CN104570928A - 基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明利用共形参数化能够在局部上保持曲面和参数域间形状的一致的优点，提出了网格曲面上加工轨迹的参数化规划方法。步骤包括：通过直接利用测地线计算重心坐标的方法对三角网格曲面M上各点进行局部共形映射；以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，获得整体的共形映射；利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的前向步长和侧向步长；根据行型轨迹、环型轨迹和螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式。与传统方法相比，利用本发明所生成的加工轨迹具有几何参数计算简单、边界一致和光顺等优点。实验结果和分析表明该方法计算简单，误差较小，适用于各类型轨迹的规划。

Description

基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法

技术领域

本发明涉及三角网格曲面、曲面参数化处理、数控加工及轨迹规划等技术，具体为采用共形参数化的方法在网格曲面上进行数控加工轨迹规划。

背景技术

数控加工作为先进制造技术中的核心，在自由曲面类零件的加工中占据着主导地位。而这些零件在模具、航空航天及船舶等工业中是不可或缺的。与CAD/CAM系统中常用的样条曲面相比，网格曲面具有模型描述简单，数据交换方便等优点，这使得网格曲面上的数控加工轨迹规划问题逐渐受到重视。然而网格曲面只含有简单的拓扑信息——点和连接关系，并不自然地具有参数结构与微分属性，通常采用传统的截平面法来规划其上的行型加工轨迹，传统的偏置方法来规划环型或者螺旋轨迹。而采用截平面法生成加工轨迹过程中，需进行大量的布尔运算，受初始平面选取的影响较大且型式单一，当模型具有复杂边界的时候，一般会生成相对过短的行型轨迹，使机床频繁地加减速，从而引起较大振动，降低加工精度和刀具的寿命。偏置方法在规划环型或者螺旋轨迹时，会产生轨迹自交和分裂现象，需要进行复杂的自交裁剪和分裂连接处理。与此同时，边界上的尖点会在偏置过程中被继承到每条轨迹上，当刀具运动到尖点处时，同样会引起加工效率和精度的下降。上述缺陷都使得这些方法难以适应现代加工的高速化、高精化趋势。曲面参数化因能实现空间复杂曲面与平面区域之间的一一映射，使得对空间模型的操作转化为平面上的对应操作，从而大大简化了曲面上的轨迹规划问题。这一性质引起了国内外数控加工领域学者们的注意，目前研究主要集中于调和映射的自由边界性，即为不同型式的轨迹设定不同参数域(如环型轨迹对应于圆形域)，从而使所生成的轨迹与网格曲面的边界具有一致性。但在计算轨迹的几何参数时，仍需迭代求解大量的非线性方程组或进行大量布尔运算，同时他们所选用的调和映射存在较大的畸变，而且无法保证映射的双射性，即有可能会出现平面一点对应空间多点的情况。由此看出，网格曲面上参数轨迹规划方法的研究尚未全面。

发明内容

为克服上述曲面参数化过程中存在的问题，本发明提出一种基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，通过基于测地距离的局部共形映射来构建空间网格曲面的全局共形参数化。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，包括以下步骤：

通过直接利用测地线计算重心坐标的方法对三角网格曲面M上各点进行局部共形映射；

以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，获得整体的共形映射；

利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的前向步长和侧向步长；

根据行型轨迹、环型轨迹和螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式。

所述局部共形映射，包括以下步骤：

针对三角网格，用面片上的直线来近似曲面上的测地线。

将三角形Dvv_kv_j和Dvv_kv_l沿交线vv_k展平至平面上，则v_l到v_j的测地线a即为平面线段v′_jv_l′在网格上的对应折线，同理可得v_l到v_i的测地线b；

对每个曲面三角形构造重心坐标

$p=w_i^l{p}_i+w_j^l{p}_j+w_l^l{p}_l---\left(7\right)$

其中， $w_l^l=\mathrm{Area}\left(\mathrm{\Δ}{\mathrm{vv}}_i{v}_j\right)/A;w_j^l=\mathrm{Area}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{vbv}}_i+\mathrm{\Δ}{\mathrm{vbv}}_l)/A;w_i^l=\mathrm{Area}\left({\mathrm{\Δvav}}_j{\mathrm{\Δvav}}_l\right)/A;$

A=Area(Δvv_iv_j+Δvav_j+Δvav_l+Δvbv_i+Δvbv_l)；点v_i,v_j,v_l分别是三角网格顶点v的邻接点，点p_i,p_j,p_l是与三角面片对应的曲面三角形的三个顶点；

取关于v_i的所有权值的平均值作为该点的局部共形映射权值

$w_i=\frac{1}{\mathrm{size}\left(N\left(p\right)\right)}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{w}_i^j---\left(9\right)$

从而，有

p=Σw_ip_i且w_i>0,Σw_i=1   （10）

所述以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，获得整体的共形映射，包括以下步骤；

解稀疏线性方程组

$0\⇒{\mathrm{AU}}^I=-{\mathrm{BU}}^o---\left(14\right)$ 其中， $W=\left[\begin{array}{cc}{A}_{m\×m}& B_{m\×(n-m)}\\ C_{(n-m)\×n}& \end{array}\right];U_{m\×2}^I={\left[u_{1}L{u}_m\right]}^T;U_{(n-m)\×2}^O={\left[u_{m+1}L{u}_n\right]}^T,$ u_i为空间网格上点v_i的平面对应点；

由于重心坐标{w_ij}的非负性，该方程组在给定边界映射时，具有唯一解，即系数矩阵是满秩矩阵，那么

U^I=-A^-1BU^O   （15）其中，系数矩阵A利用GMRES算法求解；所得解U和网格中顶点是一一对应的；通过求解稀疏线性方程组（14），得到顶点间的映射，从而得到对应三角面片上的线性映射

其中，T和分别代表空间三角网格M和对应平面网格D的三角面片集，记

则映射是对三角网格所代表的连续曲面S的某一共形参数化的分段线性近似。

所述利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的前向步长，包括以下步骤：

单条加工轨迹的前向间距可以表示为

$l_f\≤\sqrt{8\mathrm{eR}\cos \mathrm{\θ}-{4e}^2}---\left(32\right)$

其中R表示沿前向，即进给方向的法曲率半径，e表示弦高误差，θ表示曲面法向与曲线r(u₀,v)主法向间夹角；

将前向间距转化为参数域内的步长。

所述进给方向的法曲率半径R由下式给出

$\mathrm{\κ}=\frac{\mathrm{II}}{\text{I}}\frac{{\mathrm{Ldu}}^2+2\mathrm{Mdudv}+{\mathrm{Ndv}}^2}{{\mathrm{Edu}}^2+2\mathrm{Fdudv}+{\mathrm{Gdv}}^2}\text{---}\left(33\right)$

式中,E=r_u·r_u,F=r_u·r_v,G=r_v·r_v是曲面第一基本形式Ⅰ的系数，L=n·r_uu,M=n·r_uv,N=n·r_vv为曲面第二基本形式Ⅱ的系数,r为表示曲面的二元函数r(u,v)的简写，r_u为r(u,v)对u求一阶偏导，r_v为r(u,v)对v求一阶偏导，n表示曲面Ⅱ的单位法向，r_uu为r(u,v)对u求二阶偏导，r_uv为r(u,v)先对u求一阶偏导再对v求一阶偏导，r_vv为r(u,v)对v求二阶偏导；微分du与dv的比值dv/du表示交线的切向；对等参法所生成的轨迹而言，其前向选为v向，那么法曲率半径为

$R=\left|\frac{1}{\mathrm{\κ}}\right|=\left|\frac{I}{\mathrm{II}}\right|=\left|\frac{G}{N}\right|---\left(34\right)$

所述将前向间距转化为参数域内的步长，具体为：

从局部相似性可知，曲面上的前向间距和参数域中的前向步长间相差一个缩放因子，即

${\mathrm{\Δv}}_i=v_{i+1}-v_i\frac{l_{\mathrm{fi}}}{{\mathrm{\σ}}_i}=\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(35\right)$

对于单条轨迹利用下式迭代地计算出各前向步长

$v_{i+1}=v_i+\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(36\right)$

其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长。

所述利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的侧向步长，包括以下步骤：

曲面上相邻轨迹间的侧向间距表示为

$l_s\≤\sqrt{8\mathrm{hr}\frac{R}{R+r}}$ 或者 $l_s\≤\sqrt{8\mathrm{hr}\frac{R}{R-r}}---\left(37\right)$

其中R表示沿侧向，即垂直于进给方向，的法曲率半径，h表示残高，r表示刀具半径；前一表达式用于局部凸曲面，后一表达式用于局部凹曲面；

因共形参数化能够使参数域和曲面上对应夹角保持相等，所以当v向为前向，即进给方向时，u向为侧向，即垂直于进给方向，而u向对应于参数域中的方向(du,0)；从而得到侧向法曲率半径的简化计算公式

${\mathrm{\κ}}_s=\left|\frac{\mathrm{II}}{I}\right|=\left|\frac{{\mathrm{Ldu}}^2}{{\mathrm{Edu}}^2}\right|=\left|\frac{L}{E}\right|---\left(38\right)$

通过缩放因子可以将其转化为参数域内的步长

${\mathrm{\Δu}}_i=u_{i+1}-u_i=\frac{l_{\mathrm{si}}}{{\mathrm{\σ}}_i}=\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(39\right)$

对于单条轨迹，下式可迭代计算出各点处的侧向步长

$u_{i+1}=u_i+\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(40\right)$

所述根据行型轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，包括以下步骤：

首先，将确定参数曲面的两变量与笛卡尔坐标系中的坐标变量对应，参数域对应一矩形域，矩形的左下角被设为笛卡尔坐标系的原点，该点相邻两条边分别被设定为坐标系的u轴与v轴，记其右上角为(U,V)；如此，v轴的正方向被设定为前向方向，而u轴的正方向被设定为侧向方向；

对于单条轨迹，从初始点(u_i,0)开始，利用式(36)

$v_{i+1}=v_i+\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(36\right)$

计算其下一个前向点(u_i,0)→(u_i,v₁)，其空间对应点为φ(u_i,v₁)；其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长；

重复步骤(u_i,v_j)→(u_i,v_j+1)直到坐标值v_j+1超出矩形域的纵向范围v_j+1>V，并最终设定v_j=V；

对于相邻轨迹，首先利用式(40)

$u_{i+1}=u_i+\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(40\right)$

计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长；其中，l_si曲面上相邻轨迹间的侧向间距，|r_u|为缩放因子，比值为单条轨迹各节点处的侧向步长；

选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长；重复该步骤直到坐标值u_j+1超出矩形域的横向范围u_j+1>U；

最终，设定u_j=U，所有平面轨迹节点的空间对应点均由映射φ决定。

所述根据环型轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，包括以下步骤：

环型轨迹参数曲面的两变量是极坐标系中的坐标变量，即参数域被设定为一圆形域，圆的圆心被设定为极坐标系的原点，其半径为R；如此，θ轴的正方向被设定为前向方向，而ρ轴的正方向被设定为侧向方向；

对于单条轨迹，从初始点(ρ_i,0)开始，利用式(36)

$v_{i+1}=v_i+\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(36\right)$

计算其下一个前向点(ρ_i,0)→(ρ_i,θ₁)；其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长；

重复步骤(ρ_i,θ_j)→(ρ_i,θ_j+1)直到坐标值θ_j+1超出2π；

最终，设定θ_j=2π；各平面节点对应的空间点为φ(ρ_i,θ_i)；

对于相邻轨迹，首先利用式(40)

$u_{i+1}=u_i+\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(40\right)$

计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长；其中，lsi为曲面上相邻轨迹间的侧向间距，|r_u|为缩放因子，比值为单条轨迹各节点处的侧向步长；

选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长；重复该步骤直到坐标值ρ超出圆盘域的半径R；

最终，设定ρ_j=R。

所述根据螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，具体为：

以环型轨迹为基础，即通过连接相邻的两环型轨迹生成螺旋轨迹；环型轨迹在参数域内表现为同心圆，故而可以通过连接参数域内的同心圆来生成对应的空间螺旋轨迹；相邻两同心圆间的均匀连接可由下式获得

$\mathrm{\ρ}=\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{\mathrm{\θ}}{2\mathrm{\π}}{R}_2+(1-\frac{\mathrm{\θ}}{2\mathrm{\π}})R_1,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,2}\mathrm{\π}\right]---\left(41\right)$

其中，R₁,R₂为相邻两同心圆半径，θ为极坐标弧度位置，ρ为所求极半径。

本发明具有以下优点及有益效果：

1.改进M.S.Floater局部保角映射的方式，即避免了对测地极坐标映射的近似，又避免了该方法中对各角度进行均匀缩放而给共形映射带来畸变的情况，且简化了计算过程。

2.该映射确定平面顶点和网格顶点的一一对应关系，避免其它参数化方法在求解方程组过程中因无法保证所得解一一对应而使加工轨迹的生成产生歧义性的情况出现；

3.共形参数化作为一种高等参数化具有局部相似性的优点，利用该参数化方法规划加工轨迹，局部相似性能够简化轨迹几何参数的计算，提高了计算效率；

4.共形参数化还具有自由边界性的优点，能够有效地生成各类型边界一致的加工轨迹，避免了传统方法中的过短、自交和分裂轨迹的产生，生成了与边界一致的加工轨迹，有助于提高机床的动力学性能，减小刀具的磨损。

附图说明

图1为本发明测地极坐标映射与重心坐标计算示意图；

图2为本发明利用测地线计算重心坐标的直接构造法示意图；

图3为本发明涉及的加工轨迹类型图；

其中，(a)行型轨迹；(b)环型轨迹；(c)螺旋轨迹；

图4为本发明螺旋轨迹的生成示意图；

图5为本发明实验模型图；

其中，(a)复杂边界自由曲面；(b)人脸模型；

图6为本发明复杂边界自由曲面模型的加工轨迹规划效果图；

其中，(a)方形参数域的共形性;(b)圆形参数域的共形性;(c)自由曲面模型的行型轨迹;(d)自由曲面模型的环型轨迹;(e)自由曲面模型的螺旋轨迹；

图7为本发明人脸模型的加工轨迹规划效果图；

其中，(a)方形参数域的共形性;(b)圆形参数域的共形性;(c)人脸模型的行型轨迹;(d)人脸模型的环型轨迹;(e)人脸模型的螺旋轨迹；

图8为本发明加工轨迹误差分析对比图；

其中，(a)自由曲面模型误差分析(b)人脸模型误差分析。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

本发明所述基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法的步骤如下：

首先提出三角网格曲面M上各点的局部共形映射方法。在共形参数化过程中，平面网格和空间网格顶点间的参数化过程要求满足局部保角的条件。本发明改进M.S.Floater利用测地极坐标映射及取平均权值获得重心坐标来构建局部保角映射的方法，直接利用测地线计算重心坐标；

在得到三角网格曲面M上各点的局部共形映射之后，以解方程组的方式将各局部映射融合在一起。因所求重心坐标非负，表示共形参数化映射的线性方程组在给定边界映射的情况下，具有唯一解，利用GMRES算法求解，获得整体的共形映射；

鉴于加工轨迹几何参数的计算与曲面上的微分属性密切相关，利用二阶有理多项式来拟合局部的共形参数化，通过最小二乘法来实现二阶有理多项式对局部共形映射的逼近，求取法向量。利用共形参数化的局部相似性确定各点处的前向步长和侧向步长；

最后进行轨迹规划，根据行型轨迹、环型轨迹和螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，设定算法求取节点，求得要求的轨迹形式。

下面进行关键技术的详细阐述：

1.网格曲面的共形参数化

曲面参数化是指建立平面和曲面上点的一一对应关系。类似地，三角网格曲面的参数化是指建立平面网格和空间网格的对应关系，可以由顶点间的关系确定，即参数化可以表示为

f:V₂→V₃   （1）

其中，V₂,V₃分别指平面和空间网格的顶点集。而共形参数化要求该参数化是局部保角的。

1.1局部共形映射

M.S.Floater利用测地极坐标映射及重心坐标来构建局部的保角映射。所谓测地极坐标映射是指曲面上某点的邻域及其切平面间关于测地距离的映射，其定义如下：

定义1设p是曲面Σ上一点，T_p为该点的切空间，γ_v(s)为曲面上过p点沿v向的测地线，s为弧长参数，且γ_v(0)=p。若映射f:T_p→Σ满足

f(v)=γ(||v||)   （2）则称f为测地极坐标映射。

可以看出，测地极坐标映射是相对于其中心点p的一个局部保距映射。M.S.Floater利用William Welch和Andrew Witkin提出的方法来近似三角网格的测地极坐标映射，即通过保持顶点v与其各邻接点v_i间距离不变

||p_i-p||=||v_i-v||   （3）式中，p为v的对应点，p_i为v_i的对应点；而改变各邻接边间的夹角

Angle(vv_i,vv_j)=σ·Angle(pp_i,pp_j)   （4）其中缩放因子σ使得p点周围的角度和为2π。在获得测地极坐标映射后，再利用重心坐标建立顶点与邻接点间的局部线性关系，即将该点表示为其邻接点的加权和。M.S.Floater首先为中心点p的每一个邻接点分配一个三角形，该三角形要包含p点，如图1所示。然后对该三角形构造重心坐标

p=w_ip_i+w_jp_j+w_lp_l   （5）

其中，w_i=Area(Δpp_lp_j)Area(Δp_ip_jp_l)；w_j=Area(Δpp_lp_i)Area(Δp_ip_jp_l)；

w_l=Area(Δpp_ip_j)Area(Δp_ip_jp_l).

如此，在某点(例如p_l)上存在多个权值，M.S.Floater通过取其平均值来获得p_l相对p点的重心坐标，从而

$p=\underset{p_i\∈N\left(p\right)}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_i{p}_i\left(6\right)$

式中，N(p)指p点的1-ring邻接点集。

然而该方法中对各角度进行均匀缩放是毫无道理的，这会给共形映射带来畸变。本发明提出一种直接在三角网格上计算重心坐标的方法。如前所述，测地极坐标映射实际上是一个保测地距离映射，那么可以直接利用曲面上的测地距离来构建重心坐标，而无需建立测地极坐标映射。首先计算从v_l到v_j和v_i的测地线a，b。对三角网格而言，可以用面片上的直线来近似曲面上的测地线。将三角形Δvv_kv_j和Δvv_kv_l沿交线vv_k展平至平面上，则v_l到v_j的测地线a即为平面线段v′_jv_l′在网格上的对应折线，如图2所示。当v_l和v_i中间隔有多个三角面片时，方法类似。如果在展平后v′点落在线段v′_jv_l′的另一侧，即v落在三角形Δv_j′v′_kv_l′内，则说明v点并不在曲面三角形Δv_iv_jv_l中，从而无需计算v点相对这三点的重心坐标。故而，对于边界点，其邻接点的权值均为0，即边界点上的重心坐标是无法获得的，也就意味着在边界点上无局部共形映射结构。在获得测地线后，可以对每个曲面三角形构造重心坐标

$p=w_i^l{p}_i+w_j^l{p}_j+w_l^l{p}_l---\left(7\right)$

其中， $w_l^l=\mathrm{Area}\left(\mathrm{\Δ}{\mathrm{vv}}_i{v}_j\right)/A;w_j^l=\mathrm{Area}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{vbv}}_i+\mathrm{\Δ}{\mathrm{vbv}}_l)/A;w_i^l=\mathrm{Area}\left({\mathrm{\Δvav}}_j{\mathrm{\Δvav}}_l\right)/A;$

A=Area(Δvv_iv_j+Δvav_j+Δvav_l+Δvbv_i+Δvbv_l).

当r≠i,j,l时，记那么式错误！未找到引用源。可改写为

$p=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{w}_i^j{p}_i---\left(8\right)$

最终，取关于v_i的所有权值的平均值作为该点的局部共形映射权值

$w_i=\frac{1}{\mathrm{size}\left(N\left(p\right)\right)}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{w}_i^j---\left(9\right)$

从而，有

p=Σw_ip_i且w_i＞0，Σw_i=1   (10)

M.S.Floater的方法实质上是借助于测地极坐标映射将某点的邻域尽量保距地映射到其切平面上，然后利用重心坐标的共形性将各切平面以共形的方式“粘合”在一张平面上。而本发明直接利用测地线计算重心坐标，避免了对测地极坐标映射的近似，从而简化了计算。

1.2整体共形参数化

在得到三角网格曲面M上各点的局部共形映射之后，便能够以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，从而获得整体的共形映射。

假设映射f:M↑R²为三角网格M共形参数化的逆映射，那么方程组可表示为

$u_i-\underset{v_j\∈N\left(v_i\right)}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{ij}}{u}_j=0,i=1,L,n---\left(11\right)$

式中，u_i为空间网格上点v_i的平面对应点，即f(v_i)=u_i。若点v_k与v_i不相邻时，记w_ik=0，则方程组错误！未找到引用源。可改写为矩阵形式

WU=0   （12）其中，待解未知向量U_n×2=(u₁,L,u_n)^T。内点对应行的对角元w_ii为1。对于边界点而言，系数矩阵中该行的所有元素均为0。从而使得与网格边界点对应的平面点成为自由变量，即在共形参数化的过程中，边界点的映射可以自由设定。记M的边界顶点集为，设边界映射为

$f(\∂M)=(f_{m+1},L,f_n)=(u_{m+1},L,u_n)\⊆R^2---\left(13\right)$ 可以将方程组错误！未找到引用源。改写为

$0\⇒{\mathrm{AU}}^I=-{\mathrm{BU}}^o---\left(14\right)$ 其中

$W=\left[\begin{array}{cc}{A}_{m\×m}& B_{m\×(n-m)}\\ C_{(n-m)\×n}& \end{array}\right];U_{m\×2}^I={\left[u_{1}L{u}_m\right]}^T$ 而 $U_{(n-m)\×2}^O={\left[u_{m+1}L{u}_n\right]}^T$

由于本方法中重心坐标{w_ij}的非负性，该线性方程组在给定边界映射时，具有唯一解,即系数矩阵是满秩矩阵，那么

U^I=-A^-1BU^O   （15）一般情况下系数矩阵A是一个较大的稀疏矩阵，可利用GMRES算法求解。与此同时，所得解U和网格中顶点是一一对应的。而目前的网格曲面参数化方法中，虽然最终也是解方程组，但那些方程组既无法保证具有唯一解，又无法保证所得解是一一对应的。当平面上一点对应空间多点的时候，加工轨迹的生成是有歧义的，有时甚至会无法生成加工轨迹。

通过求解稀疏线性方程组错误！未找到引用源。，可以得到顶点间的映射，从而得到对应三角面片上的线性映射

其中，T和T分别代表空间三角网格M和对应平面网格D的三角面片集。记

则映射是对三角网格所代表的连续曲面S的某一共形参数化的分段线性近似，即三角网格的共形参数化。φ的近似精度，即有限元法的收敛性问题，受网格密度的影响。若密度越大，则精度越高。本发明中均假设网格尽量密以满足精度要求。

2.共形参数化的性质

共形参数化作为一种高等参数化具有许多优良的性质，而这些都为规划加工轨迹提供了便利。加工轨迹规划由两部分组成：轨迹类型及轨迹几何参数。轨迹类型有行型，环型及螺旋型，如图3；几何参数指每条轨迹的前向步长和相邻轨迹间的侧向步长。而共形参数化所具有的局部相似性能够简化轨迹几何参数的计算，自由边界性能够有效地生成各类型边界一致的加工轨迹。

2.1局部相似性

设某一参数曲面为Σ={r∈R³|r=r(u,v)}，其中，那么其一阶近似为

r(u+Δu,v+Δv)=r(u,v)+J(ΔuΔv)^T   （18）其中，J为该点的Jacobian，J=(r_ur_v)_3×2。对Jacobian作奇异值分解，有

$J=\mathrm{U\Λ}{V}^T=U\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_2\\ 0& 0\end{array}\right)V^T---\left(19\right)$

式中，

${\mathrm{\σ}}_1=\sqrt{((E+G)+\sqrt{{4F}^2+{(E-G)}^2})/2};$

${\mathrm{\σ}}_2=\sqrt{((E+G)+\sqrt{{4F}^2+{(E-G)}^2})/2}.$

其中，E=r_u·r_u,F=r_u·r_v,G=r_v·r_v是曲面第一基本形式Ⅰ的系数。当曲面Σ为共形参数化曲面时

E=G，F=0   （20）那么，有 ${\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{\σ}}_2=\sqrt{E}=\sqrt{F}.$

式子错误！未找到引用源。的几何意义很明显：由正交矩阵VT对向量(DuDv)^T作正交变换，向量只改变方向，不改变大小；然后由矩阵(σ)对向量的大小进行尺度变换，即改变向量大小；最后再由正交矩阵U对向量作正交变换。从整个过程看，向量的大小改变了E倍。因为向量(ΔuΔv)^T是任意的，所以曲面上各方向均按相同的缩放因子来改变。那么对共形参数化曲面而言，其上某点p的邻近与参数域是相似的，即曲面上的微小位移是对应参数域中位移的E(或者F)倍。在将曲面上间距向参数域步长转化时，这一局部相似性能大为降低计算量。共形参数化的局部相似性还表现为参数域与曲面上对应向量间夹角的一致。

设(u,v)点上两向量为a=(ΔuΔv)^T和b=(δuδv)^T，其夹角余弦为a^T·b/(||a||||b||)，而曲面上对应向量的夹角余弦为

$\frac{{\left(\mathrm{Ja}\right)}^T\·\mathrm{Jb}}{\left|\right|\mathrm{Ia}\left|\right|\left|\right|\mathrm{Jb}\left|\right|}=\frac{{\mathrm{\σ}}^{2}a\·b}{{\mathrm{\σ}}^2\left|\right|a\left|\right|\left|\right|b\left|\right|}=\frac{a\·b}{\left|\right|a\left|\right|\left|\right|b\left|\right|}---\left(21\right)$

式中，σ=σ₁=σ₂。那么，当选定r_v为前向(进给方向)时，曲面上与其正交的方向为r_u，对应于参数域中的方向(Δu0)^T。设侧向间距为ls，那么侧向步长为

Δu=l_s／σ   （22）

2.2自由边界性

自由边界性指参数域的边界可以被任意设定。利用这一性质可以规划出与边界一致的加工轨迹，从而避免传统方法中过短，自交和分裂的现象。

一般地，加工轨迹的类型有三类。对于图3(a)中所示的行型轨迹，参数域的边界被设定为矩形。首先将空间网格的边界划分为4部分，这4部分分别与平面矩形的4条边对应。然后将各部分按照弦长成比例地映射到其对应边上。假设三角网格边界中的点按空间相对位置排列，所分4部分的弦长和分别为L₁，L₂，L₃和L₄，矩形参数域的左下角与右上角可以被任意设定，将之分别设为(0,0)和((L₁+L₃)/2,(L₂+L₄)/2)，那么第一部分按下列方式被映射到u轴上

$f:p_{i}a({\mathrm{\&lambda;}}_i\&CenterDot;(L_1+L_3)/\mathrm{2,0}),p_i\&Element;{\&PartialD;S}_1---\left(23\right)$ 其中，λ_i为边界映射的分布参数。当i=m+1时λ_i=0；当m+1<i≤n₁时

${\mathrm{\&lambda;}}_i=\underset{j=m+2}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|\right|v_j-v_{j-1}\left|\right|/L_1$

网格边界的其余三部分采用类似方法分别被映射到其对应矩形边上。

对于图3(b)(c)中所示的环型及螺旋型轨迹，参数域的边界被设定为圆形

$f:v_{i}a(R_0,{\mathrm{\&lambda;}}_i\&CenterDot;2\mathrm{\&pi;}),v_i\&Element;\&PartialD;M---\left(24\right)$

其中，R₀为参数域边界圆的半径。该半径可以任意设定，在此将之设为L/(2π)，L为空间网格的边界周长。λ_i为边界映射的分布参数。当i=m+1时，λ_i=0；当m+1<i≤n时

${\mathrm{\&lambda;}}_i=\underset{j=m+2}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|\right|v_j-v_{j-1}\left|\right|/L$

空间三角网格曲面M与共形参数域D间的顶点是一一对应的，而三角面片间的映射是一一对应的线性映射，那么M与D间的映射是一一对应的。所以当平面上的轨迹不存在自交现象时，其所对应的空间轨迹也是不自交的。对于等参轨迹，我们选取矩形域中的平行线段和圆形域中的同心圆为参数域内的轨迹，这显然是不存在自交的，所以利用自由边界性质可以有效地避免加工轨迹的自交等现象。

3参数轨迹规划

曲面上加工轨迹规划的实质是用一族曲线来表示该曲面，同时满足一定的误差要求，即弦高与残高的要求。等参型加工轨迹由m个等参数曲线{r(u₀,v),L,r(u_m,v)}组成，其中单条曲线是通过保持某一坐标固定的同时变化另一坐标而生成的。接下来讨论如何生成如图3所示的行型，环型及螺旋轨迹。

3.1微分属性估计

加工轨迹几何参数的计算与曲面上的微分属性密切相关，如在计算曲面上相邻轨迹间的侧向间距时需要求取曲面的法曲率，而法曲率的求解依赖于曲面的第一、第二基本形式。这两种基本形式分别为

Ⅰ=Edu²+2Fdudv+Gdv²   （25）

Ⅱ=Ldu²+2Mdudv+Ndv²   （26）式中,E=r_u·r_u,F=r_u·r_v,G=r_v·r_v是曲面第一基本形式Ⅰ的系数，L=n·r_uu,M=n·r_uv,N=n·r_vv为曲面第二基本形式Ⅱ的系数。由此可见，曲面上的各微分属性的求取是规划加工轨迹的前提。

对于三角网格而言，这些微分属性只能采取近似的方法来获得。本发明利用二阶有理多项式来拟合局部的共形参数化。之所以将阶数选为二，是因为在加工轨迹规划中只涉及到二阶的微分属性。假设三角网格M上某点p₀的1-ring邻接点集为{p₁,L,p_s}，其对应平面参数点分别为q₀和{q₁,L,q_s}。所谓利用二阶有理多项式来拟合局部的共形参数化即是利用下式

r(u,v)=c₁u²+c₂v²+c₃uv+c₄u+c₅v+c₆   （27）来逼近映射式错误！未找到引用源。中的系数均为3×1向量。那么，对各阶微分属性的估计分别为r_u=c₄，r_v=c₅，r_uu=2c₁和r_vv=2c₂。下面通过最小二乘法来实现错误！未找到引用源。式对局部共形映射的逼近。

式错误！未找到引用源。可改写为矩阵形式

$r^T=\left(u^2{v}^2\mathrm{uvuv}1\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1^T\\ M\\ c_6^T\end{array}\right)---\left(28\right)$

那么问题转化为求解一最优系数向量(本文中实为一矩阵)，使得误差平方和最小，即

argminE=Σ||r(q_i)-p_i||²=tr(ee^T)   (29)

其中

$e=\mathrm{UC}-P=\left(\begin{array}{c}{u}_0^2{v}_0^2{u}_0{v}_0{u}_0{v}_{0}1\\ u_1^2{v}_1^2{u}_1{v}_1{u}_1{v}_{1}1\\ M\\ u_s^2{v}_s^2{u}_s{v}_s{u}_s{v}_{s}1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1^T\\ M\\ c_6^T\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{p}_0^T\\ p_0^T\\ M\\ p_s^T\end{array}\right)$

当误差E取得最值时，有必要条件e=0，即

$\mathrm{CU}=P\&DoubleRightArrow;C={\left(U^{T}U\right)}^{-1}{U}^{I}P---\left(30\right)$

在有了系数C后，各微分属性r_u，r_v，r_uu和r_vv可以直接得到，而第二基本形式Ⅱ中的单位法向

n=r_u×r_v/(||r_u||||r_v||)  （31）

3.2轨迹几何参数计算

所谓轨迹的几何参数是指轨迹节点上的前向步长和侧向步长。有了上述基础之后，轨迹几何参数的计算可以简化为表达式错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。

单条加工轨迹的前向间距可以表示为

$l_f\&le;\sqrt{8\mathrm{eR}\cos \mathrm{\&theta;}-{4e}^2}---\left(32\right)$

其中R表示沿前向(进给方向)的法曲率半径，e表示弦高误差，θ表示曲面法向与曲线r(u₀,v)主法向间夹角。所谓曲面的法曲率是指曲面与经过曲面法向的平面间的交线的曲率。该曲率由下式给出

$\mathrm{\&kappa;}=\frac{\mathrm{II}}{\text{I}}\frac{{\mathrm{Ldu}}^2+2\mathrm{Mdudv}+{\mathrm{Ndv}}^2}{{\mathrm{Edu}}^2+2\mathrm{Fdudv}+{\mathrm{Gdv}}^2}\text{---}\left(33\right)$

微分du与dv的比值dv/du(或者du/dv)表示交线的切向。对等参法所生成的轨迹而言，其前向一般选为v向，那么法曲率半径为

$R=\left|\frac{1}{\mathrm{\&kappa;}}\right|=\left|\frac{I}{\mathrm{II}}\right|=\left|\frac{G}{N}\right|---\left(34\right)$

有了曲面上的前向间距之后，要将其转化为参数域内的步长。由2.1节中对局部相似性的讨论可知，曲面上的前向间距和参数域中的前向步长间相差一个缩放因子，即

${\mathrm{\&Delta;v}}_i=v_{i+1}-v_i\frac{l_{\mathrm{fi}}}{{\mathrm{\&sigma;}}_i}=\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(35\right)$

最终，对于单条轨迹可以利用下式迭代地计算出各前向步长

$v_{i+1}=v_i+\frac{l_{\mathrm{fi}}}{\left|r_v\right|}---\left(36\right)$

而曲面上相邻轨迹间的侧向间距（在某一节点上）可以表示为

$l_s\&le;\sqrt{8\mathrm{hr}\frac{R}{R+r}}$ 或者 $l_s\&le;\sqrt{8\mathrm{hr}\frac{R}{R-r}}---\left(37\right)$

其中R表示沿侧向(垂直于进给方向)的法曲率半径，h表示残高，r表示刀具半径。前一表达式用于局部凸曲面，后一表达式用于局部凹曲面。从2.1的讨论可知，因为共形参数化能够使参数域和曲面上对应夹角保持相等，所以当v向为前向(进给方向)时，u向为侧向(垂直于进给方向)，而u向对应于参数域中的方向(du,0)。从而可以得到侧向法曲率半径的简化计算公式

${\mathrm{\&kappa;}}_s=\left|\frac{\mathrm{II}}{I}\right|=\left|\frac{{\mathrm{Ldu}}^2}{{\mathrm{Edu}}^2}\right|=\left|\frac{L}{E}\right|---\left(38\right)$

与前向步长类似，通过缩放因子可以将其转化为参数域内的步长

${\mathrm{\&Delta;u}}_i=u_{i+1}-u_i=\frac{l_{\mathrm{si}}}{{\mathrm{\&sigma;}}_i}=\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(39\right)$

最终，对于单条轨迹上的每个节点，利用下式迭代地计算出各点处的侧向步长

$u_{i+1}=u_i+\frac{l_{\mathrm{si}}}{\left|r_u\right|}---\left(40\right)$

在其它方法中，侧向一般不与u向一致，这加大了侧向法曲率计算的复杂度，同时增加了对微分属性M和F的估计。

3.3轨迹规划

由于加工的离散性，加工轨迹被离散为一条条曲面上的曲线。因为数控系统插补的能力有限，所以各条线又被离散为细小的直线或圆弧段(本文只讨论直线段)。故而在规划轨迹的时候，如何有效地找到这一系列节点是各种方法的本质区别。

3.3.1行型轨迹

为了生成如图3(a)所示的行型轨迹，参数曲面的两变量须是笛卡尔坐标系中的坐标变量，用于生成行型轨迹的参数域是一矩形域。在2.2节中，该矩形的左下角被设为笛卡尔坐标系的原点，该点相邻两条边分别被设定为坐标系的u轴与v轴，记其右上角为(u,v)。如此，v轴的正方向可以被设定为前向方向，而u轴的正方向可以被设定为侧向方向。

对于单条轨迹，从初始点(u_i,0)开始，利用式错误！未找到引用源。计算其下一个前向点(u_i,0)→(u_i,v₁),其空间对应点为φ(u_i,v₁)。重复步骤(u_i,v_j)→(u_i,v_j+1)直到坐标值v_j+1超出矩形域的纵向范围v_j+1>V，并最终设定v_j=V。

对于相邻轨迹，首先利用式错误！未找到引用源。计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长。然后选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长。重复该步骤直到坐标值u_j+1超出矩形域的横向范围u_j+1>U。最终，设定u_j=U。所有平面轨迹节点的空间对应点均由φ决定。

上述算法并未将边界向内偏置一个刀具半径。

3.3.2环型轨迹

从图3(a)与图3(b)的对比来看，生成环型轨迹与行型轨迹的区别主要在于参数域坐标系的选取。为了生成如图3(b)所示的环型轨迹，参数曲面的两变量须是极坐标系中的坐标变量，即参数域须被设定为一圆形域。在2.2中，该圆的圆心被设定为极坐标系的原点，其半径为R。如此，θ轴的正方向可以被设定为前向方向，而ρ轴的正方向可以被设定为侧向方向。

对于单条轨迹，从初始点(ρ_i,0)开始，利用式错误！未找到引用源。计算其下一个前向点(ρ_i0)→(ρ_i,θ₁)。重复步骤(ρ_i,θ_j)→(ρ_i,θ_j+1)直到坐标值θ_j+1超出2π。最终，设定θ_j=2π。各平面节点对应的空间点为φ(ρ_i,θ_i)。

对于相邻轨迹，首先利用式错误！未找到引用源。计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长。然后选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长。重复该步骤直到坐标值ρ超出圆盘域的半径R。最终，设定ρ_j=R。

上述算法的第一条轨迹实质上是原点，其侧向步长为原点各方向上侧向步长的最小值,即曲率半径较大的主方向上的步长。

3.3.3螺旋轨迹

事实上，螺旋轨迹并非等参型轨迹。但它的生成方法一般是以环型轨迹为基础的。即通过连接相邻的两环型轨迹，可以生成如图3(c)所示的螺旋轨迹。如图4所示，环型轨迹在参数域内表现为同心圆，故而可以通过连接参数域内的同心圆来生成对应的空间螺旋轨迹。相邻两同心圆间的均匀连接可由下式获得

$\mathrm{\&rho;}=\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{\mathrm{\&theta;}}{2\mathrm{\&pi;}}{R}_2+(1-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2\mathrm{\&pi;}})R_1,\mathrm{\&theta;}\&Element;\left[\mathrm{0,2}\mathrm{\&pi;}\right]---\left(41\right)$

一般而言，对于这种通过连接相邻环型轨迹而生成螺旋轨迹的方法，其弦高和残高误差与原误差是略有不同的，所以在生成环型轨迹时要相对密集些。

4本发明有益效果

为验证本发明所提出的参数轨迹规划方法的有效性，采用如图5所示的自由曲面模型和人脸模型进行实验。在这两个模型中，一个具有复杂的边界，另一个具有复杂的内部。其中，人脸模型是由三坐标测量机实际测得后进行点云精简和三角网格重建所得，而自由曲面模型则是由UG软件生成。其尺寸范围分别为100×61.7×28.2和139.57×118.93×32.76。为了避免刀具方向对残高的影响，刀具选为球头刀，半径r=4mm。残高设置为h=1mm，弦高e=0.01mm。残高的设定较实际情况要高出很多是为了避免加工轨迹线过密而使图片不清晰。图5(a)为自由曲面三角网格模型，图(b)为人脸模型的三角网格模型。

图6(a)为自由曲面三角网格模型被映射到矩形参数域后的共形图；图(b)是该模型被映射到圆形参数域后的共形图；图(c)显示的是利用共形参数化所生成的行型等参数轨迹；图(d)显示的是利用共形参数化所生成的环型等参数轨迹；图(e)是通过连接相连两环形等参轨迹所生成的螺旋轨迹。图7(a)为人脸三角网格模型被映射到矩形参数域后的共形图；图(b)是该模型被映射到圆形参数域后的共形图；图(c)显示的是利用共形参数化所生成的行型等参数轨迹；图(d)显示的是利用共形参数化所生成的环型等参数轨迹；图(e)是通过连接相连两环形等参轨迹所生成的螺旋轨迹。

从图6和图7的共形图可以看出，网格边界附近的共形性会有所畸变，这会给公式（40）带来误差，从而造成错误的轨迹几何参数。残高误差与轨迹侧向间距误差之间的关系，由（37）式可以得到

$l_s^2+{2l}_s{\mathrm{\&Delta;l}}_s+{\mathrm{\&Delta;l}}_s^2=8(h+\mathrm{\&Delta;h})\mathrm{rR}/(R\&PlusMinus;r)---\left(42\right)$

消去高阶项，再利用有

2l_sΔl_s=8ΔhrR/(R±r)   （43）等式两边同除有

2|Δl_s/l_s=|Δh/h|   （44）

最终得到误差间的简单线性关系：残高误差为侧向误差的2倍。那么，在分析轨迹精度误差的时候，只需要分析侧向间距误差即可。分别选取图6(d)和图7(d)中边界附近的相邻两条轨迹来计算其实际侧向间距l_s和弦长l_s′=|r_u|·Δu间的误差

ε(%)=(|l_s-l_s′|l_s)×100   （45）

误差结果如图8所示，(a)图的平均误差、最小误差和最大误差分别为1.410，0.017，2.132；(b)图的相应值为1.503，0，3.488。可以看出无论是内部复杂的人脸模型还是边界复杂的自由曲面模型，共形误差所引起的残高相对误差均较小。

实验所选模型的边界均不光滑，如图7(d)和8(d)中的边界轨迹所示。然而从图示的结果也可以看出本方法具有自动光滑轨迹的功能，即越远离边界的轨迹越光滑。而且所提出的方法无需对轨迹进行后置的自交和连接处理（自交处理一般会产生尖点），同时轨迹几何参数计算的简化使得计算效率得到了提高。

Claims (10)

1.一种基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，包括以下步骤： 

通过直接利用测地线计算重心坐标的方法对三角网格曲面M上各点进行局部共形映射； 

以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，获得整体的共形映射； 

利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的前向步长和侧向步长； 

根据行型轨迹、环型轨迹和螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式。 

2.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述局部共形映射，包括以下步骤： 

针对三角网格，用面片上的直线来近似曲面上的测地线。 

将三角形Δvv_kv_j和Δvv_kv_l沿交线vv_k展平至平面上，则v_l到v_j的测地线a即为平面线段v_j′v_l′在网格上的对应折线，同理可得v_l到v_i的测地线b； 

对每个曲面三角形构造重心坐标 

其中，

A=Area(Δvv_iv_j+Δvav_j+Δvav_l+Δvbv_i+Δvbv_l)；点v_i,v_j,v_l分别是三角网格顶点v的邻接点，点p_i,p_j,p_l是与三角面片对应的曲面三角形的三个顶点； 

取关于v_i的所有权值的平均值作为该点的局部共形映射权值 

从而，有 

p=Σw_ip_i且w_i>0,Σw_i=1   （10） 。

3.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述以解方程组的方式将各局部映射融合在一起，获得整体的共形映射，包括以下步骤； 

解稀疏线性方程组 

WU=0TAU^I=-BU^O   （14）其中，u_i为空间网格上点v_i的平面对应点； 

由于重心坐标{w_ij}的非负性，该方程组在给定边界映射时，具有唯一解，即系数矩阵是满秩矩阵，那么 

U^I=-A^-1BU^O   （15）其中，系数矩阵A利用GMRES算法求解；所得解U和网格中顶点是一一对应的；通过求解稀疏线性方程组（14），得到顶点间的映射，从而得到对应三角面片上的线性映射 

其中，T和分别代表空间三角网格M和对应平面网格D的三角面片集，记 

则映射是对三角网格所代表的连续曲面S的某一共形参数化的分段线性近似。 

4.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的前向步长，包括以下步骤： 

单条加工轨迹的前向间距可以表示为 

其中R表示沿前向，即进给方向的法曲率半径，e表示弦高误差，θ表示曲面法向与曲线r(u₀,v)主法向间夹角； 

将前向间距转化为参数域内的步长。 

5.根据权利要求4所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述进给方向的法曲率半径R由下式给出 

式中,E=r_u·r_u,F=r_u·r_v,G=r_v·r_v是曲面第一基本形式Ⅰ的系数，L=n·r_uu,M=n·r_uv,N=n·r_vv为曲面第二基本形式Ⅱ的系数,r为表示曲面的二元函数r(u,v)的简写，r_u为r(u,v)对u求一阶偏导，r_v为r(u,v)对v求一阶偏导，n表示曲面Ⅱ的单位法向，r_uu为r(u,v)对u求二阶偏导，r_uv为r(u,v)先对u求一阶偏导再对v求一阶偏导，r_vv为r(u,v)对v求二阶偏导；微分du与dv的比值dv/du表示交线的切向；对等参法所生成的轨迹而言，其前向选为v向，那么法曲率半径为 

。

6.根据权利要求4所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述将前向间距转化为参数域内的步长，具体为： 

从局部相似性可知，曲面上的前向间距和参数域中的前向步长间相差一个缩放因子，即 

对于单条轨迹利用下式迭代地计算出各前向步长 

其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长。 

7.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述利用共形参数化的局部相似性确定各轨迹节点处的侧向步长，包括以下步骤： 

曲面上相邻轨迹间的侧向间距表示为 

或者其中R表示沿侧向，即垂直于进给方向，的法曲率半径，h表示残高，r表示刀 具半径；前一表达式用于局部凸曲面，后一表达式用于局部凹曲面； 

因共形参数化能够使参数域和曲面上对应夹角保持相等，所以当v向为前向，即进给方向时，u向为侧向，即垂直于进给方向，而u向对应于参数域中的方向(du,0)；从而得到侧向法曲率半径的简化计算公式 

通过缩放因子可以将其转化为参数域内的步长 

对于单条轨迹，下式可迭代计算出各点处的侧向步长 

。

8.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述根据行型轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，包括以下步骤： 

首先，将确定参数曲面的两变量与笛卡尔坐标系中的坐标变量对应，参数域对应一矩形域，矩形的左下角被设为笛卡尔坐标系的原点，该点相邻两条边分别被设定为坐标系的u轴与v轴，记其右上角为(U,V)；如此，v轴的正方向被设定为前向方向，而u轴的正方向被设定为侧向方向； 

对于单条轨迹，从初始点(u_i,0)开始，利用式(36) 

计算其下一个前向点(u_i,0)→(u_i,v₁)，其空间对应点为φ(u_i,v₁)；其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长； 

重复步骤(u_i,v_j)→(u_i,v_j+1)直到坐标值v_j+1超出矩形域的纵向范围v_j+1>V，并最终设定v_j=V； 

对于相邻轨迹，首先利用式(40) 

计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长；其中，l_si曲面上相邻轨迹间的侧向间距，|r_u|为缩放因子，比值为单条轨迹各节点处的侧向步长； 

选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长；重复该步骤直到坐标值u_j+1超出矩形域的横向范围u_j+1>U； 

最终，设定u_j=U，所有平面轨迹节点的空间对应点均由映射φ决定。 

9.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述根据环型轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，包括以下步骤： 

环型轨迹参数曲面的两变量是极坐标系中的坐标变量，即参数域被设定为一圆形域，圆的圆心被设定为极坐标系的原点，其半径为R；如此，θ轴的正方向被设定为前向方向，而ρ轴的正方向被设定为侧向方向； 

对于单条轨迹，从初始点(ρ_i,0)开始，利用式(36) 

计算其下一个前向点(ρ_i,0)→(ρ_i,θ₁)；其中，l_fi表示曲面上的前向间距，|r_v|为缩放因子，其比值表示参数域上的前向步长； 

重复步骤(ρ_i,θ_j)→(ρ_i,θ_j+1)直到坐标值θ_j+1超出2π； 

最终，设定θ_j=2π；各平面节点对应的空间点为φ(ρ_i,θ_i)； 

对于相邻轨迹，首先利用式(40) 

计算出前一条轨迹上各节点对应的侧向步长；其中，l_si为曲面上相邻轨迹间的侧向间距，|r_u|为缩放因子，比值为单条轨迹各节点处的侧向步长； 

选取最小的步长作为整条轨迹的侧向步长；重复该步骤直到坐标值ρ超出圆盘域的半径R； 

最终，设定ρ_j=R。 

10.根据权利要求1所述的基于共形参数化的网格曲面上数控加工轨迹规划方法，其特征在于，所述根据螺旋轨迹的轨迹形式及其特点，利用共形参数化的自由边界性，求取节点，求得要求的轨迹形式，具体为： 

以环型轨迹为基础，即通过连接相邻的两环型轨迹生成螺旋轨迹；环型轨迹在参数域内表现为同心圆，故而可以通过连接参数域内的同心圆来生成对应的空间螺旋轨迹；相邻两同心圆间的均匀连接可由下式获得 

其中，R₁,R₂为相邻两同心圆半径，θ为极坐标弧度位置，ρ为所求极半径。