CN105975661A - 端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数及弹性模量，对主副簧的复合刚度进行验算。通过实例及仿真验证可知，该发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法是正确的，利用该方法可得到准确可靠的主副簧的复合刚度验算值，可提高端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的设计水平、产品质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Description

端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法。

背景技术

为了满足车辆悬架在不同载荷下的变刚度设计要求，通常将少片变截面钢板弹簧设计为主副簧，其中，主簧在与副簧相接触点处设计有一定的间隙，确保当载荷大于副簧起作用载荷后，主副簧接触而一起共同工作。由于少片变截面主簧的第1片其受力复杂，不仅承受垂向载荷，同时还承受扭转载荷和纵向载荷，因此，实际所设计的第1片钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度大于他各片主簧的厚度和长度，即大都采用端部非等构的少片变截面钢板弹簧；同时，为了加强少片抛物线型变截面主副簧的应力强度，通常在根部平直段与抛物线段之间增设一斜线段，即采用根部加强型的少片变截面主副簧。另外，由于为了满足主副簧不同复合刚度的设计要求，通常采用不同长度的副簧，即主簧与副簧的接触位置也不同，因此，主副簧可分为端部接触式和非端部接触式，其中，在相同副簧根部平直段厚度和片数情况下，端部接触式主副簧的复合刚度大于非端部接触式的复合刚度。主副簧的复合刚度对车辆行驶平顺性具有重要影响，然后，由于根部加强型少片变截面钢板弹簧在任意位置处的变形计算非常复杂，因此，先前一直未能给出端部接触式少片根部加强型主副簧的复合刚度验算方法。目前，尽管有人曾对根部加强型少片变截面主簧的变形，采用ANSYS建模仿真法，但是该方法只能对给出实际设计结构的少片变截面钢板弹簧的变形及复合刚度进行仿真验证，不能提供精确的解析设计式，以满足解析设计的要求，更不能满足车辆快速发展及对悬架钢板弹簧现代化CAD设计软件开发的要求。

因此，必须建立一种精确、可靠的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，满足车辆行业快速发展及对少片变截面主副钢板弹簧精确设计的要求，提高变截面钢板弹簧的设计水平、产品质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，其验算流程，如图1所示。端部接触式少片根部加强型变截面主副簧为对称结构，可将一半对称结合主副簧看作悬臂梁，即将对称中心线看作一半弹簧的固定根部，将主簧端部受力点和副簧触点受力点分别看作一半主簧和副簧的端点，其一半对称结构示意图，如图2所示，包括：主簧1，根部垫片2，副簧3，端部垫片4，主簧1和副簧3的各片是由根部平直段、斜线段、抛物线段、端部平直段四段构成，其中，斜线段对钢板弹簧根部起加强作用，主簧和副簧的宽度为b，安装间距的一半l₃，斜线段的长度为Δl，弹性模量为E。主簧1的各片根部平直段之间、副簧3的各片根部平直段之间、及主簧1与副簧3之间均设置有根部垫片2；主簧1的各片端部平直段之间设置有端部垫片4，端部垫片的材料为碳纤维复合材料，以防止工作时产生摩擦噪声。各片主簧的根部平直段的厚度为h_2M，宽度为b，一半长度为L_M，斜线段的根部到主簧端点的距离为l_2M，斜线段的端部到主簧端点的距离为l_2Mp；各片主簧的斜线段的端部厚度为h_2Mp，斜线段的厚度比γ_M＝h_2Mp/h_2M；各片主簧的端部平直段非等构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度；各片主簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_1i和l_1i，抛物线段的厚度比为β_i＝h_1i/h_2Mp，i＝1,2,…,m，m为主簧片数。各片副簧的根部平直段的厚度为h_2A，副簧的一半长度为L_A，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离为l_2A，副簧斜线段的端部到副簧端点的距离为l_2Ap；各片副簧的斜线段的端部厚度为h_2Ap，副簧斜线段的厚度比γ_A＝h_2Ap/h_2A；各片副簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_A1j和l_A1j，抛物线段的厚度比为β_Aj＝h_A1j/h_2Ap，j＝1,2,…,n，n为副簧片数。副簧长度的一半长度L_A小于主簧的一半长度L_M，副簧触点与主簧端点的水平距离为l₀＝L_M-L_A；副簧触点与主簧端部平直段之间的主副簧间隙为δ，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与第m片主簧的端部平直段内某点相接触；当主副簧接触之后，各片主副簧的端点力不相等，且第m片主簧除了受端点力之外，还受副簧触点支撑力的作用。在各片主簧和副簧的各片结构参数及弹性模量给定情况下，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算。

为解决上述技术问题，本发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，其特征在于采用以下验算步骤：

(1)端点受力情况下的各片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ei计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，斜线段长度Δl，主簧的抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，i＝1,2,…,m，对端点受力情况下的各片主簧的端点变形系数G_x-Ei进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-Ei}=\frac{4(L_M^3-l_{2M}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_i^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3};\end{array}$

(2)端点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，主簧斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对端点受力情况下的第m片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\λ}}_M)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M);\end{array}$

(3)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ezm计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，主簧斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触点受力情况下的第m片主簧的端点变形系数G_x-Ezm进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-E_{z}m}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}\]+\\ \frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\end{array}$

(4)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触点受力情况下的第m片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})\left(L_M^3-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\right)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}-\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2M}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\\ \frac{4l_{2Mp}(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp}+2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_m^3{\mathrm{\β}}_m};\end{array}$

(5)端点受力情况下的各片根部加强型变截面副簧的端点变形系数G_x-EAj及n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，宽度b，弹性模量E，副簧的斜线段长度Δl，抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A，副簧的斜线段的厚度比γ_A，副簧片数n，其中，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，j＝1,2,…,n，对端点受力情况下的各片副簧的端点变形系数G_x-EAj进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4(L_A^3-l_{2A}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3},j=1,2,\mathrm{...},n;\end{array}$

根据各片副簧的端点变形系数G_x-EAj，对n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT进行计算，即

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}};$

(6)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT验算：

根据主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，步骤(1)中计算得到的G_x-Ei，步骤(2)中计算得到的G_x-DE，步骤(3)中计算得到的G_x-Ezm，步骤(4)中计算得到的G_x-DEz，及步骤(5)中计算得到的G_x-EAT，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT进行计算，即

$K_{MAT}=\underset{i=1}{\overset{m-1}{\Σ}}\frac{2h_{2M}^3}{G_{x-Ei}}+\frac{2h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Em}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}m}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3}.$

本发明比现有技术具有的优点

由于端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧的端部平直段非等构，且副簧的长度小于主簧的长度，同时，当主副簧接触之后，第m片主簧除了受端点力之外，还在端部平直段受副簧触点支撑力的作用，因此，各片主簧和副簧的端点力、变形及刚度计算非常复杂，先前一直未能给出端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法。本发明可根据端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧的结构参数、弹性模量，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算。通过实例及ANSYS仿真验证可知，该发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法是正确的，利用该方法可得到准确可靠的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度验算值，可提高端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的设计水平、产品质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是端部接触式少片根部加强型主副簧复合刚度的验算流程图；

图2是端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例一端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的ANSYS变形仿真云图；

图4是实施例二端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的ANSYS变形仿真云图。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例一：某端部接触式少片根部加强型主副簧的，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的长度Δl＝30mm；其中，主簧片数m＝2，各片主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃＝520mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl＝490mm；主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，主簧斜线段的端部厚度h_2Mp＝10.23mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝h_2Mp/h_2M＝0.93；第1片主簧的端部平直段的厚度h₁₁＝7mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝h₁₁/h_2Mp＝0.69；第2片主簧的端部平直段的厚度h₁₂＝6mm，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝h₁₂/h_2Mp＝0.59。副簧片数n＝1，该片副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝L_M-L_A＝50mm，副簧抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl＝440mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝470mm，副簧根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧斜线段的端部厚度h_2Ap＝13mm，副簧斜线段的厚度比γ_A＝h_2Ap/h_2A＝0.93；该片副簧的端部平直段的厚度h_A11＝8mm，副簧抛物线的厚度比β_A1＝h_A11/h_2Ap＝0.62。根据该主副簧的各片主簧和副簧的结构参数及弹性模量，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算。

本发明实例所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，其验算流程如图1所示，具体验算步骤如下：

(1)端点受力情况下的各片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ei计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93，主簧片数m＝2，其中，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.69，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59，对端点受力情况下的第1片主簧和第2片主簧的端点处的变形系数G_x-E1和G_x-E2分别进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4(L_M^3-l_{2M}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=107.53{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E2}=\frac{4(L_M^3-l_{2M}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_2^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=113.42{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

(2)端点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝490mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，对端点受力情况下的第2片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\λ}}_M)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)=94.37{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(3)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ez2计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝490mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59，对主副簧接触点受力情况下的第2片主簧的端点变形系数G_x-Ez2进行计算，即

$G_{x-E_{z}2}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}\]+\\ \frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_2)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\\ =94.37{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(4)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝490mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59，对主副簧接触点受力情况下的第2片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})\left(L_M^3-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\right)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}-\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2M}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\\ \frac{4l_{2Mp}(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp}+2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_m^3{\mathrm{\β}}_m}=79.78{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(5)端点受力情况下的各片根部加强型变截面副簧的端点变形系数G_x-EAj及n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A＝525mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝440mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，副簧的斜线段的厚度比γ_A＝0.93，副簧片数n＝1，其中，副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝0.62，对端点受力情况下的该片副簧的端点变形系数G_x-EA1进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-EA1}=\frac{4(L_A^3-l_{2A}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{A1}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}=83.22{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

根据副簧片数n＝1，对n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT进行计算，即

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}}=83.22{\mathrm{mm}}^4/N;$

(6)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT验算：

根据主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，步骤(1)中计算得到的G_x-E1＝107.53mm⁴/N和G_x-E2＝113.42mm⁴/N，步骤(2)中计算得到的G_x-DE＝94.37mm⁴/N，步骤(3)中计算得到的G_x-Ez2＝94.37mm⁴/N，步骤(4)中计算得到的G_x-DEz＝79.78mm⁴/N，及步骤(5)中计算得到的G_x-EAT＝83.22mm⁴/N，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT进行验算，即

$K_{MAT}=\underset{i=1}{\overset{m-1}{\Σ}}\frac{2h_{2M}^3}{G_{x-Ei}}+\frac{2h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-E2}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}2}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3}=92.48N/mm.$

主副簧共同起作用之后，在一半对称结构主副簧端点施加单端点载荷P＝1780N情况下，利用复合刚度验算值K_MAT＝92.48N/mm，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的最大变形进行验算，即

$f_{Dmax}=\frac{2P}{K_{MAT}}=38.49mm.$

利用ANSYS有限元仿真软件，根据该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数及材料特性参数，建立一半对称结构主副簧的ANSYS仿真模型，划分网格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在主副端点处施加集中载荷P＝1780N，对该少片根部加强型变截面主副簧的变形进行ANSYS仿真，所得到的主副簧的ANSYS变形仿真云图，如图3所示，其中，主副簧在端点位置处的最大变形量f_DSmax＝38.25mm。

可知，在相同载荷情况下，该主副簧的最大变形的ANSYS仿真验证值f_DSmax＝38.25mm，与刚度验算值下的最大变形f_Dmax＝38.49mm的相对偏差仅为0.63％，结果表明该发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法是正确的，验算所得到的主副簧的复合刚度验算值是准确、可靠的。

实施例二：某端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝60mm，斜线段的长度Δl＝30mm；其中，主簧片数m＝2，主簧的一半长度L_M＝600mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl＝510mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃＝540mm；各片主簧的根部平直段厚度h_2M＝12mm，斜线段的端部厚度h_2Mp＝11mm，主簧斜线段的厚度比γ_M＝h_2Mp/h_2M＝0.92；第1片主簧的端部平直段的厚度h₁₁＝7mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝h₁₁/h_2Mp＝0.64；第2片主簧的端部平直段的厚度h₁₂＝6mm，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝h₁₂/h_2Mp＝0.55。副簧片数n＝1，该片副簧的一半长度L_A＝540mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝L_M-L_A＝60mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl＝450mm，副簧斜线段的根部到弹簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝480mm。副簧的根部平直段的厚度h_2A＝13mm，斜线段的端部厚度h_2Ap＝12mm，副簧斜线段的厚度比γ_A＝h_2Ap/h_2A＝0.92；副簧的端部平直段的厚度h_A11＝8mm，该片副簧的抛物线的厚度比β_A1＝h_A11/h_2Ap＝0.67。根据各片主簧和副簧的结构参数及弹性模量，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算。

采用与实施例一相同的验算方法和步骤，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算，具体步骤如下：

(1)端点受力情况下的各片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ei计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段长度Δl＝30mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝510mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝540mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.92，主簧片数m＝2，其中，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.64，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，对端点受力情况下的第1片主簧和第2片主簧的端点变形系数G_x-E1和G_x-E2分别进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4(L_M^3-l_{2M}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=128.94{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E2}=\frac{4(L_M^3-l_{2M}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_2^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=134.42{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

(2)端点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝510mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝540mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.92，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝60mm，对端点受力情况下的第2片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\λ}}_M)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)=107.63{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(3)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ezm计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，主簧斜线段长度Δl＝30mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝510mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝540mm，主簧斜线段的厚度比γ_M＝0.92，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝60mm，对主副簧接触点受力情况下的第2片主簧的端点变形系数G_x-Ez2进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-E_{z}2}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}\]+\\ \frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_2)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\end{array}$

$=107.63{\mathrm{mm}}^4/N;$

(4)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，主簧斜线段长度Δl＝30mm，主簧抛物线根部到主簧端点的距离l_2Mp＝510mm，主簧斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝540mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.92，主簧片数m＝2，其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝60mm，对主副簧接触点受力情况下的第2片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})\left(L_M^3-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\right)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}-\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(2l_{2M}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\\ \frac{4l_{2Mp}(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp}+2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_m^3{\mathrm{\β}}_m}=88.38{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(5)端点受力情况下的各片根部加强型变截面副簧的端点变形系数G_x-EAj及n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A＝540mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝450mm，副簧斜线段的根部到弹簧端点的距离l_2A＝480mm，副簧片数n＝1，该片副簧的斜线段的厚度比γ_A＝0.92，第1片副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝0.67，对端点受力情况下的该片副簧的端点变形系数G_x-EA1进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-EA1}=\frac{4(L_A^3-l_{2A}^3)}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{A1}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}=88.72{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

根据副簧片数n＝1，对n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT进行计算，即

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}}=88.72{\mathrm{mm}}^4/N;$

(6)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT验算：

根据根部加强型变截面主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝12mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝13mm，步骤(1)中计算得到的G_x-E1＝128.94mm⁴/N和G_x-E2＝134.42mm⁴/N，步骤(2)中计算得到的G_x-DE＝107.63mm⁴/N，步骤(3)中计算得到的G_x-Ez2＝107.63mm⁴/N，步骤(4)中计算得到的G_x-DEz＝88.38mm⁴/N，及步骤(5)中计算得到的G_x-EAT＝88.72mm⁴/N，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT进行验算，即

$K_{MAT}=\underset{i=1}{\overset{2-1}{\Σ}}\frac{2h_{2M}^3}{G_{x-Ei}}+\frac{2h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-E2}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}2}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3}=83.30N/mm.$

主副簧共同起作用之后，在一半对称结构主副簧的端点施加载荷P＝1640N情况下，利用复合刚度计算值K_MAT＝83.30N/mm，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的最大变形进行验算，即

$f_{Dmax}=\frac{2P}{K_{MAT}}=39.38mm.$

利用ANSYS有限元仿真软件，根据该少片根部加强型变截面钢板弹簧的主副簧结构参数和材料特性参数，建立一半对称结构主副簧的ANSYS仿真模型，划分网格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在一半对称结构主副簧的端点施加集中载荷P＝1640N，对该少片根部加强型变截面钢板弹簧的主副簧变形进行ANSYS仿真，所得到的主副簧的ANSYS变形仿真云图，如图4所示；其中，主副簧在端点位置处的最大变形量f_DSmax＝39.23mm。

可知，在相同载荷情况下，该主副簧最大变形的ANSYS仿真验证值f_DSmax＝39.23mm，与刚度计算值下的最大变形f_Dmax＝39.38mm的相对偏差分别为0.38％；结果表明该发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法是正确的，验算所得到的复合刚度的验算值是准确、可靠的。

Claims (1)

1.端部接触式少片根部加强型变截面主副簧复合刚度的验算方法，其中，少片根部加强型变截面主副钢板弹簧的一半对称结构由根部平直段、斜线段、抛物线段及端部平直段四段构成的，其中，斜线段对弹簧的根部起加强作用；各片主簧的端部平直段非同构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的厚度和长度；副簧长度小于主簧长度，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触，主副簧一起工作以满足复合刚度设计要求；在各片主簧和副簧的结构参数及弹性模量给定情况下，对主副簧端部接触之后，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度进行验算，具体验算步骤如下：

(1)端点受力情况下的各片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ei计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，斜线段长度Δl，主簧的抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，i＝1,2,…,m，对端点受力情况下的各片主簧的端点变形系数G_x-Ei进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-Ei}=\frac{4\left(L_M^3-l_{2M}^3\right)}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3\left(2-{\mathrm{\β}}_i^3\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3\right)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3};\end{array}$

(2)端点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，主簧斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对端点受力情况下的第m片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DE进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l\left(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2\left(1-{\mathrm{\β}}_m\right)\left(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M\right);\end{array}$

(3)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧的端点变形系数G_x-Ezm计算：根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，主簧斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触点受力情况下的第m片主簧的端点变形系数G_x-Ezm进行计算，即

$G_{x-E_{z}m}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\]+\\ \frac{2{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2\left(1-{\mathrm{\β}}_m\right)\left(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l\left(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\end{array}$

(4)主副簧接触点受力情况下的第m片根部加强型变截面主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，宽度b，弹性模量E，斜线段长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M，斜线段的厚度比γ_M，主簧片数m，其中，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触点受力情况下的第m片主簧在端部平直段与副簧接触点处的变形系数G_x-DEz进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4\left(L_M-l_{2M}\right)\left(L_M^2-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\right)}{Eb}-\frac{4{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}-\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\\ \frac{4l_{2Mp}\left(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp}+2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m};\end{array}$

(5)端点受力情况下的各片根部加强型变截面副簧的端点变形系数G_x-EAj及n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，宽度b，弹性模量E，副簧的斜线段长度Δl，抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A，副簧的斜线段的厚度比γ_A，副簧片数n，其中，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，j＝1,2,…,n，对端点受力情况下的各片副簧的端点变形系数G_x-EAj进行计算，即

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4\left(L_A^3-l_{2A}^3\right)}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3\left(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3\right)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{\Δlln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3},j=1,2,...,n;\end{array}$

根据各片副簧的端点变形系数G_x-EAj，对n片叠加副簧的总端点变形系数G_x-EAT进行计算，即

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}};$

(6)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT验算：

根据主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，步骤(1)中计算得到的G_x-Ei，步骤(2)中计算得到的G_x-DE，步骤(3)中计算得到的G_x-Ezm，步骤(4)中计算得到的G_x-DEz，及步骤(5)中计算得到的G_x-EAT，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的复合刚度K_MAT进行计算，即

$K_{MAT}=\underset{i=1}{\overset{m-1}{\Σ}}\frac{2h_{2M}^3}{G_{x-Ei}}+\frac{2h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Em}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}m}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3}.$