CN104613157A - 基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法，将贝塞尔曲线用于液力变矩器叶片的设计中，在给定液力变矩器的循环圆后，利用两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵构造单元叶片骨线控制点矩阵及单元叶片厚度分布控制点矩阵，对构造的单元叶片骨线控制点矩阵进行旋转、放大获得实际叶片骨线控制点矩阵，同时单元叶片厚度分布控制点矩阵进行放大获得实际叶片厚度分布控制点矩阵，获得实际叶片骨线控制点矩阵和实际叶片厚度分布控制点矩阵后，用三次贝塞尔曲线构造叶片骨线和实际叶片厚度分布，最后将获得的实际叶片厚度分布叠加到获得的实际叶片骨线上最终获得叶片二维型线。本发明能够增加二维叶片型线的设计的鲁棒性、适应性及灵活性，设计参数简洁、直观。

Description

基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法

技术领域

本发明涉及车辆传动系统领域，具体涉及一种基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法。

背景技术

叶栅系统设计是液力变矩器设计的核心，直接影响液力变矩器的性能。

传统液力变矩器叶栅设计方法为基于一维束流理论的环量分配法或等角变换法。环量分配法的基本设计思想是循环圆中间流线上两元线间每增加相同的弧长，液流沿叶片中间流线应增加相同的环量，以此保证流道内流动状态良好。使用此方法设计叶片与骨线角度有关，而与厚度无关，且当叶片曲率变化较大时，易出现较大扭曲，使设计出来的叶片制造困难。等角变换法是在束流理论确定叶片入、出口角的基础上，使用直线-抛物线-直线的方式构造叶片中弧线，再给定加厚规律对其进行加厚得到叶片展开图。传统的二维叶片造型方法，适应性及灵活性较差，且叶片型线二阶导数和曲率均不连续，导致叶片水力特性较差。

发明内容

有鉴于此，本发明要解决的技术问题是提供了一种基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法。采用该方法在对二维叶片型线进行构造，该方法设计灵活性及适应性高，全叶型二阶导数连续、曲率连续无突变，可直接通过定义关键几何参数进行叶片型线构造，有利于后续液力变矩器的性能优化。

为解决上述技术问题，本发明包括以下步骤：

步骤1：给定液力变矩器的循环圆，该循环圆包括叶片入口边、叶片出口边；

步骤2：由给定的单元骨线关键几何参数求得单元叶片骨线首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵，将获得的首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵经旋转、缩放获得实际叶片骨线控制点矩阵，构造实际叶片骨线；

步骤3：单元叶片厚度分布由两段三次贝塞尔曲线及入、出口圆弧过渡构成，由给定的厚度分布关键几何参数求得首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵以及入、出口圆弧圆心和半径坐标，经缩放获得实际叶片厚度控制点矩阵和实际入、出口边圆心、半径坐标，进而构造实际叶片厚度。

步骤4：将叶片厚度分布叠加到叶片骨线上，获得叶片二维型线。

所述步骤2具体包括：

单元叶片骨线首段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs为：

$P_{\mathrm{gs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ x_g^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ x_g^{*}& y_g^{*}\end{array}\right]---\left(1\right)$

单元叶片骨线尾段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gw为：

$P_{\mathrm{gw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_g^{*}& y_g^{*}\\ x_g^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ 1-y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ 1& 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，α_e和α_o为单元叶片骨线入口角、出口角，单元叶片骨线峰值坐标 为单元叶片骨线首段贝塞尔曲线终点曲率，y_gs1为单元叶片骨线首段贝塞尔曲线第二个控制点y轴的值；

$y_{\mathrm{gs}1}=\frac{-16{\mathrm{\ρ}}_g^{*}+3[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]\±4\sqrt{16{\left({\mathrm{\ρ}}_g^{*}\right)}^2-6{\mathrm{\ρ}}_g^{*}[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]\{1-y_g^{*}[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)\left]\right\}}}{3{[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]}^2}---\left(3\right)$

直接对单元叶片骨线首尾贝塞尔曲线控制点进行旋转，得到旋转后单元叶片骨线首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_rot、P_gw_rot：

其中，为给定的叶片旋转角；

通过放大倍数，接对旋转后贝塞尔曲线控制点矩阵进行放大，实现对叶片骨线贝塞尔曲线的放大，得到叶片骨线实际首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_real、P_gw_real：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\τ}}_g\×P_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{rot}\\ P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\τ}}_g\×P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{rot}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，τ_g为放大倍数，L为叶片内环由入口到出口循环圆长度；

获得实际叶片贝塞尔曲线控制点后，构造实际叶片骨线。

所述步骤3具体包括：

单元叶片厚度首段贝塞尔曲线控制点矩阵为：

$P_{\mathrm{hs}}=\left[\begin{array}{cc}0& r_e\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}& {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\β}}_e\right)+r_e\\ x_h^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_h^{*}(y_h^{*}-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\β}}_e\right)-r_e)}{3}}& y_h^{*}\\ x_h^{*}& y_h^{*}\end{array}\right]---\left(7\right)$

单元叶片厚度尾段贝塞尔曲线控制点矩阵为：

$P_{\mathrm{hw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_h^{*}& y_h^{*}\\ x_h^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_h^{*}[y_h^{*}-[1-1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\β}}_o\right)-r_o]}{3}}& y_h^{*}\\ 1-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})& [1-1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\β}}_o\right)+r_o\\ 1& r_o\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，β_e和β_o为单元叶片厚度分布入口处楔角、出口处楔角，单元叶片厚度峰值坐标 为厚度峰值处曲率半径，r_e为单元厚度分布入口半径，r_o为单元厚度分布出口半径；τ_hs2为首段曲线第二个控制点横坐标占首段曲线x方向长度的比例，τ_hw3为尾段曲线第三个控制点横坐标占尾段曲线x方向长度的比例：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hs}2}=\frac{x_{\mathrm{hs}1}}{x_h^{*}}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{hw}3}=\frac{1-x_{\mathrm{hw}2}}{1-x_h^{*}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，x_hs1表示首段曲线第二个控制点横坐标，x_hw2表示尾段曲线第三个控制点横坐标；

单元叶片厚度分布由贝塞尔曲线及入、出口处的圆弧过渡构成；入口、出口圆弧过渡圆心及半径坐标：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{re}}=\frac{r_e}{\cos {\mathrm{\β}}_e}\\ r_{\mathrm{ro}}=\frac{r_o}{\cos {\mathrm{\β}}_o}\end{array}\right.---\left(10\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{re}}=r_{\mathrm{re}}\sin \left({\mathrm{\β}}_e\right)-r_{\mathrm{re}}\\ x_{\mathrm{ro}}=1-r_{\mathrm{ro}}\sin \left({\mathrm{\β}}_o\right)\\ y_{\mathrm{re}}=y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，r_re和r_ro分别表示入口、出口圆弧半径，x_re和y_re表示入口圆弧圆心坐标，x_ro和y_ro表示出口圆弧圆心坐标；

单元叶片厚度分布总弦长l_h：

l_h＝1+r_re+r_ro-r_resin(β_e)-r_rosin(β_o)   (12)

对单元叶片厚度分布进行放大，获得实际叶片厚度分布；

厚度缩放比例τ_h：

${\mathrm{\τ}}_h=L-\frac{R_e[1-\sin \left({\mathrm{\β}}_e\right)]}{\cos \left({\mathrm{\β}}_e\right)}-\frac{R_o[1-\sin \left({\mathrm{\β}}_o\right)]}{\cos \left({\mathrm{\β}}_o\right)}---\left(13\right)$

其中，R_e为实际叶片入口厚度半径，R_o为实际叶片出口厚度半径；

实际叶片厚度分布首尾贝塞尔曲线控制点P_hs_real、P_hw_real为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{hs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\τ}}_h\×P_{\mathrm{hs}}\\ P_{\mathrm{hw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\τ}}_h\×P_{\mathrm{hw}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

获得实际叶片厚度分布贝塞尔曲线控制点后，构造实际叶片厚度分布贝塞尔曲线，实际叶片厚度分布圆弧过渡的圆心及半径：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{re}}=r_{\mathrm{re}}{\×\mathrm{\τ}}_h\\ R_{\mathrm{ro}}=r_{\mathrm{ro}}{\×\mathrm{\τ}}_h\end{array}\right.---\left(15\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{re}}=x_{\mathrm{re}}{\×\mathrm{\τ}}_h\\ X_{\mathrm{ro}}=x_{\mathrm{ro}}\×{\mathrm{\τ}}_h\\ Y_{\mathrm{re}}=Y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，R_re和R_ro分别表示实际入口、出口圆弧半径，X_re和Y_ri表示入口圆弧圆心坐标，X_ro和Y_ro表示出口圆弧圆心坐标。

有益效果：

可以看出，本发明中提供的基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法设计中，利用两段三次贝塞尔曲线进行单元叶片骨线的设计，建立贝塞尔曲线控制点与关键几何参数的数学关系，使得设计人员可以直接通过几何参数进行叶片设计，增加了二维叶片型线的设计的鲁棒性、适应性及灵活性，设计参数简洁、直观。

附图说明

图1为该方法的流程图。

图2为单元叶片骨线构造示意图。

图3为单元叶片骨线旋转示意图。

图4为单元叶片骨线放大示意图。

图5为单元叶片厚度构造示意图。

图6为叶片厚度入、出口圆弧过渡示意图。

图7为单元叶片厚度放大示意图。

图8为二维叶片型线构造示意图。

图9为实际叶片二维型线图。

具体实施方式

本发明提供了一种基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片线型的构造方法，其核心思想是：通过贝塞尔曲线构造叶片骨线和片厚度分布，将厚度分布叠加到叶片骨线上，得到二维叶片型线，可以提高叶片造型灵活性和适应性。

液力变矩器的叶轮包括泵轮、涡轮和导轮，其形式有轴流轮、径流轮、混流轮，不同形式叶轮的二维叶片型线均可采用本发明提出的贝塞尔曲线方法进行构造，其构造方法相同。

下面仅以泵轮叶片的构造为例，结合附图1具体介绍基于贝塞尔曲线的泵轮叶片二维型线造型方法的步骤并进行详细描述：

步骤1：给定液力变矩器的循环圆，该循环圆包括叶片入口边、叶片出口边；

步骤2：构造叶片骨线；

泵轮叶片不同循环圆截面上的二维叶片型线构造方法相同，下面仅以构造泵轮叶片的内环型线为例进行详细介绍：

步骤201：构造单元叶片骨线；

建立以单元叶片骨线的起点为坐标原点，单元叶片骨线的弦向为x轴，单元叶片骨线的高度方向为y轴的二维坐标系；给定单元叶片骨线入口角、出口角α_e和α_o，骨线峰值坐标骨线在峰值处被分为首、尾两段三次贝塞尔曲线，首段贝塞尔曲线起点在原点处，起点处的切量矢量由单元叶片骨线入口角α_e给定，终点位于骨线峰值处，终点处切量矢量方向为水平，以保证给定的峰值为整段骨线的最高点。尾段贝塞尔曲线的起点在骨线峰值处，起点处切量矢量方向与首段曲线终点处切向矢量方向一致，以保证整条曲线的一阶连续性和峰值位置，终点位于(0,1)处，终点切量矢量方向由单元叶片骨线出口角α_o给定。同时，给定峰值处曲率半径使两条曲线在接合点处曲率半径一致，则整条骨线曲率无突变，叶型更合理。

设首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵为P_gs、P_gw，如式(1)所示：

$P_{\mathrm{gs}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{gs}0}& y_{\mathrm{gs}0}\\ x_{\mathrm{gs}1}& y_{\mathrm{gs}1}\\ x_{\mathrm{gs}2}& y_{\mathrm{gs}2}\\ x_{\mathrm{gs}3}& y_{\mathrm{gs}3}\end{array}\right],$ $P_{\mathrm{gw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{gw}0}& y_{\mathrm{gw}0}\\ x_{\mathrm{gw}1}& y_{\mathrm{gw}1}\\ x_{\mathrm{gw}2}& y_{\mathrm{gw}2}\\ x_{\mathrm{gw}3}& y_{\mathrm{gw}3}\end{array}\right]---\left(1\right)$

已设定首段贝塞尔曲线起点在原点处、首尾两段贝塞尔曲线在骨线峰值处接合、尾段贝塞尔曲线终点位于(0,1)处，因此可知：

$\left\{\begin{array}{c}(x_{\mathrm{gs}0},y_{\mathrm{gs}0})=\left(\mathrm{0,0}\right),(x_{\mathrm{gs}3},y_{\mathrm{gs}3})=(x_g^{*},y_g^{*})\\ (x_{\mathrm{gw}0},y_{\mathrm{gw}0})=(x_g^{*},y_g^{*}),(x_{\mathrm{gw}3},y_{\mathrm{gw}3})=\left(\mathrm{1,0}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

由贝塞尔曲线端点切向矢量条件，得：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{gs}1}=y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right),y_{\mathrm{gs}2}=y_g^{*}\\ y_{\mathrm{gw}1}=y_g^{*},x_{\mathrm{gw}2}=1-y_{\mathrm{gw}2}\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

由首段贝塞尔曲线终点曲率半径条件可得：

${\mathrm{\ρ}}_g^{*}=-\frac{{\left[{x_{\mathrm{gs}}}^{\′}\left(1\right)\right]}^2}{{y_{\mathrm{gs}}}^{\′\′}\left(1\right)}=-\frac{{[-{3x}_{\mathrm{gs}2}+{3x}_{\mathrm{gs}3}]}^2}{{6y}_{\mathrm{gs}1}-12y_{\mathrm{gs}2}+{6y}_{\mathrm{gs}3}}---\left(4\right)$

其中，x_gs'(1)表示首段贝塞尔曲线x方向一阶导函数在第2个控制点的值，其他以此类推。

式(3)和式(4)是关于x_gs2和y_gs1和二元二次方程，解(4)式得：

$x_{\mathrm{gs}2}=x_g^{*}\±\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}---\left(5\right)$

这两个解中，只有一个是实际叶片几何上允许的。由贝塞尔曲线的特性，其曲线沿着控制点多边形前进，而叶片骨线不允许有环、尖点等存在，为保证曲线的单调性，首段贝塞尔曲线控制点在x方向上应当依次递增，即有约束则式(5)应当取：

$x_{\mathrm{gs}2}=x_g^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}---\left(6\right)$

由接合点处两段曲线曲率相同条件可得：

$\frac{{y_{\mathrm{gs}}}^{\′\′}\left(1\right)}{{\left[{x_{\mathrm{gs}}}^{\′}\left(1\right)\right]}^2}=\frac{{y_{\mathrm{gw}}}^{\′\′}\left(0\right)}{{{[x_{\mathrm{gw}}}^{\′}\left(0\right)]}^2}---\left(7\right)$

由前面骨线定义可知，首、尾两段贝塞尔曲线在结合点点处y方向一阶导数是一致的，为保证上式恒成立，同时确保整段骨线一阶导数连续、二阶y方向导数连续，可令：

$\left\{\begin{array}{c}{y_{\mathrm{gs}}}^{\′\′}\left(1\right)={y_{\mathrm{gw}}}^{\′\′}\left(0\right)\\ {x_{\mathrm{gs}}}^{\′}\left(1\right)={x_{\mathrm{gw}}}^{\′}\left(0\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

解式(8)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{gw}1}=x_g^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}\\ y_{\mathrm{gw}2}=y_{\mathrm{gs}1}\end{array}\right.---\left(9\right)$

综合前面所有条件可知，此时骨线两段贝塞尔曲线未知控制点均表示成了y_gs1的函数，为确定y_gs1，还需要一个额外条件。由前面推导可得，整段骨线一阶导数连续、二阶y方向导数连续，为保证整段骨线平滑过渡，拥有良好的流动特性，现规定二阶x方向导数也连续，即x_gs″(1)＝x_gw″(0)，可得：

$y_{\mathrm{gs}1}[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]+8\sqrt{6{\mathrm{\ρ}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}-1=0---\left(10\right)$

解此根号方程，可得两个解：

$y_{\mathrm{gs}1}=\frac{-16{\mathrm{\ρ}}_g^{*}+3[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]\±4\sqrt{16{\left({\mathrm{\ρ}}_g^{*}\right)}^2-6{\mathrm{\ρ}}_g^{*}[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]\{1-y_g^{*}[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)\left]\right\}}}{3{[\cot \left({\mathrm{\α}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\α}}_e\right)]}^2}---\left(11\right)$

由式(6)和式(9)可知，要想x_gs2和x_gw1有实数解，须满足同时若y_gs1为负，叶片起点会反向，形成环，使得叶片形状不合理，故有以下约束：

$0<y_{\mathrm{gs}1}<y_g^{*}---\left(12\right)$

式(11)可能出现如下情况：

1)无实数解，此情况表明在给定参数下无法获得合理的叶型，需要修正给定参数，此情况下返回错误，不进行叶片造型；

2)两个解均不在约束(12)内，此情况与情况1)类似，表示无法构造合理叶型；

3)有一个解在约束(12)内，则取此解；

4)两个解均在约束(12)内，则取离最近的解，这样可以保证骨线过渡最平滑。

综上所述，叶片首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs、P_gw为：

$P_{\mathrm{gs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ x_g^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ x_g^{*}& y_g^{*}\end{array}\right]---\left(13\right)$

$P_{\mathrm{gw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_g^{*}& y_g^{*}\\ x_g^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ 1-y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_o\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ 1& 0\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，y_gs1由式(11)求得，这样建立叶片骨线几何参数与骨线7个控制点的关系，可以通过直接给定叶片几何参数来构造叶片骨线，且生成的叶片骨线一阶、二阶导数连续，曲率连续无突变，保证了良好的流动特性。

求得贝塞尔曲线控制点矩阵后，三次贝塞尔曲线由式(15)求得：

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_{i,3}\left(u\right)P_i,$ 0≤u≤1   (15)

其中，i取值为1～3的整数，u为隐式表达独立变量，P_i为控制点矩阵，求叶片首段贝塞尔曲线时，P_i为P_gs；求叶片尾贝塞尔曲线时，P_i为P_gw；基函数{B_i,n(u)}是n次Bernstein多项式，其定义为：

$B_{i,3}\left(u\right)=\frac{3!}{i!(3-i)!}{u}^i{(1-u)}^{3-i}---\left(16\right)$

步骤202：依据给定的叶片旋转角对贝塞尔曲线进行旋转，如图3所示；由贝塞尔曲线的仿射不变性，对贝塞尔曲线的旋转操作可直接对控制点矩阵进行，按照式(17)对单元叶片骨线控制点矩阵进行旋转，得到旋转后首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_rot、P_gw_rot：

其中，为给定的叶片旋转角。

步骤203：通过式(18)计算放大倍数，对贝塞尔曲线进行放大，如图4所示；由贝塞尔曲线的仿射不变性，对贝塞尔曲线的缩放操作可直接对控制点矩阵进行，按照式(19)对单元叶片骨线控制点矩阵进行放大，得到放大后的首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_real、P_gw_real：：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_g\&times;P_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{rot}\\ P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_g\&times;P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{rot}\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，L为叶片内环由入口到出口循环圆长度。

步骤204：获得实际叶片贝塞尔曲线控制点后，即可由式(15)构造实际叶片骨线；

步骤3：构造叶片厚度分布；

泵轮叶片不同循环圆截面上的二维叶片厚度分布构造方法相同，下面仅以构造泵轮叶片的内环厚度分布为例进行详细介绍；

步骤301：构造单元厚度分布贝塞尔曲线；

建立以单元叶片厚度曲线的起点为坐标原点，单元叶片骨线的弦向为x轴，单元叶片骨线的高度方向为y轴的二维坐标系；给定单元厚度入口厚度半径r_e，单元厚度出口厚度半径r_o，单元最大厚度半径及其位置单元厚度峰值处曲率半径单元厚度入口处楔角β_e，单元厚度出口处楔角β_o。单元叶片厚度分布为贝塞尔曲线部分弦向长度为1的曲线，由两段三次贝塞尔曲线构成，首、尾两段贝塞尔曲线在最大厚度处接合，如图5所示；在入、出口处采用圆弧过渡，首段贝塞尔曲线起点位于(0,r_e)，起点处切向矢量由厚度入口楔角β_e给定，终点位于骨线峰值处，切向矢量水平；尾段贝塞尔曲线起点位于峰值处，切向矢量水平，终点位于(1,r_o)，切向矢量由厚度出口楔角β_e给定；两段曲线在接合点，即最大厚度处，曲率半径一致。

与单元叶片骨线造型类似，在最大厚度处分为首、尾两段三次贝塞尔曲线，在入、出口处采用圆弧过渡。首段贝塞尔曲线起点位于(0,r_i)，起点处切量矢量方向由厚度入口楔角β_e给定，终点位于骨线峰值处，切矢水平。尾段贝塞尔曲线起点位于峰值处，切矢水平，终点位于(1,r_o)，切矢由厚度出口楔角β_o给定。两段曲线在接合点，即最大厚度处，给定曲率半径使整段厚度曲线曲率无突变，叶型更合理。

设两段厚度贝塞尔曲线控制点为：

$P_{\mathrm{hs}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{hs}0}& y_{\mathrm{hs}0}\\ x_{\mathrm{hs}1}& y_{\mathrm{hs}1}\\ x_{\mathrm{hs}2}& y_{\mathrm{hs}2}\\ x_{\mathrm{hs}3}& y_{\mathrm{hs}3}\end{array}\right],$ $P_{\mathrm{hw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{hw}0}& y_{\mathrm{hw}0}\\ x_{\mathrm{hw}1}& y_{\mathrm{hw}1}\\ x_{\mathrm{hw}2}& y_{\mathrm{hw}2}\\ x_{\mathrm{hw}3}& y_{\mathrm{hw}3}\end{array}\right]---\left(20\right)$

根据端点重合性质，得：

$\left\{\begin{array}{c}(x_{\mathrm{hs}0},y_{\mathrm{hs}0})=(0,r_i),(x_{\mathrm{hs}3},y_{\mathrm{hs}3})=(x_h^{*},y_h^{*})\\ (x_{\mathrm{hw}0},y_{\mathrm{hw}0})=(x_h^{*},y_h^{*}),(x_{\mathrm{gw}3},y_{\mathrm{gw}3})=(1,r_o)\end{array}\right.---\left(21\right)$

由端点切矢条件，得：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{hs}1}=x_{\mathrm{hs}1}\tan \left({\mathrm{\&beta;\&alpha;}}_e\right)+r,y_{\mathrm{hs}2}=y_h^{*}\\ y_{\mathrm{hw}1}=y_h^{*},y_{\mathrm{hw}2}=(1-x_{\mathrm{hw}2})\tan \left({\mathrm{\&beta;\&alpha;}}_o\right)+r\end{array}\right.---\left(22\right)$

由两段贝塞尔曲线在终点处曲率半径为可得：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{hs}2}=x_h^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}(y_h^{*}-x_{\mathrm{hs}1}\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)-r_i)}{3}}\\ x_{\mathrm{hw}1}=x_h^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}[y_h^{*}-(1-x_{\mathrm{hw}2})\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)-r_0]}{3}}\end{array}\right.---\left(23\right)$

厚度构造最终未知数为x_hs1和x_hw2。如果同样令整段厚度一阶、二阶导数连续，会得到y_hw2＝y_hs1。但液力变矩器叶片厚度分布往往具有头部较厚、尾部较薄的特点，特别是导轮叶片，其入口厚度半径较大，如果约束y_hw2＝y_hs1，可能无法构造符合要求的叶片。

为使厚度构造更灵活，且能够较好的符合已有液力变矩器叶片厚度分布，特规定两个额外非几何厚度控制参数：特定义两个非几何控制点参数τ_hs2和τ_hw3。τ_hs2为首段贝塞尔曲线第二个控制点横坐标占首段曲线x方向长度的比例，τ_hw3为尾段贝塞尔曲线第三个控制点横坐标占尾段曲线x方向长度的比例，其定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}=\frac{x_{\mathrm{hs}1}}{x_h^{*}}\\ {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}=\frac{1-x_{\mathrm{hw}2}}{1-x_h^{*}}\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中，x_hs1表示首段曲线第二个控制点横坐标，x_hw2表示尾段曲线第三个控制点横坐标。

给定式(24)后，即可解出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{hs}1}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\\ x_{\mathrm{hw}2}=1-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})\end{array}\right.---\left(25\right)$

综合以上公式，即可得叶片厚度首尾两段贝塞尔曲线控制点P_hs、P_hw：

$P_{\mathrm{hs}}=\left[\begin{array}{cc}0& r_e\\ {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}& {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)+r_e\\ x_h^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}(y_h^{*}-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)-r_e)}{3}}& y_h^{*}\\ x_h^{*}& y_h^{*}\end{array}\right]---\left(26\right)$

$P_{\mathrm{hw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_h^{*}& y_h^{*}\\ x_h^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}[y_h^{*}-[1-1+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)-r_o]}{3}}& y_h^{*}\\ 1-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})& [1-1+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)+r_o\\ 1& r_o\end{array}\right]---\left(27\right)$

步骤302：构造单元叶片厚度分布；

为减少液力变矩器流动损失，单元叶片厚度分布为贝塞尔曲线及入、出口处的圆弧过渡构成，如图6所示；其入、出口圆弧过渡圆心及半径坐标由式(28)及式(29)求得；

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{re}}=\frac{r_e}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)\mathrm{\&beta;}}\\ r_{\mathrm{ro}}=\frac{r_o}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)\mathrm{\&beta;}}\end{array}\right.---\left(28\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{re}}=r_{\mathrm{re}}\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)-r_{\mathrm{re}}\\ x_{\mathrm{ro}}=1-r_{\mathrm{ro}}\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)\\ y_{\mathrm{re}}=y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(29\right)$

其中，r_re和r_ro分别表示入口、出口圆弧半径，x_re和y_re表示入口圆弧圆心坐标，x_ro和y_ro表示出口圆弧圆心坐标；

单元叶片厚度分布总弦长l_h：

l_h＝1+r_re+r_ro-r_resin(β_e)-r_rosin(β_o)   (30)

步骤303：对单元叶片厚度分布进行放大，获得实际叶片厚度分布，如图7；

厚度缩放比例τ_h可由式(31)求得

${\mathrm{\&tau;}}_h=L-\frac{R_e[1-\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)]}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)}-\frac{R_o[1-\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)]}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)}---\left(31\right)$

其中，R_e为实际叶片入口厚度半径，R_o为实际叶片出口厚度半径；实际叶片厚度分布贝塞尔曲线控制点P_hs_real由式(32)求得

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{hs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_h\&times;P_{\mathrm{hs}}\\ P_{\mathrm{hw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_h\&times;P_{\mathrm{hw}}\end{array}\right.---\left(32\right)$

步骤304：获得实际叶片厚度分布贝塞尔曲线控制点后，即可由式(15)构造实际叶片厚度分布贝塞尔曲线，实际叶片厚度分布圆弧过渡的圆心及半径可由式(33)及式(34)求得。

$\left\{\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{re}}=r_{\mathrm{re}}{\&times;\mathrm{\&tau;}}_h\\ R_{\mathrm{ro}}=r_{\mathrm{ro}}{\&times;\mathrm{\&tau;}}_h\end{array}\right.---\left(33\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{re}}=x_{\mathrm{re}}{\&times;\mathrm{\&tau;}}_h\\ X_{\mathrm{ro}}=x_{\mathrm{ro}}\&times;{\mathrm{\&tau;}}_h\\ Y_{\mathrm{re}}=Y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(34\right)$

其中，R_re和R_ro分别表示实际入口、出口圆弧半径，X_re和Y_ri表示入口圆弧圆心坐标，X_ro和Y_ro表示出口圆弧圆心坐标；

步骤4：将厚度分布叠加到叶片骨线上，获得叶片二维型线，如图8所示；

设骨线坐标为(S_g(i),L_g(i))，叶片凹面坐标为(S_a(i),L_a(i))，叶片凸面坐标为(S_t(i),L_t(i))，则则骨线上i点法向角度φ_i由式(35)求得：

${\mathrm{\&phi;}}_i=a\tan (-\frac{1}{k_i})---\left(35\right)$

其中，i为骨线上所取分点，c为骨线上某点i的切向矢量，S为叶片弦向方向，L为叶片高度方向，k_i为骨线上某点i的切向矢量；

对应叶片凹面及凸面坐标公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_a\left(i\right)=S_g\left(i\right)-h_i\cos \left({\mathrm{\&phi;}}_i\right)\\ L_a\left(i\right)=L_g\left(i\right)-h_i\sin \left({\mathrm{\&phi;}}_i\right)\\ S_t\left(i\right)=S_g\left(i\right)+h_i\cos \left({\mathrm{\&phi;}}_i\right)\\ L_t\left(i\right)-L_g\left(i\right)+h_i\sin \left({\mathrm{\&phi;}}_i\right)\end{array}\right.---\left(36\right)$

其中，下标a表示凹面，下标t表示凸面，h_i骨线上第i对应的厚度；

完整叶片二维型线示意图如图9所示；

通过上述步骤，可以构造出基于贝塞尔曲线的液力变矩器的二维叶片型线，从而增加了叶片型线的鲁棒性、适应性及灵活性。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：给定液力变矩器的循环圆，该循环圆包括叶片入口边、叶片出口边；

步骤2：由给定的单元骨线关键几何参数求得单元叶片骨线首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵，将获得的首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵经旋转、缩放获得实际叶片骨线控制点矩阵，构造实际叶片骨线；

步骤3：单元叶片厚度分布由两段三次贝塞尔曲线及入、出口圆弧过渡构成，由给定的厚度分布关键几何参数求得首尾两段三次贝塞尔曲线控制点矩阵以及入、出口圆弧圆心和半径坐标，经缩放获得实际叶片厚度控制点矩阵和实际入、出口边圆心、半径坐标，进而构造实际叶片厚度。

步骤4：将叶片厚度分布叠加到叶片骨线上，获得叶片二维型线。

2.如权利要求1所述的基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法，其特征在于，所述步骤2具体包括：

单元叶片骨线首段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs为：

$P_{\mathrm{gs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ x_g^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ x_g^{*}& y_g^{*}\end{array}\right]---\left(1\right)$

单元叶片骨线尾段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gw为：

$P_{\mathrm{gw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_g^{*}& y_g^{*}\\ x_g^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}(y_g^{*}-y_{\mathrm{gs}1})}{3}}& y_g^{*}\\ 1-y_{\mathrm{gs}1}\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_o\right)& y_{\mathrm{gs}1}\\ 1& 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，α_e和α_o为单元叶片骨线入口角、出口角，单元叶片骨线峰值坐标为单元叶片骨线首段贝塞尔曲线终点曲率，y_gs1为单元叶片骨线首段贝塞尔曲线第二个控制点y轴的值；

$y_{\mathrm{gs}1}=\frac{-16{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}+3[\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)]\&PlusMinus;4\sqrt{16{\left({\mathrm{\&rho;}}_g^{*}\right)}^2-6{\mathrm{\&rho;}}_g^{*}\left[\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)\right]\{1-y_g^{*}[\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)\left]\right\}}}{3{[\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_o\right)+\cot \left({\mathrm{\&alpha;}}_e\right)]}^2}---\left(3\right)$

直接对单元叶片骨线首尾贝塞尔曲线控制点进行旋转，得到旋转后单元叶片骨线首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_rot、P_gw_rot：

其中，为给定的叶片旋转角；

通过放大倍数，接对旋转后贝塞尔曲线控制点矩阵进行放大，实现对叶片骨线贝塞尔曲线的放大，得到叶片骨线实际首尾两段贝塞尔曲线控制点矩阵P_gs_real、P_gw_real：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_g\&times;P_{\mathrm{gs}}\_\mathrm{rot}\\ P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_g\&times;P_{\mathrm{gw}}\_\mathrm{rot}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，τ_g为放大倍数，L为叶片内环由入口到出口循环圆长度；

获得实际叶片贝塞尔曲线控制点后，构造实际叶片骨线。

3.如权利要求1所述的基于贝塞尔曲线的液力变矩器二维叶片型线构造方法，其特征在于，所述步骤3具体包括：

单元叶片厚度首段贝塞尔曲线控制点矩阵为：

$R_{\mathrm{hs}}=\left[\begin{array}{cc}0& r_e\\ {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}& {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)+r_e\\ x_h^{*}-\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}(y_h^{*}-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}{x}_h^{*}\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)-r_e)}{3}}& y_h^{*}\\ x_h^{*}& y_h^{*}\end{array}\right]---\left(7\right)$

单元叶片厚度尾段贝塞尔曲线控制点矩阵为：

$P_{\mathrm{hw}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_h^{*}& y_h^{*}\\ x_h^{*}+\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_h^{*}[y_h^{*}-[1-1+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)-r_o]}{3}}& y_h^{*}\\ 1-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})& [1-1+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}(1-x_h^{*})]\tan \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)+r_o\\ 1& r_o\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，β_e和β_o为单元叶片厚度分布入口处楔角、出口处楔角，单元叶片厚度峰值坐标为厚度峰值处曲率半径，r_e为单元厚度分布入口半径，r_o为单元厚度分布出口半径；τ_hs2为首段曲线第二个控制点横坐标占首段曲线x方向长度的比例，τ_hw3为尾段曲线第三个控制点横坐标占尾段曲线x方向长度的比例：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hs}2}=\frac{x_{\mathrm{hs}1}}{x_h^{*}}\\ {\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{hw}3}=\frac{1-x_{\mathrm{hw}2}}{1-x_h^{*}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，x_hs1表示首段曲线第二个控制点横坐标，x_hw2表示尾段曲线第三个控制点横坐标；

单元叶片厚度分布由贝塞尔曲线及入、出口处的圆弧过渡构成；入口、出口圆弧过渡圆心及半径坐标：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{re}}=\frac{r_e}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_e}\\ r_{\mathrm{ro}}=\frac{r_o}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_o}\end{array}\right.---\left(10\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{re}}=r_{\mathrm{re}}\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)-r_{\mathrm{re}}\\ x_{\mathrm{ro}}=1-r_{\mathrm{ro}}\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)\\ y_{\mathrm{re}}=y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，r_re和r_ro分别表示入口、出口圆弧半径，x_re和y_re表示入口圆弧圆心坐标，x_ro和y_ro表示出口圆弧圆心坐标；

单元叶片厚度分布总弦长l_h：

l_h＝1+r_re+r_ro-r_re sin(β_e)-r_ro sin(β_o)                (12)

对单元叶片厚度分布进行放大，获得实际叶片厚度分布；

厚度缩放比例τ_h：

${\mathrm{\&tau;}}_h=L-\frac{R_e[1-\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)]}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_e\right)}-\frac{\mathrm{Ro}[1-\sin \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)]}{\cos \left({\mathrm{\&beta;}}_o\right)}---\left(13\right)$

其中，R_e为实际叶片入口厚度半径，R_o为实际叶片出口厚度半径；

实际叶片厚度分布首尾贝塞尔曲线控制点P_hs_real、P_hw_real为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{hs}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_h\&times;P_{\mathrm{hs}}\\ P_{\mathrm{hw}}\_\mathrm{real}={\mathrm{\&tau;}}_h\&times;P_{\mathrm{hw}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

获得实际叶片厚度分布贝塞尔曲线控制点后，构造实际叶片厚度分布贝塞尔曲线，实际叶片厚度分布圆弧过渡的圆心及半径：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{re}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{re}}\&times;{\mathrm{\&tau;}}_h\\ P_{\mathrm{ro}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{ro}}\&times;{\mathrm{\&tau;}}_h\end{array}\right.---\left(15\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{re}}=x_{\mathrm{re}}\&times;{\mathrm{\&tau;}}_h\\ X_{\mathrm{ro}}=x_{\mathrm{ro}}\&times;{\mathrm{\&tau;}}_h\\ Y_{\mathrm{re}}=Y_{\mathrm{ro}}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，R_re和R_ro分别表示实际入口、出口圆弧半径，X_re和Y_ri表示入口圆弧圆心坐标，X_ro和Y_ro表示出口圆弧圆心坐标。