CN104753441A - 一种伺服电机的基于k-观测器的滑模预测控制方法 - Google Patents

Abstract

一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，该方法有五大步骤：步骤一：伺服电机系统模型分析及建模；步骤二：伺服电机系统K-观测器设计；步骤三：伺服电机的滑模预测控制设计；步骤四：跟踪性能检验与参数调节；步骤五：设计结束。本发明克服了现有控制技术的不足，给出一种基于K-观测器的滑模预测控制方法，在仅有角度信号的条件下，准确估计出角速度以及角加速度信号，实现对伺服电机系统转角、角速度以及角加速度的快速精确控制。

Description

一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法

技术领域

本发明涉及一种伺服电机的控制方法，它是一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，用于控制伺服电机转角、角速度以及角加速度，属于自动控制技术领域。

背景技术

伺服电机是一种控制电机，它可以把输入的电压信号变换为电机轴上的角速度和角位移。伺服电机又分为直流和交流两大类：直流伺服电机通常用于大功率控制系统，交流伺服电机用脉宽调制(PwM)信号来控制，通常用于小功率系统。伺服系统的传感器有许多种，在现代数字式伺服系统中，最常用的是轴角编码器，又称码盘。在伺服系统中，系统的设定值与从传感器反馈回来的测量信号相减，形成误差信号；控制器根据这个误差信号，以一定的算法产生出控制电机的信号。传统的PID控制方法需要伺服电机系统的精确数学模型和状态值。

在实际工程中，一些系统的状态或是无法直接测量得到，或是无法精确测量。例如，就速度信号而言，它在测量中容易受到噪声污染，并且出于节省成本、减轻系统质量等原因通常不被采用。因此，可以利用观测器重构系统未知状态，准确估计未知参数，在此基础上，实现对系统的控制。

在这种技术背景下，本发明针对伺服电机系统，给出了一种基于低增益K-观测器的滑模预测控制方法，用于控制伺服电机转角。采用这种控制不仅保证了闭环系统的稳定性，而且可以仅利用角度信号准确估计出角速度以及角加速度信息，更方便在工程实践中应用。

发明内容

1、发明目的

本发明的目的是提供一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，它克服了现有控制技术的不足，给出一种基于K-观测器的滑模预测控制方法，在仅有角度信号的条件下，准确估计出角速度以及角加速度信号，实现对伺服电机系统转角、角速度以及角加速度的快速精确控制。

2、技术方案

本发明的设计思想是：针对伺服电机系统，首先设计K-观测器，利用伺服电机的角度信号，估计出伺服电机系统的角速度和角加速度信号，然后设计滑模预测控制器，最后使用观测得到的信号作为滑模预测控制器的输入信号，实现对伺服电机系统的转角控制。

见图2，本发明一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，其方法步骤如下：

步骤一：伺服电机系统模型分析及建模：

伺服电机系统采用负反馈的控制结构，输出量为伺服电机系统转角。

伺服电机系统传递函数描述如下：

$G_d\left(s\right)=\frac{K_m}{s[{\mathrm{JL}}_d{s}^2+({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)s+(R_d{f}_0+K_e{K}_m)]}---\left(1\right)$

其中：K_m表示伺服电机的力矩系数；

J表示汽轮发电机功角初值；

L_d表示伺服电机系统电枢绕组的电感；

R_d表示伺服电机系统电枢绕组的电阻；

f₀表示阻尼系数；

K_e表示伺服电机系统反电势系数。

为了便于设计，分别定义三个状态变量x₁、x₂、x₃如下：

x₁＝θ

x₂＝ω

$x_3=\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}$

这时式(1)就可以写成

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=\frac{1}{{\mathrm{JL}}_d}[K_{m}u-({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)x_3-(R_d{f}_0+K_e{K}_m)x_2]$

取x＝[x₁ x₂ x₃]^T这时式(2)就可以写成

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)---\left(3\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& b_1& b_2\end{array}\right],$ B＝[0 0 b₃]^T， $b_1=\frac{-(R_d{f}_0+K_e{K}_m)}{{\mathrm{JL}}_d},b_2=\frac{-({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)}{{\mathrm{JL}}_d},$ $b_3=\frac{K_m}{{\mathrm{JL}}_d}.$

伺服电机输出可表示为：y(t)＝c^Tx，其中c＝[1 0 0]^T。

如此处理的目的是将伺服电机系统化为状态方程的表达形式，便于下一步设计。

步骤二：伺服电机系统K-观测器设计

1)K-观测器设计与分析

选取一个向量k＝[k₁ k₂ k₃]^T使得A₀＝A-kc^T是Hurwitz的。采用如下形式的一类K-观测器

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{v}=A_{0}v+e_{3}u$

式中：ω、v均为观测器状态向量；e₃＝[0 0 1]^T。

定义状态估计量

$\hat{x}=\mathrm{\ω}+b_{3}v---\left(5\right)$

以及估计误差

$\tilde{x}=x-\hat{x}---\left(6\right)$

对式(5)求导并将式(4)代入得

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}=\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+b_3\stackrel{\·}{v}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1+b_3(A_{0}v+e_{3}u)---\left(7\right)$

结合式(3)-(7)得

$\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}=\stackrel{\·}{x}-\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}=A_0(x-\hat{x})=A_0\tilde{x}---\left(8\right)$

由于A₀是Hurwitz的，则按指数趋于零。

2)按A₀为Hurwitz进行k的设计

首先求A₀的特征值。由于

$A_0=A-{\mathrm{kc}}^T=\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

$\mathrm{\λI}-A_0=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\λ}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\λ}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}-b_2\end{array}\right]---\left(10\right)$

则由|λI-A₀|＝0得：

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}{-b}_2\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^3+(k_1-b_2){\mathrm{\λ}}^2+({-k}_1{b}_2-b_1+k_2)\mathrm{\λ}+k_3-b_1{k}_1-k_2{b}_2=0---\left(11\right)$

取极点为-k₀，k₀＞0，则(λ+k₀)³＝0，即

${\left(\mathrm{\λ}{+k}_0\right)}^3={\mathrm{\λ}}^3+3k_0{\mathrm{\λ}}^2+3k_0^2\mathrm{\λ}+k_0^3=0---\left(12\right)$

对应式(11)和式(12)，得：

$k_1=3k_0+b_2,k_2=3k_0^2+k_1{b}_2+b_1,k_3=b_1{k}_1+b_2{k}_2+k_0^3---\left(13\right)$

步骤三：伺服电机的滑模预测控制设计

如图1所示，采用输出量(角度信号)的单位负反馈控制结构。利用Matlab环境下的.m语言编程实现伺服电机转角滑模预测控制器的结构和功能。即控制器的输入信号是参考信号和步骤二中K-观测器的输出值。

1)设定预定指令x_1d，与K-观测器的状态相减得到 $\stackrel{\widehat{\·\·}}{e}={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},$ 取滑模函数 $\widehat{\mathrm{\σ}}=c_1\hat{e}+c_2\stackrel{\widehat{\·}}{e}+\stackrel{\widehat{\·\·}}{e},$ 为设计方便取中间变量 $\hat{p}=c_1\stackrel{\widehat{\·}}{e}+c_2\stackrel{\widehat{\·\·}}{e}-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_{1d}.$

2)预测经过时间T的滑模面表示为：

3)设计滑模预测控制的目标函数为

$J(x,u,t)=\frac{1}{2}{\widehat{\mathrm{\σ}}}^T(t+T)\widehat{\mathrm{\σ}}(t+T)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{x}}_i^T(t+T){\tilde{x}}_i(t+T),(i=\mathrm{1,2,3}),$ 要实现最优控制需满足由此可得基于K-观测器的滑模预测控制器为

$u=-T^{-1}{\left(\frac{K_m}{{\mathrm{JL}}_d}\right)}^{-1}[\widehat{\mathrm{\σ}}+T(-\frac{(R_d{f}_0+K_m{K}_e)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_2-\frac{({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_3+\hat{p})]$

这里通过李雅普诺夫方法简要证明基于K-观测器的滑模预测控制的稳定性。取e＝x₁-x_1d。设李雅普诺夫函数由于观测器是指数收敛，可证明从而可证明基于K-观测器的滑模预测控制的稳定性，且伺服电机转角、角速度以及角加速度指数收敛。

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统性能是否满足设计要求，并且适当调节控制参数。借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab进行。

参数c₁、c₂、k₁、k₂、k₃为调节参数。若跟踪误差过大，不满足设计要求，则可以调节以上参数使控制算法满足要求。

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了伺服电机系统K-观测器设计方法；第三步给出了滑模预测控制方法。第四步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明针对伺服电机系统，给出一种基于K-观测器的滑模预测控制方法，用于控制伺服电机转角。具体优点包括两个方面：其一，可实现无需角速度和角加速度的预测控制；其二，与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计控制器过程中十分简便；其三，通过调节设计参数，能够简单、灵活地控制系统转角快速精确地跟踪预定指令。

附图说明

图1：本发明闭环控制系统结构和组件连接关系示意图。

图2：本发明基于K-观测器的滑模预测控制方法设计流程示意图。

图3(a)：k₀＝10时的K-观测器角度输出效果示意图。

图3(b)：k₀＝10时的K-观测器角速度输出效果示意图。

图3(c)：k₀＝10时的K-观测器角加速度输出效果示意图。

图4(a)：本发明实施方式中c₁＝5，c₂＝5，T＝0.2，k₀＝10时的伺服电机系统角度跟踪图。

图4(b)：本发明实施方式中c₁＝5，c₂＝5，T＝0.2，k₀＝10时的伺服电机系统角速度跟踪图。

图4(c)：本发明实施方式中c₁＝5，c₂＝5，T＝0.2，k₀＝10时的伺服电机系统角加速度跟踪图。

图5：本发明实施方式中c₁＝5，c₂＝5，T＝0.2，k₀＝10时的伺服电机系统控制输入图。

图中的标号、符号说明如下：

图3-图5中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3中纵坐标均分别表示K-观测器输出的角度、角速度和角加速度，单位是分别是弧度、弧度每秒和弧度每秒的平方；图4中纵坐标均分别表示伺服电机输出的角度、角速度和角加速度跟踪图，单位是分别是弧度、弧度每秒和弧度每秒的平方；图5中纵坐标表示控制量输入，单位是伏特；

具体实施方式

设计目标为伺服电机系统转角的控制；其具体实施中，伺服电机系统直接神经网络控制方法的仿真和检验都借助于Matlab中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍一个具有一定代表性的实施方式，来进一步说明本发明技术方案中的相关设计以及设计参数的调节方法。

见图2，本发明一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：伺服电机系统模型分析及建模

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量伺服电机转角。所设计的闭环控制系统主要控制器环节和系统模型这两个部分，其结构布局情况见图1所示。

伺服电机系统模型(1)中，参数选取如下：K_m＝5，J＝10，L_d＝0.1，R_d＝0.5，f₀＝0.1，K_e＝1。

步骤二：伺服电机系统K-观测器设计

1)K-观测器设计与分析

选取一个向量k＝[k₁ k₂ k₃]^T使得A₀＝A-kc^T是Hurwitz的。采用如下形式的一类K-观测器

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1---\left(14\right)$

$\stackrel{\·}{v}=A_{0}v+e_{3}u$

式中：ω、v均为观测器状态向量；e₃＝[0 0 1]^T。

定义状态估计量

$\hat{x}=\mathrm{\ω}+b_{3}v---\left(15\right)$

以及估计误差

$\tilde{x}=x-\hat{x}---\left(16\right)$

对式(15)求导并将式(14)代入得

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}=\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+b_3\stackrel{\·}{v}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1+b_3(A_{0}v+e_{3}u)---\left(17\right)$

结合式(14)-(17)得

$\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}=\stackrel{\·}{x}-\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}=A_0(x-\hat{x})=A_0\tilde{x}---\left(18\right)$

由于A₀是Hurwitz的，所以按指数趋于零。

2)按A₀为Hurwitz进行k的设计

首先求A₀的特征值。由于

$A_0=A-{\mathrm{kc}}^T=\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]---\left(19\right)$

$\mathrm{\λI}-A_0=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\λ}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\λ}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}-b_2\end{array}\right]---\left(20\right)$

则由|λI-A₀|＝0得：

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}{-b}_2\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^3+(k_1-b_2){\mathrm{\λ}}^2+({-k}_1{b}_2-b_1+k_2)\mathrm{\λ}+k_3-b_1{k}_1-k_2{b}_2=0---\left(21\right)$

取极点为-k₀，k₀＞0，则(λ+k₀)³＝0，即

${\left(\mathrm{\λ}{+k}_0\right)}^3={\mathrm{\λ}}^3+3k_0{\mathrm{\λ}}^2+3k_0^2\mathrm{\λ}+k_0^3=0---\left(22\right)$

对应式(21)和式(22)，得：

$k_1=3k_0+b_2,k_2=3k_0^2+k_1{b}_2+b_1,k_3=b_1{k}_1+b_2{k}_2+k_0^3---\left(23\right)$

针对第一步中选取的伺服电机系统模型，在伺服电机系统K-观测器中，取k₀＝10。K-观测器输出情况见图3(a)-(c)。

步骤三：伺服电机的滑模预测控制设计

如图1所示，采用输出量(角度信号)的单位负反馈控制结构。利用Matlab环境下的.m语言编程实现伺服电机转角滑模预测控制器的结构和功能。即控制器的输入信号是参考信号和步骤二中K-观测器的输出值。

1)设定预定指令x_1d，与K-观测器的状态相减得到 $\stackrel{\widehat{\·\·}}{e}={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},$ 取滑模函数 $\widehat{\mathrm{\σ}}=c_1\hat{e}+c_2\stackrel{\widehat{\·}}{e}+\stackrel{\widehat{\·\·}}{e},$ 为设计方便取中间变量 $\hat{p}=c_1\stackrel{\widehat{\·}}{e}+c_2\stackrel{\widehat{\·\·}}{e}-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_{1d}.$

2)预测经过时间T的滑模面表示为：

3)设计滑模预测控制的目标函数为

$J(x,u,t)=\frac{1}{2}{\widehat{\mathrm{\σ}}}^T(t+T)\widehat{\mathrm{\σ}}(t+T)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{x}}_i^T(t+T){\tilde{x}}_i(t+T),(i=\mathrm{1,2,3}),$ 要实现最优控制需满足由此可得基于K-观测器的滑模预测控制器为

$u=-T^{-1}{\left(\frac{K_m}{{\mathrm{JL}}_d}\right)}^{-1}[\widehat{\mathrm{\σ}}+T(-\frac{(R_d{f}_0+K_m{K}_e)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_2-\frac{({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_3+\hat{p})]$

见图5。

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统跟踪性能是否满足设计要求，借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab进行。调整好参数后基于K-观测器的滑模预测控制方法效果见图4(a)-(c)。

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了伺服电机系统K-观测器设计方法及相关参数的确定。第三步给出了滑模预测控制方法。第四步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。

Claims (1)

1.一种伺服电机的基于K-观测器的滑模预测控制方法，其特征在于：该方法步骤如下：

步骤一：伺服电机系统模型分析及建模

伺服电机系统采用负反馈的控制结构，输出量为伺服电机系统转角；

伺服电机系统传递函数描述如下：

$G_d\left(s\right)=\frac{K_m}{s[{\mathrm{JL}}_d{s}^2+({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)s+(R_d{f}_0+K_e{K}_m)]}---\left(1\right)$

其中：K_m表示伺服电机的力矩系数；

J表示汽轮发电机功角初值；

L_d表示伺服电机系统电枢绕组的电感；

R_d表示伺服电机系统电枢绕组的电阻；

f₀表示阻尼系数；

K_e表示伺服电机系统反电势系数；

为了便于设计，分别定义三个状态变量x₁、x₂、x₃如下：

x₁＝θ

x₂＝ω

$x_3=\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}$

这时式(1)就写成

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=\frac{1}{{\mathrm{JL}}_d}[K_{m}u-({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)x_3-(R_d{f}_0+K_e{K}_m)x_2]\end{array}---\left(2\right)$

取x＝[x₁ x₂ x₃]^T这时式(2)就写成

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)---\left(3\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& b_1& b_2\end{array}\right],$ B＝[0 0 b₃]^T， $b_1=\frac{-(R_d{f}_0+K_e{K}_m)}{{\mathrm{JL}}_d},b_2=\frac{-({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)}{{\mathrm{JL}}_d},$ $b_3=\frac{K_m}{{\mathrm{JL}}_d};$

伺服电机输出表示为：y(t)＝c^Tx，其中c＝[1 0 0]^T；

如此处理的目的是将伺服电机系统化为状态方程的表达形式，便于下一步设计；

步骤二：伺服电机系统K-观测器设计

1)K-观测器设计与分析

选取一个向量k＝[k₁ k₂ k₃]^T使得A₀＝A-kc^T是Hurwitz的，采用如下形式的一类K-观测器

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1\\ \stackrel{\·}{v}=A_{0}v+e_{3}u\end{array}---\left(4\right)$

式中：ω、v均为观测器状态向量；e₃＝[0 0 1]^T；

定义状态估计量

$\hat{x}=\mathrm{\ω}+b_{3}v---\left(5\right)$

以及估计误差

$\tilde{x}=x-\hat{x}---\left(6\right)$

对式(5)求导并将式(4)代入得

$\stackrel{\·}{\hat{x}}=\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+b_3\stackrel{\·}{v}=A_0\mathrm{\ω}+k{x}_1+b_3(A_{0}v+e_{3}u)---\left(7\right)$

结合式(3)-(7)得

$\stackrel{\·}{\tilde{x}}=\stackrel{\·}{x}-\stackrel{\·}{\hat{x}}=A_0(x-\hat{x})=A_0\tilde{x}---\left(8\right)$

由于A₀是Hurwitz的，则按指数趋于零；

2)按A₀为Hurwitz进行k的设计

首先求A₀的特征值，由于

$A_0=A-{\mathrm{kc}}^T=\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

$\mathrm{\λI}-A_0=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\λ}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\λ}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 1& 0\\ -k_2& 0& 1\\ -k_3& b_1& b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}-b_2\end{array}\right]---\left(10\right)$

则由|λI-A₀|＝0得：

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{\λ}+k_1& -1& 0\\ k_2& \mathrm{\λ}& -1\\ k_3& -b_1& \mathrm{\λ}-b_2\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^3+(k_1-b_2){\mathrm{\λ}}^2+(-k_1{b}_2-b_1+k_2)\mathrm{\λ}+k_3-b_1{k}_1-k_2{b}_2=0---\left(11\right)$

取极点为-k₀，k₀＞0，则(λ+k₀)³＝0，即

${(\mathrm{\λ}+k_0)}^3={\mathrm{\λ}}^3+3k_0{\mathrm{\λ}}^2+3k_0^2\mathrm{\λ}+k_0^3=0---\left(12\right)$

对应式(11)和式(12)，得：

$k_1=3k_0+b_2,k_2=3k_0^2+k_1{b}_2+b_1,k_3=b_1{k}_1+b_2{k}_2+k_0^3---\left(13\right)$

步骤三：伺服电机的滑模预测控制设计

采用输出量即角度信号的单位负反馈控制结构，利用Matlab环境下的.m语言编程实现伺服电机转角滑模预测控制器的结构和功能；即控制器的输入信号是参考信号和步骤二中K-观测器的输出值；

1)设定预定指令x_1d，与K-观测器的状态相减得到 $\widehat{\stackrel{\·\·}{e}}={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},$ 取滑模函数 $\widehat{\mathrm{\σ}}=c_1\hat{e}+c_2\widehat{\stackrel{\·}{e}}+\widehat{\stackrel{\·\·}{e}},$ 为设计方便取中间变量 $\hat{p}=c_1\widehat{\stackrel{\·}{e}}+c_2\widehat{\stackrel{\·\·}{e}}-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_{1d};$

2)预测经过时间T的滑模面表示为： $\widehat{\mathrm{\σ}}(t+T)=\mathrm{\σ}\left(t\right)+T\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(t\right);$

3)设计滑模预测控制的目标函数为 $J(x,u,t)=\frac{1}{2}{\widehat{\mathrm{\σ}}}^T(t+T)\widehat{\mathrm{\σ}}(t+T)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{x}}_i^T(t+T){\tilde{x}}_i(t+T),(i=\mathrm{1,2,3}),$ 要实现最优控制需满足由此可得基于K-观测器的滑模预测控制器为

$u=-T^{-1}{\left(\frac{K_m}{{\mathrm{JL}}_d}\right)}^{-1}[\widehat{\mathrm{\σ}}+T(-\frac{(R_d{f}_0+K_m{K}_e)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_2-\frac{({\mathrm{JR}}_d+f_0{L}_d)}{{\mathrm{JL}}_d}{\hat{x}}_3+\hat{p})]$

这里通过李雅普诺夫方法简要证明基于K-观测器的滑模预测控制的稳定性；取e＝x₁-x_1d，设李雅普诺夫函数由于观测器是指数收敛，证明从而证明基于K-观测器的滑模预测控制的稳定性，且伺服电机转角、角速度以及角加速度指数收敛；

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统性能是否满足设计要求，并且适当调节控制参数；借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab进行；

参数c₁、c₂、k₁、k₂、k₃为调节参数，若跟踪误差过大，不满足设计要求，则调节以上参数使控制算法满足要求；

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性；围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了伺服电机系统K-观测器设计方法；第三步给出了滑模预测控制方法；第四步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。