CN103825643A - 基于信道估计误差网络鲁棒性波束成形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于信道估计误差网络鲁棒性波束成形设计方法，主要解决了有用信道和干扰信道同时存在不确定性模型难以求解的问题，其具体过程为：(1)初始化所要设计用户的波束向量相关矩阵Q₁，构建速率最大的优化目标方程；(2)将目标方程转化为分步迭代的子问题；(3)对每个子问题进行求解；(4)循环(2)-(3)，直到得到最优相关矩阵Q₁(5)对最优的Q₁采用秩1分解，得到最优的波束向量v₁。本发明能够自适应信道状态误差，有效地提升用户的速率，本发明可用于在信道估计误差和干扰同时存在的情况下发送端鲁棒性波束成形的设计，也可用于在信道状态有估计误差情况下多用户多输入单输出系统(MISO)鲁棒性波束设计。

Description

基于信道估计误差网络鲁棒性波束成形设计方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，涉及无线发送端波束成形的设计，具体应用于在信道估计误差和干扰同时存在的情况下发送端鲁棒性波束成形的设计，也可用于在信道状态有估计误差情况下多用户的多输入单输出系统(MISO)鲁棒性波束设计。

背景技术

在无线系统通信中，由于无线信道时变的特性以及信道状态大尺度与小尺度衰落的存在，用户接收端要获得准确的信道状态信息较为困难，因而，用户所获得信道状态信息是有一定的误差的，通常这种误差可以用估计误差半径来度量。在信道状态信息存在估计误差的情况下，从最大化用户速率的角度，传统非鲁棒性波束很难满足现实需求。

在现有的一些鲁棒性设计方法中，部分文献考虑的是窄带多输入多辅出系统(MIMO)的鲁棒性预编码设计，这种模型考虑的是点对点通信鲁棒性预编码的实现，问题建模不存在信道估计误差同时存在目标函数分子和分母的情况。这样的模型求解相对容易，但是这种模型不能满足多个发送对同时传辅的需要。在现有的鲁棒性波束成形设计方法中，有的是基于满足用户QoS，最小化发送功率的设计，这种设计可以节省一定的功耗，但不能满足用户某些业务最大化速率的需求。已有文献在信道状态误差条件下对信噪比建模时，从收端接收的干扰相关矩阵误差进行考虑，这种处理方法在计算与信号处理上带来便利，但是使得传输信道的估计误差与干扰相关矩阵误差无法统一去度量，因而，问题建模的参数设定和获取比较困难，并且不能直观反映出信道的误差状况。另一方面，从算法设计上来说，考虑到信噪比模型中分子分母的信道误差同时存在，问题模型是一个分式的非凸问题，求解较为困难，目前还没有较为有效的方法，使得问题模型快速求解。此外，如果算法收敛较慢，很难满足状态变化较快的信道特性，从而不能满足现实的信道模型的需求。

本发明方法直接从信道状态误差考虑，对有用信道与干扰信道误差统一建模，并假设所有信道的信道估计误差服从同一分布并且在较长时间间隔内信道误差具有相同的误差水平。本发明方法对于分式的优化目标进行变换，转化为迭代求解的子问题进行求解，本发明方法能以超线性收敛速率收敛到速率最优解。

发明的内容

本发明的目的在于克服上述已有技术应用模型与设计方法的不足，提供一种在信道估计误差网络下鲁棒性波束成形的设计方法，能够有效的适应信道误差，提升有用信号的信噪比和速率，并且能够快速求解，满足现实信道状态时变的需求。

实现本发明的技术思路是：由于波束向量在原方程中较难处理，在求解过程中先对波束向量的相关矩阵进行求解。由于log是单调的，将log移去并不影响原目标变量的值，因而，移去log后问题就变成了分式的目标方程。通过对最大最小化目标方程进行处理，分解为可以求解的子问题进行循环迭代求解，对于上述方法所带来的内循环的子目标方程，通过次梯度和信赖域方法进行求解，从而获得原目标方程的全局最优解，然后再通过矩阵的秩1分解，获得发送端的最佳波束向量。其具体步骤包括如下：

(1)初始化所要设计用户发送端波束向量的相关矩阵Q1，通过信令交互获取干扰端波束向量v_l(l=2，…，L)，令Q_l=v_lv_l ^H，其中(·)^H表示哈密顿转置，

表示复数域中维度为M_l×1的向量，M_l为第l个干扰端的发送天线数，初始化φ=0；

(2)构建收端最大化速率目标方程

$\begin{array}{c}\underset{v_1}{\max }\underset{e}{\min }\log (1+\frac{({\tilde{h}}_1+e)Q_1{\left({\tilde{h}}_1\right)}^H}{1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H})\\ s.t.\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(v_1{v}_1^H\right)\≤P\\ \left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\end{array}$

其中P为用户的发送功率，

为等效信道的估计值，满足

h为信道的真实状态，δ²为噪声功率，e为估计误差，

表示矩阵

的迹，||·||指范数，ε为估计误差半径；

(3)令φ=φ+1，计算

${\mathrm{\ξ}}^{\left(\mathrm{\φ}\right)}=\underset{e}{\min }\frac{f(Q_1^{(\mathrm{\φ}-1)},e)}{g\left(e\right)}$

其中， $f(Q_1,e)=1+\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H,$ $g\left(e\right)=1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H;$

(4)利用上一步得到的ξ^(φ)，计算

如果得到蕞优的Q₁，退出循环，否则，更新Q₁，执行(3)；

(5)获得最优的Q₁，采用矩阵的秩1分解，得到

输出v₁。

本发明方法在设计鲁棒性波束时，将有用信道与干扰信道的估计误差统一建模，在信道误差服从同一误差水平时为模型的建立带来便利，通过对非凸的分式模型处理，变成可求解的子问题迭代求解，本发明方法能够以超线性的收敛速度快速收敛到全局最优值。在上述方法所带来的内循环中，通过非常有效的方法获得其子目标的最优解，仿真结果表明，本方法具有较快的收敛速率，在信道估计误差较大时，具有较好的鲁棒性。

本发明的目的、实施方式可通过以下附图说明详细说明：

附图说明

图1是干扰与信道误差并存的无线网络场景示意图；

图2是本发明方法的流程示意图；

图3为本发明方法在不同发送功率下所获得的信噪比与迭代次数的关系；

图4为本发明方法在不同发送功率下所获得的速率与非鲁棒性波束所获得的速率的比较；

图5为本发明方法在不同信道估计误差半径ε下所获得的速率与非鲁棒性波束所获得的速率的比较。

具体实施方式

以下参照附图对本发明的技术方案作进一步详细描述。

参照图1，本发明所用的场景是信道状态误差和干扰同时的网络。网络节点同时传输数据，假定用户可以获得其他用户的发送端的权值向量。将所设计的用户对命名为设计用户，其余则称干扰用户。1对设计用户和L-1对干扰用户在同时传输数据，其中h₁是设计用户发端到设计用户收端的信道状态，h₁(l=2，…，L)为第l个干扰用户到设计用户的信道状态。第l个用户有M_l根发送天线，发送端的波束向量为v_l。本发明假设发送端天线和接收端天线之间的无线信道h是平坦衰落信道。并且，各个信道之间是相互独立的。

参照图2，本发明基于信道估计误差网络鲁棒性波束成形设计方法步骤如下：

步骤1，初始化设计用户发送端波束向量的相关矩阵Q₁，通过信令交互获取干扰端波束向量v_l(l=2，…，L)，令

其中(·)^H表示哈密顿转置，

表示复数域中维度为M_l×1的向量，M_l为第l个干扰端的发送天线数，初始化φ=0。

步骤2，构建收端最大化速率目标方程

$\begin{array}{c}\underset{v_1}{\max }\underset{e}{\min }\log (1+\frac{({\tilde{h}}_1+e)Q_1{\left({\tilde{h}}_1\right)}^H}{1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H})\\ s.t.\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(v_1{v}_1^H\right)\≤P\\ \left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\end{array}$

其中P为用户的发送功率，

为等效信道的估计值，满足

h为信道的真实状态，δ²为噪声功率，e为估计误差，

表示矩阵

的迹，||·||指范数，ε为估计误差半径，(·)^H表示哈密顿转置。

步骤3，令φ=φ+1，计算

${\mathrm{\ξ}}^{\left(\mathrm{\φ}\right)}=\underset{e}{\min }\frac{f(Q_1^{(\mathrm{\φ}-1)},e)}{g\left(e\right)}$

其中， $f(Q_1,e)={\mathrm{\δ}}^2+\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H,$ $g\left(e\right)={\mathrm{\δ}}^2+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H;$

3.1、初始化e，t，令n=1，其中t为一个大于0的较小值；

3.2、记 $F\left(e\right)=1+\frac{({\tilde{h}}_1+e)Q_1{({\tilde{h}}_1+e)}^H}{1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H},$ 计算F的梯度

$\▿F=\frac{1}{b}({\tilde{h}}_1+e)(Q_1+{Q_1}^H)-\frac{2a}{b^2}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l$

其中 $a=({\tilde{h}}_1+e)Q_1{({\tilde{h}}_1+e)}^H,b=1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H;$

313、采用次梯度方法计算e，令

ζ⁽ⁿ⁾为第n步的迭代步长，P_E[z]为向量z在凸集

上的投影，取值为

3.4、更新F⁽ⁿ⁺¹⁾，如果|F⁽ⁿ⁺¹⁾-F⁽ⁿ⁾|＜t(|·|表示绝对值)，退出循环，得到最优的ξ，否则，更新e，令n=n+1，执行3.3。

步骤4，利用上一步得到的ξ^(φ），计算

如果

得到最优的Q₁，退出循环，否则，更新Q₁，执行步骤3；

4.1、初始化发送端预编码相关矩阵Q₁，初始化τ，令ψ=0，其中τ为一个大于0的较小值；

4.2、采用信赖域子问题方法求解

$e^{(\mathrm{\ψ}+1)}=\underset{\left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}}{\arg \min }J(Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)},e^{\left(\mathrm{\ψ}\right)})$

其中

$\begin{array}{c}J(Q_1,e)=\mathrm{vec}{\left(e\right)}^H(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_i-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_l)\mathrm{vec}\left(e\right)+2\mathrm{Re}\left\{(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{vec}{\left({\tilde{h}}_l\right)}^H{Q}_l-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{vec}{\left({\tilde{h}}_1\right)}^H{Q}_l)\mathrm{vec}\left(e\right)\right\}\\ +\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{h}}_l{Q}_l{\tilde{h}}_l^H\right)-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{h}}_l{Q}_l{\tilde{h}}_l^H\right)+L-\mathrm{\ξ}(L-1)\end{array}$

vec(·)表示向量化操作，Re{·}表示取实部；

4.3、计算J(Q₁，e)的梯度 ${{\▿}_{Q_1}}^J(Q_1,e)={({\tilde{h}}_1+e)}^H({\tilde{h}}_1+e),$ 令

${\mathrm{\κ}}^{(\mathrm{\ψ}+1)}={{\▿}_{Q_1}}^J(Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)},e^{(\mathrm{\ψ}+1)})$

4.4、采用次梯度法计算

$Q_1^{(\mathrm{\ψ}+1)}=P_Q[Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)}+{\mathrm{\η}}^{\left(\mathrm{\ψ}\right)}{\mathrm{\κ}}^{(\mathrm{\ψ}+1)}]$

其中P_Q[A]表示矩阵A在凸集上的投影，Q±0表示Q为半正定矩阵，η^(ψ)为第ψ步的迭代步长，可以通过求解最小的欧几里德空间距离获得

$\begin{array}{c}\underset{P_Q}{\min }{\left|\right|P_q\left[A\right]-A\left|\right|}_F^2\\ s.t.\begin{array}{c}{P}_Q\left[A\right]?0\\ \mathrm{tr}\left(P_Q\right[A\left]\right)\≤P\end{array}\\ \end{array}$

通过KKT条件可得，

λ表示拉格朗日乘子，可以通过如下方法获得，采用特征值分解，可得A与P_Q[A]具有相同的特征向量

与

采用二分法可以获得一个合适的λ，使

为了满足P_Q[A]?0的条件，令 ${\mathrm{\Λ}}_{P_Q\left[A\right]}=\max \{{\mathrm{\Λ}}_A-\frac{\mathrm{\λ}}{2},0\};$

4.5、更新J

如果|J^(ψ+1)-J^(ψ)|＜τ，跳出循环，得到最优的Q₁，否则，令ψ=ψ+1，继续迭代，执行4.2。

步骤5，获得最优的Q₁，采用矩阵的秩1分解，得到

输出v1。

5.1、令计算任意一个秩1分解

5.2、令t＝1，循环下列操作，直到t＝T-1

5.3、For j=t+1，…，T

5.4、 $\mathrm{If}(q_t^H{\mathrm{Bq}}_t-\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T})(q_j^H{\mathrm{Bq}}_j-\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T})\≥0$

5.5、ζ_t=q_t；

5.6、Else

5.7、令l∈{t+1，…，T}，选择γ使得 ${(q_t+{\mathrm{\γq}}_t)}^{H}B(q_t+{\mathrm{\γq}}_t)=\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T}(1+{\mathrm{\γ}}^2),$ 令

${\mathrm{\ζ}}_t=\frac{q_t+{\mathrm{\γq}}_l}{\sqrt{1+{\mathrm{\γ}}^2}},$ $q_t=\frac{{-\mathrm{\γq}}_t+q_l}{\sqrt{1+{\mathrm{\γ}}^2}};$

5.8、End

5.9、If t=T-1

ζ_t＝q_l；

5.10、End

5.11、t=t+1；

5.12、循环终止，输出 $v_1=\sqrt{T}{\mathrm{\ζ}}_t(t=1,\·\·\·,T).$

本发明的效果可以通过以下仿真结果进一步说明：

1.仿真条件：3对用户同时传辅，用户间传输会带来干扰，在有信道估计误差的情况下，设计第一个发端的鲁棒性波束。每个发送端配有2根天线，仿真所采用的等效信道估计值为h₁＝[1.11131.9107]，h₂=[0.85311.2886]，h₃=[1.24731.9799]，其中δ=0.5。

2.仿真内容：在信道有估计误差状态下，本发明方法的收敛性；在信道有估计误差状态下鲁棒性波束与非鲁棒性波束可达速率比较；鲁棒性波束和非鲁棒性波束在信道误差变化时可达速率比较。

3.仿真结果：图3所示的是本发明方法在不同发送功率条件下收敛性示意图。本发明方法以能以超线性的收敛速率快速收敛到全局最优值，从仿真结果可以看出，本发明方法在低功率情况下，只需要1步迭代就可以收敛，在发送功率为30W时仅需要迭代4次就可以收敛，本发明方法的快速收敛性，能够满足状态变化较快的信道。

图4所示的是基于本发明的鲁棒性波束与非鲁棒性波束在发送功率变化的情况下所得到的可达速率对比。非鲁棒性波束所得到的速率分别在信道估计误差半径为0，0.5和0.7做了仿真。考虑不同的信道误差的值，令信道误差平均分布在凸集Ee之上。从仿真图可以看出，在非鲁棒性波束下，用户可达的速率在均值上基本一致，而鲁棒性波束在信道误差情况下，可以获得相对较高的速率，并且，误差半径越大越能体现本发明方法的鲁棒性。

图5所示的是在信道状态误差的变化下，鲁棒性波束与非鲁棒性波束所获得用户可达速率的比较。图中非鲁棒性基线指的是不考虑信道状态误差情况下得到的用户速率。在信道状态误差半径较小时，鲁棒性波束与非鲁棒性波束所获的速率差值较小，当误差半径逐渐增大时，鲁棒性波束能够得到较高的速率，这是因为，误差半径越大，鲁棒性波束可选的波束方向越多，从而使用户所获得较高的速率。

Claims (4)

1.基于信道估计误差网络鲁棒性波束成形设计方法，包括如下步骤：

(1)初始化所要设计用户发送端波束向量相关矩阵Q₁，通过信令交互获取干扰端波束向量v_l(l＝2，…，L)，令Q_l=v_lv_l ^H，其中(·)^H表示哈密顿转置，

表示复数域中维度为M_l×1的向量，M_l为第l个干扰端的发送天线数，初始化φ=0；

(2)构建收端最大化速率目标方程

$\begin{array}{c}\underset{v_1}{\max }\underset{e}{\min }\log (1+\frac{({\tilde{h}}_1+e)Q_1{\left({\tilde{h}}_1\right)}^H}{1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H})\\ s.t.\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(v_1{v}_1^H\right)\≤P\\ \left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\end{array}$

其中P为设计用户的发送功率，

为等效信道的估计值，满足

为信道的真实状态，δ²为噪声功率，e为估计误差，

表示矩阵

的迹，||·||指范数，ε为估计误差半径；

(3)令φ=φ+1，计算

${\mathrm{\ξ}}^{\left(\mathrm{\φ}\right)}=\underset{e}{\min }\frac{f(Q_1^{(\mathrm{\φ}-1)},e)}{g\left(e\right)}$

其中， $f(Q_1,e)=1+\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H,$ $g\left(e\right)=1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H;$

(4)利用上一步得到的ξ^(φ)，计算

如果

得到最优的Q₁，退出循环，否则，更新Q₁，执行

(3)；

(5)获得最优的Q₁，采用矩阵的秩1分解，得到

输出v1。

2.根据权利要求1所述的鲁棒性波束成形设计方法，其中步骤(3)所计算的分式最优值ξ，按如下步骤构造：

(2a)初始化e，t，令n＝1，其中t为一个大于0的较小值；

(2b)记 $F\left(e\right)=1+\frac{({\tilde{h}}_1+e)Q_1{({\tilde{h}}_1+e)}^H}{1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H},$ 计算F的梯度

$\▿F=\frac{1}{b}({\tilde{h}}_1+e)(Q_1+{Q_1}^H)-\frac{2a}{b^2}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l$

其中 $a=({\tilde{h}}_1+e)Q_1{({\tilde{h}}_1+e)}^H,b=1+\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{h}}_l+e)Q_l{({\tilde{h}}_l+e)}^H;$

(2c)采用次梯度方法计算e，令

ζ⁽ⁿ⁾为第n步的迭代步长，P_E[z]为向量z在凸集

上的投影，取值为

(2d)更新F⁽ⁿ⁺¹⁾，如果|F⁽ⁿ⁺¹⁾-F⁽ⁿ⁾|＜t(|·|表示绝对值)，退出循环，得到ξ，否则，更新e，令n=n+1，执行(2c)。

3.根据权利要求1所述的鲁棒性波束成形设计方法，其中步骤(4)所求解的最大最小值方程，按如下步骤计算：

(3a)初始化发送端预编码相关矩阵Q₁，初始化τ，令ψ=0，其中τ为任意大于0的较小值；

(3b)根据信赖域子问题方法求解

$e^{(\mathrm{\ψ}+1)}=\underset{\left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}}{\arg \min }J(Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)},e^{\left(\mathrm{\ψ}\right)})$

其中

$\begin{array}{c}J(Q_1,e)=\mathrm{vec}{\left(e\right)}^H(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_i-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_l)\mathrm{vec}\left(e\right)+2\mathrm{Re}\left\{(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{vec}{\left({\tilde{h}}_l\right)}^H{Q}_l-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{vec}{\left({\tilde{h}}_1\right)}^H{Q}_l)\mathrm{vec}\left(e\right)\right\}\\ +\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{h}}_l{Q}_l{\tilde{h}}_l^H\right)-\mathrm{\ξ}\underset{l=2}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{h}}_l{Q}_l{\tilde{h}}_l^H\right)+L-\mathrm{\ξ}(L-1)\end{array}$ vec(·)表示向量化操作，Re{·}表示取实部；

(3c)计算J(Q₁，e)的梯度令

${\mathrm{\κ}}^{(\mathrm{\ψ}+1)}={{\▿}_{Q_1}}^J(Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)},e^{(\mathrm{\ψ}+1)})$

(3d)采用次梯度法计算

$Q_1^{(\mathrm{\ψ}+1)}=P_Q[Q_1^{\left(\mathrm{\ψ}\right)}+{\mathrm{\η}}^{\left(\mathrm{\ψ}\right)}{\mathrm{\κ}}^{(\mathrm{\ψ}+1)}]$

其中P_Q[A]表示矩阵A在凸集

上的投影，Q±0表示Q为半正定矩阵，η^(ψ)为第ψ步的迭代步长，可以通过求解下面最小的欧几里德空间距离目标方程获得，

$\begin{array}{c}\underset{P_Q}{\min }{\left|\right|P_q\left[A\right]-A\left|\right|}_F^2\\ s.t.\begin{array}{c}{P}_Q\left[A\right]?0\\ \mathrm{tr}\left(P_Q\right[A\left]\right)\≤P\end{array}\\ \end{array}$

通过KKT条件可得，

λ表示拉格朗日乘子，可以通过如下方法获得，采用特征值分解，可得A与P_Q[A]具有相同的特征向量

与

采用二分法可以获得一个合适的λ，使

为了满足P_Q[A]?0的条件，令 ${\mathrm{\Λ}}_{P_Q\left[A\right]}=\max \{{\mathrm{\Λ}}_A-\frac{\mathrm{\λ}}{2},0\};$

(3e)更新

如果|J^(ψ+1)-J^(ψ)|＜τ，跳出循环，得到权利要求1步骤(3)最优的Q₁，否则，更新Q₁，令ψ=ψ+1，执行(3b)。

4.根据权利要求1所述的鲁棒性波束成形设计方法，其中步骤(5)所采用的矩阵的秩1分解，按如下步骤构造：

1)令

计算任意一个秩1分解

2)令t＝1，循环下列操作，直到t＝T-1

3)For j=t+1，…，T

$4)\mathrm{If}(q_t^H{\mathrm{Bq}}_t-\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T})(q_j^H{\mathrm{Bq}}_j-\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T})\≥0$

5)ζ_t=q_t；

6)Else

7)令l∈{t+1，…，T}，选择γ使得 ${(q_t+{\mathrm{\γq}}_t)}^{H}B(q_t+{\mathrm{\γq}}_t)=\frac{\mathrm{tr}\left({\mathrm{BQ}}_1\right)}{T}(1+{\mathrm{\γ}}^2),$ 令

${\mathrm{\ζ}}_t=\frac{q_t+{\mathrm{\γq}}_l}{\sqrt{1+{\mathrm{\γ}}^2}},$ $q_t=\frac{{-\mathrm{\γq}}_t+q_l}{\sqrt{1+{\mathrm{\γ}}^2}};$

8)End

9)If t=T-l

ζ_t＝q_l；

10)End

11)t=t+1

循环终止，辅出 $v_1=\sqrt{T}{\mathrm{\ζ}}_t(t=1,\·\·\·,T).$

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