CN105610350A - 一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，涉及用于双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙的综合控制方法，属于机电控制技术领域。本发明的实现方法为，对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型建立系统的状态空间方程；利用鲁棒反步控制方法设计跟踪控制器，在跟踪控制器基础上利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器，并引入消隙控制器与同步控制的转换函数，在齿隙即将出现时施加消隙控制器补偿齿隙，在未出现齿隙时实现同步控制；从而能够保证同时实现双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙控制。本发明要解决的技术问题是实现负载跟踪的前提下，消除齿隙非线性的影响并且保证电机间的同步。

Description

一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法

技术领域

本发明涉及一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，尤其涉及一种关于双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙的综合控制方法，属于机电控制技术领域。

背景技术

伺服系统的应用领域极为广泛，无论在工业上还是在军事上，伺服系统都起着举足轻重的作用。随着现代科技的发展，诸如数控设备的精确定位，电子设备的精密加工，雷达、火炮的精确控制等，伺服系统所发挥的作用越来越突出，对其性能指标也提出越来越高的要求。而对与某些大惯量、大功率的伺服系统而言，单电机伺服系统无论在功率上还是在性能上都已经难以满足要求,因此采取包括双电机同步联动在内的多种控制方式是现今伺服系统研究和发展的方向之一。双电机同步联动的优点不仅仅在于提高系统的功率,还可以通过采取适当的措施有效的消除传动链齿隙,从而提高控制精度。

在双电机伺服系统中,影响系统控制性能的主要因素是动力传递过程中广泛存在着的各种非线性,如齿隙、死区、摩擦及饱和等非线性,它们成为影响控制精度的主要因素。而其中内部齿隙作为影响双电机系统性能的主要因素，一直是国内外专家研究的重点和难点。

内部齿隙主要指齿隙非线性存在于驱动系统与从动系统之间，如电机与负载间的齿隙。这类非线性一般常用死区模型来描述，其补偿方法主要分为切换控制和冗余控制两类。其中切换策略比较适用于单电机驱动负载的情况，Zhao等针对内部齿隙设计一种切换控制控制方法，在正常情况下采用PID控制，在间隙时采用基于反步平面的时间次优控制。Tao等针对含齿隙的多输入多输出系统进行研究，并将系统的运行过程分为三个部分，分别提出切换最优控制器，保证了以最短时间和最小能耗补偿齿隙非线性。

冗余消隙作为双电机系统特有的消隙方法，已受到许多专家学者的青睐。Gawronski等采用冗余控制策略，在保证跟踪控制的前提下，给两组驱动子系统施加大小相等、方向相反的力矩，从而使内部齿隙非线性转换成为可控的近似线性系统。冗余策略需要持续施加力矩，这会造成系统能耗的增加以及整体效率的降低。为了解决这个问题，Liang等根据消隙控制器与负载加速度之间的关系，设计了一种实时的消隙控制器补偿器，降低了系统的能耗，提高了补偿效率。但由于负载端加速度信号难以提取，并且安装加速度信号的传感器价格昂贵，因此该方法并不具有实际的应用价值。

此外，双电机的同步运行是影响系统性能的另外一个重要因素，如果多个电机在工作中不同步，则会引起一部分电机超出额定状态工作，另外一部分电机则低于额定状态工作，从而使电机的寿命缩短甚至损坏，导致系统受力不平衡，最终使整个大功率随动系统的整体性能变差。

为了实现多驱动系统的快速同步控制，许多先进的控制算法(如：智能控制、变结构控制等)与同步策略相结合设计控制器，提高系统的鲁棒性、瞬态特性、稳态特性等整体性能。Sun等针对不精确的多电机驱动模型，提出了一种含有变化因子的模糊控制算法，该算法能够有效抑制超调保证电机速度的快速同步。由于PID算法易实现，且易操作，因此广泛应用于实际系统控制。但是，考虑到PID参数整定对系统实时控制带来的不便，学者们将模糊算法以及神经网络与PID相结合实现同步控制。该方法保证控制器参数随多电机同步偏差实时变化，使得各电机能够快速地达到一致，从而增强了系统的动态性能。

常用的寻优算法包括传统的解析法、枚举法、随机法以及新兴的粒子群算法和遗传算法。在这些优化算法中，解析法要求目标函数连续光滑，且需要导数信息，这两个缺点将导致鲁棒性较差。枚举法计算效率太低，“指数爆炸”，对中等规模和适度复杂性的问题也常常无能为力。随机法出于效率考虑，搜索到一定程度便终止，所得结果一般尚不是最优解。而粒子群算法由于其操作简单性和运行高效性成为寻优问题中最常用的方法。

综上所述，现有的偏置力矩消隙方法是一种工程设计方法，所施加的偏置力矩是否能够消隙并没有在理论上得到证明，只能通过实验试凑的方法来达到消隙的目的。而且以往的同步控制设计方案中并没有考虑同步控制器对系统跟踪性能的影响，而在其实现过程中往往是先实现跟踪再达到同步，因此如何设计一种综合控制器使负载跟踪、电机同步以及消除齿隙同时实现是非常具有实际工程价值的。

发明内容

本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，要解决的技术问题是实现负载跟踪的前提下，消除齿隙非线性的影响并且保证电机间的同步。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：

本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型建立双电机伺服系统的状态空间方程。根据双电机伺服系统的状态空间方程，利用鲁棒反步控制方法设计跟踪控制器，并在跟踪控制器基础上利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器，并引入消隙控制器与同步控制的转换函数，在齿隙即将出现时施加消隙控制器补偿齿隙，在未出现齿隙时实现同步控制。从而能够保证同时实现双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙控制。以上所述的跟踪控制器、同步控制器与消隙控制器构成了综合控制器。

利用鲁棒反步控制方法设计同步控制器和消隙控制器的具体方法为，以两个电机间的位置差作为反馈状态，定义广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器，从而保证电机间的同步并且消除齿隙非线性影响。

为使双电机伺服系统的输出快速的跟踪上参考信号、系统的超调量和稳态误差都较小、系统消耗的总能量较小，利用粒子群算法对综合控制器的参数进行优化，在保证跟踪性能的前提下，降低系统的能耗。

本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，包括如下步骤：

步骤一、对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型，建立系统的状态空间表达式。

根据电机的结构和物理定律，建立双电机伺服系统的数学模型如公式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_i{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+b_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+T_i=u_i\\ J_m{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_m+b_m{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_m=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{T}_i\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ_i(i＝1,2)和θ_m分别表示驱动端和负载端的转角；和分别表示驱动端和负载端的转速；J_i表示驱动电机的转动惯量；J_m表示负载端的转动惯量；b_m为负载端的粘性摩擦系数；b_i为电机的粘性摩擦系数；u_i表示系统输入转矩；T_i表示电机和负载之间传输力矩；i＝1,2表示双电机系统的驱动电机1和驱动电机2。

由于受齿轮间隙非线性的影响,大小齿轮间传递力矩T_i为死区函数，表达式为公式(2)：

$T_i=kf\left(z_i\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}k\left(z_i\right(t)-\mathrm{\&alpha;})& z_i\left(t\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;},\\ 0& \left|z_i\left(t\right)\right|<\mathrm{\&alpha;},\\ k\left(z_i\right(t)+\mathrm{\&alpha;})& z_i\left(t\right)\&le;-\mathrm{\&alpha;},\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中k为主从动轮结合处的刚度系数，2α为齿隙的大小，z_i(t)＝θ_i(t)-θ_m(t)是驱动电机和负载的位置差。为将双电机伺服系统化为严格反馈形式，将公式(2)中的f(z_i(t))化为含有一个线性项和一个扰动项，如公式(3)：

f(z_i(t))＝z_i(t)+d_α(z_i(t))(3)其中 $d_{\mathrm{\&alpha;}}\left(z_i\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\&alpha;}& z_i\left(t\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}.\\ -z_i\left(t\right)& \left|z_i\left(t\right)\right|<\mathrm{\&alpha;}.\\ \mathrm{\&alpha;}& z_i\left(t\right)\&le;-\mathrm{\&alpha;}.\end{array}\right..$ 易知扰动项d_α(z_i(t))是有界的且||d_α(·)||≤α。则公式(2)形式的传递力矩T_i可化为公式(4)：

T_i＝kf(z_i(t))＝kz_i(t)+kd_α(z_i(t))(4)

根据公式(1)和公式(4)，定义状态变量双电机系统的状态空间表达式可表示为公式(5)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{b_m}{J_m}{x}_2+\frac{k}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(x_{3i}-x_1)+\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3i}=x_{4i}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4i}=\frac{1}{J_i}{u}_i-\frac{b_i}{J_i}{x}_{4i}-\frac{k}{J_i}(x_{3i}-x_1)-\frac{1}{J_i}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

为便于步骤二中设计跟踪控制器，重新定义状态变量为和总控制律且两个电机的参数一致J＝J₁＝J₂，b＝b₁＝b₂则双电机伺服系统的状态空间(5)可化为严格反馈形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+f_1\left(t\right)+d_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=J^{-1}u+f_2\left(t\right)+d_2\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)=(\frac{k}{J_m}-1)x_3-\frac{b_m}{J_m}{x}_2-\frac{2k}{J_m}{x}_1,d_1=\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ f_2\left(t\right)=-\frac{b}{J}{x}_4-\frac{k}{J}(x_3-2x_1),d_2=-\frac{1}{J}k\left(d_{\mathrm{\&alpha;}}\right(x_{31}-x_1)+d_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{32}-x_1\left)\right)\end{array}\right..$

步骤二，利用鲁棒反步控制方法，从负载端输出x₁递推出电机端输入u，从而实现负载跟踪控制。

对于双电机伺服系统，主要控制目标是实现负载输出y跟踪参考信号y_d。采用鲁棒反步控制方法对公式(6)形式的双电机伺服系统的控制律进行设计。

定义每一步的跟踪误差信号为e_j＝x_j-η_j-1(i＝1,2,3,4)其中η₀＝y_d，η₁,η₂,η₃为虚拟控制量，根据李雅普诺夫稳定性理论可设计为公式(7)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_1=-k_1{e}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\\ {\mathrm{\&eta;}}_2=-k_2{e}_2-e_1-f_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1\\ {\mathrm{\&eta;}}_3=-k_3{e}_3-e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1=-k_1(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d,{\mathrm{\&beta;}}_1=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_2}{J_m^2{\mathrm{\&epsiv;}}_1},{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=-k_2(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)-k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)$ $+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)x_4-\frac{b_m}{J_m}(x_3+f_1)-\frac{2k}{J_m}{x}_2$ 和k₁,k₂,k₃均为正常数。

根据李雅普诺夫稳定性理论，实际的跟踪控制律设计为公式(8)：

$u=J(-k_4{e}_4-f_2-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)---\left(8\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=-k_3(x_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)-(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-k_2(x_4+k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d$ $-k_1(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)(u+f_2)-\frac{b_m}{J_m}(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1)-\frac{2k}{J_m}(x_3+f_1),{\mathrm{\&beta;}}_2=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_4}{J^2{\mathrm{\&epsiv;}}_2}$ 。

根据跟踪控制律u实现负载的跟踪控制。

步骤三，以两个电机间的位置差作为反馈状态，定义广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法，分别设计同步控制器和消隙控制器，保证电机间的同步并且消除齿隙非线性影响。

对于双电机伺服系统，除了要实现负载跟踪还要实现电机的同步。传统的电机同步要求在双电机伺服系统运行过程中要保证每个电机的运动状态一致，即位置与速度相等。但是在双电机伺服系统即将出现齿隙时，需要施加消隙控制器以增大两个电机的位置差来消除齿隙非线性影响，从而导致了两个电机的不同步现象。为了解决上述的两个电机的不同步的问题，定义广义同步误差，即在未出现齿隙时以两个电机的位置差作为同步误差；在双电机伺服系统即将出现齿隙时以两个电机的位置差减去齿隙宽度作为同步误差。并基于上述广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器。

1)未出现齿隙时，设计同步控制器保证两个电机位置同步。定义两电机间的同步误差e_s1＝x₃₁-x₃₂，第二步的同步误差为e_s2＝x₄₁-x₄₂-η_s1，其中η_s1＝-k_s1e_s1。则两个电机的控制律u_s1、u_s2之差为：

$u_{s1}-u_{s2}=-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(9\right)$

其中β_s1,β_s2为鲁棒项满足：

e_s2[β_s1+kd_α(x₃₁-x₁)]≤ε_s1,e_s2[β_s2+kd_α(x₃₂-x₁)]≤ε_s2(10)其中ε_s1,ε_s2为正常数。因此鲁棒项设计为：

${\mathrm{\&beta;}}_{s1}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s1}},{\mathrm{\&beta;}}_{s2}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s2}}.---\left(11\right)$

结合式(8)和(9)可得每个电机的实际同步控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{s1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{s2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{s1}+k_{s2}{e}_{s2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(12\right)$

如(12)设计的控制律可同时实现负载的跟踪和两个电机的同步。

2)即将出现齿隙时，设计消隙控制器来消除齿隙非线性的影响。定义两电机间的同步误差e_b1＝x₃₁-x₃₂-2α，第二步的同步误差为e_b2＝x₄₁-x₄₂-η_b1，其中η_b1＝-k_b1e_b1。则两个电机的控制律u_b1、u_b2之差为：

$u_{b1}-u_{b2}=-e_{b1}-k_{b2}{e}_{b2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(13\right)$

定义同步误差e_b1的作用在于：设计消隙控制器能够使同步误差趋于0，则可实现两个电机的位置间隔为一个齿隙宽度，即一个电机消隙，而另一个电机继续驱动负载。

结合式(8)和(13)可得每个电机的实际消隙控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{s1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{s2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{s1}+k_{s2}{e}_{s2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}=-k_{b1}(x_{41}-x_{42}).$

由于所设计的同步控制器和消隙控制器都是基于跟踪控制器基础之上，因此实现电机同步和消隙都不会影响系统的跟踪性能，即同步、消隙与跟踪是可以同时实现的。

步骤四，以电机负载间的位置差作为转换函数，实现双电机同步控制与消隙控制器的转换，从而保证双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙同时实现。

由步骤一中的齿隙死区模型可知，当|z_i|≤α时，双电机伺服系统的传递力矩为0，即出现齿隙。因此将|z_i|＝α作为临界状态，以电机负载间的位置差设计转换函数，实现同步控制和消隙控制的平稳过渡。

转换函数w设计公式(15)：

$w=\left\{\begin{array}{cc}1,& \left|z_i\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \frac{\mathrm{\&beta;}-\left|z_i\right|}{\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&alpha;}},& \mathrm{\&alpha;}\&le;\left|z_i\right|\&le;\mathrm{\&beta;}\\ 0,& \mathrm{\&beta;}<\left|z_i\right|\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中β>α，β的取值根据同步控制与消隙控制器的过渡快慢设定。

根据公式(12)所示的实际同步控制律和公式(14)所示的实际消隙控制律，可得综合控制律设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=(1-w)u_{s1}+{\mathrm{wu}}_{b1}\\ u_2=(1-w)u_{s2}+{\mathrm{wu}}_{b2}\end{array}\right.---\left(16\right)$

定义u_t＝u/2,u_s＝(u_s1-u_s2)/2,u_b＝(u_b1-u_b2)/2，则可将综合控制律(16)改写为由跟踪、同步与消隙相结合的形式：

u_i＝u_t-(-1)ⁱ(1-w)u_s-(-1)ⁱwu_b(17)其中u_t为跟踪项，u_s为同步项，u_b为消隙项。很容易看出所加的同步项和消隙项在理论上不影响系统的跟踪性能。

如公式(17)所设计的综合控制律，能够保证双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙同时实现。

为使双电机伺服系统的输出快速的跟踪上参考信号、系统的超调量和稳态误差都较小、系统消耗的总能量较小，本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，还包括步骤五。

步骤五，利用粒子群算法对步骤四设计的综合控制器的参数进行优化，在保证跟踪性能的前提下，降低系统的能耗。

为达到节能的效果，需要使控制量u_i的值最小，为同时满足跟踪精度与节能的目的，采用粒子群算法得到步骤四控制律中的未知参数k₁,k₂,k₃,k₄,k_s1,k_s2,k_b1,k_b2以及切换函数中β的最优值。具体方法为：

将跟踪精度与能耗整合成一个目标函数E，优化的最终目标是在满足约束条件的情况下求得目标函数E的最小值，即：

$J=min\left\{E\right\}=min\left\{{\&Integral;}_0^t\left(t\right|e_1\left(t\right)\right|+u_1^2+u_2^2\left)dt\right\}---\left(18\right)$

其中，积分区间0～t为实际工作时间。约束条件为：

$\left|e_1\left(t\right)\right|<10\%,min\{u_1^2+u_2^2\}---\left(19\right)$

公式(19)保证跟踪精度在10％以内，以及系统消耗的总能量最小。

有益效果：

1、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，通过将齿隙的死区模型分解为一个线性项和有界扰动，从而将双电机伺服系统方程化为严格反馈形式，便于控制器的设计。

2、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，对于双电机伺服系统的严格反馈形式，采用鲁棒反步控制方法，设计跟踪控制器，该控制器不但可保证系统的跟踪性能还具有较强的鲁棒性。

3、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，以两电机的位置差作为反馈状态，通过引入广义同步误差，在此基础上利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器。

4、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，以电机负载间的位置差作为转换函数，实现同步控制和消隙控制器的平稳过渡。最后给出了能够实现跟踪、同步、消隙的综合控制律。

5、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，通过粒子群算法可解决双电机伺服系统的控制器优化设计问题，同时保证系统快速跟踪输入信号、稳态误差较小、双电机的同步、消除齿隙和减少能耗的效果。

6、本发明公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，由于所设计的同步控制器和消隙控制器都是基于跟踪控制器基础之上，因此实现电机同步和消隙都不会影响系统的跟踪性能，即同步、消隙与跟踪是可以同时实现的。

附图说明

图1为本发明的双电机综合控制系统的结构图；

图2为本发明的切换函数表示图；

图3为具体实施方式中无同步控制器和消隙控制器的跟踪效果和误差图，其中(a)为输出跟踪效果图，(b)为跟踪误差图，(c)为系统控制量，(d)为两个电机的位置图；

图4为具体实施方式中无消隙控制器的跟踪效果和误差图，其中(a)为输出跟踪效果图，(b)为跟踪误差图，(c)为系统控制量，(d)为两个电机的位置图；

图5为具体实施方式中无同步控制器的跟踪效果和误差图，其中(a)为输出跟踪效果图，(b)为跟踪误差图，(c)为系统控制量，(d)为两个电机的位置图；

图6为具体实施方式中综合控制器跟踪效果和误差图，其中(a)为控制器输出跟踪效果图，(b)为跟踪误差图，(c)为系统控制量，(d)为两个电机的位置图；

图7为具体实施方式中综合控制器的切换函数以及电机负载位置差的曲线图，(a)切换函数，(b)电机负载位置差。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。

实施例1：

本实施例中，根据发明内容所述方法设计了双电机伺服系统的综合控制器，同时考虑了负载跟踪、电机同步以及消隙等问题。并运用粒子群算法能够解决双电机控制器中多耦合控制器参数的整定问题。选择以误差和能耗为性能指标的目标函数，对双电机伺服系统的控制器参数以及切换函数进行优化。

本实施例公开的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，包括如下步骤：

步骤一、对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型，建立系统的状态空间表达式。

根据电机的结构和物理定律，建立双电机伺服系统的数学模型。

定义状态变量双电机系统的状态空间表达式可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{b_m}{J_m}{x}_2+\frac{k}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(x_{3i}-x_1)+\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3i}=x_{4i}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4i}=\frac{1}{J_i}{u}_i-\frac{b_i}{J_i}{x}_{4i}-\frac{k}{J_i}(x_{3i}-x_1)-\frac{1}{J_i}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(20\right)$

为了便于跟踪控制器的设计，重新定义状态变量为和总控制律且两个电机的参数一致J＝J₁＝J₂，b＝b₁＝b₂则状态空间(20)可化为严格反馈形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+f_1\left(t\right)+d_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=J^{-1}u+f_2\left(t\right)+d_2\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(21\right)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)=(\frac{k}{J_m}-1)x_3-\frac{b_m}{J_m}{x}_2-\frac{2k}{J_m}{x}_1,d_1=\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ f_2\left(t\right)=-\frac{b}{J}{x}_4-\frac{k}{J}(x_3-2x_1),d_2=-\frac{1}{J}k\left(d_{\mathrm{\&alpha;}}\right(x_{31}-x_1)+d_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{32}-x_1\left)\right)\end{array}\right..$

步骤二，利用鲁棒反步控制方法，从负载端输出x₁递推出电机端输入u，从而实现负载跟踪控制。具体方法如下：

定义每一步的跟踪误差信号为e_j＝x_j-η_j-1(i＝1,2,3,4)其中η₀＝y_d，η₁,η₂,η₃为虚拟控制量，其设计方法如下：

步骤2.1、取李雅普诺夫函数

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^2---\left(22\right)$

其导数为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=e_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_1(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)=e_1(e_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)---\left(23\right)$

则虚拟控制量可设计为代入到(22)式得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=-k_1{e}_1^2+e_1{e}_2---\left(24\right)$

步骤2.2、取李雅普诺夫函数

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^2---\left(25\right)$

其导数为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-k_1{e}_1^2+e_1{e}_2+e_2(x_3+f_1+d_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)\\ =-k_1{e}_1^2+e_1{e}_2+e_2(x_3+{\mathrm{\&eta;}}_2+f_1+d_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)\end{array}---\left(26\right)$

则虚拟控制量可设计为 ${\mathrm{\&eta;}}_2=-k_2{e}_2-e_1-f_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1,$ 其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1=-k_1(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d,$ β₁为鲁棒项满足：

e₂[β₁+d₁]≤ε₁(27)

其中ε₁为正常数。因此鲁棒项可设计为将虚拟控制量η₂代入到(26)式得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-k_1{e}_1^2-k_2{e}_2^2+e_2{e}_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_1---\left(28\right)$

步骤2.3、取李雅普诺夫函数

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{e}_3^2---\left(29\right)$

其导数为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-k_1{e}_1^2-k_2{e}_2^2+e_2{e}_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_1+e_3(x_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)\\ =-k_1{e}_1^2-k_2{e}_2^2+e_2{e}_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_1+e_3(e_4+{\mathrm{\&eta;}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)\end{array}---\left(30\right)$

则虚拟控制量可设计为 ${\mathrm{\&eta;}}_3=-k_3{e}_3-e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2,$ 其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=-k_2(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)$ $-k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)x_4-\frac{b_m}{J_m}(x_3+f_1)-\frac{4k}{J_m}{x}_2,$ 代入到(29)式得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-k_1{e}_1^2-k_2{e}_2^2-k_3{e}_3^2+e_3{e}_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_1---\left(31\right)$

步骤2.4、取李雅普诺夫函数为：

$V_4=V_3+\frac{1}{2}{e}_4^2---\left(32\right)$

其导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4=-k_1{e}_1^2-k_2{e}_2^2-k_3{e}_3^2+e_3{e}_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_1+e_4(J^{-1}u+f_2+d_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3)---\left(33\right)$

则最终的实际控制量可表示为：

$u=J(-k_4{e}_4-f_2-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)---\left(34\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=-k_3(x_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)-(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-k_2(x_4+k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d$ $-k_1(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)(u+f_2)-\frac{b_m}{J_m}(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1)-\frac{4k}{J_m}(x_3+f_1),$ β₂为鲁棒项满足：

e₄[β₂+d₂]≤ε₂(35)

其中ε₂为正常数。因此鲁棒项可设计为

步骤三，以两个电机间的位置差作为反馈状态，定义广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法，分别设计同步控制器和消隙控制器，保证电机间的同步并且消除齿隙非线性影响。

1)未出现齿隙时：定义两电机间的同步误差e_s1＝x₃₁-x₃₂，选步骤二的同步误差为e_s2＝x₄₁-x₄₂-η_s1，其中鲁棒η_s1为虚拟控制量，反步法设计如下：

步骤3.1、取李雅普诺夫函数：

$V_{s1}=\frac{1}{2}{e}_{s1}^2---\left(36\right)$

其导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{s1}=e_{s1}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{s1}=e_{s1}(x_{41}-x_{42})=e_{s1}(e_{s2}+{\mathrm{\&eta;}}_{s1})---\left(37\right)$

则虚拟控制量可设计为η_s1＝-k_s1e_s1，代入到(36)式得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{s1}=-k_{s1}{e}_{s1}^2+e_{s1}{e}_{s2}---\left(38\right)$

步骤3.2、取李雅普诺夫函数：

$V_{s2}=V_{s1}+\frac{1}{2}{e}_{s2}^2---\left(39\right)$

其导数为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{s2}=-k_{s1}{e}_{s1}^2+e_{s1}{e}_{s2}+e_{s2}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{s2}\\ =-k_{s1}{e}_{s1}^2+e_{s1}{e}_{s2}+e_{s2}(\frac{1}{J}\left(u_1-u_2\right)-\frac{b}{J}\left(u_{41}-u_{42}\right)-\frac{k}{J}\left(u_{31}-u_{32}\right)\\ -\frac{1}{J}k\left(d_{\mathrm{\&alpha;}}\right(x_{31}-x_1)-d_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{32}-x_1\left)\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)\end{array}---\left(40\right)$

其中则同步控制器设计为：

$u_{s1}-u_{s2}=-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(41\right)$

其中β_s1,β_s2为鲁棒项满足

e_s2[β_s1+kd_α(x₃₁-x₁)]≤ε_s1,e_s2[β_s2+kd_α(x₃₂-x₁)]≤ε_s2(42)

其中ε_s1,ε_s2为正常数。因此鲁棒项设计为：

${\mathrm{\&beta;}}_{s1}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s1}},{\mathrm{\&beta;}}_{s2}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s2}}.---\left(43\right)$

结合式(34)和(41)可得每个电机的实际控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{s1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{s2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{s1}+k_{s2}{e}_{s2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(44\right)$

2)即将出现齿隙时：定义两电机间的同步误差e_b1＝x₃₁-x₃₂-2α，选第二步的同步误差为e_b2＝x₄₁-x₄₂-η_b1，其中η_b1＝-k_b1e_b1。由于消隙控制器的设计方法和同步控制器类似，不在赘述，则消隙控制器设计为：

$u_{b1}-u_{b2}=-e_{b1}-k_{b2}{e}_{b2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(45\right)$

结合式(34)和(45)可得每个电机的实际控制律为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{b1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{b1}-k_{b2}{e}_{b2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{b2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{b1}+k_{b2}{e}_{b2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}+{\mathrm{\&beta;}}_{b1}-{\mathrm{\&beta;}}_{b2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(46\right)$

步骤四，以电机负载间的位置差作为转换函数，实现双电机同步控制与消隙控制器的转换，从而保证双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙同时实现。

由齿隙的死区模型(2)可知，当|z_i|≤α时，系统的传递力矩为0，即系统出现齿隙。因此我们将|z_i|＝α作为临界状态，以电机负载间的位置差设计转换函数，实现同步控制和消隙控制器的平稳过渡。

如图2所示，转换函数w可设计如下：

$w=\left\{\begin{array}{cc}1,& \left|z_i\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \frac{\mathrm{\&beta;}-z_i}{\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&alpha;}},& \mathrm{\&alpha;}<\left|z_i\right|<\mathrm{\&beta;}\\ 0,& \mathrm{\&beta;}<\left|z_i\right|\end{array}\right.---\left(47\right)$

其中β>α，它的取值可以根据同步控制与消隙控制器的过渡快慢设定。

根据同步控制式(41)和消隙控制器式(45)，则可将综合控制律写为由跟踪、同步与消隙相结合的形式

u_i＝u_t-(-1)ⁱ(1-w)u_s-(-1)ⁱwu_b(48)

其中u_t为跟踪项，u_s为同步项，u_b为消隙项。所设计的综合控制器如图1所示，很容易看出所加的同步项和消隙项并不影响系统的性能。

步骤五，利用粒子群算法对上述综合控制器的参数进行优化，在保证跟踪性能的前提下，尽可能的降低系统的能耗。

选取基于粒子群算法整定参数。为了保证跟踪性能和能耗最小的两个条件，设计了如下的性能指标函数：

$J=min\left\{E\right\}=min\left\{{\&Integral;}_0^t\left(t\right|e_1\left(t\right)\right|+u_1^2+u_2^2\left)dt\right\}---\left(49\right)$

上式既可以保证跟踪的效果，又可以保证能耗最小。

约束条件为：

$\left|e_1\left(t\right)\right|<10\%,\min \{u_1^2+u_2^2\}---\left(50\right)$

性能指标的第一项越小表示系统的稳态误差越小；第二项越小表明系统的能耗越小。约束条件是保证跟踪精度在10％以内，以及系统消耗的总能量最小。将跟踪精度与能耗整合成一个目标函数E，优化的最终目标是在满足约束条件的情况下求得目标函数E的最小值。

步骤5.1：初始化粒子群的各个参数值，并计算每个粒子的适应度函数。通过加权的形式计算出每组参数的性能指标(目标函数适应值)大小。

如果新粒子的适应值比前一个的更小，则用新粒子更新适应值；否则，适应值保持不变。

$pbest(t+1)=\left\{\begin{array}{cc}pbest\left(t\right)& f\left(pbest\right(t\left)\right)<f\left(X\right(t\left)\right)\\ X\left(t\right)& otherwise\end{array}\right.---\left(51\right)$

其中，pbest(t)是在t时刻的最佳适应值，f(·)通常为性能指标的目标函数，即多个重要指标的加权，X(t)是每个粒子的位置。

步骤5.2：当pbest中最小的适应值小于全局的适应值时，用相应的最小适应值的位置更新全局的适应值。否则，全局适应值保持不变。

gbest(t+1)＝argmin{f(pbest₁(t)),f(pbest₂(t)),...,f(pbest_n(t))}(52)

其中：gbest(t)为t时刻全局的最佳适应值，n为粒子的总个数。

步骤5.3：对控制参数值按照下面的公式进行更新

$V_{i^{\&prime;}j}(t+1)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&omega;}\&times;V_{i^{\&prime;}j}\left(t\right)+c_1{r}_1\left({\mathrm{pbest}}_j\right(t)-X_{i^{\&prime;}j}(t\left)\right)+(2\mathrm{\&omega;}+2-c_1{r}_1)({\mathrm{gbest}}_j-X_{i^{\&prime;}j}))& \begin{array}{cc}if& r_3<0.7\end{array}\\ 1.05\&times;V_{i^{\&prime;}j}\left(t\right)+c_1{r}_1\left({\mathrm{pbest}}_j\right(t)-X_{i^{\&prime;}j}(t\left)\right)+c_2{r}_2\left({\mathrm{gbest}}_j\right(t)-X_{i^{\&prime;}j}(t\left)\right)& otherwise\end{array}\right.---\left(53\right)$

X_i'j(t+1)＝X_i'j(t)+V_i'j(t+1)

其中：V_i'j(t)是第j维粒子第i'个群体迭代粒子的速度；X_i'j(t)是第j维粒子第i'个群体迭代粒子的位置，取i'＝20；ω为惯性权重，取ω＝0.7；c₁和c₂为学习率，取c₁＝c₂＝2。

步骤5.4步：粒子的当前位置超出所设置的最大值和最小值，对超出范围的粒子重新赋值，即

$\left\{\begin{array}{cc}{X}_{i^{\&prime;}j}(t+1)=X_{\min }\left(j\right)+\left(X_{\min }\right(j)-X_{\min }(j\left)\right)\&times;r_4& X_{i^{\&prime;}j}(t+1)>X_{\max }\left(j\right)\\ X_{i^{\&prime;}j}(t+1)=X_{\min }\left(j\right)+\left(X_{\max }\right(j)-X_{\min }(j\left)\right)\&times;r_3& X_{i^{\&prime;}j}(t+1)<X_{\min }\left(j\right)\end{array}\right.---\left(54\right)$

同理可知，对于粒子的当前的速度来说，当超出粒子的最大速度时，粒子的速度重新赋值为

$\left\{\begin{array}{cc}{V}_{i^{\&prime;}j}(t+1)=V_{\min }\left(j\right)+\left(V_{\min }\right(j)-V_{\min }(j\left)\right)\&times;r_5& V_{i^{\&prime;}j}(t+1)>V_{\max }\left(j\right)\\ V_{i^{\&prime;}j}(t+1)=V_{\min }\left(j\right)+\left(V_{\max }\right(j)-V_{\min }(j\left)\right)\&times;r_6& V_{i^{\&prime;}j}(t+1)<V_{\min }\left(j\right)\end{array}\right.---\left(55\right)$

其中X_min(j)和X_max(j)分别为第j维的最小位置和最大位置；V_min(j)和V_max(j)分别为第j维的最小速度和最大速度。

步骤5.5：当迭代次数小于最大的设置次数时，转向第三步；否则，终止程序。

将计算出的参数值赋予仿真程序进行仿真，仿真时间间隔0.01s,系统初始状态x₁(0)＝0.3,x₂(0)＝0,x₃₁(0)＝0.1,x₃₂(0)＝0.4,x₄₁(0)＝0,x₄₂(0)＝0，得到跟踪效果和误差图；然后分别去掉同步控制器和消隙控制器进行对比仿真。

运用粒子群算法对双电机负载系统中跟踪控制器，同步控制器、消隙控制器参数以及切换函数同时优化。所优化的具体结果如表1所示，电机的参数如表2所示。

表1双电机伺服系统中综合控制器的最佳参数

表2仿真参数

在没有同步控制器和消隙控制器的情况下，对正弦输入信号的跟踪效果、跟踪误差、控制律以及两电机的位置如图3所示。在不施加消隙控制器的情况下，跟踪效果、跟踪误差、控制律以及两电机的位置如图4所示。在不施加同步控制器的情况下，跟踪效果、跟踪误差、控制律以及两电机的位置如图5所示。提出的综合优化控制算法，并在粒子群算法寻得最优参数的情况下，跟踪效果、跟踪误差、控制律以及两电机的位置如图6所示，其切换函数和位置差曲线如图7所示。从图3可以看出在没有同步控制器和消隙控制器的情况下，系统的跟踪误差会发生周期性震颤，这是因为没有消隙控制器的作用，两电机会同时经过齿隙，从而导致系统不可控，跟踪误差上升；并且两电机的位置差始终保持在初始位置差处，必然导致一个电机出力多，一个电机出力少或不出力的情况发生，从而损耗电机寿命。在图4中施加了同步控制器，则两电机的位置保持一致出力相同，但是在经过齿隙时，仍然是同时消隙，因此系统的跟踪误差曲线还是发生震颤。在图5中施加了消隙控制器，可以看出系统跟踪误差的震颤已经消失了，这是因为当系统即将进入齿隙时所设计的消隙控制器会使两电机的位置差出一个齿隙间隔，从而使电机驱动轮卡住负载从动轮，不会使其在齿隙内部游移，从而完全消除了齿隙非线性；但缺点是在系统未进入齿隙或退出齿隙的时候，两个电机的位置差还保持齿隙宽度，从而引起不同步现象影响电机寿命。而当系统施加同步控制器和消隙控制器并利用切换函数实现其平稳过渡的情况下，从图6可看出，不仅系统的跟踪误差没有发生震颤，而且两电机只在出现齿隙时消隙，其他情况下保持同步运行，实现了跟踪、同步以及消隙的综合控制目标。并且从图7可以看出两个电机是交替通过齿隙的，一个电机通过齿隙时，另一个电机拖动负载，起到了偏置力矩消隙的作用。由此可见，本实施例所设计的综合控制器可以在保证负载跟踪性能的前提下，消除齿隙非线性的影响并且保证两电机的同步。同时采用粒子群算法优化综合控制器参数实现控制器参数最优，通过仿真实验可以满足系统的性能要求。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下，可对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变形，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (5)

1.一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一、对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型，建立系统的状态空间表达式；

根据电机的结构和物理定律，建立双电机伺服系统的数学模型如公式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_i{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+b_i{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i+T_i=u_i\\ J_m{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+b_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m=\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{T}_i\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ_i(i＝1,2)和θ_m分别表示驱动端和负载端的转角；和分别表示驱动端和负载端的转速；J_i表示驱动电机的转动惯量；J_m表示负载端的转动惯量；b_m为负载端的粘性摩擦系数；b_i为电机的粘性摩擦系数；u_i表示系统输入转矩；T_i表示电机和负载之间传输力矩；i＝1,2表示双电机系统的驱动电机1和驱动电机2；

由于受齿轮间隙非线性的影响,大小齿轮间传递力矩T_i为死区函数，表达式为公式(2)：

$T_i=kf\left(z_i\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}k\left(z_i\left(t\right)-\mathrm{\&alpha;}\right)& z_i\left(t\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;},\\ 0& \left|z_i\left(t\right)\right|<\mathrm{\&alpha;},\\ k\left(z_i\left(t\right)+\mathrm{\&alpha;}\right)& z_i\left(t\right)\&le;-\mathrm{\&alpha;},\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中k为主从动轮结合处的刚度系数，2α为齿隙的大小，z_i(t)＝θ_i(t)-θ_m(t)是驱动电机和负载的位置差；为将双电机伺服系统化为严格反馈形式，将公式(2)中的f(z_i(t))化为含有一个线性项和一个扰动项，如公式(3)：

f(z_i(t))＝z_i(t)+d_α(z_i(t))(3)

其中 $d_{\mathrm{\&alpha;}}\left(z_i\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\&alpha;}& z_i\left(t\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}.\\ -z_i\left(t\right)& \left|z_i\left(t\right)\right|<\mathrm{\&alpha;}.\\ \mathrm{\&alpha;}& z_i\left(t\right)\&le;-\mathrm{\&alpha;}.\end{array}\right.;$ 易知扰动项d_α(z_i(t))是有界的且||d_α(·)||≤α；则公式(2)形式的传递力矩T_i可化为公式(4)：

T_i＝kf(z_i(t))＝kz_i(t)+kd_α(z_i(t))(4)

根据公式(1)和公式(4)，定义状态变量双电机系统的状态空间表达式可表示为公式(5)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{b_m}{J_m}{x}_2+\frac{k}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left(x_{3i}-x_1\right)+\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}\left(x_{3i}-x_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3i}=x_{4i}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4i}=\frac{1}{J_i}{u}_i-\frac{b_i}{J_i}{x}_{4i}-\frac{k}{J_i}\left(x_{3i}-x_1\right)-\frac{1}{J_i}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}\left(x_{3i}-x_1\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

为便于步骤二中设计跟踪控制器，重新定义状态变量为和总控制律且两个电机的参数一致J＝J₁＝J₂，b＝b₁＝b₂则双电机伺服系统的状态空间(5)可化为严格反馈形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+f_1\left(t\right)+d_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=J^{-1}u+f_2\left(t\right)+d_2\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)=(\frac{k}{J_m}-1)x_3-\frac{b_m}{J_m}{x}_2-\frac{2k}{J_m}{x}_1,d_1=\frac{1}{J_m}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{kd}}_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{3i}-x_1)\\ f_2\left(t\right)=-\frac{b}{J}{x}_4-\frac{k}{J}(x_3-2x_1),d_2=-\frac{1}{J}k\left(d_{\mathrm{\&alpha;}}\right(x_{31}-x_1)+d_{\mathrm{\&alpha;}}(x_{32}-x_1\left)\right)\end{array}\right.;$

步骤二，利用鲁棒反步控制方法，从负载端输出x₁递推出电机端输入u，从而实现负载跟踪控制；

对于双电机伺服系统，主要控制目标是实现负载输出y跟踪参考信号y_d；采用鲁棒反步控制方法对公式(6)形式的双电机伺服系统的控制律进行设计；

定义每一步的跟踪误差信号为e_j＝x_j-η_j-1(i＝1,2,3,4)其中η₀＝y_d，η₁,η₂,η₃为虚拟控制量，根据李雅普诺夫稳定性理论可设计为公式(7)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_1=-k_1{e}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\\ {\mathrm{\&eta;}}_2=-k_2{e}_2-e_1-f_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1\\ {\mathrm{\&eta;}}_3=-k_3{e}_3-e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1=-k_1(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d,{\mathrm{\&beta;}}_1=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_2}{J_m^2{\mathrm{\&epsiv;}}_1},{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=-k_2(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)-k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)$ $+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)x_4-\frac{b_m}{J_m}(x_3+f_1)-\frac{2k}{J_m}{x}_2$ 和k₁,k₂,k₃均为正常数；

根据李雅普诺夫稳定性理论，实际的跟踪控制律设计为公式(8)：

$u=J(-k_4{e}_4-f_2-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)---\left(8\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=-k_3(x_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)-(x_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)-k_2(x_4+k_1(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-(x_3+f_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d$ $-k_1(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{f}}_1=(\frac{k}{J_m}-1)(u+f_2)-\frac{b_m}{J_m}(x_4+{\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1)-\frac{2k}{J_m}(x_3+f_1),{\mathrm{\&beta;}}_2=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_4}{J^2{\mathrm{\&epsiv;}}_2};$

根据跟踪控制律u实现负载的跟踪控制；

步骤三，以两个电机间的位置差作为反馈状态，定义广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法，分别设计同步控制器和消隙控制器，保证电机间的同步并且消除齿隙非线性影响；

定义广义同步误差，即在未出现齿隙时以两个电机的位置差作为同步误差；在双电机伺服系统即将出现齿隙时以两个电机的位置差减去齿隙宽度作为同步误差；并基于上述广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器；

1)未出现齿隙时，设计同步控制器保证两个电机位置同步；定义两电机间的同步误差e_s1＝x₃₁-x₃₂，第二步的同步误差为e_s2＝x₄₁-x₄₂-η_s1，其中η_s1＝-k_s1e_s1；则两个电机的控制律u_s1、u_s2之差为：

$u_{s1}-u_{s2}=-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(9\right)$

其中β_s1,β_s2为鲁棒项满足：

e_s2[β_s1+kd_α(x₃₁-x₁)]≤ε_s1,e_s2[β_s2+kd_α(x₃₂-x₁)]≤ε_s2(10)

其中ε_s1,ε_s2为正常数；因此鲁棒项设计为：

${\mathrm{\&beta;}}_{s1}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s1}},{\mathrm{\&beta;}}_{s2}=\frac{-k^2{\mathrm{\&alpha;}}^2{e}_{s2}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{s2}};---\left(11\right)$

结合式(8)和(9)可得每个电机的实际同步控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{s1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{s1}-k_{s2}{e}_{s2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{s2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{s1}+k_{s2}{e}_{s2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(12\right)$

如(12)设计的控制律可同时实现负载的跟踪和两个电机的同步；

2)即将出现齿隙时，设计消隙控制器来消除齿隙非线性的影响；定义两电机间的同步误差e_b1＝x₃₁-x₃₂-2α，第二步的同步误差为e_b2＝x₄₁-x₄₂-η_b1，其中η_b1＝-k_b1e_b1；则两个电机的控制律u_b1、u_b2之差为：

$u_{b1}-u_{b2}=-e_{b1}-k_{b2}{e}_{b2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}+b(x_{41}-x_{42})+k(x_{31}-x_{32})-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}---\left(13\right)$

结合式(8)和(13)可得每个电机的实际消隙控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{b1}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)-e_{b1}-k_{b2}{e}_{b2}+J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{41}+{\mathrm{kx}}_{31}\\ u_{b2}=\frac{J(-k_4{e}_4-e_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&beta;}}_2)+e_{b1}+k_{b2}{e}_{b2}-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}+{\mathrm{\&beta;}}_{s1}-{\mathrm{\&beta;}}_{s2}}{2}+{\mathrm{bx}}_{42}+{\mathrm{kx}}_{32}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{b1}=-k_{b1}(x_{41}-x_{42});$

步骤四，以电机负载间的位置差作为转换函数，实现双电机同步控制与消隙控制器的转换，从而保证双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙同时实现；

由步骤一中的齿隙死区模型可知，当|z_i|≤α时，双电机伺服系统的传递力矩为0，即出现齿隙；因此将|z_i|＝α作为临界状态，以电机负载间的位置差设计转换函数，实现同步控制和消隙控制的平稳过渡；

转换函数w设计公式(15)：

$w=\left\{\begin{array}{cc}1,& \left|z_i\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \frac{\mathrm{\&beta;}-\left|z_i\right|}{\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&alpha;}},& \mathrm{\&alpha;}\&le;\left|z_i\right|\&le;\mathrm{\&beta;}\\ 0,& \mathrm{\&beta;}<\left|z_i\right|\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中β>α，β的取值根据同步控制与消隙控制器的过渡快慢设定；

根据公式(12)所示的实际同步控制律和公式(14)所示的实际消隙控制律，可得综合控制律设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=(1-w)u_{s1}+{\mathrm{wu}}_{b1}\\ u_2=(1-w)u_{s2}+{\mathrm{wu}}_{b2}\end{array}\right.---\left(16\right)$

定义u_t＝u/2,u_s＝(u_s1-u_s2)/2,u_b＝(u_b1-u_b2)/2，则可将综合控制律(16)改写为由跟踪、同步与消隙相结合的形式：

u_i＝u_t-(-1)ⁱ(1-w)u_s-(-1)ⁱwu_b(17)

其中u_t为跟踪项，u_s为同步项，u_b为消隙项；

如公式(17)所设计的综合控制律，能够保证双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙同时实现。

2.如权利要求1所述的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，其特征在于：还包括步骤五；

步骤五，利用粒子群算法对步骤四设计的综合控制器的参数进行优化，在保证跟踪性能的前提下，降低系统的能耗；

为达到节能的效果，需要使控制量u_i的值最小，为同时满足跟踪精度与节能的目的，采用粒子群算法得到步骤四控制律中的未知参数k₁,k₂,k₃,k₄,k_s1,k_s2,k_b1,k_b2以及切换函数中β的最优值；具体方法为：

将跟踪精度与能耗整合成一个目标函数E，优化的最终目标是在满足约束条件的情况下求得目标函数E的最小值，即：

$J=min\left\{E\right\}=min\left\{{\&Integral;}_0^t\left(t\right|e_1\left(t\right)|+u_1^2+u_2^2)dt\right\}---\left(18\right)$

其中，积分区间0～t为实际工作时间；约束条件为：

$\left|e_1\left(t\right)\right|<10\%,min\{u_1^2+u_2^2\}---\left(19\right)$

公式(19)保证跟踪精度在10％以内，以及系统消耗的总能量最小。

3.一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，其特征在于：对含齿隙的双电机伺服系统进行分析，采用齿隙的死区模型建立双电机伺服系统的状态空间方程；根据双电机伺服系统的状态空间方程，利用鲁棒反步控制方法设计跟踪控制器，在跟踪控制器基础上利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器，并引入消隙控制器与同步控制的转换函数，在齿隙即将出现时施加消隙控制器补偿齿隙，在未出现齿隙时实现同步控制；从而能够保证同时实现双电机伺服系统的跟踪、同步与消隙控制。

4.如权利要求3所述的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，其特征在于：利用鲁棒反步控制方法设计同步控制器和消隙控制器的具体方法为，以两个电机间的位置差作为反馈状态，定义广义同步误差，利用鲁棒反步控制方法分别设计同步控制器和消隙控制器，从而保证电机间的同步并且消除齿隙非线性影响。

5.如权利要求3或4所述的一种用于双电机伺服系统的消隙同步控制方法，其特征在于：所述的跟踪控制器、同步控制器与消隙控制器构成了综合控制器；为使双电机伺服系统的输出快速的跟踪上参考信号、系统的超调量和稳态误差都较小、系统消耗的总能量较小，利用粒子群算法对综合控制器的参数进行优化，在保证跟踪性能的前提下，降低系统的能耗。