CN105975663A - 端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数、弹性模型、副簧起作用载荷及主副簧所受载荷，对各片主簧和副簧在不同位置处的应力进行计算。通过实例及仿真验证可知，该发明所提供的端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力计算方法是正确的，所得到的不同位置处的应力计算值是准确可靠的，为应力强度校核奠定了技术基础，利用该方法可提高端部接触式少片斜线型变截面主副钢板弹簧的设计水平、产品质量和使用寿命及车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Description

端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法。

背景技术

对于少片变截面钢板弹簧，为了满足变刚度的要求，通常将其设计为主副簧，并通过主副簧间隙，确保在大于一定载荷之后，主副簧接触而一起共同工作，满足车辆悬架在不同载荷情况下对钢板弹簧刚度的设计要求。由于少片变截面主簧的第1片其受力复杂，不仅承受垂向载荷，同时还承受扭转载荷和纵向载荷，因此，实际所设计的第1片主簧的端部平直段的厚度，通常比其他各片主簧的要偏厚一些，即在实际设计和生产中，大都采用端部非等构的少片变截面钢板弹簧。目前少片变截面钢板弹簧主要有两种类型，一种是抛物线型，另外一种是斜线型，其中，抛物线型的应力为等应力，其应力载荷比斜线型的更加合理。然而，由于抛物线型变截面钢板弹簧的加工工艺复杂，需要的加工设备昂贵，而斜线型变截面钢板的加工工艺简单，只需要简单的设备便可加工，因此，在满足刚度和强度的条件下，可采用斜线型的变截面钢板弹簧。对于少片斜线型变截面主副簧，为了满足不同复合刚度和应力强度的设计要求，通常采用不同的副簧长度，即副簧与主簧的接触位置也不相同，因此，根据副簧与主簧的接触位置可分为端部平直段接触和在斜线段接触的主副簧，即端部接触式和非端部接触式，其中，在相同副簧根部厚度情况下，端部接触式少片斜线型变截面主副簧的刚度，比非端部接触式的要大。据所查阅资料可知，对于端部接触式少片斜线型变截面主副簧，目前都还给出可靠的解析应力解析计算方法，主要原因是受端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的端点力的分析计算的制约。因为主簧的端部平直段非等构，且当载荷大于副簧起作用载荷主副簧接触之后，主簧和副簧的变形和内力均存有耦合，因此，各片主簧和副簧的端点力及在不同位置处的应力分析计算非常复杂，目前国内外一直未给出精确的端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧在不同位置处的应力计算方法。因此，必须建立一种精确、可靠的端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧在不同位置应力的计算方法，满足车辆行业快速发展及对悬架钢板弹簧精确设计的要求，提高少片变截面钢板弹簧的设计水平、产品质量和使用寿命，提高车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法。端部接触式少片斜线型变截面主副簧，其包括主簧，根部垫片，副簧，端部垫片，主簧和副簧的各片斜线型变截面钢板弹簧是由根部平直段、斜线段、端部平直段三段构成；主簧的各片根部之间及副簧的各片根部之间设置有根部垫片，主簧的各片端部平直段之间设置有端部垫片，端部垫片的材料为碳纤维复合材料，以防止工作时产生摩擦噪声。其中，各片主簧的根部平直段的厚度为h_2M，宽度为b，一半长度为L_M，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离为l_2M；各片主簧的端部平直段非等构，第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度，各片主簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_1i和l_1iM，各片主簧的斜线段的厚度比为β_i＝h_1i/h_2M，i＝1,2,…,m，m为主簧片数。各片副簧的一半长度为L_A，宽度为b，安装间距的一半l₃，各片副簧的根部平直段的厚度为h_2A，各片副簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_A1j和l_A1j，各片副簧的斜线段的厚度比为β_Aj＝h_A1j/h_2A，j＝1,2,…,m，m为主簧片数。副簧长度小于主簧长度，副簧触点与主簧端点的水平距离为l₀，副簧触点与主簧端部平直段之间设置有一定的主副簧间隙δ，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触；当主副簧端部接触之后，主副簧的各片的端点力不相等，且与副簧相接触的第m片主簧除了受端点力之外，还在接触点处受副簧触点支撑力的作用。在主副簧的各片结构参数、弹性模量和载荷给定情况下，对端部接触式少片斜线型主副簧的各片主簧和副簧在不同位置处的应力进行计算。

为解决上述技术问题，本发明所提供的端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法，其特征在于采用以下计算步骤：

(1)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，m为主簧片数，对主副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},i=1,2,...,m;$

式中，

II步骤：主副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，m为主簧片数；副簧的一半长度L_A，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，第j片副簧的端部平直段厚度h_1Aj，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj＝h_1Aj/h_2A，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，对主副簧接触之后各片主簧的一半刚度K_MAi进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},& i=1,2,...,m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Dm}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}m}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$G_{x-Di}=\frac{4}{Eb}(L_M^3-l_{2M}^3)+\frac{6l_{2M}^3{({\mathrm{\β}}_i+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_i-1)-2{\mathrm{ln\β}}_i(1+{\mathrm{\β}}_i)\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_i^3{l}_{2M}^3}{Eb};$

$G_{x-DAj}=\frac{4}{Eb}(L_A^3-l_{2A}^3)+\frac{6l_{2A}^3{({\mathrm{\β}}_{Aj}+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_{Aj}-1)-2{\mathrm{ln\β}}_{Aj}(1+{\mathrm{\β}}_{Aj})\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_{Aj}^3{l}_{2A}^3}{Eb};$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}},j=1,2,...,n;$

$\begin{array}{c}{G}_{x-CD}=\frac{4L_M^3+22l_{2M}^3({\mathrm{\β}}_m^3-1)+6l_{2M}^3\[3{\mathrm{\β}}_m({\mathrm{\β}}_m-1)-2(1+{\mathrm{\β}}_m^3){\mathrm{ln\β}}_m-6{\mathrm{\β}}_m(1+{\mathrm{\β}}_m){\mathrm{ln\β}}_m\]}{Eb}+\\ \frac{2\[l_0^3+3{\mathrm{\β}}_m^2(l_{2M}^2{\mathrm{\β}}_m^2-L_M^2{\mathrm{\β}}_m-l_{2m}^2)l_0\]}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-D_{z}m}=\frac{2l_3(6L_M^2-6L_M{l}_3-6L_M{l}_0+2l_3^2+3l_0{l}_3)}{Eb}+\frac{2{(l_0-L_M{\mathrm{\β}}_m^2+l_3{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(l_0+2L_M{\mathrm{\β}}_m^2-2l_3{\mathrm{\β}}_m^2)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}+\\ \frac{6{(L_M-l_3)}^3{({\mathrm{\β}}_m+1)}^2(3{\mathrm{\β}}_m-2{\mathrm{ln\β}}_m-2{\mathrm{\β}}_m{\mathrm{ln\β}}_m-3)}{Eb}+\frac{6l_0{(L_M-l_3)}^3({\mathrm{\β}}_m-1){({\mathrm{\β}}_m+1)}^2}{{\mathrm{Eb\β}}_m};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{2{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}^3(11-6{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb}-\frac{2(6L_M^2{l}_0-6L_M{l}_0^2+9l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{ln\β}}_m-2L_M^3+11l_{2M}^3)}{Eb}-\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_m(3l_0^2{l}_{2M}+9l_{2M}^3+18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb}-\frac{4l_0^3+2{\mathrm{\β}}_m^2(6l_{2M}^2{l}_0-9l_0^2{l}_{2M})-6l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{\β}}_m}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}+\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_m^2(6l_{2M}^2{l}_0+9l_{2M}^3-18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb};\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj＝h_1Aj/h_2A，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，对各片副簧的一半刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DAj}},j=1,2,...,n;$

式中，

(2)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的端点力计算：

i步骤：各片主簧的端点力计算：

根据端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，主簧片数m，对各片主簧的端点力P_i进行计算，即

$P_i=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}};$

ii步骤：各片副簧的端点力计算：

根据端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K；主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M；副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A；II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-CD、G_x-CDz和G_x-DAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧的端点力P_Aj进行计算，即

$P_{Aj}=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3(2P-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)};$

(3)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧的应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m-1，i步骤中计算得到的P_i，以主簧的端点为坐标原点，可对前m-1片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{i}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_i{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2Mi}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.,i=1,2,\mathrm{...},m-1;$

式中，

B步骤：第m片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，斜线根部到主簧端点的距离l_2M，第m片主簧的斜线段的厚度比β_m，副簧与主簧接触点到主簧端点的距离l₀，i步骤中计算得到的P_m，ii步骤中计算得到的P_Aj，以主簧的端点为坐标原点，可对第m片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{m}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,l_0\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈(l_0,{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2Mm}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},l_{2M}\]\end{array}\right.;$

式中，

(4)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片副簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，斜线根部到副簧端点的距离l_2A，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，ii步骤中计算得到的P_Aj，以副簧的端点为坐标原点，可对各片副簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Aj}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{Aj}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_{Aj}{h}_{2A}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2Aj}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A},l_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},& x\∈(l_{2A},L_A\]\end{array}\right.;$

式中，

本发明比现有技术具有的优点

由于斜线型变截面主簧的端部平直段非等构，且当载荷大于副簧起作用载荷，主副簧接触之后，主簧和副簧的变形和内力存有耦合，同时，第m片主簧除了受端点力之后，还在端部平直段受副簧触点支撑力的作用，因此，各片主簧和副簧的端点力及在不同位置处应力的分析计算非常复杂，目前国内外一直未给出精确、可靠的端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧在不同位置应力的解析计算方法。本发明可根据端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量及主副簧所承受载荷，通过各片主簧和副簧端点力与刚度及载荷之间的关系，对端部接触式少片斜线型主副簧的各片主簧和副簧的端点力及在不同位置处的应力进行解析计算。利用该方法可精确地计算出，在给定载荷情况下的端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧在不同位置处的应力计算值，为端部接触式少片斜线型变截面主副簧的应力分析计算，提供了可靠的计算方法，从而提高少片变截面钢板弹簧的设计水平、产品质量和使用寿命及车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度，满足车辆行业快速发展及对悬架钢板弹簧精确设计的要求。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是端部接触式少片斜线型变截面主副簧各片应力的计算流程图；

图2是端部接触式少片斜线型变截面主副簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例计算得到的第1片主簧在不同位置处的应力变化曲线；

图4是实施例计算得到的第2片主簧在不同位置处的应力变化曲线；

图5是实施例计算得到的1片副簧在不同位置处的应力变化曲线；

图6是实施例的第1片主簧的应力仿真云图；

图7是实施例的第2片主簧的应力仿真云图；

图8是实施例的1片副簧的应力仿真云图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的计算方法步骤如下：对于端部接触式少片斜线型变截面主副簧，首先对其各片主簧和副簧的一半刚度进行计算，其次，再对主副簧的各片主簧和副簧的端点力进行计算，再次，对主副簧的各片主簧在不同位置处的应力计算，最后，进行端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片副簧在不同位置处的应力计算。上述接触点的意思是：如图2中所示的状态下，副簧的端部与主簧的下表面接触时形成的接触点，在实际接触过程中，副簧端部的边棱与主簧的表面接触，在本发明的设计方法过程中，将其视为点接触进行刚度计算。如图2所示，端部接触式少片斜线型变截面主副簧的一半对称结构示意图，其包括主簧1，根部垫片2，副簧3，端部垫片4，主簧1和副簧3的各片斜线型变截面钢板弹簧是由根部平直段、斜线段、端部平直段三段构成；主簧1的各片根部之间及副簧3的各片根部之间设置有根部垫片2，主簧1的各片端部平直段之间设置有端部垫片4，端部垫片4的材料为碳纤维复合材料，以防止工作时产生摩擦噪声。其中，各片主簧的根部平直段的厚度为h_2M，宽度为b，一半长度为L_M，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离为l_2M；各片主簧的端部平直段非等构，第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度，各片主簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_1i和l_1iM，各片主簧的斜线段的厚度比为β_i＝h_1i/h_2M，i＝1,2,…,m，m为主簧片数。各片副簧的一半长度为L_A，宽度为b，安装间距的一半l₃，各片副簧的根部平直段的厚度为h_2A，各片副簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_A1j和l_A1j，各片副簧的斜线段的厚度比为β_Aj＝h_A1j/h_2A，j＝1,2,…,m，m为主簧片数。副簧长度小于主簧长度，副簧触点与主簧端点的水平距离为l₀，副簧触点与主簧端部平直段之间设置有一定的主副簧间隙δ。

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例：某端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧的主簧片数m＝2，其中，各片主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃＝520mm；各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，第1片主簧的端部平直段的厚度h₁₁＝7mm，即第1片主簧的斜线段的厚度比β₁＝0.64；第2片主簧的端部平直段的厚度h₁₂＝6mm，即第2片主簧的斜线段的厚度比β₂＝0.55；副簧的片数n＝1，该片副簧的一半长度L_A＝525mm，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝470mm，根部平直段的厚度h_2A＝14mm，端部平直段的厚度h_A11＝8mm，副簧斜线段的厚度比β_A1＝h_A11/h_2A＝0.57；副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝L_M-L_A＝50mm，副簧触点与主簧端部平直段之间设置有主副间隙，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触。该该端部接触式少片斜线型变截面主副簧的副簧起作用载荷P_K＝2400N，所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，对该端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧的各片主簧和副簧在不同位置处的应力进行计算。

本发明实例所提供的端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法，其计算流程如图1所示，具体计算步骤如下：

(1)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，第1片主簧的斜线段的厚度比β₁＝0.64，第2片主簧的斜线段的厚度比β₂＝0.55，对主副簧接触之前的第1片主簧和第2片主簧的一半刚度K_M1和K_M2进行计算，分别为

$K_{M1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D1}}=13.09N/mm;$

$K_{M2}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D2}}=12.13N/mm;$

式中，

$G_{x-D2}=\frac{4}{Eb}(L_M^3-l_{2M}^3)+\frac{6l_{2M}^3{({\mathrm{\β}}_2+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_2-1)-2{\mathrm{ln\β}}_2(1+{\mathrm{\β}}_2)\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_2^3{l}_{2M}^3}{Eb}=109.72{\mathrm{mm}}^4/N;$

II步骤：主副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧根部厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线根部到弹簧端点的距离l_2M＝520mm，第1片主簧的斜线段的厚度比β₁＝0.64，第2片主簧的斜线段的厚度比β₂＝0.55；副簧片数n＝1，该片副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝470mm，副簧的斜线段的厚度比β_A1＝0.57，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，对主副簧接触之后的第1片主簧和第2片主簧的一半刚度K_MA1和K_MA2分别进行计算，即

$K_{MA1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D1}}=13.09N/mm;$

$K_{MA2}=\frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-D2}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}2}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3}=34.89N/mm;$

式中，

$G_{x-D2}=\frac{4}{Eb}(L_M^3-l_{2M}^3)+\frac{6l_{2M}^3{({\mathrm{\β}}_2+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_2-1)-2{\mathrm{ln\β}}_2(1+{\mathrm{\β}}_2)\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_2^3{l}_{2M}^3}{Eb}=109.72{\mathrm{mm}}^4/N;$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}}=80.73{\mathrm{mm}}^4/N,$

$G_{x-DA1}=\frac{4}{Eb}(L_A^3-l_{2A}^3)+\frac{6l_{2A}^3{({\mathrm{\β}}_{A1}+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_{A1}-1)-2{\mathrm{ln\β}}_{A1}(1+{\mathrm{\β}}_{A1})\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_{A1}^3{l}_{2A}^3}{Eb}=80.73{\mathrm{mm}}^4/N;$

$\begin{array}{c}{G}_{x-CD}=\frac{4L_M^3+22l_{2M}^3({\mathrm{\β}}_2^3-1)+6l_{2M}^3\[3{\mathrm{\β}}_2({\mathrm{\β}}_2-1)-2(1+{\mathrm{\β}}_2^3){\mathrm{ln\β}}_2-6{\mathrm{\β}}_2(1+{\mathrm{\β}}_2){\mathrm{ln\β}}_2\]}{Eb}+\\ \frac{2\[l_0^3+3{\mathrm{\β}}_2^2(l_{2M}^2{\mathrm{\β}}_2^2-L_M^2{\mathrm{\β}}_2-l_{2M}^2)l_0\]}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3}=91.20{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-D_{z}2}=\frac{2l_3(6L_M^2-6L_M{l}_3-6L_M{l}_0+2l_3^2+3l_0{l}_3)}{Eb}+\frac{2{(l_0-L_M{\mathrm{\β}}_2^2+l_3{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(l_0+2L_M{\mathrm{\β}}_2^2-2l_3{\mathrm{\β}}_2^2)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}+\\ \frac{6{(L_M-l_3)}^3{({\mathrm{\β}}_2+1)}^2(3{\mathrm{\β}}_2-2{\mathrm{ln\β}}_2-2{\mathrm{\β}}_2{\mathrm{ln\β}}_2-3)}{Eb}+\frac{6l_0{(L_M-l_3)}^3({\mathrm{\β}}_2-1){({\mathrm{\β}}_2+1)}^2}{{\mathrm{Eb\β}}_2};\\ =91.20{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{2{\mathrm{\β}}_2^2{l}_{2M}^3(11-6{\mathrm{ln\β}}_2)}{Eb}-\frac{2(6L_M^2{l}_0-6L_M{l}_0^2+9l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{ln\β}}_2-2L_M^3+11l_{2M}^3)}{Eb}-\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_2(3l_0^2{l}_{2M}+9l_{2M}^3+18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_2)}{Eb}-\frac{4l_0^3+2{\mathrm{\β}}_2^2(6l_{2M}^2{l}_0-9l_0^2{l}_{2M})-6l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3}+\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_2^2(6l_{2M}^2{l}_0+9l_{2M}^3-18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_2)}{Eb}=77.06{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧根部平直段的厚度h_2A＝14mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，副簧片数n＝1，副簧的斜线段的厚度比β_A1＝0.57，对该片副簧的一半刚度K_A1进行计算，即

$K_{A1}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DA1}}=33.99N/mm;$

式中，(2)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的端点力计算：

i步骤：各片主簧的端点力计算：

根据该端部接触式少片斜线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2400N，I步骤中计算得到的K_M1＝13.09N/mm和K_M2＝12.13N/mm，及II步骤中计算所得到的K_MA1＝13.09N/mm和K_MA2＝34.89N/mm，主簧片数m＝2，对第1片主簧和第2片主簧的端点力P₁和P₂分别进行计算，即

$P_1=\frac{K_{M1}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA1}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1124.90N;$

$P_2=\frac{K_{M2}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA2}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1915.10N;$

ii步骤：各片副簧的端点力计算：

根据端部接触式少片斜线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2400N，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，II步骤中计算得到的K_MA1＝13.09N/mm、K_MA2＝34.89N/mm、G_x-CD＝91.20mm⁴/N、G_x-CDz＝77.06mm⁴/N和G_x-DAT＝80.73mm⁴/N，及III步骤中计算得到的K_A1＝33.99N/mm，对该片副簧的端点力P_A1进行计算，即

$P_{A1}=\frac{K_{A1}{K}_{MA2}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3(2P-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}=1050.00N;$

(3)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧的应力计算：

A步骤：第1片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，第1片主簧的斜线段的厚度比β₁＝0.64，i步骤中计算得到的P₁＝1124.90N，以主簧的端点为坐标原点，可对第1片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_1=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{1}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_1{h}_{2M}\right)}^2}=2.30xMPa,& x\∈\[0,210.58\]mm\\ \frac{6P_{1}x}{{\mathrm{bh}}_{2M1}^2\left(x\right)}=\frac{112.49x}{{(0.013x+4.28)}^2}MPa,& x\∈(210.58,520\]mm\\ \frac{6P_{1}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2}=0.93xMPa,& x\∈\∈(520,575\]mm\end{array}\right.$

式中，h_2M1(x)为第1片主簧斜线段在不同位置x处的厚度，h_2M1(x)＝0.013x+4.28；其中，在该载荷下计算所得到的第1片主簧在不同位置处的应力变化曲线，如图3所示，最大应力解析计算值σ_MA1＝215.74MPa；

B步骤：第2片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，第2片主簧的斜线段的厚度比β₂＝0.55；副簧片数n＝1，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，i步骤中计算得到的P₂＝1915.10N，ii步骤中计算得到的P_A1＝1050.00N，以主簧的端点为坐标原点，可对第2片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_2=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{2}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_2{h}_{2M}\right)}^2}=5.32xMPa,& x\∈\[0,50\]mm\\ \frac{6\[P_{2}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_2{h}_{2M}\right)}^2}=2.78\×(0.87x+52.50)MPa,& x\∈(50,154.71\]mm\\ \frac{6\[P_{2}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M2}^2\left(x\right)}=100\×\frac{(0.87x+52.50)}{{(0.14x+3.88)}^2}MPa,& x\∈(154.71,520\]mm\\ \frac{6\[P_{2}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2}=0.83\×(0.87x+52.50)MPa,& x\∈(520,575\]mm\end{array}\right.;$

式中，h_2M2(x)为第2片主簧斜线段在不同位置x处的厚度，h_2M2(x)＝0.014x+3.88；其中，在该载荷情况下计算所得到的第2片主簧在不同位置处的应力变化曲线，如图4所示，最大应力解析计算值σ_MA2＝269.60MPa；

(4)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片副簧的应力计算：

根据该少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，宽度b＝60mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，该片副簧的斜线段的厚度比β_A1＝0.57，ii步骤中计算得到的P_A1＝1050.00N，以副簧的端点为坐标原点，可对该片副簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{A1}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{A1}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_{A1}{h}_{2A}\right)}^2}164xMPa,& x\∈\[0,153.47\]mm\\ \frac{6P_{A1}x}{{\mathrm{bh}}_{2A1}^2\left(x\right)}=\frac{104.99x}{{(0.019x+5.09)}^2}MPa,& x\∈(153.47,470\]mm\\ \frac{6P_{A1}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2}=0.54xMPa,& x\∈(470,525\]mm\end{array}\right.;$

式中，h_2A1(x)为该片副簧斜线段在不同位置x处的厚度，h_2A1(x)＝0.019x+5.09；其中，在该载荷情况下计算所得到的该片副簧在不同位置处的应力变化曲线，如图5所示，最大应力解析计算值σ_A1＝251.77MPa；

利用ANSYS有限元仿真软件，根据该少片斜线型变截面钢板弹簧的主副簧结构参数和材料特性参数，建立一半对称结构主副簧的ANSYS仿真模型，划分网格，设置副簧端点与主簧接触，并在仿真模型的根部施加固定约束，在主簧端点施加集中载荷F＝P-P_K/2＝1840N，对该少片斜线型变截面钢板弹簧的主副簧的应力进行ANSYS仿真，所得到的第1片主簧的应力仿真云图，如图6所示；第2片主簧的应力仿真云图，如图7所示；第1片副簧的应力仿真云图，如图8所示，其中，第1片主簧在斜线段与根部接触位置处的应力σ_MA1＝213.86MPa、第2片主簧在斜线段与端部平直段接触位置处的应力σ_MA2＝271.69MPa、第1片副簧在斜线段与端部平直段接触位置处的应力σ_A1＝253.79MPa。

可知，在相同载荷情况下，该钢板弹簧第1片和第2片主簧、及第1片副簧应力的ANSYS仿真验证值σ_MA1＝213.86MPa、σ_MA2＝271.69MPa、σ_A1＝253.79MPa，分别与应力解析计算值σ_MA1＝215.74MPa、σ_MA2＝269.60MPa、σ_A1＝251.77MPa，相吻合，相对偏差分别为0.87％、0.77％、0.80％；结果表明该发明所提供的端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法是正确的，各片应力的计算值是准确可靠的。

Claims (1)

1.端部接触式少片斜线型主副簧各片应力的计算方法，其中，少片斜线型变截面主簧的端部非等构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度；副簧长度小于主簧长度，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧斜线段内某点相接触；当主副簧接触之后，主副簧的各片端点力不相同，且与副簧相接触的1片主簧除了受端点力之外，还在接触点处受副簧触点支撑力的作用；在主副簧的各片结构参数、弹性模量、副簧起作用载荷及主副簧所受载荷给定情况下，对端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧应力进行计算，具体计算步骤如下：

(1)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，m为主簧片数，对主副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},i=1,2,...,m;$

式中，

II步骤：主副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，m为主簧片数；副簧的一半长度L_A，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，第j片副簧的端部平直段厚度h_1Aj，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj＝h_1Aj/h_2A，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，对主副簧接触之后各片主簧的一半刚度K_MAi进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},& i=1,2,...,m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Dm}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}m}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$G_{x-Di}=\frac{4}{Eb}(L_M^3-l_{2M}^3)+\frac{6l_{2M}^3{({\mathrm{\β}}_i+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_i-1)-2{\mathrm{ln\β}}_i(1+{\mathrm{\β}}_i)\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_i^3{l}_{2M}^3}{Eb};$

$G_{x-DAj}=\frac{4}{Eb}(L_A^3-l_{2A}^3)+\frac{6l_{2A}^3{({\mathrm{\β}}_{Aj}+1)}^2\[3({\mathrm{\β}}_{Aj}-1)-2{\mathrm{ln\β}}_{Aj}(1+{\mathrm{\β}}_{Aj})\]}{Eb}+\frac{4{\mathrm{\β}}_{Aj}^3{l}_{2A}^3}{Eb};$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}},j=1,2,...,n;$

$\begin{array}{c}{G}_{x-CD}=\frac{4L_M^3+22l_{2M}^3({\mathrm{\β}}_m^3-1)+6l_{2M}^3\[3{\mathrm{\β}}_m({\mathrm{\β}}_m-1)-2(1+{\mathrm{\β}}_m^3){\mathrm{ln\β}}_m-6{\mathrm{\β}}_m(1+{\mathrm{\β}}_m){\mathrm{ln\β}}_m\]}{Eb}+\\ \frac{2\[l_0^3+3{\mathrm{\β}}_m^2(l_{2M}^2{\mathrm{\β}}_m^2-L_M^2{\mathrm{\β}}_m-l_{2m}^2)l_0\]}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-D_{z}m}=\frac{2l_3(6L_M^2-6L_M{l}_3-6L_M{l}_0+2l_3^2+3l_0{l}_3)}{Eb}+\frac{2{(l_0-L_M{\mathrm{\β}}_m^2+l_3{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(l_0+2L_M{\mathrm{\β}}_m^2-2l_3{\mathrm{\β}}_m^2)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}+\\ \frac{6{\left(L_M{l}_3\right)}^3{({\mathrm{\β}}_m+1)}^2(3{\mathrm{\β}}_m-2{\mathrm{ln\β}}_m-2{\mathrm{\β}}_m{\mathrm{ln\β}}_m-3)}{Eb}+\frac{6l_0{(L_M-l_3)}^3({\mathrm{\β}}_m-1){({\mathrm{\β}}_m+1)}^2}{{\mathrm{Eb\β}}_m};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{2{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}^3(11-6{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb}-\frac{2(6L_M^2{l}_0-6L_M{l}_0^2+9l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{ln\β}}_m-2L_M^3+11l_{2M}^3)}{Eb}-\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_m(3l_0^2{l}_{2M}+9l_{2M}^3+18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb}-\frac{4l_0^3+2{\mathrm{\β}}_m^2(6l_{2M}^2{l}_0-9l_0^2{l}_{2M})-6l_0^2{l}_{2M}{\mathrm{\β}}_m}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}+\\ \frac{2{\mathrm{\β}}_m^2(6l_{2M}^2{l}_0+9l_{2M}^3-18l_{2M}^3{\mathrm{ln\β}}_m)}{Eb};\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj＝h_1Aj/h_2A，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，对各片副簧的一半刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DAj}},j=1,2,...,n;$

式中，

(2)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的端点力计算：

i步骤：各片主簧的端点力计算：

根据端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，主簧片数m，对各片主簧的端点力P_i进行计算，即

$P_i=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}};$

ii步骤：各片副簧的端点力计算：

根据端部接触式少片斜线型变截面钢板弹簧主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K；主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M；副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A；II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-CD、G_x-CDz和G_x-DAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧的端点力P_Aj进行计算，即

$P_{Aj}=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3(2P-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)};$

(3)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片主簧的应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的斜线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m-1，i步骤中计算得到的P_i，以主簧的端点为坐标原点，可对前m-1片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{i}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_i{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2Mi}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.,i=1,2,\mathrm{...},m-1;$

式中，

B步骤：第m片主簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，斜线根部到主簧端点的距离l_2M，第m片主簧的斜线段的厚度比β_m，副簧与主簧接触点到主簧端点的距离l₀，i步骤中计算得到的P_m，ii步骤中计算得到的P_Aj，以主簧的端点为坐标原点，可对第m片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{m}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,l_0\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈(l_0,{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2Mm}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},l_{2M}\]\end{array}\right.;$

式中，

(4)端部接触式少片斜线型变截面主副簧的各片副簧的应力计算：

根据少片斜线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，斜线根部到副簧端点的距离l_2A，第j片副簧的斜线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，ii步骤中计算得到的P_Aj，以副簧的端点为坐标原点，可对各片副簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Aj}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{Aj}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_{Aj}{h}_{2A}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2Aj}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A},l_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},& x\∈(l_{2A},L_A\]\end{array}\right.;$

式中，