CN106656287B - 两种基于中断概率约束的miso窃听信道鲁棒波束成形方法 - Google Patents

两种基于中断概率约束的miso窃听信道鲁棒波束成形方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法，提出两种MISO窃听信道鲁棒波束成形方案，在没有人工噪声辅助的情况下，利用二分法，半定松弛和Bernstein‑type不等式把带有中断概率约束的非凸问题转化为一系列的半定规划问题，从而得到最优鲁棒波束成形设计；在有人工噪声辅助的情况下，总发射功率被分成有用信号和人工噪声两部分，通过将带有中断概率约束的非凸问题转化为半定规划问题，获得有用信号鲁棒波束成形以及人工噪声协方差矩阵的优化设计；有效地提高通信系统的保密速率，降低窃听用户的窃听能力，提高通信系统的安全性。

Description

两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法
技术领域
本发明属于通信领域，涉及无线通信中的物理层安全技术领域，具体涉及两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法。
背景技术
近年来，无线通信技术的持续发展使得人们可以随时随地接入通信网络。然而，无线传播的广播特性意味着传输范围内的所有节点都能够接收到信源发送的信号，合法用户的信息容易被窃听用户获取。因此，保证无线通信的安全传输变得尤为重要[1]。相对于传统的加密方法，物理层安全旨在利用无线通信的物理层特性，如噪声、衰落等，以信息论中的理论为基础保证无线通信的安全性。
1975年Wyner首次定义了含噪的窃听信道模型，并且证明当窃听信道的信噪比比主信道低时可以实现完全的保密通信，并将不依靠密钥仍可以保证主信道信息可靠传输的速率定义为保密速率[2]。进入20世纪末，MIMO技术的出现极大推动了无线通信技术的发展，多天线技术为无线通信物理层安全带来了新的机遇与挑战，近年来，已有大量文献研究利用多天线技术提高物理层安全的保密速率[3]-[5]。对于多天线系统来讲，以保密速率为目标，对发射信号进行空间分布设计是研究热点。在此类设计中，波束成形技术是其中的重要设计参数。波束成形技术通过将信息流引向合法用户来提高通信效率。
然而，波束成形的物理层安全传输性能很大程度上依赖于发射机获取的信道状态信息。在MISO窃听信道模型中，现有的研究大多基于发射机可以获取理想的主信道和窃听信道状态信息的假设[6]-[7]。但是，在实际应用中，由于信道的动态变化和信道估计误差、量化误差、反馈时延等因素的影响，发射端获取的信道状态信息均有可能出现误差[8]。很多研究者也考虑了发射端获取的合法用户的信道状态信息存在误差的情况。然而，现有的物理层安全鲁棒波束成形技术的研究多是从最差情况的角度出发来提高保密速率[9]-[10]。由于极端情况发生概率较低，这种设计方式显得较为保守，不能很好提高系统性能。因此针对非理想信道状态信息设计基于中断概率的鲁棒性物理层安全传输算法是很有必要的。
马等人[11]考虑了MISO窃听信道下多种非理想的合法用户和窃听用户信道模型。然而，关于发射端获取的信道状态信息，他们没有考虑如下这种情况：1)合法用户的信道状态信息存在误差；2)窃听信道仅仅是统计信道状态信息。我们知道窃听用户大多不是发送者和合法用户所在通信系统中的一部分，因此发送端很难获得精确的窃听信道状态信息。
另外，在物理层安全传输设计中，有人工噪声辅助可以更加有效地降低窃听用户的信噪比，达到干扰窃听用户，提高保密速率的目的[12]-[13]。唐等人在合法用户和窃听用户信道状态信息均存在误差的情况下，通过有人工噪声辅助以最大化保密速率[14]。但是，他们只是对有用信号和人工噪声的功率分配进行了优化设计，没有考虑波束成形设计。
参考文献：
[1]Chen X,Li F,Xue Z,et al.Research on the Security of MISO WirelessChannel with Artificial Noise[C]//International Conference on Computational&Information Sciences.2013:1533-1536.
[2]Wyner A D.The wire-tap channel[J].Bell System Technical Journal,1975,54(8):1355-1387.
[3]Zhang,Haiyang,Wang,et al.The achievable secrecy rate of MISOwiretap channels[C]//Wireless Communications and Signal Processing(WCSP),2011International Conference on.IEEE,2011:1-4.
[4]Xiong Q,Gong Y,Liang Y C.Achieving secrecy capacity of MISO fadingwiretap channels with artificial noise[J].2013:2452-2456.
[5]Li,Q,Ma,et al.Optimal and Robust Transmit Designs for MISO ChannelSecrecy by Semidefinite Programming[J].IEEE Transactions on SignalProcessing,2011,59(8):3799-3812.
[6]Negi R,Goel S.Secret communication using artificial noise[J].2005,3:1906-1910.
[7]Xiong Q,Gong Y,Liang Y C.Achieving secrecy capacity of MISO fadingwiretap channels with artificial noise[J].2013:2452-2456.
[8]Pascual-Iserte A,Palomar D P,Perez-Neira A I,et al.A robustmaximin approach for MIMO communications with imperfect channel stateinformation based on convex optimization[J].Signal Processing IEEETransactions on,2006,54(1):346-360.
[9]Shi W,Ritcey J.Robust beamforming for MISO wiretap channel byoptimizing the worst-case secrecy capacity[C]//2010:300-304.
[10]Li J,Petropulu AP.Explicit Solution of Worst-Case Secrecy Ratefor MISO Wiretap Channels With Spherical Uncertainty[J].IEEE Transactions onSignal Processing,2011,60(60):3892-3895.
[11]Ma S,Hong M,Song E,et al.Outage Constrained Robust SecureTransmission for MISO Wiretap Channels[J].IEEE Transactions on WirelessCommunications,2013,13(10):5558-5570.
[12]Liao,Wei Cheng,et al."QoS-Based Transmit Beamforming in thePresence of Eavesdroppers:An Optimized Artificial-Noise-Aided Approach."IEEETransactions on Signal Processing 59.3(2011):1202-1216.
[13]Li Q,Ma W K.Spatially Selective Artificial-Noise Aided TransmitOptimization for MISO Multi-Eves Secrecy Rate Maximization[J].IEEETransactions on Signal Processing,2013,61(10):2704-2717.
[14]Tang Y,Xiong J,Ma D,et al.Robust Artificial Noise Aided TransmitDesign for MISO Wiretap Channels with Channel Uncertainty[J].IEEECommunications Letters,2013,17(11):2096-2099.
发明内容
本发明的目的在于提供两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法，并且同时考虑没有人工噪声辅助和有人工噪声辅助两种情况，通过鲁棒波束成形设计，能有效地提高通信系统的保密速率，降低窃听用户的窃听能力，提高通信系统的安全性。
为达到上述目的本发明采用如下技术方案：
两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法，针对发射机获取的合法用户瞬时信道状态信息非理想，并且发射机仅有窃听用户的统计信道状态信息；
没有人工噪声辅助的情况下，利用二分法、半定松弛和Bernstein-type不等式把带有中断概率约束的非凸问题转化为一系列的半定规划问题，从而得到最优鲁棒波束成形方法；
有人工噪声辅助的情况下，总发射功率被分成有用信号和人工噪声两部分，采用一系列数学转化方法将带有中断概率约束的非凸问题转化为半定规划问题，获得有用信号鲁棒波束成形以及人工噪声协方差矩阵的优化设计方法。
进一步，没有人工噪声辅助的情况下，具体步骤如下：
对于没有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws， (5)
其中，s为发射机向合法用户发送的符号，E{|s|2}＝1；w为波束成形向量；
在此情况下信干噪比为信噪比，合法用户和第k个窃听用户接收处的信噪比分别为
Figure GDA0002724464600000041
其中，
Figure GDA0002724464600000042
和
Figure GDA0002724464600000043
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道矩阵；(·)H表示共轭转置；
没有人工噪声辅助的情况下，具体的最大化保密速率问题如下：
Figure GDA0002724464600000044
其中，P为传输功率；R为保密速率；pk∈(0,1]为允许的最大中断概率；
第一步：优化问题的转化
式(7)是一个以传输功率P为参数，最大化保密速率R的优化问题，将其转化为问题(8)；
Figure GDA0002724464600000045
式(8)是以保密速率R为参数，最小化传输功率P的优化问题；
利用如表1所示二分法，通过不断调整R值解式(8)的问题获得最优的Ropt，Ropt即为问题(7)的最优解；
表1二分法
Figure GDA0002724464600000051
假设发射机获取合法用户非理想的瞬时信道状态信息：
Figure GDA0002724464600000052
其中，
Figure GDA0002724464600000053
为合法用户信道的估计值；
Figure GDA0002724464600000054
为估计误差；
此外，假设发射机获得窃听用户的统计信道状态信息：
Figure GDA0002724464600000055
其中，
Figure GDA0002724464600000056
为窃听信道协方差系数。
将式(2)和式(3)代入式(8)，令W＝wwH，得到其具体形式：
Figure GDA0002724464600000057
第二步：半定松弛
利用半定松弛，放松W秩为1的条件，将式(9)的问题进一步表示为如下形式：
Figure GDA0002724464600000061
第三步：利用Bernstein-Type不等式将概率约束转化为确知形式
令
Figure GDA0002724464600000062
其中，
Figure GDA0002724464600000063
定义
Figure GDA0002724464600000064
式(10)的问题的约束条件表示为
Figure GDA0002724464600000065
其中，
Figure GDA0002724464600000066
Figure GDA0002724464600000067
Figure GDA0002724464600000068
Bernstein-Type不等式引理：令G＝xHAx+2Re{xHa}，其中，
Figure GDA0002724464600000069
为复Hermitian矩阵。对于任意σ≥0，
Figure GDA00027244646000000610
其中，s-(A)＝max(λmax(-A),0)，λmax(-A)表示矩阵A最大的特征向量；
利用Bernstein-Type不等式，式(11)可以转化为如下确知形式：
Figure GDA0002724464600000071
其中，σk＝-ln(pk)；利用半定松弛后的式(10)的问题通过借助Bernstein-Type不等式最终被转化为如下半定规划问题：
Figure GDA0002724464600000072
其中，μk和υk为松弛变量；式(13)的问题为凸问题，利用数学工具CVX解得最优W；由于利用半定松弛将W的秩为1的条件进行放松，因此当求解式(13)的问题后得到W不满足秩为1的条件时，用特征值分解的方法找出W最大特征值对应的特征向量w作为近似的最优波束成形向量。
进一步，有人工噪声辅助的情况下，MISO窃听信道鲁棒波束成形方法具体步骤如下：
对于有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws+z， (14)
其中，
Figure GDA0002724464600000073
为添加的人工噪声向量；
在该情况下，合法用户和第k个窃听用户接收处的信干噪比分别为
Figure GDA0002724464600000074
其中，
Figure GDA0002724464600000075
和
Figure GDA0002724464600000076
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道矩阵；W＝wwH，Qz＝zzH；
此时，最大化保密速率问题具体表示为
Figure GDA0002724464600000081
其中，P为传输功率；R为保密速率。由于式(16)的问题非凸，通过数学转化将其变为凸问题求解；
第一步：概率约束转化为确知区域约束
考虑Δh和gk为独立高斯分布，不定区域表示为
Figure GDA0002724464600000082
其中，rb，re,k是不定区域的大小；因此，
Figure GDA0002724464600000083
这一事件以概率1-pk发生在不定区域
Figure GDA0002724464600000084
如下式所示，确知区域约束是概率约束的充分条件，
Figure GDA0002724464600000085
因此，问题(16)近似转化为问题(19)，
Figure GDA0002724464600000086
其中，
Figure GDA0002724464600000091
Φ-1(x)为自由度是2Nt的卡方分布的逆累积密度函数，问题(19)的任意可行解也是问题(16)的可行解；
第二步：半定松弛和Charnes-Cooper转化
经过半定松弛后，放松W秩为1的条件，式(19)转化为如下最差情况下最大化保密速率的问题：
Figure GDA0002724464600000092
由于Δh和gk独立，式(20)的问题等价于
Figure GDA0002724464600000093
令W＝S/ξ，Qz＝Z/ξ，ξ＞0，引入松弛变量β利用Charnes-Cooper转化，式(21)的问题表示为
Figure GDA0002724464600000094
利用log函数的单调性，式(22)等价转化为
Figure GDA0002724464600000095
式(23)可进一步转化为
Figure GDA0002724464600000101
其中，τ＞0；
第三步：S-procedure转化
利用S-procedure，式(24)转化为
Figure GDA0002724464600000102
其中，Α＝S+Z，Σ＝S-(β-1)Z；λh，λm，λg为松弛变量；若固定β，则上述问题为半定规划问题，利用CVX工具进行求解；
第四步：一维搜索找到合适的β值
由于R＞0，有
Figure GDA0002724464600000103
进一步推得
Figure GDA0002724464600000111
由式(22)可知β≥1；所以，一维搜索问题表示为
Figure GDA0002724464600000112
其中，f(β)表示固定β后问题(25)的最优解τopt，其对应的W值即为最优的W；在求得最优的W后，当矩阵W不满足秩为1的条件时，再次利用特征值分解的方法求得近似的最优波束成形向量w。
本发明在没有人工噪声辅助的情况下，利用二分法，半定松弛和Bernstein-type不等式把带有中断概率约束的非凸问题转化为一系列的半定规划问题，从而得到最优鲁棒波束成形设计；在有人工噪声辅助的情况下，总发射功率被分成有用信号和人工噪声两部分，通过将带有中断概率约束的非凸问题转化为半定规划问题，获得了有用信号鲁棒波束成形以及人工噪声协方差矩阵的优化设计。
本发明是在发射机可以获取合法用户的非理想瞬时信道状态信息以及窃听用户的统计信道状态信息的模型下给出的两种波束成形方法，有效地提高通信系统的保密速率，降低窃听用户的窃听能力，提高通信系统的安全性。
附图说明
图1为本发明针对的MISO窃听信道模型。
具体实施方式
下面将结合附图和实施例对本发明技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都应属于本发明保护的范围。
如图1为本发明针对的MISO窃听信道模型，包括一个发射机Alice，一个合法用户Bob，K个窃听用户Eve1,…,Eve K。发射机配置Nt根天线，合法用户和窃听用户配置单天线。假设信道为平坦瑞利衰落，将合法用户和第k个窃听用户接收到的信号表示为
Figure GDA0002724464600000121
其中，
Figure GDA0002724464600000122
为发送信号向量；
Figure GDA0002724464600000123
和
Figure GDA0002724464600000124
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道矩阵；不失一般性，
Figure GDA0002724464600000125
分别为合法用户和第k个窃听用户处的加性高斯白噪声，
Figure GDA0002724464600000126
本发明在关于合法用户的瞬时信道状态信息存在误差的假设下，进行了具有鲁棒性的波束成形设计。假设发射机可以获取合法用户非理想的瞬时信道状态信息：
Figure GDA0002724464600000127
其中，
Figure GDA0002724464600000128
为合法用户信道的估计值；
Figure GDA0002724464600000129
为估计误差。此外，我们假设发射机可以获得窃听用户的统计信道状态信息：
Figure GDA00027244646000001210
其中，
Figure GDA00027244646000001211
为窃听信道协方差系数。
最大化保密速率的优化问题：
本发明尝试在功率约束和概率约束条件下最大化保密速率：
Figure GDA00027244646000001212
其中，SINRb和SINRe,k分别为合法用户和第k个窃听用户接收端信干噪比；P为传输功率；R为保密速率；pk∈(0,1]为允许的最大中断概率。
本发明针对发射机获取的合法用户瞬时信道状态信息非理想，并且发射机仅有窃听用户的统计信道状态信息这种情况分别优化鲁棒波束成形方案。
①在没有人工噪声辅助的情况下，利用二分法，半定松弛和Bernstein-type不等式把带有中断概率约束的非凸问题转化为一系列的半定规划问题，从而得到最优鲁棒波束成形设计(以下称方案①)；
②在有人工噪声辅助的情况下，总发射功率被分成有用信号和人工噪声两部分，通过一系列数学转化将带有中断概率约束的非凸问题转化为半定规划问题，获得有用信号鲁棒波束成形以及人工噪声协方差矩阵的优化设计(以下称方案②)。
下面，我们对如何进行鲁棒波束成形设计进行详细介绍。
一：没有人工噪声辅助的鲁棒波束成形方案
对于没有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws， (5)
其中，s为发射机向合法用户发送的符号，E{|s|2}＝1；w为波束成形向量；
在此情况下信干噪比为信噪比，合法用户和第k个窃听用户接收处的信噪比分别为
Figure GDA0002724464600000131
其中，
Figure GDA0002724464600000132
和
Figure GDA0002724464600000133
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道矩阵；(·)H表示共轭转置；
没有人工噪声辅助的情况下，具体的最大化保密速率问题如下：
Figure GDA0002724464600000141
其中，P为传输功率；R为保密速率；pk∈(0,1]为允许的最大中断概率；
第一步：优化问题的转化
式(7)是一个以传输功率P为参数，最大化保密速率R的优化问题，将其转化为问题(8)；
Figure GDA0002724464600000142
式(8)是以保密速率R为参数，最小化传输功率P的优化问题；
利用如表1所示二分法，通过不断调整R值解式(8)的问题获得最优的Ropt，Ropt即为问题(7)的最优解；
表1二分法
Figure GDA0002724464600000143
假设发射机获取合法用户非理想的瞬时信道状态信息：
Figure GDA0002724464600000151
其中，
Figure GDA0002724464600000152
为合法用户信道的估计值；
Figure GDA0002724464600000153
为估计误差；
此外，假设发射机获得窃听用户的统计信道状态信息：
Figure GDA0002724464600000154
其中，
Figure GDA0002724464600000155
为窃听信道协方差系数；
将式(2)和式(3)代入式(8)，令W＝wwH，得到其具体形式：
Figure GDA0002724464600000156
第二步：半定松弛
半定松弛放松问题(9)中W秩为1的条件，将其转化为问题(10)；
第三步：利用Bernstein-Type不等式将概率约束转化为确知形式
令
Figure GDA0002724464600000157
其中，
Figure GDA0002724464600000158
定义
Figure GDA0002724464600000159
问题(10)的概率约束条件表示为
Figure GDA00027244646000001510
其中，
Figure GDA00027244646000001511
Figure GDA00027244646000001512
Figure GDA00027244646000001513
利用Bernstein-Type不等式，式(11)转化为如下确知形式：
Figure GDA0002724464600000161
其中，σk＝-ln(pk)，利用半定松弛后的式(10)的问题通过借助Bernstein-Type不等式最终被转化为如下半定规划问题：
Figure GDA0002724464600000162
其中，μk和υk为松弛变量；式(13)的问题为凸问题，利用数学工具CVX解得最优W；由于利用半定松弛将W的秩为1的条件进行放松，因此当求解式(13)的问题后得到W不满足秩为1的条件时，用特征值分解的方法找出W最大特征值对应的特征向量w作为近似的最优波束成形向量。
下面讲波束成形向量w获得的具体实施步骤：
步骤一：
选择终止参数ε＞0，下界Rl和上界Ru令最优解Ropt∈[Rl,Ru]，并且令Rmid＝(Rl+Ru)/2；
步骤二：
将R＝Rmid代入最终转化的半定规划问题(13)，解出波束成形向量w，并将解出的w代入问题(8)的概率约束条件检验是否满足；
步骤三：
验证条件||w||2≤P是否满足。如果满足，令Rl＝Rmid；否则令Ru＝Rmid；
步骤四：
如果Ru-Rl≤ε则终止，否则转到步骤二。
二：有人工噪声辅助的鲁棒波束成形方案对于有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws+z， (14)
其中，
Figure GDA0002724464600000171
为添加的人工噪声向量；
在该情况下，合法用户和第k个窃听用户接收处的信干噪比分别为
Figure GDA0002724464600000172
其中，
Figure GDA0002724464600000173
和
Figure GDA0002724464600000174
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道矩阵；W＝wwH，Qz＝zzH；
此时，最大化保密速率问题具体表示为
Figure GDA0002724464600000175
其中，P为传输功率；R为保密速率，由于式(16)的问题非凸，通过数学转化将其变为凸问题求解；
第一步：概率约束转化为确知区域约束
如下式所示，确知区域约束是概率约束的充分条件，
Figure GDA0002724464600000177
因此，问题(16)近似转化为问题(19)，
Figure GDA0002724464600000181
其中，
Figure GDA0002724464600000182
Φ-1(x)为自由度是2Nt的卡方分布的逆累积密度函数，问题(19)的任意可行解也是问题(16)的可行解；
第二步：半定松弛和Charnes-Cooper转化
半定松弛放松W秩为1的条件，式(19)转化为如下最差情况下最大化保密速率的问题：
Figure GDA0002724464600000183
由于Δh和gk独立，式(20)的问题等价于
Figure GDA0002724464600000184
令W＝S/ξ，Qz＝Z/ξ，ξ＞0，引入松弛变量β利用Charnes-Cooper转化，式(21)的问题表示为
Figure GDA0002724464600000185
利用log函数的单调性，式(22)等价转化为
Figure GDA0002724464600000191
式(23)可进一步转化为
Figure GDA0002724464600000192
其中，τ＞0；
第三步：S-procedure转化
利用S-procedure，式(24)转化为
Figure GDA0002724464600000193
其中，Α＝S+Z，Σ＝S-(β-1)Z；λh，λm，λg为松弛变量；若固定β，则上述问题为半定规划问题，利用CVX工具进行求解；
第四步：一维搜索找到合适的β值
一维搜索问题表示为
Figure GDA0002724464600000201
其中，f(β)表示固定β后问题(25)的最优解τopt，其对应的W值即为最优的W；在求得最优的W后，当矩阵W不满足秩为1的条件时，再次利用特征值分解的方法求得近似的最优波束成形向量w。下面讲波束成形向量w获得的具体实施步骤：
步骤一：
确定β的范围为
Figure GDA0002724464600000202
步长为1，从β＝1到
Figure GDA0002724464600000203
按步长将不同的β值入代问题(25)求得不同的τ值；
步骤二：
找出其中最大的τ值即为最优的τopt；
步骤三：
找出τopt对应的β值，将此β值再次代入问题(25)解出W和Qz；
步骤四：
在求得W后，当矩阵W不满足秩为1的条件时，我们再次利用特征值分解的方法求得近似的最优波束成形向量w。
至此，我们详细描述了本发明的具体实施例。
以上所述是本发明的优选实施方式，通过上述说明内容，本技术领域的相关工作人员可以在不偏离本发明技术原理的前提下，进行多样的改进和替换，这些改进和替换也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.两种基于中断概率约束的MISO窃听信道鲁棒波束成形方法，其特征在于：针对发射机获取的合法用户瞬时信道状态信息非理想，并且发射机仅有窃听用户的统计信道状态信息；
没有人工噪声辅助的情况下，利用二分法、半定松弛和Bernstein-type不等式把带有中断概率约束的非凸问题转化为一系列的半定规划问题，从而得到最优鲁棒波束成形方法；具体步骤如下：
对于没有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws， (5)
其中，s为发射机向合法用户发送的符号，E{|s|2}＝1；w为波束成形向量；
在此情况下信干噪比为信噪比，合法用户和第k个窃听用户接收处的信噪比分别为
Figure FDA0002724464590000011
其中，
Figure FDA0002724464590000012
和
Figure FDA0002724464590000013
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道向量；(·)H表示共轭转置；
没有人工噪声辅助的情况下，具体的最大化保密速率问题如下：
Figure FDA0002724464590000014
其中P为传输功率；R为保密速率；pk∈(0,1]为允许的最大中断概率；
Figure FDA0002724464590000015
为K个多播用户的索引集合；
第一步：优化问题的转化
式(7)表示的优化问题是一个以传输功率P为参数，以最大化保密速率R为优化目标，将其转化为式(8)表示的优化问题；
Figure FDA0002724464590000021
式(8)表示的优化问题是以保密速率R为参数，以最小化传输功率P的优化目标；
利用二分法，通过不断调整R值求解式(8)的表示的优化问题获得最优的Ropt，Ropt即为式(7)表示的优化问题的最优解；二分法的具体步骤如下：第1步：选择终止参数ε＞0，上界Rl和下界Ru， 令Ropt∈[Rl,Ru]；第2步：令Rmid＝(Rl+Ru)/2；第3步：将R＝Rmid代入式(8)表示的优化问题的概率约束条件检查可行性；如果不可行，令Ru＝Rmid，转到步骤5；否则转到第4步；第4步：验证条件||w||2≤P是否满足，如果满足，令Rl＝Rmid；否则令Ru＝Rmid；第5步：如果Ru-Rl≤ε则终止，否则转到步骤2；
假设发射机获取合法用户非理想的瞬时信道状态信息：
Figure FDA0002724464590000022
其中，
Figure FDA0002724464590000023
为合法用户信道的估计值；
Figure FDA0002724464590000024
为估计误差，
Figure FDA0002724464590000025
代表循环复高斯分布，这里的σb代表合法用户信道误差的方差矩阵系数，其数值越大意味着信道误差占真实信道的比例越大，信道估计的质量越差；
此外，假设发射机获得窃听用户的统计信道状态信息：
Figure FDA0002724464590000026
其中，
Figure FDA0002724464590000027
为窃听信道协方差矩阵系数；
将式(2)和式(3)代入式(8)表示的优化问题，令W＝wwH，得到其具体形式：
Figure FDA0002724464590000031
第二步：半定松弛
式(9)表示的优化问题进一步半定松弛放松其中的W秩为1条件，将其转化为式(10)表示的优化问题；
Figure FDA0002724464590000032
第三步：利用Bernstein-Type不等式将概率约束转化为确知形式
令
Figure FDA0002724464590000033
其中，
Figure FDA0002724464590000034
Eb与Ee,k是将Δh与gk分别用标准高斯向量xh与xe,k表示时相对应的变换矩阵， 定义
Figure FDA0002724464590000035
式(10)表示的优化问题的概率约束条件表示为
Figure FDA0002724464590000036
其中，
Figure FDA0002724464590000037
Figure FDA0002724464590000041
Figure FDA0002724464590000042
利用Bernstein-Type不等式，式(11)转化为如下确知形式：
Figure FDA0002724464590000043
其中σk＝-ln(pk)，pk∈(0,1]为允许的最大中断概率；利用半定松弛后的式(10)表示的优化问题通过借助Bernstein-Type不等式最终被转化为如下半定规划问题：
Figure FDA0002724464590000044
其中，μk和υk为松弛变量；式(13)表示的优化问题为凸问题，利用数学工具CVX解得最优W；由于利用半定松弛将W的秩为1的条件进行放松，因此当求解式(13)表示的优化问题后得到W不满足秩为1的条件时，用特征值分解的方法找出W最大特征值对应的特征向量w作为近似的最优波束成形向量；
人工噪声辅助的情况下，总发射功率被分成有用信号和人工噪声两部分，通过一系列数学转化将带有中断概率约束条件的非凸问题转化为半定规划问题，获得有用信号鲁棒波束成形以及人工噪声协方差矩阵的优化设计方法；具体步骤如下：
对于有人工噪声辅助的情况，发送信号x表示为
x＝ws+z， (14)
其中
Figure FDA0002724464590000045
为添加的人工噪声向量，
Figure FDA0002724464590000046
这里
Figure FDA0002724464590000047
同样代表循环复高斯分布， 因此，Qz为人工噪声向量的协方差矩阵，该协方差矩阵是添加人工噪声的波束成形方案设计需要优化的变量矩阵；
在该情况下，合法用户和第k个窃听用户接收处的信干噪比分别为
Figure FDA0002724464590000051
其中
Figure FDA0002724464590000052
和
Figure FDA0002724464590000053
分别为合法用户和第k个窃听用户的信道向量；W＝wwH， Qz为人工噪声向量的协方差矩阵；
此时，最大化保密速率问题具体表示为
Figure FDA0002724464590000054
其中P为传输功率；R为保密速率，由于式(16)表示的优化问题非凸，通过数学转化将其转变为凸问题求解；
第一步：概率约束转化为确知区域约束
如下式所示，确知区域约束是概率约束的充分条件，
Figure FDA0002724464590000055
因此，式(16)表示的优化问题近似转化为式(19)表示的优化问题：
Figure FDA0002724464590000056
其中
Figure FDA0002724464590000061
Φ-1(x)为自由度是2Nt的卡方分布的逆累积密度函数，式(19)表示的优化问题的任意可行解也是问题(16)的可行解；
第二步：半定松弛和Charnes-Cooper转化
半定松弛放松W秩为1的条件，式(19)表示的优化问题转化为如下最差情况下最大化保密速率的问题：
Figure FDA0002724464590000062
由于Δh和gk独立，式(20)表示的优化问题等价于
Figure FDA0002724464590000063
令W＝S/ξ，Qz＝Z/ξ，ξ＞0，引入松弛变量β(β>0)利用Charnes-Cooper转化，式(21)表示的优化问题为
Figure FDA0002724464590000064
其中ξ＞0为利用Charnes-Cooper转化时引入的松弛变量， 利用log函数的单调性，式(22)表示的优化问题等价转化为
Figure FDA0002724464590000071
式(23)表示的优化问题进一步转化为
Figure FDA0002724464590000072
其中，τ＞0；
第三步：S-procedure转化
利用S-procedure，式(24)表示的优化问题转化为
Figure FDA0002724464590000073
其中Α＝S+Z，Σ＝S-(β-1)Z；λh，λm，λg为松弛变量；若固定β，则上述问题为半定规划问题，利用CVX工具进行求解；
第四步：一维搜索找到合适的β值
一维搜索问题表示为
Figure FDA0002724464590000081
其中f(β)表示固定β后式(25)表示的优化问题的最优解τopt，其对应的W值即为最优的W；在求得最优的W后，当矩阵W不满足秩为1的条件时，再次利用特征值分解的方法求得近似的最优波束成形向量w。
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