阻尼系数；K_s为扭杆的扭转刚度；I_e为输出轴的转动惯量；C_e为输出轴的粘性阻尼系数；M_r为转向齿条质量；C_r为转向齿条移动粘性阻尼系数；K_r为阻力等效到转向横拉杆弹性系数。

直流驱动电机电磁力矩阵线性模型为：

式中：R为电阻。

电机最终产生的助力为：

T_a＝k_m(θ-Nδ) (6)

式中：k_m为电机刚性系数。

令x₁＝α,x₂＝δ,x₃＝θ,EPS系统的主要外部输入是驾驶员的操纵力矩T_h、路面随机干扰T_R和控制电机电压U。系统主要输出的电机辅助力矩T_R，扭杆力矩T_c，由式(1)～(6)可建立EPS系统的状态方程：

式中：k_a为电磁转矩常数；k_b为反电势常数；k_m为电机刚性系数；M_R为输出轴、小齿轮、齿条的当量质量；C_R为输出轴、小齿轮、齿条当量阻尼；r_p为转向小齿轮半径。

将电动汽车EPS模型与非线性系统相匹配：

其中n＝6是状态向量，u＝[u₁,u₂,...,u_m]^T∈R^m,m＝3是系统的输入矢量，其组成部分易受执行器故障的影响，y＝[T_a,T_c]∈R^q,q＝2是输出矢量。函数f(x)∈Rⁿ，g(x)＝[g₁(x),g₂(x),...,g_m(x)]∈R^n×m，H(x)∈R^q采用的是一般形式。

步骤2：搭建执行器故障模型。

式中，一些不确定的失效指标j∈{1,2，.....,m},故障的瞬时时间t_j＞0，未知常数f_ji(t),i＝1,2,....,q_j为已知的有界信号，且输入失效所影响的输出个数q_j≥1。

为进一步分析，将故障模型(10)表述成压缩形式：

式中，

在执行器可能出现故障的情况下(10)，系统的实际输入矢量u(t)可以描述为：

式中，v(t)＝[v₁(t),v₂(t),....v_m(t)]^T是设计的控制输入，是执行器的故障输入。执行器故障模式的对角矩阵为σ(t)＝diagσ(t)＝diag{σ₁(t),σ₂(t),....σ_m(t)}，σ_i(t)＝1表示第i个执行器故障，否则σ_i(t)＝0。

执行器u₁未失效或失效的情况所对应的故障模式是：

用式(13)可以将系统改写为：

这表明当执行器故障时，控制信号v(t)的执行器不能达到系统动力学的要求来传递控制力。

步骤3：反馈线性化。

李导数的定义。

两个函数的李导数，H(x)∈R，f(x)＝[f₁(x),f₁(x),...,f_n(x)]^T∈Rⁿ对于x∈Rⁿ，可定义为：

可表述为H(x)沿矢量场f(x)的方向导数。

由定义和g_j(x)∈Rⁿ,j＝1,2,...,m可知：

系统(9)在点x₀处的向量相对度ρ，1≤ρ≤n，满足以下两个条件：

(1)对于1≤j≤m,k＜ρ-1,对于x₀附近的任意x有一些j∈{1,2,....,m},有

(2)q×m的矩阵

其中A(x)在x＝x₀行满秩。

定义中的条件(1)和(2)可解释如下。条件(1)表明ρ_i是最小的整数，且至少有一个输入出现在中，那是：

其中至少有一个1≤j≤m，并且第i个输出和它第一个ρ_i-1的时间导数k＜ρ_i-1，在时间t不受任何控制输入u_j(t)在x₀附件的x的影响。

条件(2)意味着输出y_i(t)，(1≤i≤q)，输出的第ρ_i次导数可以通过适当选择控制输入u(t)＝[u₁(t),u₂(t),...,u_m(t)]^T来适当分配。

非线性反馈控制律。如果可以选择：

闭环反馈系统将变成：

其中u_L是待设计的线性反馈控制律。

部分反馈线性化。因为ρ₁+ρ₂+…+ρ_q＜n，系统(9)只能用索引{ρ₁,ρ₂,...,ρ_q}通过在x₀的邻域内定义变量的改变。H(x)＝[H₁(x),...,H_q(x)]∈R^q，使T_c(x)是定义为的光滑函数：

存在一个光滑的映射

由(20)完成微分同胚映射。

其中A_i(ξ)是(17)中定义的第i行，i＝1,2,....,q。

线性反馈控制。经过反馈线性化，y_i(t)对y_mi(t)输出跟踪的控制率是(20)中的为：

跟踪误差方程e_i＝y_i-y_mi：

步骤4：设计执行器故障补偿。

由非线性反馈设计来生成有效的控制信号ω_d(t)∈R为：

对于系统(20)有A(x)u(t)＝ω_d(t)，则可以使在没有执行机构故障的情况下，可以通过求解A(x)u(t)＝ω_d(t)来获得一个期望的控制输入u(t)，当m＞q满足A(x)u(t)＝ω_d(t)，对于期望ω_d(t)非唯一。

需要满足控制信号的方程:

ω_d(t)＝A(x)u(t) (28)

用于控制执行动作可能存在的执行器故障的值在系统输入信号u(t)如所述

对于系统(21)可改写成：

针对无故障情况进行设计。对于任意t≥0，u(t)＝v(t)，控制信号(28)是ω_d(t)＝A(x)v(t)，设计的信号v(t)为：

对于选定的矩阵函数h₂₁(x)∈R^m×(m-1)和信号从下列获得：

选择的h₂₁(x)使这个方程有一个实时的解这是可能的并且不是唯一的，带有一定的设计自由度，以确定最优。解可以表示为：

非唯一矩阵函数K₂₁(x)∈R^m-1×q。注意，此信号与任何潜在的执行器故障信号j＝1,2,...,m无关，因此是K₂₁是已知的信号，选择h₂₁时(30)中的也是已知信号。

针对u₁故障案例进行设计。当时，对于i＝2,...,m有u_i＝v_i，A(x)＝[A₁,A₂,...,A_m]＝[A₁,A₍₂₎]∈R^q×m，其中A₍₂₎＝[A₂,....,A_m]∈R^q×(m-1),，其中v_a(2)＝[v₂,...,v_m]^T∈R^m-1控制信号方程ω_d(t)＝A(x)u(t)可写成：

(12)及(13)中的σ₍₂₎表示当u₁失效时，相应的控制信号v₁(t)无法到达系统动力学传递控制力。为进一步分析，将信号v₁设为v₁＝0。也可以选择非奇异矩阵函数h₂₂(x)∈R^{(m -1)×(m-1)}来设置

对于一些信号可由下式获得：

同样地，选择h₂₂(x)应该使这个方程有一个解解的显式形式可以表示为：

对于非唯一的矩阵函数K₂₂(x)∈R^(m-1)×q和向量K₂₂₁(x)∈R^(m-1)注意，这个信号与执行器故障信号有关，在(34)中的也是。然而，(37)中的函数K₂₂和K₂₂₁通过求解(35)已知，(34)中的函数h₂₂通过预先指定的选择已知。

将(30)中的h₂₁∈R^m×q，将(33)中的h₂₂∈R^(m-1)×q，并将相应的设为q维向量，使上述单个解j＝1,2,唯一。

复合控制律。为了继续，定义了以下故障模式指示器函数：

然后积分一个复合控制律：

同时处理无故障和一个执行器故障的情况。

对于(34)中的v(t)＝v^*(t)，经过式(12)，u(t)可改写成控制信号方程A(x)u(t)＝ω_d(t)变为：

对反馈控制信号ω_d进行控制，满足控制期望。

步骤5：设计自适应执行器故障补偿。

自适应控制器结构。提出以下控制律(39)的自适应版本:

其中和分别是和的估计值。在此基础上提出了一种新的参数化方案。

信号组件指定自适应信号分量对于在(33)中的(36)中的考虑可得

对于(11)中的可以表示为：

其中

因此，可以表达:

指示φ₂＝h₂₂K₂₂₁＝[φ_2,1,φ_2,2,…,φ_2,m-1]^T，可得：

其中和i＝1,2,....,m-1。

信号组件用同样的方式来说明可以表示为：

其中i＝1,2，...,m。

根据(45)和(46)，推出自适应和为：

其中，χ_j,i(t)和θ_1(i)(t)分别时和的估计值。

然后，将控制器结构(41)改写为：

其中和由(47)和(48)明确给出。

误差方程。在执行机构存在不确定故障时，指标的信号值起作用和失效参数是未知的，所以(39)中的标称控制信号v^*(t)不可用，驱动信号为：

不等于期望的反馈控制信号：

为了设计一个有效的自适应控制器来处理故障不确定性，将对象(19)重写为：

用于跟踪的控制率u_L为：

控制误差方程。由(44)-(47)，得到：

其中：

输出误差方程：

如果σ＝σ₍₁₎＝diag{0,0,....,0}，根据(53)，(54)，(55)可改写成：

其中v₁＝h₂₁K₂₁ω_d＝[v_1,1,v_1,2]^T，v₂＝h₂₂K₂₂ω_d＝[v_2,1,v_2,2]^T。

如果σ＝σ₍₂₎＝diag{1,0,.....,0}，根据(53)，(54)，(55)可改写成：

式(56)和(57)右边的三项是理想跟踪控制v^*(t)和实际跟踪控制v(t)不匹配造成的。

2.设计自适应执行器瞬态优化控制，具体步骤如下：

步骤6：基于递减的光滑函数，通过限定其与跟踪误差的关系，规定性能界限。

选择一个递减的光滑函数η(t):R₊→R₊\{0}，其极限为

满足条件：

(1)和-δη(0)分别为e(t)最大正超调和最大负超调。η(t)的下降速率为e(t)的收敛速度引入一个下界。

(2)当η(t)与η_∞足够接近时，如果执行器发生故障，则满足，且ε＞0足够小。这就表示不会由于这种执行器故障而出现系统承载不了的大超调。

(3)通过改变光滑函数η(t)和正标量δ,的设计参数，限定合适的正标量上下限，可提高跟踪误差e(t)的收敛速度并降低最大超调量。

步骤7：通过一个平滑递增函数转化误差，并将转化的误差通过性能界限待入至原始非线性系统中，得到输出误差方程，进一步得到状态误差方程；

设计了一个平滑且严格递增的函数具有以下属性:

(i)

(ii)

(iii)

S(0)＝0 (61)

根据的性质(i)和(ii)，性能条件(59)可以表示为：

由于的严格单调性和η(t)≠0，有逆函数

的存在。称为转换后的误差，如果被设计的控制器确保为t≥0有界，将得到此外，根据的性质(iii)，只要遵循便可以实现渐近跟踪(即)。

在本文中，将设计为

其中

可以得出具有(i)-(iii)的性质。转化后的误差解为

式(62)中计算出的时间导数为

其中ζ的定义为：

由于和(62)的性质(i)，ζ的定义很明确ζ≠0。现在将规定的性能界引入到原始非线性系统中，将误差e的方程替换成输出误差方程可以改写成：

状态误差方程。重要的是推导误差方程，这将有助于更新规律的设计。

其中中的输出y₁＝ξ_1，1,...,y_q＝ξ_q，1，e_i＝y_i-y_mi，改写(70)为：

与方程：

可以获得：

其中：

步骤8：获取自适应率。

基于状态误差系统(70)，现在设计自适应律来更新控制器参数χ_1,i,i＝1,2,...,m,χ_2,i和θ_1(i)，i＝1,....,m-1。

定义Z_P∈R，对应的z^TP∈R^1×ρ，选择χ_j,i(t)和θ_1(i)(t)自适应定律为：

其中是适应增益矩阵，γ_1i＞0和γ_2i＞0是自适应增益，P∈R^n×n是满足Lyapunov方程的正定对称矩阵。

选定一个n×n的矩阵Q＝Q^T＞0。

选择参数投影函数为

其中可以得出结论，鲁棒自适应律，确保0≤χ_1，1≤1。

χ_1，1是有界的，并且

步骤9：系统性能分析

(1)对于第一个时间间隔t∈[T₀,T₁),T₁≤∞，不存在执行机构故障，即σ＝σ₍₁₎＝diag{0,0,...,0}，构造这样一个李雅普诺夫函数：

在区间[T₀,T₁)对V₀求导得到：

通过自适应补偿设计(56)和(74)-(78)，有

(2)在时间t＝T₁(T₁是一个有限时间)，u₁失效并在间隔时间(T₁,T₂)(T₂≤∞)内保持失效，即σ＝σ₍₂₎＝diag{1,0,...,0}。对于稳定性的证明，选择了以下Lyapunov函数:

在区间[T₁,T₂)对V₁求导得到：

通过自适应补偿设计(57)和(74)-(78)，有

通过Lyapunov函数可证明系统的稳定性和渐近跟踪性，以及瞬态性能的优化。

本发明达到的有益效果为：针对电动汽车EPS的非线性系统，在满足用基于反馈线性化的自适应故障补偿控制的前提下，优化了故障的瞬态性能，同时保证系统的稳定和渐近跟踪，使得电动汽车EPS在发生故障的时刻也能满足EPS的工作的最低稳定要求。

附图说明

图1为本发明实施例中的控制方法的原理框图。

图2为本发明实施例中的自适应容错控制的误差信号曲线。

图3为本发明实施例中的具备瞬态性能保证的自适应容错控制的误差信号曲线。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明。

下面结合一种典型的电动汽车EPS非线性动力学模型对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

1、对非线性系统进行反馈线性化。

搭建电动汽车EPS非线性模型：

根据李导数定义可知至少有一个1≤j≤m，并且第i个输出和它第一个ρ_i-1的时间导数k＜ρ_i-1，在时间t不受任何控制输入u_j(t)在x₀附件的x的影响。

条件(2)意味着输出y_i(t)，(1≤i≤q)，输出的第ρ_i次导数可以通过适当选择控制输入u(t)＝[u₁(t),u₂(t),...,u_m(t)]^T来适当分配。

选择合适的非线性反馈控制率：

因为ρ₁+ρ₂+…+ρ_q＜n则进行部分反馈线性化：

y₁＝ξ_1,1,y₂＝ξ_2,1,....y_q＝ξ_q,1

2、在反馈线性化的基础上进行故障补偿设计。

由非线性反馈设计生成的所需的有效控制信号ω_d(t)∈R为：

无故障情况下的控制信号：

u₁故障情况下的控制信号：

设计的复合控制率为：

控制信号转变为：

3、执行器自适应故障补偿设计。

无故障自适应控制器结构：

u₁故障自适应控制器结构：

控制误差方程：

4、基于自适应执行器故障补偿的规定性能界线控制设计。选取合适的递减的光滑函数，η(t):R₊→R₊\{0}，其极限为

设计一个平滑且严格递增的函数具有以下属性:

S(0)＝0

误差可以表示为：

设计的为：

通过的逆函数将误差转化：

因此，输出误差可以改写成：

状态误差方程改写成：

获取自适应率：

4、系统的性能分析

(1)对于第一个时间间隔t∈[T₀,T₁),T₁≤∞，不存在执行机构故障，即σ＝σ₍₁₎＝diag{0,0,...,0}，构造这样一个李雅普诺夫函数：

通过自适应补偿得出：

(2)在时间t＝T₁(T₁是一个有限时间)，u₁失效并在间隔时间(T₁,T₂)(T₂≤∞)内保持失效，即σ＝σ₍₂₎＝diag{1,0，....,0}。对于稳定性的证明，选择了以下Lyapunov函数:

通过自适应补偿得出：

通过Lyapunov函数可证明系统的稳定性和渐近跟踪性，以及瞬态性能的优化。

仿真结果如图2和图3所示。

以上所述仅为本发明的较佳实施方式，本发明的保护范围并不以上述实施方式为限，但凡本领域普通技术人员根据本发明所揭示内容所作的等效修饰或变化，皆应纳入权利要求书中记载的保护范围内。

Claims (8)

1.一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：

步骤1，建立电动汽车EPS系统，搭建其动态模型，包括方向盘转向柱、输出轴、电机和齿条的各项模型方程，建立EPS系统的状态方程，并使其与非线性系统相匹配；

步骤2，搭建执行器故障模型，并进行压缩表述，得到出现故障的情况下的实际输入矢量，更新非线性系统；

步骤2中，建立的执行器故障模型为：

式中，失效指标j∈{1,2，.....,m}，故障的瞬时时间t_j＞0，未知f_ji(t),i＝1,2,....,q_j为已知的有界信号，且输入失效所影响的输出个数q_j≥1；m＝3；

为进一步分析，将故障模型(4)表述成压缩形式：

式中，

在执行器出现故障的情况下，系统的实际输入矢量u(t)描述为：

式中，v(t)＝[v₁(t),v₂(t),....v_m(t)]^T是设计的控制输入，是执行器的故障输入；执行器故障模式的对角矩阵为σ(t)＝diag{σ₁(t),σ₂(t),....σ_m(t)}，σ_i(t)＝1表示第i个执行器故障，否则σ_i(t)＝0；

执行器u₁未失效或失效的情况所对应的故障模式是：

用式(13)将系统改写为：

这表明当执行器故障时，控制信号v(t)的执行器不能达到系统动力学的要求来传递控制力；

步骤3，通过定义非线性系统中函数的李导数以及设定限定条件，基于非线性反馈控制律实现反馈线性化；

步骤4，提出非线性反馈设计来生成所需的有效控制信号，求解获得期望的控制信号，并定义故障模式指示器函数及其复合控制律，完成执行器故障补偿；

步骤5，建立自适应的复合控制律，进行控制信号参数化，更新控制器结构，并建立误差方程，完成自适应执行器故障补偿；

步骤5中，提出以下控制律(39)的自适应形式：

其中和分别是和的估计值；在此基础上提出了一种参数化方案：

信号组件指定自适应信号分量对于在(33)中的和(36)中的考虑得：

对于(11)中的表示为：

其中

因此，表达：

指示φ₂＝h₂₂K₂₂₁＝[φ_2,1,φ_2,2,...,φ_2,m-1]^T，得：

其中和

信号组件用同样的方式来说明表示为：

其中

根据(45)和(46)，得到自适应和为：

其中，χ_j,i(t)和θ_1(i)(t)分别是和的估计值；

然后，将控制器结构(41)改写为：

其中和由(47)和(48)给出；

误差方程：在执行机构存在不确定故障时，指标的信号值起作用和失效参数是未知的，所以(39)中的标称控制信号v^*(t)不可用，驱动信号为：

不等于期望的反馈控制信号：

为了设计自适应控制器来处理故障不确定性，将对象(19)重写为：

用于跟踪的控制率u_L为：

控制误差方程：由(44)-(47)，得到：

其中：

输出误差方程：

如果σ＝σ₍₁₎＝diag{0,0,....,0}，根据(53)，(54)，(55)改写成：

其中v₁＝h₂₁K₂₁ω_d＝[v_1,1,...,v_1,m]^T，v₂＝h₂₂K₂₂ω_d＝[v_2,1,...,v_2,m-1]^T；

如果σ＝σ₍₂₎＝diag{1,0,.....,0}，根据(53)，(54)，(55)改写成：

式(56)和(57)右边的三项是理想跟踪控制v^*(t)和实际跟踪控制v(t)不匹配造成的；

步骤6，基于递减的光滑函数，通过限定其与跟踪误差的关系，规定性能界限；

步骤7，通过一个平滑递增函数转化误差，并将转化的误差通过性能界限待入至原始非线性系统中，得到输出误差方程，进一步得到状态误差方程；

步骤8，根据动态误差，基于自适应律和参数投影函数，更新控制器参数，获取自适应率；

步骤9，基于李雅普诺夫函数，对不存在执行机构故障和存在故障的两段时间内，进行系统性能分析，实现系统的稳定和渐近跟踪，以及瞬态性能的优化。

2.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤1中，建立电动汽车EPS系统所建立的动态模型为：

方向盘转向柱：

输出轴：

电机：

齿条：

式中，T_h为方向盘操纵扭矩；T_m、T_a分别为直流电机电磁转矩和电机输出助力矩；T_l为输出轴反向作用力矩；α为方向盘转角；δ为转向小齿轮即中间轴的x_r为转向齿条位移，r_p转向小齿轮半径；θ为电机转角；T_R为路面随机干扰；I_h为方向盘及转向柱的转动惯量；C_h为转向柱的粘性阴尼系数；N为减速机构的减速比；T_c为扭杆力矩，即扭矩传感器测出值T_c＝K_s(α-δ)；I_m为电机转动惯量；C_m为电机粘性阻尼系数；K_s为扭杆的扭转刚度；I_e为输出轴的转动惯量；C_e为输出轴的粘性阻尼系数；M_r为转向齿条质量；C_r为转向齿条移动粘性阻尼系数；K_r为阻力等效到转向横拉杆弹性系数；

直流驱动电机电磁力矩阵线性模型为：

式中R为电阻；

电机最终产生的助力为：

T_a＝k_m(θ-Nδ) (6)

式中k_m为电机刚性系数；

令x₁＝α,x₂＝δ,x₃＝θ,EPS系统的外部输入是驾驶员的操纵力矩T_h、路面随机干扰T_R和控制电机电压U；系统输出是电机辅助力矩T_R，扭杆力矩T_c，由式(1)～(6)建立EPS系统的状态方程：

式中，k_a为电磁转矩常数；k_b为反电势常数；k_m为电机刚性系数；M_R为输出轴、小齿轮、齿条的当量质量；C_R为输出轴、小齿轮、齿条当量阻尼；r_p为转向小齿轮半径；

将电动汽车EPS模型与非线性系统相匹配：

其中是状态向量，u＝[u₁,u₂,...,u_m]^T∈R^m,m＝3是系统的输入矢量，其组成部分易受执行器故障的影响，y＝[T_a,T_c]∈R^q,q＝2是输出矢量；函数f(x)∈Rⁿ，g(x)＝[g₁(x),g₂(x),...,g_m(x)]∈R^n×m，H(x)∈R^q采用的是一般形式。

3.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤3中，定义两个函数的李导数，H(x)∈R，f(x)＝[f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)]^T∈Rⁿ，对于x∈Rⁿ，定义为：

表述为H(x)沿矢量场f(x)的方向导数；

由定义和g_j(x)∈Rⁿ,j＝1,2,...,m知：

系统(9)在点x₀处的向量相对度ρ＝m＝3，满足以下两个条件：

条件1：对于1≤j≤m,k＜ρ-1,对于x₀附近的任意x有一些j∈{1,2,....,m},有

条件2：q×m的矩阵

其中A(x)在x＝x₀行满秩；

定义中的条件1和2解释为：条件1表明ρ是最小的整数，且至少有一个输入出现在y^(ρ)中，即是：

其中至少有一个并且第i个输出和它第一个ρ_i-1的时间导数在时间t不受任何控制输入u_j(t)在x₀附件的x的影响；

条件2表示输出y_i(t)，(1≤i≤q)，q＝3，输出的第ρ_i次导数通过选择控制输入u(t)＝[u₁(t),u₂(t),...,u_m(t)]^T来进行分配；

由此，(12)写成：

非线性反馈控制律，选择：

闭环反馈系统变成：

其中u_L是待设计的线性反馈控制律；

部分反馈线性化；因为ρ₁+ρ₂+…+ρ_q＜n，系统(9)只能用索引{ρ₁,ρ₂,...,ρ_q}通过在x₀的邻域内定义变量的改变；H(x)＝[H₁(x),...,H_q(x)]∈R^q，T_c(x)定义为光滑函数：

存在一个光滑的映射：

由(20)完成微分同胚映射；

其中A_i(ξ)是(14)中定义的第i行，i＝1,2,....,q；

线性反馈控制：经过反馈线性化，y_i(t)对y_mi(t)输出跟踪的控制率是(20)中的为：

跟踪误差方程e_i＝y_i-y_mi：

4.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤4中，由非线性反馈设计来生成所需的有效控制信号ω_d(t)∈R^q为：

对于系统(20)，有A(x)u(t)＝ω_d(t)，则使在没有执行机构故障的情况下，通过求解A(x)u(t)＝ω_d(t)来获得一个期望的控制输入u(t)，当m＞q满足A(x)u(t)＝ω_d(t)，对于期望ω_d(t)非唯一；

在当前问题中，需要满足控制信号方程：

ω_d(t)＝A(x)u(t) (28)

用于控制执行动作可能存在的执行器故障的值在系统输入信号u(t)如所述

对于系统(21)改写成：

针对无故障情况进行设计：对于任意t≥0，u(t)＝v(t)，控制信号(28)是ω_d(t)＝A(x)v(t)，设计的信号v(t)为：

对于选定的矩阵函数h₂₁(x)∈R^2×1和信号从下列获得：

选择的h₂₁(x)使这个方程有一个实时的解以确定最优；解表示为：

非唯一矩阵函数K₂₁(x)∈R；此信号与执行器故障信号无关，K₂₁是已知的信号，选择h₂₁时(30)中的也是已知信号；

针对u₁故障案例进行设计：当时，对于i＝2,...,m有u_i＝v_i，A(x)＝[A₁,A₂,...,A_m]＝[A₁,A₍₂₎]∈R^q×m，其中A₍₂₎＝[A₂,....,A_m]∈R^q×(m-1),其中v_a(2)＝[v₂,...,v_m]^T∈R^m-1控制信号方程ω_d(t)＝A(x)u(t)写成：

(12)及(13)中的σ₍₂₎表示当u₁失效时，相应的控制信号v₁(t)无法到达系统动力学传递控制力；为进一步分析，将信号v₁设为v₁＝0，或选择非奇异矩阵函数h₂₂(x)∈R^(m-1)×(m-1)来设置：

对于信号由下式获得：

同样地，选择h₂₂(x)使这个方程有一个解解的显式形式表示为：

对于非唯一的矩阵函数K₂₂(x)∈R和向量K₂₂₁(x)∈R，信号与执行器故障信号u₁有关，在(34)中的同理；(37)中的函数K₂₂和K₂₂₁通过求解(35)已知，(34)中的函数h₂₂通过预先指定的选择已知；

将(30)中的h₂₁∈R^m×q矩阵，将(33)中的h₂₂∈R^(m-1)×q，并将相应的设为q维向量，使上述单个解唯一；

复合控制律：定义以下故障模式指示器函数：

然后积分一个复合控制律：

同时处理无故障和一个执行器故障的情况；

对于(34)中的v(t)＝v^*(t)，经过式(12)，u(t)改写成控制信号方程A(x)u(t)＝ω_d(t)变为：

对反馈控制信号ω_d进行控制，满足控制期望。

5.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤6中，选择一个递减的光滑函数η(t):R₊→R₊\{0}，其极限为

满足条件：

和-δη(0)分别为e(t)最大正超调和最大负超调；η(t)的下降速率为e(t)的收敛速度引入一个下界；当η(t)与η_∞足够接近时，如果执行器发生故障，则满足，且ε＞0足够小；这就表示不会由于这种执行器故障而出现系统承载不了的大超调；

通过改变光滑函数η(t)和正标量δ,的设计参数，限定合适的正标量上下限，提高跟踪误差e(t)的收敛速度并降低最大超调量。

6.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤7中，设计了一个平滑且严格递增的函数具有以下属性:

(i)

(ii)

(iii)

S(0)＝0 (61)

根据的性质(i)和(ii)，性能条件(59)表示为：

由于的严格单调性和η(t)≠0，有逆函数：

的存在，称为转换后的误差，如果 被控制器确保为t≥0有界，得到根据的性质(iii)，遵循以实现渐近跟踪，即

将设计为：

其中

得出具有(i)-(iii)的性质；转化后的误差解为：

式(62)中计算出的时间导数为：

其中ζ的定义为：

由于和(62)的性质(i)，ζ的定义很明确ζ≠0；将规定的性能界引入到原始非线性系统中，将误差e的方程替换成输出误差方程改写成：

状态误差方程：

其中(24)中的输出y₁＝ξ_1，1,...,y_q＝ξ_q，1，e_i＝y_i-y_mi，改写(70)为：

与方程：

获得：

其中：

7.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤8中，基于动态误差(70)，设计自适应律来更新控制器参数χ_1,i,i＝1,2,...,m,χ_2,i和θ_1(i)，i＝1,....,m-1；

定义Z_P∈R，对应的z^TP∈R^1×ρ，选择χ_j,i(t)和θ_1(i)(t)的自适应定律为：

其中是适应增益矩阵，γ_1i＞0和γ_2i＞0是自适应增益，P∈R^n×n是满足Lyapunov方程的正定对称矩阵；

选定一个n×n的矩阵Q＝Q^T＞0；

选择参数投影函数为：

其中得出结论，鲁棒自适应律，确保0≤χ_1，1≤1；

χ_1，1是有界的，并且

8.根据权利要求1所述的一种针对电动汽车EPS的具有暂态性能保证的自适应故障补偿控制方法，其特征在于：步骤9中，对于第一个时间间隔t∈[T₀,T₁),T₁≤∞，不存在执行机构故障，即σ＝σ₍₁₎＝diag{0,0,...,0}，构造这样一个李雅普诺夫函数：

在区间[T₀,T₁)对V₀求导得到：

通过自适应补偿设计(56)和(74)-(78)，有：

在时间t＝T₁(T₁是一个有限时间)，u₁失效并在间隔时间(T₁,T₂)(T₂≤∞)内保持失效，即σ＝σ₍₂₎＝diag{1,0,...,0}；对于稳定性的证明，选择了以下Lyapunov函数:

在区间[T₁,T₂)对V₁求导得到：

通过自适应补偿设计(57)和(74)-(78)，有

通过Lyapunov函数证明系统的稳定性和渐近跟踪性，以及瞬态性能的优化。