CN105930563A - 端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧的结构参数、弹性模量、副簧起作用载荷及主副簧所受载荷，对各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力进行解析计算。通过实例计算及仿真验证可知，利用该方法可得到准确、可靠的各片主簧和各片副簧在任意位置处的应力计算值，为端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在任意位置处的应力计算提供了可靠的计算方法，可提高产品设计水平和性能及寿命，提高车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Description

端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法。

背景技术

少片抛物线变截面主副簧之间设计有一定的主副簧间隙，确保当大于副簧起作用载荷之后，主副簧相接触一起工作，以满足复合刚度和应力强度的设计要求。由于少片变截面主副簧的第1片主簧的受力复杂，不仅承受垂向载荷，同时还承受扭转载荷和纵向载荷，因此，实际所设计的第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度，即大都采用端部非等构的少片变截面钢板弹簧，以满足第1片主簧受力复杂的要求。另外，为了满足不同复合刚度的设计要求，通常采用不同长度的副簧，因此，副簧触点与主簧相接触点的位置也不同，可分为端部平直段接触式和非端部接触式两种。对端部接触式少片抛物线型变截面主副簧，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触而一起工作时，其中，第m片主簧除了受端点力之外，在端部平直段还受到副簧触点支撑力的作用。少片变截面主副簧的各片应力不相同，且同一片弹簧在不同位置处的应力也不相同，因此，为了满足各片主副簧的应力强度校核的要求，必须能够对各片主副簧在不同位置的应力进行计算。然而由于主簧各片的端部平直段非等构，副簧与主簧的长度不相等，因此，主副接触之后的各片主簧和副簧的端点力的计算非常复杂，因此，先前一直未能给出端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力计算方法。因此，必须建立一种精确、可靠的端部接触式少片抛物线型变截面主副簧各片应力的计算方法，满足车辆行业快速发展及对端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的不同位置应力计算和强度校核的要求，提高少片抛物线型变截面主副簧的设计水平、产品质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，降低产品设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法，其设计流程图，如图1所示。少片抛物线型变截面主副簧的一半对称结构可看作为变截面悬臂梁，即将对称中心线看作为一半弹簧的根部固定端，将主簧端部受力点及副簧端部触点分别看作为主簧端点和副簧端点；端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的一半对称结构示意图，如图2所示，其中包括，主簧1，根部垫片2，副簧3，端部垫片4。主簧1各片的一半长度为L_M，是由根部平直段、抛物线段和端部平直段三段所构成，每片主簧的根部平直段的厚度为h_2M，安装间距的一半为l₃；主簧1各片的端部平直段非等构，即第1片的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片的厚度和长度，各片主簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_1i和l_1i，i＝1,2,…,m，m为少片变截面主簧的片数；中间变截面为抛物线段，各片抛物线段的厚度比为β_i＝h_1i/h_2M，抛物线段的根部到主簧端点的距离为l_2M＝L_M-l₃。主簧1各片的根部平直段之间及与副簧3的根部平直段之间设有根部垫片2，主簧1的端部平直段之间设有端部垫片4，端部垫片的材料为碳纤维复合材料，以降低弹簧工作所产生的摩擦噪声。副簧3的一半长度为L_A，副簧触点与主簧端点的水平距离为l₀＝L_M-L_A，副簧片数为n，副簧的宽度与主簧的相等，即副簧的宽度为b；各片副簧的根部平直段厚度为h_2A，各片副簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_A1j和l_A1j，各片副簧抛物线段的厚度比β_Aj＝h_1j/h_2A，j＝1,2,..,n；副簧触点与主簧端部平直段之间设有一定的主副簧间隙δ，当载荷大于副簧起作用载荷后，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触而共同起作用，以满足复合刚度设计要求。在各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、副簧起作用载荷、及主副簧所受载荷给定情况下，对端部接触式少片变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力进行计算。

为解决上述技术问题，本发明所提供的端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法，其特征在于采用以下计算步骤：

(1)各片抛物线型变截面主副簧的一半刚度计算：

I步骤：副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，对副簧接触之前的各片抛物线型变截面主簧的一半的刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},i=1,2,\mathrm{...},m;$

式中，G_x-Di为各片主簧的端点变形系数，

II步骤：副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m；副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi分别进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},& i=1,2,\mathrm{...},m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Dm}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}m}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$G_{x-Di}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_i^3)+L_M^3\]}{Eb};$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}},G_{x-DAj}=\frac{4\[l_{2A}^3(1-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3)+L_A^3\]}{Eb};$

$G_{x-CD}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-\frac{8l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_m-1)(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m)}{Eb};$

$G_{x-D_{z}m}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-\frac{8l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_m-1)(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m)}{Eb};$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})(L_M^2-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-\\ \frac{12l_{2M}}{Eb}\[4l_0{l}_{2M}(1-{\mathrm{\β}}_m)+2l_0^2(1-\frac{1}{{\mathrm{\β}}_m})+\frac{2l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_m^3-1)}{3}\];\end{array}$

其中，β_m为第m片主簧抛物线段的厚度比；

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片抛物线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，弹性模量E，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A3，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，对各片副簧的一半刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DAj}},j=1,2,\mathrm{...},n;$

式中，

(2)少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和副簧端点力的计算：

i步骤：各片主簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，对各片主簧的端点力P_i进行计算，即

$P_i=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}},i=1,2,\mathrm{...},m;$

ii步骤：各片副簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-CD、G_x-CDz和G_x-DAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧端点力P_Aj进行计算，即

$P_{Aj}=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3(2P-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)},j=1,2,\mathrm{...},n;$

(3)各片抛物线型变截面主簧的应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，前m-1片主簧的抛物线段的厚度比β_i，i步骤中计算得到的P_i，其中，i＝1,2,…,m-1，以主簧端点为坐标原点，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的前m-1片主簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{i}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_i{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.,i=1,2,\mathrm{...},m-1;$

式中，h_2M(x)为主簧抛物线段在x位置处的厚度，

B步骤：第m片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，副簧片数n，i步骤中计算得到的P_m，ii步骤中计算得到的P_Aj，以主簧端点为坐标原点，对少片抛物线型变截面钢板弹簧第m片主簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{m}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,l_0\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{b\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)},& x\∈(l_0,{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj}(x-l_0)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.;$

(4)各片抛物线型变截面副簧的应力计算：

根据抛物线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，ii步骤中计算得到的P_Aj，其中，j＝1,2,…,n，以副簧端点为坐标原点，对各片抛物线型变截面副簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Aj}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{Aj}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_{Aj}{h}_{2A}\right)}^2},& x\∈(0,{\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A},l_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},& x\∈(l_{2A},L_A\]\end{array}\right.,j=1,2,\mathrm{...},n;$

式中，h_2A(x)为副簧抛物线段在x位置处的厚度，

本发明比现有技术具有的优点

由于端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的主簧端部平直段非等构，且副簧的长度小于主簧的长度，同时，第m片主簧除了受端点力之外，还在端部平直段受副簧触点支撑力的作用，各片主簧和副簧的端点力计算非常复杂，因此，先前一直未能给出端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在不同位置应力的计算方法。本发明可根据少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、副簧起作用载荷及主副簧所受载荷，对端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力进行计算。通过设计实例及ANSYS仿真验证可知，利用该方法可得到准确、可靠的端部接触式少片变截面主副簧的各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力计算值，为端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的应力分析计算，提供了可靠的计算方法。利用该方法可提高端部接触式少片抛物线型变截面主副钢板弹簧的设计水平、产品质量和性能、及车辆行驶平顺性，确保各片变截面主副簧在不同位置处的应力，均满足应力强度的设计要求，提高弹簧的使用寿命；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算流程图；

图2是端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例的第1片主簧在不同位置处的应力变化曲线；

图4是实施例的第2片主簧在不同位置处的应力变化曲线；

图5是实施例的1片副簧在不同位置处的应力变化曲线；

图6是实施例的第1片主簧的ANSYS应力仿真云图；

图7是实施例的第2片主簧的ANSYS应力仿真云图；

图8是实施例的1片副簧的ANSYS应力仿真云图。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例：某端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm；其中，主簧片数m＝2，各片主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧根部平直段的厚度h_2M＝11mm，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃＝520mm；第1片主簧的端部平直段的厚度h₁₁＝7mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝h₁₁/h_2M＝0.64；第2片主簧的端部平直段的厚度h₁₂＝6mm，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝h₁₂/h_2M＝0.55。副簧片数n＝1，副簧的一半长度L_A＝525mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝55mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝470mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝L_M-L_A＝50mm，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触；副簧根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧端部平直段的厚度h_A11＝8mm，副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝h_A11/h_2A＝0.57。该少片抛物线型变截面钢板弹簧主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2400N，对该端部接触式少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧不同位置处的应力进行计算。

本发明实例所提供的端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法，其计算流程如图1所示，具体步骤如下：

(1)各片抛物线型变截面主副簧的一半刚度计算：

I步骤：副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm；第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.64，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，对副簧接触之前的第1片主簧和第2片主簧的一半刚度K_M1和K_M2分别进行计算，即

$K_{M1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D1}}=13.56N/mm;$

$K_{M2}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D2}}=12.97N/mm;$

式中，G_x-D1和G_x-D2分别为第1片主簧和第2片主簧的端点变形系数，其中，

$G_{x-D1}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_1^3)+L_M^3\]}{Eb}=98.16{\mathrm{mm}}^4/N,G_{x-D2}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_2^3)+L_M^3\]}{Eb}=102.63{\mathrm{mm}}^4/N;$

II步骤：副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.64，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55；副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，第1片副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝0.57，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，对主副簧接触之后的第1片主簧和第2片主簧的一半刚度K_MA1和K_MA2分别进行计算，即

$K_{MA1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-D1}}=13.56N/mm;$

$K_{MA2}=\frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-D2}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}2}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3}=36.97N/mm;$

式中， $G_{x-D1}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_1^3)+L_M^3\]}{Eb}=98.16{\mathrm{mm}}^4/N,$

$G_{x-D2}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_2^3)+L_M^3\]}{Eb}=102.63{\mathrm{mm}}^4/N;$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}}=76.38{\mathrm{mm}}^4/N,G_{x-DA1}=\frac{4\[l_{2A}^3(1-{\mathrm{\β}}_{A1}^3)+L_A^3\]}{Eb}=76.38{\mathrm{mm}}^4/N;$

$\begin{array}{c}{G}_{x-CD}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3}-\frac{8l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_2-1)(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_2)}{Eb}\\ =85.28{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-D_{z}2}=\frac{4L_N^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3}-\frac{8l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_2-1)(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_2)}{Eb}\\ =85.28{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})(L_M^2-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3}-\\ \frac{12l_{2M}}{Eb}\[4l_0{l}_{2M}(1-{\mathrm{\β}}_2)+2l_0^2(1-\frac{1}{{\mathrm{\β}}_2})+\frac{2l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_2^3-1)}{3}\]=72.10{\mathrm{mm}}^2/N;\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片抛物线型变截面钢板弹簧副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧根部厚度h_2A＝14mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，该片副簧的抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝0.57，对该片副簧的一半刚度K_Aj进行计算，即

$K_{A1}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DA1}}=35.93N/mm;$

式中，

(2)少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和副簧端点力计算：

i步骤：各片主簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2400N，主簧片数m＝2，I步骤中计算得到的K_M1＝13.56N/mm和K_M2＝12.97N/mm，及II步骤中计算所得到的K_MA1＝13.56N/mm和K_MA2＝36.97N/mm，对第1片主簧和第2片主簧的端点力P₁和P₂分别进行计算，即

$P_1=\frac{K_{M1}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA1}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1107.10N;$

$P_2=\frac{K_{M2}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA2}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1932.90N;$

ii步骤：各片副簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2400N，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，副簧片数n＝1，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，II步骤中计算得到的K_MA1＝13.56N/mm、K_MA2＝36.97N/mm、G_x-CD＝85.28mm⁴/N、G_x-CDz＝72.10mm⁴/N和G_x-DAT＝76.38mm⁴/N，及III步骤中计算得到的K_A1＝35.93N/mm，对该少片抛物线型变截面主副簧的1片副簧的端点力P_A1进行计算，即

$P_{A1}=\frac{K_{A1}{K}_{MA2}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3(2P-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}=1051.80N;$

(3)各片抛物线型变截面主簧的应力计算：

A步骤：第1片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.64，i步骤中计算得到的P₁＝1107.10N，以主簧端点为坐标原点，对该少片抛物线型变截面主副簧的第1片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_1=\left\{\begin{array}{cc}2.26xMPa,& x\∈(0,210.58\]mm\\ 475.81MPa,& x\∈(210.58,520\]mm\\ 0.92xMPa,& x\∈(520,575\]mm\end{array}\right.;$

式中，其中，第1片主簧在不同位置处的应力变化曲线，如图3所示；

B步骤：第2片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，主簧片数m＝2,其中，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.55，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，i步骤中计算得到的P₂＝1932.90N，ii步骤中计算得到的P_A1＝1051.80N，以主簧端点为坐标原点，对该少片抛物线型变截面主副簧的第2片主簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}3.94xMPa,& x\∈(0,50\]mm\\ 2.04\×(0.88x+52.59)MPa,& x\∈(50,154.71\]mm\\ 429.75\×\frac{(0.88x+52.59)}{x}MPa,& x\∈(154.71,520\]mm\\ 0.83\×(0.88x+52.59)MPa,& x\∈(520,575\]mm\end{array}\right.;$

式中，其中，第2片主簧在不同位置处的应力变化曲线，如图4所示；

(4)各片抛物线型变截面副簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，宽度b＝60mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，第1片副簧的抛物线段的厚度比β_A1＝0.57，ii步骤中计算得到的P_A1＝1051.80N，以副簧端点为坐标原点，对该片副簧在不同位置处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Ai}=\left\{\begin{array}{cc}1.64xMPa,& x\∈(0,153.47\]mm\\ 252.20MPa,& x\∈(153.47,470\]mm\\ 0.54xMPa,& x\∈(470,525\]mm\end{array}\right.;$

式中，其中，该片副簧在不同位置处的应力变化曲线，如图5所示。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据该少片抛物线型变截面钢板弹簧的主副簧结构参数和材料特性参数，建立一半对称结构主副簧的ANSYS仿真模型，划分网格，设置副簧端点与主簧接触，并在仿真模型的根部施加固定约束，在主簧端点施加集中载荷F＝P-P_K/2＝1840N，对该少片抛物线型变截面钢板弹簧的主副簧的应力进行ANSYS仿真，所得到的第1片主簧的应力仿真云图，如图6所示；第2片主簧的应力仿真云图，如图7所示；第1片副簧的应力仿真云图，如图8所示，其中，第1片主簧在抛物线段内的应力σ_MA1＝213.86MPa、第2片主簧在抛物线段与端部平直段接触位置处的应力σ_MA2＝273.69MPa、第1片副簧在抛物线段内的应力σ_A1＝253.79MPa。

可知，在相同载荷情况下，该钢板弹簧第1片和第2片主簧、及第1片副簧应力的ANSYS仿真验证值σ_MA1＝213.86MPa、σ_MA2＝273.69MPa、σ_A1＝253.79MPa，分别与应力解析计算值σ_MA1＝212.19MPa、σ_MA2＝272.58MPa、σ_A1＝252.20MPa相吻合，相对偏差分别为0.78％、0.41％、0.63％；结果表明该发明所提供的端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法是正确的，各片主簧和各片副簧在不同位置处的应力计算值是准确可靠的。

Claims (1)

1.端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力的计算方法，其中，少片抛物线型变截面主副簧的一半对称结构由根部平直段、抛物线段、端部平直段三段构成；主簧的端部平直段非同构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度；副簧长度小于主簧长度，副簧触点与主簧端部平直段之间设有主副簧间隙；当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触，即少片抛物线型主副簧为端部接触式；当主副簧接触之后，各片主副簧的端点力不相同，且与副簧相接触的1片主簧除了受端点力之外，还在接触点处承受副簧触点的支撑力的作用；在各片主簧的结构参数、各片副簧的结构参数、副簧起作用载荷、及主副簧所受载荷给定情况下，对端部接触式少片抛物线型主副簧各片应力进行计算，具体计算步骤如下：

(1)各片抛物线型变截面主副簧的一半刚度计算：

I步骤：副簧接触之前的各片主簧的一半刚度K_Mi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，对副簧接触之前的各片抛物线型变截面主簧的一半的刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},i=1,2,...,m;$

式中，G_x-Di为各片主簧的端点变形系数，

II步骤：副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m；副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，对主副簧接触之后的各片主簧的一半刚度K_MAi分别进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Di}},& i=1,2,...,m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Dm}(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-D_{z}m}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$G_{x-Di}=\frac{4\[l_{2M}^3(1-{\mathrm{\β}}_i^3)+L_M^3\]}{Eb};$

$G_{x-DAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-DAj}}},G_{x-DAj}=\frac{4\[l_{2A}^3(1-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3)+L_A^3\]}{Eb};$

$G_{x-CD}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{\left(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-\frac{8l_{2M}^2\left({\mathrm{\β}}_m-1\right)\left(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m\right)}{Eb};$

$G_{x-D_{z}m}=\frac{4L_M^3-6l_0{L}_M^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}+\frac{2{\left(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-\frac{8l_{2M}^2\left({\mathrm{\β}}_m-1\right)\left(l_{2M}-3l_0+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2M}{\mathrm{\β}}_m\right)}{Eb};$

$G_{x-{\mathrm{CD}}_z}=\frac{4(L_M-l_{2M})(L_M^2-3L_M{l}_0+L_M{l}_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2)}{Eb}-\frac{4{(l_0-l_{2M}{\mathrm{\β}}_m^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3}-$

$\frac{12l_{2M}}{Eb}\[4l_0{l}_{2M}(1-{\mathrm{\β}}_m)+2l_0^2(1-\frac{1}{{\mathrm{\β}}_m})+\frac{2l_{2M}^2({\mathrm{\β}}_m^3-1)}{3}\];$

其中，β_m为第m片主簧抛物线段的厚度比；

III步骤：各片副簧的一半刚度K_Aj计算：

根据少片抛物线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，弹性模量E，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A3，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，对各片副簧的一半刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-DAj}},j=1,2,...,n;$

式中，

(2)少片抛物线型变截面主副簧的各片主簧和副簧端点力的计算：

i步骤：各片主簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，对各片主簧的端点力P_i进行计算，即

$P_i=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{MAi}},i=1,2,...,m;$

ii步骤：各片副簧端点力的计算：

根据少片抛物线型变截面主副簧所受载荷的一半即单端点载荷P，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-CD、G_x-CDz和G_x-DAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧端点力P_Aj进行计算，即

$P_{Aj}=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-CD}{h}_{2A}^3\left(2P-P_K\right)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{MAi}\left(G_{x-DAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{CD}}_z}{h}_{2A}^3\right)},j=1,2,...,n;$

(3)各片抛物线型变截面主簧的应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，主簧抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，前m-1片主簧的抛物线段的厚度比β_i，i步骤中计算得到的P_i，其中，i＝1,2,…,m-1，以主簧端点为坐标原点，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的前m-1片主簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{i}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_i{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,{\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_i^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6P_{i}x}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.,i=1,2,...,m-1;$

式中，h_2M(x)为主簧抛物线段在x位置处的厚度，

B步骤：第m片主簧的应力计算：

根据少片抛物线型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2M，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，副簧片数n，i步骤中计算得到的P_m，ii步骤中计算得到的P_Aj，以主簧端点为坐标原点，对少片抛物线型变截面钢板弹簧第m片主簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{m}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈\[0,l_0\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{Aj}\left(x-l_0\right)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{h}_{2M}\right)}^2},& x\∈(l_0,{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{Aj}\left(x-l_0\right)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2M},l_{2M}\]\\ \frac{6\[P_{m}x-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{Aj}\left(x-l_0\right)\]}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},& x\∈(l_{2M},L_M\]\end{array}\right.;$

(4)各片抛物线型变截面副簧的应力计算：

根据抛物线型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，ii步骤中计算得到的P_Aj，其中，j＝1,2,…,n，以副簧端点为坐标原点，对各片抛物线型变截面副簧在不同位置x处的应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Aj}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6P_{Aj}x}{b{\left({\mathrm{\β}}_{Aj}{h}_{2A}\right)}^2},& x\∈(0,{\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2\left(x\right)},& x\∈({\mathrm{\β}}_{Aj}^2{l}_{2A},l_{2A}\]\\ \frac{6P_{Aj}x}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},& x\∈(l_{2A},L_A\]\end{array}\right.,j=1,2,...,n;$

式中，h_2A(x)为副簧抛物线段在x位置处的厚度，