CN105720992A - 一种极化码的简化译码方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种极化码的简化译码方法，包括以下步骤：步骤S1，对接收到的极化码建立树图模型；步骤S2，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；步骤S3，对树图进行剪枝，剪去固定值节点和信息节点之间的子树，留下与混合节点相连接的固定值节点和信息节点；步骤S4，对剪枝后的译码树图进行译码运算。本发明能够在确保不对误码性能产生影响的前提下，达到减小译码复杂度和提高译码效率的目的，最后进行了仿真验证，简化后SC译码和BP译码的译码复杂度较原始算法分别降低了36%~65%和41%~67%。

Description

一种极化码的简化译码方法

技术领域

本发明涉及一种极化码的译码方法，尤其涉及一种极化码的简化译码方法。

背景技术

2009年Arlkan提出了信道极化，对于二元离散无记忆信道，通过组合与分离可以使信道容量一部分趋于0，另一部分趋于1，从而形成了信道极化。极化码是一种基于信道极化提出的新型信道编码，根据所需码率在对应信道容量极化于1的部分编入信息，而其他部分编入固定值，能在二元对称信道下逼近香农限。因此，极化码的概念提出以来，在国际上引起了高度关注。目前，极化码的主要研究集中在实际应用中的信道选择和译码器的设计。

极化码的原始译码方法有连续删除(SC)译码和置信传播(BP)译码，SC译码是Arlkan提出的一种针对极化码的译码方法，对信源信号逐位进行估计后删除其冗余的关联信息，并将估计值作为先验信息代入之后的译码运算，码长为N的极化码SC译码复杂度为O(NlogN)。BP译码是一种被广泛应用的迭代译码方法，Arlkan根据对极化码二分图模型的分析，提出了极化码的BP译码算法。BP译码性能较SC译码有一定提高，但码长为N的极化码BP译码复杂度达到了O(tNlogN)，t为迭代次数。

极化码原始编译码方法在信道选择和译码器性能上有一定缺陷，使极化码的译码性能较低密度奇偶校验码(LDPC)和Turbo码有一定的差距。为了提高极化码译码性能，基于原始的SC译码方法，Tal等人提出了一种序列SC译码(SCL)，提升了误码性能，特别是在CRC方法的辅助下，SCL译码的误码性能可以超过最大似然译码，但同时译码计算复杂度也随之提高至O(lNlogN)，l为搜索宽度。Niu等人提出了一种堆栈构造的SC译码(SCS)，其误码性能也较原始SC译码有所提高，但其计算复杂度也同样提高为O(lNlogN)，l为搜索宽度，实际的算法执行中，高信噪比下搜索宽度会降低，使得SCS译码实际复杂度较SCL译码略低。可见，虽然极化码能够逼近信道香农限，但代价是译码复杂度的提高。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是需要提供一种在不降低译码性能的前提下，提高极化码译码效率的极化码的简化译码方法。

对此，本发明提供一种极化码的简化译码方法，包括以下步骤：

步骤S1，对接收到的极化码建立树图模型；

步骤S2，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；

步骤S3，对树图进行剪枝，剪去固定值节点和信息节点之间的子树，留下与混合节点相连接的固定值节点和信息节点；

步骤S4，对剪枝后的译码树图进行译码运算。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S1中，对接收到的码长为N＝2ⁿ的极化码，将其二分图模型表示为一个n+1层的树图形式，该树图中共有2ⁿ⁺¹-1个节点，其中处于第n层的各变量节点对应信源比特，而处于第0层的根节点对应编码节点；其中，n为大于1的自然数。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S2中，对于第i层的任一节点，如果该层包含的变量节点全部对应固定值比特，则称其为固定值节点；如果该层包含的变量节点全部对应信息比特，则称其为信息节点；如果该层包含的变量节点对应的既有固定值比特又有信息比特，则称其为混合节点。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S2中，对于树图第i层左数第m个的节点v_im,m∈{1,…,2ⁱ}，通过进行计算，得到各个节点的分类，其中ceil是向上取整函数，count是重复数计数函数，即对集合中值为m的项进行计数，为构造极化码时挑选的K维信息比特域集；当进而能够对树图每一层的节点进行分类，i为大于1的自然数。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S4中，将接收到的信道观测软信息对数似然比L输入根节点，然后在剪枝后的SC译码树图中依次按照访问根节点、遍历左子树和遍历右子树的顺序从根节点开始进行递推译码运算。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S4中，在遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，i∈1,…,n，根据公式直接译出v_i,f包含的各变量节点v_n,f[j]所对应的固定值比特u_n,f[j]，其中，j＝1,...,2^n-i；并根据计算v_i,f对应的辅助信息U_i,f并送至v_i,f的父节点，其中，v_i,f为固定值节点，u_n,f[j]为第i层任一固定值节点v_i,f包含的第n层各变量节点对应的固定值比特，为固定值比特的估计值，是极化码2^n-i阶生成矩阵；在遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，i∈1,…,n，对信息节点v_i,e获得的软信息L_i,e进行判决计算得到信息节点v_i,e对应的辅助信息U_i,e＝g(L_i,e)，使用直接对信息节点v_i,e包含的变量节点对应的信息比特u_n,e[j],j＝1,…,2^n-i进行估计，并将辅助信息U_i,e送至信息节点v_i,e的父节点，其中，u_n,e[j]为第i层任一信息节点v_i,e包含的第n层各变量节点对应的信息比特，为信息比特的估计值；在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比L_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息L_i+1,l和软信息L_i+1,r为节点v_i通过接收到i+1层传递的辅助信息U_i+1,l和U_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递的辅助信息U_i,v为 $\left\{\begin{array}{c}{U}_{i,v}\left(2k-1\right)=U_{i+1,l}\left(k\right)\⊕U_{i+1,r}\left(k\right)\\ U_{i,v}\left(2k\right)=U_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1},$ 其中，为实数运算符号，为模二和运算符号；处于第n层的任一变量节点v_n,j向上提供的辅助信息为其中，是变量节点v_n,j对应的信源比特估计值。

本发明的进一步改进在于，步骤S2中，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；对树图进行首次剪枝，在译码运算开始前，将初始值按公式输入根节点；其中，是节点(n+1,j)在第0次迭代过程中向左传递的软信息对数似然比，是原始独立信道道的信道转移概率。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S2中，对剪枝后树图上的各混合节点对应的软信息β值计算，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行译码，在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是混合节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_{i,v}(2k-1)={\mathrm{\α}}_{i,v}\left(2k\right)+{\mathrm{\β}}_{i+1,r}\left(k\right)\\ {\mathrm{\β}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\α}}_{i,v}(2k-1)+{\mathrm{\β}}_{i+1,r}\left(k\right)\end{array},,k=1,...,2^{n-i-1};\right.$ 若其左子节点v_i+1,l是混合节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则若其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r均是混合节点，则其中，节点v_i通过接收到i+1层传递的软信息β_i+1,l和软信息β_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递其软信息β_i,v；节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比α_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和其右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息α_i+1,l和软信息α_i+1,r。

本发明的进一步改进在于，所述步骤S2中，完成各混合节点对应的软信息β_i,v计算后，按照第0层到第n层层序遍历的顺序进行各混合节点对应的软信息α值计算，若v_i+1,l是固定值节点，v_i+1,r是混合节点，则α_i+1,r(k)＝α_i,v(2k-1)+α_i,v(2k),k＝1,…,2^n-i-1；若v_i+1,l是混合节点，v_i+1,r是信息节点，则若v_i+1,l和v_i+1,r均是混合节点，则然后将计算结果依次代入下一次迭代过程中，直至前t-1次迭代过程完成，保存第t-1次迭代后的各节点对应的软信息α值结果，然后重新建立极化码的树图模型。

本发明的进一步改进在于，

所述步骤S4中，进行译码运算的第t次迭代过程，计算剪枝后树图上的各混合节点对应的软信息β值，根据已保存的第t-1次迭代后的α值；

首先，在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_{i,v}\left(2k-1\right)={\mathrm{\α}}_{i,v}\left(2k\right)\\ {\mathrm{\β}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\α}}_{i,v}\left(2k-1\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是混合节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_{i,v}\left(2k-1\right)={\mathrm{\α}}_{i,v}\left(2k\right)+{\mathrm{\β}}_{i+1,r}\left(k\right)\\ {\mathrm{\β}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\α}}_{i,v}\left(2k-1\right)+{\mathrm{\β}}_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是混合节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则若其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r均是混合节点，则

然后，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行各节点对应的α值计算，对于遍历到的三类节点，按以下方法进行处理：当遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，根据公式直接译出v_i,f包含的各变量节点对应的固定值比特；当遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，根据公式计算v_i,e获得的软信息α_i,e值，直接对其进行判决计算得到g(α_i,e)，并对v_i,e包含的所有变量节点对应的信息比特进行估计，其中，当遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，按照第0层到第n层层序遍历的顺序进行各混合节点对应的软信息α值计算；直至译出全部信源比特则完成译码。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：对极化码译码过程进行树图建模分析，将树图上的节点分类，证明了在译码过程中部分节点对应的运算是冗余的；通过对树图的剪枝，删除了这部分冗余的译码运算，从而提出了极化码SC译码和BP译码的简化算法，进而能够在确保不对误码性能产生影响的前提下，达到减小译码复杂度和提高译码效率的目的，最后进行了仿真验证，简化后SC译码和BP译码的译码复杂度较原始算法分别降低了36％～65％和41％～67％。

附图说明

图1是本发明一种实施例的极化码的树图示意图；

图2是本发明一种实施例极化码二分图中处理单元上的软信息传递示意图；

图3是本发明一种实施例码长为8的极化码二分图模型示意图；

图4是本发明一种实施例码长为8的SC简化译码过程示意图；

图5是本发明一种实施例码长为8的BP简化译码的译码前t-1次迭代译码过程示意图；

图6是本发明一种实施例极化码的误码性能与迭代次数关系示意图；

图7是本发明一种实施例的SC简化译码使计算复杂度减少的程度的示意图；

图8是本发明一种实施例的BP简化译码使计算复杂度减少的程度的示意图；

图9是本发明一种实施例SC简化译码中删除概率与误码性能的关系示意图；

图10是本发明一种实施例SC简化译码中误码性能的示意图；

图11是本发明一种实施例BP简化译码中删除概率与误码性能的关系示意图；

图12是本发明一种实施例BP简化译码中误码性能的示意图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的较优的实施例作进一步的详细说明：

实施例1：

本例提供一种极化码的简化译码方法，包括以下步骤：

步骤S1，对接收到的极化码建立树图模型；

步骤S2，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；

步骤S3，对树图进行剪枝，剪去固定值节点和信息节点之间的子树，留下与混合节点相连接的固定值节点和信息节点；

步骤S4，对剪枝后的译码树图中按顺序从根节点开始进行递推译码运算。本例所述步骤S1中，所述极化码为(N,K,A,u_A ^c)码；所述极化码的简化译码方法也称为基于树图剪枝的SC译码简化方法。

信道极化是将N个二元离散无记忆信道经过信道组合和分离，使部分信道的信道容量趋于1，另一部分信道的信道容量趋于0。极化码的编码原理是对应信道容量趋于1的部分编入信息比特，而对应其他部分编入固定值比特，从而确保信息传输的可靠性。极化码的编码过程可以写为G_N，其中是未编码的N个信源比特值(u₁,u₂,…,u_N)，G_N是极化码N阶极化码生成矩阵，是N个极化码比特值(x₁,x₂,…,x_N)。信源比特由信息比特u_A和固定值比特u_A ^c两部分构成，为构造极化码时挑选的K维信息比特域集；信息比特u_A是以集合A为指数的信源比特u_A＝{u_i,i∈A}，固定值比特u_A ^c是以集合A的补集为指数的信源比特。挑选得到K维信息域集合A＝{a₁,…,a_K}的原则是使各传输信息比特信道的Bhattacharyya参数 $Z\left(W_N^{\left(i\right)}\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\underset{y_i}{\Σ}\underset{u_j}{\Σ}\sqrt{W_N^{\left(i\right)}(y_1^N,u_1^{i-1}/0)W_N^{\left(i\right)}(y_1^N,u_1^{i-1}/1)}$ 之和尽可能的小，其中是将N个独立信道组合并分离后，第i个分离信道的信道转移概率，是N个对应的信道观测(y₁,y₂,…,y_N)。在二元删除信道(BEC)情况下，可以利用Bhattacharyya参数的递推公式

$\left\{\begin{array}{c}Z\left(W_N^{\left(2i\right)}\right)=Z{\left(W_{N/2}^{\left(i\right)}\right)}^2\\ Z\left(W_N^{(2i-1)}\right)=2Z\left(W_{N/2}^{\left(i\right)}\right)-Z{\left(W_{N/2}^{\left(i\right)}\right)}^2\end{array}\right.$ 计算出每个分离信道的Bhattacharyya参数并从小到大进行排序，选择Bhattacharyya参数小的前K位作为信息比特域A。这种信道选择方法也可以应用于加性高斯白噪声信道(AWGN)，具有较好的效果。极化码的生成矩阵为其中B_N为N阶翻转矩阵， $F=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],$ 为矩阵F的n阶Kronecker积。由此生成的极化码表示为(N,K,A,u_A ^c)码。

极化码的传统译码方法主要有SC译码和BP译码两种。SC译码通过接收得到信道观测的似然函数对信源比特u_i,i∈1,…,N逐位进行估计，每次对u_i进行估计运算时，将之前已译出的前i-1位信源比特作为已知加入运算。软判决译码过程需要得到信源比特u_i对应的软信息对数似然比 $L_N^{\left(i\right)}(y_1^N,{\hat{u}}_1^{i-1})=ln\frac{W_N^{\left(i\right)}(y_1^N,{\hat{u}}_1^{i-1}|0)}{W_N^{\left(i\right)}(y_1^N,{\hat{u}}_1^{i-1}|1)},$ 根据转移函数的递推关系，，可以得到软信息对数似然比的递推计算公式

其中，上述公式中，是一种实数运算：对于两个实数a、b，有＝2tanh^-1(tanh(a/2)·tanh(b/2))，是模二和运算，为 为定义函数g(·)是一种判决运算如下，对于实数c有 $\left\{\begin{array}{cc}g\left(c\right)=0,& c\&GreaterEqual;0\\ g\left(c\right)=1,& c<0\end{array}\right.;$ 由于双曲正切函数是奇函数，所以有根据对各独立信道估计得到的软信息对数似然比初始值通过上述软信息对数似然比的递推计算公式依次计算得到信源比特u_i对应的软信息对数似然比从而进一步得到信源比特u_i的估计值

BP译码是一种被广泛应用的迭代译码算法，极化码BP译码的似然比信息传递方式可由其二分图得到。可以用n阶的二分图来表示码长为N＝2ⁿ的(N,K,A,u_A ^c)极化码，二分图中共有(n+1)N个节点和nN/2个处理单元。图2表示的是极化码二分图中的处理单元，由四个节点组成，二分图的每一阶中均有N/2个处理单元。如图3所示的是码长为8的极化码二分图模型，每一阶均有4个处理单元。是节点(i,j)在第t次迭代过程中向左传递的软信息对数似然比，是节点(i,j)在第t次迭代过程中向右传递的软信息对数似然比，其中i∈1,…,n+1，j∈1,…,N，初始值为和 ${\mathrm{\&beta;}}_{1,j}^0=\left\{\begin{array}{cc}0,& j\&Element;A\\ \mathrm{\&infin;},& j\&Element;A^c\end{array}\right..$

每一次迭代，二分图中每个中间节点都向左和向右传递似然信息。每个处理单元中软信息α值和β值传递的过程为在设定的最大迭代次数t_max次迭代后，利用二分图中左侧第一列各节点得到的软信息计算对应的各信源比特u_j估计值

本例所述步骤S1中，对接收到的码长为N＝2ⁿ的极化码，将其二分图模型表示为一个n+1层的树图形式，该树图中共有2ⁿ⁺¹-1个节点，其中处于第n层的各变量节点对应信源比特，而处于第0层的根节点对应编码节点；其中，n为大于1的自然数。所述步骤S2中，对于第i层的任一节点，如果该层包含的变量节点全部对应固定值比特，则称其为固定值节点；如果该层包含的变量节点全部对应信息比特，则称其为信息节点；如果该层包含的变量节点对应的既有固定值比特又有信息比特，则称其为混合节点。

如图1所示，在所述SC译码的建模及分析中，码长为N＝2ⁿ的极化码，可以将其二分图模型表示为一个n+1层的树图形式，该树图中共有2ⁿ⁺¹-1个节点，其中处于第n层的各变量节点对应信源比特，而处于第0层的根节点对应编码节点。图1是(8,3,{6,7,8},(0,0,0,0,0))极化码(以下简称(8,3)极化码)的4层树图表示示意，对于第i层的任一节点v_i,i∈1,…,n，如果它包含的变量节点全部对应固定值比特，那么称其为固定值节点；如果它包含的变量节点全部对应信息比特，那么称其为信息节点；如果它包含的变量节点对应的既有固定值比特又有信息比特，那么称其为混合节点。于是，固定值节点的子树中均为固定值节点；信息节点的子树中均为信息节点；混合节点的子树包含信息节点和固定值节点，也有可能包含混合节点。

译码过程是根据信道观测得到信源比特估计值的过程，从图1的树图上看，极化码译码过程即软信息从第0层向第n层传递的过程。SC译码逐位对信源比特进行估计，于是软信息对数似然比L需按照“先序遍历”的顺序从根节点递推传递到变量节点。“先序遍历”的顺序是先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树，在遍历左、右子树时，仍然先访问此时的“根节点”，然后遍历其左子树，最后遍历其右子树。而当遍历右子树时，总是需要左子树提供辅助信息

从而可以将信息传输的递推过程改写，处于第i层的节点v_i,i∈1,…,n对应的译码运算为：节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比L_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息L_i+1,l和软信息L_i+1,r为节点v_i通过接收到i+1层传递的辅助信息U_i+1,l和U_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递的辅助信息U_i,v为 $\left\{\begin{array}{c}{U}_{i,v}\left(2k-1\right)=U_{i+1,l}\left(k\right)\&CirclePlus;U_{i+1,r}\left(k\right)\\ U_{i,v}\left(2k\right)=U_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1}.$

每当计算右子树的软信息对数似然比L的过程中需要左子树的辅助信息U，U的递推方向同L是相反的。处于第n层的各变量节点v_n,j向上提供的辅助信息为其中，是变量节点v_n,j对应的信源比特估计值。

值得一提的是，所述SC译码简化算法为，将SC译码树图中的节点进行分类，其中固定值节点和信息节点对应的译码运算是冗余的，不对译码结果产生任何影响，其证明如下。

第i层任一固定值节点v_i,f包含的第n层各变量节点对应固定值比特u_n,f[j],j＝1,...,2^n-i，其中，i∈1,…,n，固定值比特在译码过程中认为是已知的于是固定值节点v_i,f获得的软信息L_i,f与固定值比特的估计值无关，固定值节点v_i,f对应的译码运算是冗余的。

第i层任一信息节点v_i,e包含的第n层各变量节点对应信息比特u_n,e[j],j＝1,…,2^{n -i}，，其中，i∈1,…,n，对信息比特的估计过程即是对各变量节点v_n,e[j]获得的软信息L_n,e[j]的判决计算。因为v_i,e子树中的译码过程不涉及已知的固定值比特，所以L_n,e[j]只与v_i,e获得的软信息L_i,e有关，即u_n,e[j]＝g(L_n,e[j])＝g(f₁(L_i,e)),j＝1,…,2^n-i；其中f₁为根据递推公式得到的映射。此时只需用L_i,e进行译码，而信息节点v_i,e及其子树中各节点对应的译码运算均是冗余的，不对译码结果产生任何影响，证毕。

下面给出一种极化码树图中节点分类的方法：(N,K,A,u_A ^c)极化码的信息域A＝{a₁,…,a_K}由初始信道参数和式(1)确定，对于树图第i层左数第m个的节点v_im,m∈{1,…,2ⁱ}，其中ceil是向上取整函数，count是重复数计数函数，即对集合中值为m的项进行计数，为构造极化码时挑选的K维信息比特域集合；若进而可以对树图每一层的节点进行分类。

值得一提的是，根据以上非常严谨的推论和计算，对译码树图上的固定值节点和信息节点进行剪枝处理，从而删去冗余的译码运算，达到简化译码的目的。

因此，本例所述步骤S2中，对于树图第i层左数第m个的节点v_im,m∈{1,…,2ⁱ}，通过进行计算，得到各个节点的分类，其中ceil是向上取整函数，count是重复数计数函数，即对集合中值为m的项进行计数，为构造极化码时挑选的K维信息比特域集合；当进而能够对树图每一层的节点进行分类。

本例所述步骤S4中，将接收到的信道观测软信息对数似然比L输入根节点，然后在剪枝后的SC译码树图中依次按照访问根节点、遍历左子树和遍历右子树的顺序从根节点开始进行递推译码运算。

本例所述步骤S4中，在遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，i∈1,…,n，根据公式直接译出v_i,f包含的各变量节点v_n,f[j]所对应的固定值比特u_n,f[j]，其中，j＝1,...,2^n-i；并根据计算v_i,f对应的辅助信息U_i,f并送至v_i,f的父节点，其中，v_i,f为固定值节点，u_n,f[j]为第i层任一固定值节点v_i,f包含的第n层各变量节点对应的固定值比特，为固定值比特的估计值，是极化码2^n-i阶生成矩阵；在遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，i∈1,…,n，对信息节点v_i,e获得的软信息L_i,e进行判决计算得到信息节点v_i,e对应的辅助信息U_i,e＝g(L_i,e)，使用直接对信息节点v_i,e包含的变量节点v_n,e[j]对应的信息比特u_n,e[j]进行估计，并将辅助信息U_i,e送至信息节点v_i,e的父节点，其中，u_n,e[j]为第i层任一信息节点v_i,e包含的第n层各变量节点对应的信息比特，为信息比特的估计值；在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比L_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息L_i+1,l和L_i+1,r为节点v_i通过接收到i+1层传递的辅助信息U_i+1,l和U_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递的辅助信息U_i,v为 $\left\{\begin{array}{c}{U}_{i,v}\left(2k-1\right)=U_{i+1,l}\left(k\right)\&CirclePlus;U_{i+1,r}\left(k\right)\\ U_{i,v}\left(2k\right)=U_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1},$ 其中，为实数运算符号，为模二和运算符号；处于第n层的任一变量节点v_n,j向上提供的辅助信息为其中，是变量节点v_n,j对应的信源比特估计值。

下面举例说明(8,3)码的简化译码算法，如图4所示，首先建立(8,3)的译码树图，如图4所示，并根据信息域A＝{6,7,8}对节点进行分类。对树图进行剪枝，图4中虚线部分是被剪枝的路径；图4中标示了对剪枝后树图的遍历顺序，树图节点v₁₁接收到的信道观测信息，遍历进行到固定值节点v₂₁，根据计算v₂₁对应的辅助信息U₂₁，由于(8,3,{6,7,8},(0,0,0,0,0))码的固定值比特均为0，所以U₂₁为0，将辅助信息U₂₁送至v₁₁；遍历v₁₁的右子树，进行到混合节点v₂₂，按原始算法进行运算并继续遍历，进行到节点v₃₃；当运算进行到信息节点v₄₆时，根据式译出所含变量节点对应的信息比特并将其作为辅助信息送至v₃₃；当运算进行到节点v₃₄，根据式 $({\hat{u}}_{n,e\left[1\right]},...,{\hat{u}}_{n,e\left[2^{n-i}\right]})=U_{i,e}{G}_{2^{n-i}}$ 译出信息比特后，译码运算完成。

复杂度分析如下：码长为N的极化码原始SC译码算法的计算复杂度为O(NlogN)。译码过程包含了N/2·logN次软信息L值操作和N/2·logN次辅助信息U值操作。每一次L值操作中有一次加法运算和一次运算，每一次U值操作中有一次模二和运算。例如(8,3)极化码，原始SC译码算法的运算过程包含了12次加法运算、12次运算和12次模二和运算，而(8,3)极化码简化SC译码运算过程中，只需要进行7次加法运算、2次运算、2次模2和运算及一次“×G₂”的运算。“×G_N”运算可以等效成极化码编码过程，即N/2·logN次模二和运算。

实施例2:

在实施例1的基础上，与实施例1不同的是，本例主要是通过基于树图剪枝的BP译码简化方法，所述基于树图剪枝的BP译码简化方法也就是所述极化码的简化译码方法其中，BP译码的建模及分析如下。

利用图1中树图模型对极化码BP译码算法进行分析。处于第i层的节点v_i,i∈1,…,n对应的译码计算为：节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比α_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r传递的软信息α_i+1,l和软信息α_i+1,r为节点v_i通过接收到i+1层传递的软信息β_i+1,l、β_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递的软信息β_i,v为

每次迭代中软信息β值的计算需要前一次迭代中得到的软信息α值代入。β值的递推计算顺序是从信源比特逐步向信道观测进行的，在树图上，第n层的变量节点对应信源比特而第0层根节点对应信道观测，于是β值的递推计算过程可以认为是对树图从第n层到第0层层序遍历的过程。从第n层到第0层层序遍历，即从第n层向上逐层从左到右遍历节点，直到第0层。β值的递推计算结束之后，对α值进行更新，α值的递推计算顺序与β值相反，于是传递过程可以认为是对树图从第0层到第n层层序遍历的过程。

运行到迭代次数上限后，对第n层每个变量节点最终得到的软信息α值进行判决，即得到对应信源比特的估计值，完成译码，BP译码简化译码方法为：设定极化码BP译码算法的迭代次数为t，BP译码树图中同样也将节点分为固定值节点、信息节点和混合节点三类，于是根据式 ${\mathrm{\&beta;}}_{1,j}^0=\left\{\begin{array}{cc}0,& j\&Element;A\\ \mathrm{\&infin;},& j\&Element;A^c\end{array}\right.$ 和对于第i层不同可能类型节点v_i对应的β值计算可写为：当v_i是固定值节点，则β_i,v(2k-1)＝β_i,v(2k)＝∞,k＝1,…,2^n-i-1；当v_i是信息节点，则β_i,v(2k-1)＝β_i,v(2k)＝0,k＝1,…,2^n-i-1；当v_i是混合节点，其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r可能类型如下：若左子节点v_i+1,l是固定值节点，右子节点v_i+1,r是信息节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k-1\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k-1\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若左子节点v_i+1,l是固定值节点，右子节点v_i+1,r是混合节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k-1\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k-1\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若左子节点v_i+1,l是混合节点，右子节点v_i+1,r是信息节点，则若左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r均是混合节点，则其中，节点v_i通过接收到i+1层传递的软信息β_i+1,l和β_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递其软信息β_i,v。

由于在信道选择过程中，每个节点的左子代节点的Bhattacharyya参数大于右子代节点的Bhattacharyya参数，使得左子代节点的信道选择优先级弱于右子代节点，所以混合节点的结构只会存在以上四种情形。此时，只有混合节点对应的β值计算，需要用到上一次迭代得到的α值，而固定值节点和信息节点的β值分别为固定的∞和0。

设定极化码BP译码方法的迭代次数为t，将BP译码树图中的节点进行分类，BP译码树图中固定值节点和信息节点对应的译码计算是冗余的，不对译码结果产生任何影响。其证明如下：对于β值计算，根据式β_i,v(2k-1)＝β_i,v(2k)＝∞,k＝1,…,2^n-i-1和β_i,v(2k-1)＝β_i,v(2k)＝0,k＝1,…,2^n-i-1，固定值节点和信息节点传递的β值是固定的∞和0，所以这两类节点对应的β值计算是冗余的。

由于每次迭代中固定值节点和信息节点传递的β值均是固定的，所以并不需要在前一次迭代中进行固定值节点和信息节点对应的α值计算，于是在前t-1次迭代中，固定值节点和信息节点对应的α值计算不对译码结果产生任何影响。第t次迭代中，固定值比特在译码过程中认为是已知，于是固定值节点对应的α值计算与译码结果无关。信息比特的译码是对第i层信息节点v_i,e包含的第n层各变量节点v_n,e[j],j＝1,...,2^n-i得到软信息α_n,e[j]的判决计算，由于信息节点的β值为0，所以节点v_i,e对应的软信息α值计算可写为：依次递推到第n层，此时软信息α_n,e[j]只与α_i,e有关， ${\hat{u}}_{n,e\&lsqb;j\&rsqb;}=g\left({\mathrm{\&alpha;}}_{n,e\&lsqb;j\&rsqb;}\right)=f_2\left({\mathrm{\&alpha;}}_{i,e}\right),j=1,...,2^{n-i};$ 其中f₂是根据得到的映射。此时只需使用α_i,e进行译码，而信息节点v_i,e及其子树中各节点对应的α值计算均是冗余的，不对译码结果产生任何影响，证毕。

对于混合节点v_i,m，仍需要进行对应的α值计算，对v_i,m的左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r分类，若v_i+1,l是固定值节点，v_i+1,r是混合节点，则α_i+1,r(k)＝α_i,v(2k-1)+α_i,v(2k),k＝1,…,2^n-i-1；若v_i+1,l是混合节点，v_i+1,r是信息节点，则若v_i+1,l和v_i+1,r均是混合节点，则然后将计算结果依次代入下一次迭代过程中，直至前t-1次迭代过程完成。

根据上述证明，对极化码BP译码前t-1次迭代和第t次迭代中的树图分别进行剪枝处理，从而删去冗余的译码运算，达到简化译码的目的。由此提出基于树图剪枝的BP简化译码方法，即提出极化码的简化译码方法以下步骤：步骤S1，对接收到的(N,K,A,u_A ^c)极化码建立树图模型；步骤S201，将树图中各节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；步骤S202，对树图进行剪枝，剪去全部固定值节点和信息节点，剪枝后译码树图中仅存在混合节点，如图5所示，就是(8,3)码BP译码前t-1次迭代过程译码树图的剪枝示意图；步骤S203，译码运算开始前，将初始值按公式输入根节点；其中，是节点(n+1,j)在第0次迭代过程中向左传递的软信息对数似然比，W₁ ⁽¹⁾是原始独立信道的信道转移概率；步骤S204，译码运算开始，对剪枝后树图上的各混合节点对应的β值计算，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行。完成各混合节点对应的软信息β值计算后，按照第0层到第n层层序遍历的顺序进行各混合节点对应的软信息α值计算，将计算结果代入下一次迭代过程中。依次进行，直至前t-1次迭代过程完成；步骤S205，保存第t-1次迭代后的各节点对应的软信息α值结果，重新建立(N,K,A,u_A ^c)极化码树图模型；步骤S3，对树图进行剪枝，剪去固定值节点和信息节点的子树，即只留下与混合节点相连接的固定值节点和信息节点，其剪枝方法与实施例1中的图4中SC译码树图剪枝相同；步骤S4，进行译码运算的第t次迭代过程。计算剪枝后树图上的各混合节点对应的软信息β值，根据已保存的第t-1次迭代后的α值，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行。完成各混合节点的β值计算后，进行剪枝后树图上的各节点对应的α值计算，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行，对于遍历到的三类节点。这里所述步骤S201至步骤S205都是本例所述步骤S2的子步骤，所述步骤S4对剪枝后的译码树图进行译码运算的第t次迭代过程。而实施例1为SC的简化译码方法，实施例2为BP的简化译码方法，即SC和BP剪枝简化译码的区别在于，BP的简化译码方法中，包含了两次剪枝过程，即所述步骤S2中以及所述步骤S3中的剪枝过程。三类节点按以下方法进行处理：若遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，i∈1,…,n，直接译出v_i,f包含的各变量节点对应的固定值比特；若遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，根据式计算v_i,e获得的软信息α_i,e值，直接对其进行判决计算得到g(α_i,e)，并对v_i,e包含的所有变量节点对应的信息比特进行估计 $\left({\hat{u}}_{n,e\&lsqb;1\&rsqb;},\mathrm{...},{\hat{u}}_{n,e\&lsqb;2^{n-i}\&rsqb;}\right)=g\left({\mathrm{\&alpha;}}_{i,e}\right)G_{2^{n-i}};$ 若遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，进行其对应的软信息α值计算，直至译出全部信源比特，译码完成。

复杂度分析如下：码长为N的极化码原始BP译码算法的计算复杂度为O(tNlogN)，t为迭代次数。译码器中共有N/2·logN个处理单元，每个处理单元在每次迭代过程中都要进行一次α值操作和一次β值操作。每一次α值、β值操作均含有两次运算和两次加法运算。仿真迭代次数t对BP译码性能的影响，如图6所示，AWGN信道下(1024,256)极化码简化BP译码算法的误码性能仿真。可以看出，BP译码迭代次数取20，即可获得较好的译码性能。简化BP译码方法，在前t-1次迭代过程中，软信息只在混合节点之间传递。软信息α值从处于第i层的节点v_i传递到第i+1层的混合节点v_i+1,m至多需要2^n-i-1次运算和加法运算，软信息β值从v_i向上层传递的运算量亦是如此。例如(8,3)码简化BP译码算法，在前t-1次迭代过程中，每次迭代只需进行4次运算和8次加法运算。在第t次迭代中，α值的运算数量较之前各次迭代增加至多c次运算和加法运算，同时增加了c次“×G_i”运算，c为信息节点树的数量，信息节点树是由信息节点构成的子树。(8,3)码简化BP译码算法，第t次迭代中需进行6次运算、11次加法运算和1次“×G₂”运算，而原始BP译码算法每次迭代需进行48次运算和加法运算。当t较大时，可以用前t-1次迭代过程的平均运算量近似得到总体译码计算复杂度，忽略第t次迭代中增加的计算量对总体复杂度的影响。

实施例1和实施例2中，对极化码译码过程进行树图建模分析，将树图上的节点分类，证明了在译码过程中部分节点对应的运算是冗余的；通过对树图的剪枝，删除了这部分冗余的译码运算，从而提出了极化码SC译码和BP译码的简化算法，进而能够在确保不对误码性能产生影响的前提下，达到减小译码复杂度和提高译码效率的目的，最后进行了仿真验证，简化后SC译码和BP译码的译码复杂度较原始算法分别降低了36％～65％和41％～67％。

在实施例1提出的SC译码和BP译码的极化码的简化译码方法的基础上，这里对不同码率下简化前后的SC译码和BP译码，进行计算复杂度仿真比较，得到简化算法使译码复杂度减少的程度。在SC译码和BP译码过程中，由于运算占用了大部分计算量，所以可以用运算次数来近似统计译码复杂度。

取初始信道参数Z(W)＝0.6，对码长为2¹⁰、2¹³、2¹⁶的极化码，仿真不同码率下对简化译码算法计算较原始译码减少的百分比，如图7和图8所示。仿真结果显示，简化过程使不同码率极化码SC译码和BP译码的计算复杂度均有较大程度的减少。其中，图7SC译码的极化码的简化译码方法的计算复杂度较原始算法减少了36％～65％。图8BP译码的极化码的简化译码方法的计算复杂度较原始算法减少了41％～67％。

误码性能仿真与分析如下：对极化码简化前后的SC译码和BP译码分别在不同信道环境下进行误码性能仿真对比，并与LDPC码^[10]的误码性能进行比较，仿真中BP译码算法的迭代次数均为20。

由图9和图12的仿真结果显示，所述极化码的简化译码方法简化前后的SC译码和BP译码在误码性能上没有任何区别，验证了误码性能不改变的前提。图9的仿真结果显示，在BEC下，码率取0.25时，极化码在较大删除概率时的误码性能优于LDPC码，而且此时极化码的编译码复杂度远低于LDPC码。极化码BP译码的误码性能较SC译码在删除概率上提高了约0.02。图10的仿真结果显示，在AWGN下，码率取0.25，极化码的误码性能与LDPC码相差无几，极化码BP译码的误码性能较SC译码提高了约0.2dB。

图11和图12的仿真结果显示，码率取0.5，LDPC码的误码性能优于极化码。在BEC下，极化码BP译码的误码性能较简化SC译码在删除概率上提高了约0.02。在AWGN下，极化码BP译码的误码性能较SC译码提高了约0.2dB。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种极化码的简化译码方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1，对接收到的极化码建立树图模型；

步骤S2，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；

步骤S3，对树图进行剪枝，剪去固定值节点和信息节点之间的子树，留下与混合节点相连接的固定值节点和信息节点；

步骤S4，对剪枝后的译码树图进行译码运算。

2.根据权利要求1所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S1中，对接收到的码长为N＝2ⁿ的极化码，将其二分图模型表示为一个n+1层的树图形式，该树图中共有2^{n +1}-1个节点，其中处于第n层的各变量节点对应信源比特，而处于第0层的根节点对应编码节点；其中，n为大于1的自然数。

3.根据权利要求2所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S2中，对于第i层的任一节点，如果该层包含的变量节点全部对应固定值比特，则称其为固定值节点；如果该层包含的变量节点全部对应信息比特，则称其为信息节点；如果该层包含的变量节点对应的既有固定值比特又有信息比特，则称其为混合节点。

4.根据权利要求3所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S2中，对于树图第i层左数第m个的节点v_im,m∈{1,…,2ⁱ}，通过进行计算，得到各个节点的分类，其中ceil是向上取整函数，count是重复数计数函数，对集合中值为m的项进行计数，为构造极化码时挑选的K维信息比特域集；进而能够对树图每一层的节点进行分类，i为大于1的自然数。

5.根据权利要求1至4任意一项所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S4中，将接收到的信道观测软信息对数似然比L输入根节点，然后在剪枝后的SC译码树图中依次按照访问根节点、遍历左子树和遍历右子树的顺序从根节点开始进行递推译码运算。

6.根据权利要求5所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S4中，在遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，i∈1,…,n，根据公式直接译出v_i,f包含的各变量节点v_n,f[j]所对应的固定值比特u_n,f[j]，其中，j＝1,…,2^n-i；并根据计算v_i,f对应的辅助信息U_i,f并送至v_i,f的父节点，其中，v_i,f为固定值节点，u_n,f[j]为第i层任一固定值节点v_i,f包含的第n层各变量节点对应的固定值比特，为固定值比特的估计值，是极化码2^n-i阶生成矩阵；在遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，i∈1,…,n，对信息节点v_i,e获得的软信息L_i,e进行判决计算得到信息节点v_i,e对应的辅助信息U_i,e＝g(L_i,e)，使用直接对信息节点v_i,e包含的变量节点v_n,e[j]对应的信息比特u_n,e[j]进行估计，并将辅助信息U_i,e送至信息节点v_i,e的父节点，其中，u_n,e[j]为第i层任一信息节点v_i,e包含的第n层各变量节点对应的信息比特，为信息比特的估计值；在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比L_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息L_i+1,l和软信息L_i+1,r为节点v_i通过接收到i+1层传递的辅助信息U_i+1,l和U_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递的辅助信息U_i,v为 $\left\{\begin{array}{c}{U}_{i,v}(2k-1)=U_{i+1,l}\left(k\right)\&CirclePlus;U_{i+1,r}\left(k\right)\\ U_{i,v}\left(2k\right)=U_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1},$ 其中，为实数运算符号，为模二和运算符号；处于第n层的任一变量节点v_n,j向上提供的辅助信息为其中，是变量节点v_n,j对应的信源比特估计值。

7.根据权利要求1所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，步骤S2中，将树图中各个节点分为信息节点、固定值节点和混合节点；对树图进行首次剪枝，在译码运算开始前，将初始值按公式输入根节点；其中，是节点(n+1,j)在第0次迭代过程中向左传递的软信息对数似然比，是原始独立信道的信道转移概率。

8.根据权利要求7所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S2中，对剪枝后树图上的各混合节点对应的软信息β值计算，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行译码，在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}(2k-1)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}(2k-1)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是混合节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}(2k-1)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}(2k-1)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,...,2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是混合节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则若其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r均是混合节点，则其中，为实数运算符号，节点v_i通过接收到i+1层传递的软信息β_i+1,l和软信息β_i+1,r，计算并向处于第i-1层的其父节点v_i-1,p传递其软信息β_i,v；节点v_i通过接收到i-1层传递的软信息对数似然比α_i,v，计算并向处于第i+1层的其左子节点v_i+1,l和其右子节点v_i+1,r所分别传递的软信息α_i+1,l和软信息α_i+1,r。

9.根据权利要求8所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S2中，完成各混合节点对应的软信息β_i,v计算后，按照第0层到第n层层序遍历的顺序进行各混合节点对应的软信息α值计算，若v_i+1,l是固定值节点，v_i+1,r是混合节点，则α_i+1,r(k)＝α_i,v(2k-1)+α_i,v(2k),k＝1,…,2^n-i-1；若v_i+1,l是混合节点，v_i+1,r是信息节点，则若v_i+1,l和v_i+1,r均是混合节点，则然后将计算结果依次代入下一次迭代过程中，直至前t-1次迭代过程完成，保存第t-1次迭代后的各节点对应的软信息α值结果，然后重新建立极化码的树图模型。

10.根据权利要求9所述的极化码的简化译码方法，其特征在于，所述步骤S4中，进行译码运算的第t次迭代过程，计算剪枝后树图上的各混合节点对应的软信息β值，根据已保存的第t-1次迭代后的α值；

首先，在遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}(2k-1)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}(2k-1)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是固定值节点，其右子节点v_i+1,r是混合节点，则 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_{i,v}(2k-1)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}\left(2k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_{i,v}\left(2k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{i,v}(2k-1)+{\mathrm{\&beta;}}_{i+1,r}\left(k\right)\end{array}\right.,k=1,\mathrm{...},2^{n-i-1};$ 若其左子节点v_i+1,l是混合节点，其右子节点v_i+1,r是信息节点，则若其左子节点v_i+1,l和右子节点v_i+1,r均是混合节点，则

然后，按照第n层到第0层层序遍历的顺序进行各节点对应的α值计算，对于遍历到的三类节点，按以下方法进行处理：当遍历到第i层任一固定值节点v_i,f时，根据公式直接译出v_i,f包含的各变量节点对应的固定值比特；当遍历到第i层任一信息节点v_i,e时，根据公式计算v_i,e获得的软信息α_i,e值，直接对其进行判决计算得到g(α_i,e)，并对v_i,e包含的所有变量节点对应的信息比特进行估计，其中，当遍历到第i层任一混合节点v_i,m时，按照第0层到第n层层序遍历的顺序进行各混合节点对应的软信息α值计算；直至译出全部信源比特则完成译码。