CN110689620A - 一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法。该方法松弛了曲线严格位于曲面的约束，仅将曲线的离散采样点置于网格曲面，并采用内点法的思想，运用基于块坐标下降法的全局优化方法进行数值求解。为了能够更为准确地估算离散微分算子，提高求解精度，同时减少挪动采样点的计算量，提升求解效率，本发明采用由粗到细的多尺度层次求解策略，即将曲线采样点密度逐渐加大进行迭代求解直至算法收敛。最后借助局部参数化将曲线段映射到网格曲面。收敛性分析实验表明多层次优化方法能够快速收敛，并在多尺度策略下获得更为光滑的结果。和现有的投影法和光顺法相比，该方法效率更高，且在可控性、普适性和鲁棒性上均表现出一定的优势。

Description

一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学、几何处理、计算机辅助设计等领域，具体涉及一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法，以实现在离散网格上设计光滑的离散曲线。

背景技术

曲线设计是计算机图形学与计算机辅助几何设计中一项有着较长研究历史的重要课题。目前，针对欧氏空间的曲线设计方法已趋于成熟；随着数字几何的广泛应用以及CAD/CAM需求的不断增加，离散网格曲面上的曲线设计逐渐受到人们关注，并在计算几何、数字几何处理、虚拟手术、鞋样设计、与数控加工等领域得到了广泛的应用。

网格曲面上的曲线通常定义为分段线性的离散曲线。类似于欧氏空间，在离散意义下曲线形式亦有多种，如测地线、细分曲线、样条曲线等。然而，相比于欧式空间的曲线，网格曲面上的曲线由于受到流形的约束，解难度相对较大，因而相应的方法不如前者成熟。现有的方法均从不同的角度处理流形约束，主要有参数化法，投影法和光顺法三种。参数化法借助参数化技术巧妙地转化流形约束，其思想是将曲面映射到规则空间，采用成熟的方法在参数域设计曲线，并将其映射回原曲面，然而其局限性为：局部法，无法进行大范围的曲线设计；全局法易使参数域产生较大的形变误差，难以保证曲线的光滑性。投影法则对流形约束进行松弛，在欧式空间计算曲线后迭代地将其投影到曲面上，投影法易于实现，但其鲁棒性往往较差。光顺法则直接在流形空间求解问题，其对光滑约束进行松弛，在流形约束下迭代地对初始曲线进行光顺化。这类方法鲁棒性较好，所设计的曲线通常具有良好的光滑性，但是严格的流形约束使其效率降低，同时由于所用光顺法固有的局限，使其适用范围受到一定影响。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于层次优化的网格域离散样条曲线设计方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法，该方法包括以下步骤：

步骤一，输入基本元素：输入网格S、插值点{p_i}(i＝1,2,…,N)、初始曲线离散步长u、距离误差阈值η、最大迭代次数T以及最大层次数L；插值点不仅限于网格顶点，还可以是网格曲面上任意点；

步骤二，构造初始曲线C⁰：对于相邻的两个插值点{p_i,p_i+1}，在网格面上生成该两点间的初始曲线，并设置层次化级数l＝1；

步骤三，离散采样曲线段：对相邻两个插值点{p_i,p_i+1}所形成的初始线段，根据曲线离散步长u均匀地插入若干个采样点{q_j}(j＝1,2,…,n)，将曲线离散进行细采样，从而将整条曲线离散成M_l个顶点{q_j}(j＝1,2,…,M_l)；

步骤四，构建离散曲线的优化方程：设置迭代次数k＝0，并在流形约束与插值点约束下，构造拉普拉斯能量F为目标函数，即如下公式：

其中k_i为第i个插值点在曲线所有顶点中所对应的序号；

当曲线为闭合时，

当曲线为开时，则仅需将式(1)舍去第一项(j＝1)与最后一项(j＝M_l)即可；

步骤五，计算曲线顶点所在的面片集并将其参数化：首先以曲线C^l-1顶点位置{q_j}确定其所在的面片集Γ＝{T_j}，其中T_j为q_j所在的三角形面片。对于当前曲线的每个顶点q_j，在其对应的面片T_j上对其进行局部参数化。设顶点q_j所在的面片T_j的三个顶点为A,B,C，在T_j上建立局部坐标系<p₀；e₁,e₂>：以p₀＝A为原点，以e₁＝AB和e₂＝AC为坐标轴，则q_j可参数化为：

q_j＝q(s_j,t_j)＝p₀+s_je₁+t_je₂,s_j,t_j∈[0,1]. (2)

其中s_j,t_j为顶点q_j在该局部坐标系下的坐标值；

步骤六，数值求解曲线顶点坐标：固定面片集Γ，求解以下关于顶点坐标的参数向量s,t的函数的极小值(其中s,t分别为公式(2)中所有参数s_j,t_j构成的向量)：

步骤七，检查循环条件：设置k＝k+1，并重复上述步骤五与步骤六，直到曲线满足下列收敛条件之一：或k≥T；

步骤八，投影曲线段：将构成曲线的所有折线段投影到曲面上；

步骤九，多层次求解：设置u＝u/2,l＝l+1，并重复上述步骤三～八，直到满足l≥L。

进一步地，所述步骤二中，对于相邻的两个插值点{p_i,p_i+1}，在网格面上计算该两点间的Dijkstra路径作为初始曲线。

进一步地，所述步骤三中，相邻两个插值点所形成的线段p_ip_i+1的采样点个数设置为：

进一步地，所述步骤三中，对相邻两个插值点{p_i,p_i+1}所形成的初始线段，运用弦长参数化方法均匀地插入若干个采样点。

进一步地，所述步骤五中，面片集Γ由曲线顶点的位置q_j确定：若q_j在某三角形内部，则直接选取该三角形作为对应的T_j；若q_j位于网格边上，则选取该边的两个邻接面；若q_j位于网格顶点上，则选取该顶点的1-环邻域面，然后分别针对所选取的面片集，将在该面片上的顶点坐标参数代入公式(3)，并选取使能量值最小的邻接面作为对应的T_j。

进一步地，所述步骤五中，采用块坐标下降法求解公式(3)函数的极小值，并结合投影法处理线性约束：

对于每一个非插值点q_j(即采样点)，将式(3)简化为下式进行求解：

进一步地，所述步骤六中，采用“松弛投影法”处理式(4)的线性约束：

松弛线性约束s_j,t_j≥0,s_j+t_j≤1，运用解析法计算函数的最小值，并将计算结果投影至该线性约束确定的可行域。若计算所得s_j,t_j满足该线性约束，则将其设置为该问题的解；否则，该顶点将处于面片T_j的外部，将其投影至可行域边界(将顶点置于面片边界

)，使其依然满足线性约束。具体讲，设q_j,q_j’分别为优化前后顶点的位置，则将线段q_jq_j’与的交点作为投影后的新位置。

进一步地，所述步骤八中，计算曲线相邻两顶点{q_j,q_j+1}之间的近似测地线，并将其作为线段q_jq_j+1在曲面上的投影。

进一步地，所述步骤八具体为：将相邻两顶点所在的区域进行局部参数化，在参数域计算欧氏路径，并将其映射至原曲面，以此作为近似测地线，亦即投影结果。具体讲，根据相邻两顶点的拓扑关系计算局部参数域：若两顶点位于同一面片上，则无需投影，其参数域即为该面片；若其位于不同的面片，则需考虑如下三种情况：

1)若两面片共享一条边，则将该两面片刚性地摊平至平面；

2)若两面片共享一个顶点，则将该共享顶点的1-环邻域面片，按局部保角映射摊平至平面；

3)若两面片无共享单形，则运用离散指数映射方法计算近似测地线。

进一步地，所述步骤八中，对于1)和2)两种情况，若摊平后的局部区域为非凸，连接两点的欧氏路径有可能位于该区域外部(视为无效欧氏路径)，此时将内角大于180度的“凹顶点”的1-环邻域作为新的局部区域进行展开并利用情形2)的方法重新计算该区域的参数域，如此循环直至找到有效欧氏路径。

本发明的有益效果是：不同于传统光顺法，本发明松弛“曲线严格位于曲面”的约束，将曲线离散成折线段，把离散采样点置于流形空间并采用内点法的思想，运用块坐标下降法与投影法进行全局优化。在此基础上，本发明采用了由粗到细的求解策略，该策略提高了微分算子的离散化精度，并能够加速算法收敛，从而提高效率。本发明提出的基于多层次优化的曲线设计方法，不仅增加了优化的自由度，而且可便捷地施加用户控制，使之能够设计拟合曲线和插值曲线。此外，相比于参数化法，该方法能够设计大范围的曲线；相比于投影法，该方法鲁棒性更好。

附图说明：

图1为本发明中一个实施例的多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法的流程图。

图2A为本发明中顶点在面片上时面片局部坐标系建立示意图。

图2B为本发明中顶点在面片外时面片局部坐标系建立示意图。

图3A为实施例中在狮子模型上设计开曲线的例子。

图3B为实施例中在兔子模型上设计闭合曲线的例子。

图4A为实施例中在带棱边的Fandisk模型上设计曲线的例子。

图4B为实施例中在多亏格模型上设计曲线的例子。

具体实施方式

针对于背景技术的不足，本发明的目的主要在于提供一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法，能够高效地设计离散样条曲线，克服现有方法的不足，该方法效率更高，且在可控性、普适性和鲁棒性上均表现出一定的优势。

本发明公开了一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法。该方法放松了曲线严格位于曲面的约束，仅将曲线的离散采样点置于流形空间，并采用内点法的思想，运用基于块坐标下降法的全局优化方法进行数值求解，最后借助局部参数化将曲线段映射到网格曲面。本发明采用由粗到细的多尺度层次求解策略，不仅能够更为准确地估算离散微分算子，提高求解精度，而且能够减少挪动采样点的计算量，提升求解效率。比起现有方法，该方法效率更高，且在可控性、普适性和鲁棒性上均表现出一定的优势。该曲线设计方法可用于在网格曲面上设计开曲线(图3A)与闭曲线(图3B)，也可在带有特征棱边模型(图4A)与多亏格模型设计光滑曲线(图4B)。

本发明的优点包括：

(a)鲁棒，适用范围广，能用于带有特征边或复杂拓扑(如多亏格)的网格曲面；

(b)效率高，能够满足交互响应要求；

(c)灵活，既能设计开曲线，又能设计闭曲线。

下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

实施例1

本实施例涉及一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法。

图1是本实施例中的多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法的流程图。该方法包括以下步骤：步骤101，依次输入位于网格曲面S的若干插值点；步骤102，构造初始曲线C⁰；步骤103，离散采样曲线段；步骤104，构建离散曲线的优化方程；步骤105，计算曲线顶点所在的面片集并将其参数化；步骤106，数值求解曲线顶点坐标；步骤107，重复步骤105和106直至满足收敛条件；步骤108，投影曲线段；步骤109，重复步骤103至108直至满足退出循环条件。

具体地说，在一个实施例中，该多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法包括以下步骤：

步骤一，输入网格后在三维网格模型表面上选取若干个点{p_i}，如图3A和3B分别在狮子与兔子模型上选取6个点，设定最大迭代次数100和最大层次数为3。

步骤二，构造初始曲线C⁰：对于相邻的两个插值点{p_i,p_i+1}，在网格面上计算该两点间的Dijkstra路径作为初始曲线，并设置层次化级数l＝1；

步骤三，离散采样曲线段：对相邻两个插值点{p_i,p_i+1}所形成的初始线段，根据曲线离散步长u，运用弦长参数化方法均匀地插入若干个采样点{q_j}(j＝1,2,…,n)，将曲线离散进行细采样，其中采样点个数为

从而将整条曲线离散成M_l个顶点{q_j}(j＝1,2,…,M_l)；

步骤四，构建离散曲线的优化方程：设置迭代次数k＝0，并在流形约束与插值点约束下，构造拉普拉斯能量F为目标函数，即如下公式：

其中k_i为第i个插值点在曲线所有顶点中所对应的序号；

当曲线为闭合时，

当曲线为开时，则仅需将式(1)舍去第一项(j＝1)与最后一项(j＝M_l)即可；

步骤五，计算曲线顶点所在的面片集并将其参数化：首先以曲线C^l-1顶点位置{q_j}确定其所在的面片集Γ＝{T_j}，其中T_j为q_j所在的三角形面片。若q_j在某三角形内部，则直接选取该三角形作为对应的T_j；若q_j位于网格边上，则选取该边的两个邻接面；若q_j位于网格顶点上，则选取该顶点的1-环邻域面，然后分别针对所选取的面片集，将在该面片上的顶点坐标参数代入公式(3)，并选取使能量值最小的邻接面作为对应的T_j。

对于当前曲线的每个顶点q_j，在其对应的面片T_j上对其进行局部参数化。设顶点q_j所在的面片T_j的三个顶点为A,B,C，在T_j上建立局部坐标系<p₀；e₁,e₂>：以p₀＝A为原点，以e₁＝AB和e₂＝AC为坐标轴(见图2A)，则q_j可参数化为：

q_j＝q(s_j,t_j)＝p₀+s_je₁+t_je₂,s_j,t_j∈[0,1]. (2)

其中s_j,t_j为顶点q_j在该局部坐标系下的坐标值；

步骤六，数值求解曲线顶点坐标：固定面片集Γ，求解以下关于顶点坐标的参数向量s,t的函数的极小值(其中s,t分别为公式(2)中所有参数s_j,t_j构成的向量)：

本实施例中，采用块坐标下降法求解公式(3)函数的极小值，并结合投影法处理线性约束，即对于每一个非插值点q_j(即采样点)，将式(3)简化为下式进行求解：

特别地，可以采用“松弛投影法”处理式(4)的线性约束：

松弛线性约束s_j,t_j≥0,s_j+t_j≤1，运用解析法计算函数的最小值，并将计算结果投影至该线性约束确定的可行域。若计算所得s_j,t_j满足该线性约束，则将其设置为该问题的解；否则，该顶点将处于面片T_j的外部，将其投影至可行域边界(将顶点置于面片边界

)，使其依然满足线性约束。具体讲，设q_j,q_j’分别为优化前后顶点的位置，则将线段q_jq_j’与

的交点作为投影后的新位置(图2B)。

松弛约束后式(4)的最优解具有如下解析表达式：

其中a＝-(c₁+c₃-2c₂)·e₁，b＝-(c₁+c₃-2c₂)·e₂，

步骤七，检查循环条件：设置k＝k+1，并重复上述步骤五与步骤六，直到曲线满足下列收敛条件之一：

或k≥T；

步骤八，投影曲线段：将构成曲线的所有折线段投影到曲面上：计算曲线相邻两顶点{q_j,q_j+1}之间的近似测地线，并将其作为线段q_jq_j+1在曲面上的投影。其具体过程为：将相邻两顶点所在的区域进行局部参数化，在参数域计算欧氏路径，并将其映射至原曲面，以此作为近似测地线，亦即投影结果。具体讲，根据相邻两顶点的拓扑关系计算局部参数域：若两顶点位于同一面片上，则无需投影，其参数域即为该面片；若其位于不同的面片，则需考虑如下三种情况：

1)若两面片共享一条边，则将该两面片刚性地摊平至平面；

2)若两面片共享一个顶点，则将该共享顶点的1-环邻域面片，按局部保角映射摊平至平面；

3)若两面片无共享单形，则运用离散指数映射方法计算近似测地线。

特别地，对于1)和2)两种情况，若摊平后的局部区域为非凸，连接两点的欧氏路径有可能位于该区域外部(视为无效欧氏路径)，此时将内角大于180度的“凹顶点”的1-环邻域作为新的局部区域进行展开并利用情形2)的方法重新计算该区域的参数域，如此循环直至找到有效欧氏路径。

步骤九，多层次求解：设置u＝u/2,l＝l+1，并重复上述步骤三～八，直到满足l≥L。

多层次求解策略为：首先进行粗化求解。在步骤三的弦长参数化阶段，对曲线进行稀疏采样，设选取m个采样点{q_l}(l＝1,2,…,m)，并按照步骤五与六所述方法进行数值求解获得稀疏离散化的曲线c′，并将曲线c′按照步骤八所述方法投影到网格表面。该步骤通过挪动较少的采样点能够获得与最终曲线形状近似的结果。然后进行逐层细化求解，根据当前曲线长度，对其进行细分重采样并重新求解式(3)的优化方程。细化求解过程和前述类似，不同之处在于离散点更密集，其初值可以直接在曲线c′上进行均匀离散，再按照步骤五与六进行数值求解以及步骤八所述的流形投影。由于此时所给初值更接近最终曲线，使得该策略能够快速收敛。重复上述细化步骤，直至曲线采样密度达到用户要求。

虽然通过参照本发明的某些优选实施方式，已经对本发明进行了图示和描述，但本领域的普通技术人员应该明白，可以在形式上和细节上对其作各种改变，而不偏离本发明的精神和范围。

Claims (10)

1.一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一，输入基本元素：输入网格S、插值点{p_i}(i＝1,2,…,N)、初始曲线离散步长u、距离误差阈值η、最大迭代次数T以及最大层次数L；

步骤二，构造初始曲线C⁰：对于相邻的两个插值点{p_i,p_i+1}，在网格面上生成该两点间的初始曲线，并设置层次化级数l＝1；

步骤三，离散采样曲线段：对相邻两个插值点{p_i,p_i+1}所形成的初始线段，根据曲线离散步长u均匀地插入若干个采样点{q_j}(j＝1,2,…,n)，将曲线离散进行细采样，从而将整条曲线离散成M_l个顶点{q_j}(j＝1,2,…,M_l)；

步骤四，构建离散曲线的优化方程：设置迭代次数k＝0，并在流形约束与插值点约束下，构造拉普拉斯能量F为目标函数，即如下公式：

其中k_i为第i个插值点在曲线所有顶点中所对应的序号；

当曲线为闭合时，

当曲线为开时，将式(1)舍去第一项(j＝1)与最后一项(j＝M_l)即可；

步骤五，计算曲线顶点所在的面片集并将其参数化：首先以曲线C^l-1顶点位置{q_j}确定其所在的面片集Γ＝{T_j}，其中T_j为q_j所在的三角形面片；对于当前曲线的每个顶点q_j，在其对应的面片T_j上对其进行局部参数化；设顶点q_j所在的面片T_j的三个顶点为A,B,C，在T_j上建立局部坐标系<p₀；e₁,e₂>：以p₀＝A为原点，以e₁＝AB和e₂＝AC为坐标轴，则q_j可参数化为：

q_j＝q(s_j,t_j)＝p₀+s_je₁+t_je₂,s_j,t_j∈[0,1]. (2)

其中s_j,t_j为顶点q_j在该局部坐标系下的坐标值；

步骤六，数值求解曲线顶点坐标：固定面片集Γ，求解以下关于顶点坐标的参数向量s,t的函数的极小值：

步骤七，检查循环条件：设置k＝k+1，并重复上述步骤五与步骤六，直到曲线满足下列收敛条件之一：或k≥T；

步骤八，投影曲线段：将构成曲线的所有折线段投影到曲面上；

步骤九，多层次求解：设置u＝u/2,l＝l+1，并重复上述步骤三～八，直到满足l≥L。

2.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤二中，对于相邻的两个插值点{p_i,p_i+1}，在网格面上计算该两点间的Dijkstra路径作为初始曲线。

3.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤三中，相邻两个插值点所形成的线段p_ip_i+1的采样点个数设置为：

4.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤三中，对相邻两个插值点{p_i,p_i+1}所形成的初始线段，运用弦长参数化方法均匀地插入若干个采样点。

5.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤五中，面片集Γ由曲线顶点的位置q_j确定：若q_j在某三角形内部，则直接选取该三角形作为对应的T_j；若q_j位于网格边上，则选取该边的两个邻接面；若q_j位于网格顶点上，则选取该顶点的1-环邻域面，然后分别针对所选取的面片集，将在该面片上的顶点坐标参数代入公式(3)，并选取使能量值最小的邻接面作为对应的T_j。

6.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤五中，采用块坐标下降法求解公式(3)函数的极小值，并结合投影法处理线性约束：

对于每一个非插值点q_j，将式(3)简化为下式进行求解：

7.如权利要求6所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤六中，采用“松弛投影法”处理式(4)的线性约束：松弛线性约束s_j,t_j≥0,s_j+t_j≤1，运用解析法计算函数的最小值，并将计算结果投影至该线性约束确定的可行域；若计算所得s_j,t_j满足该线性约束，则将其设置为该问题的解；否则，该顶点将处于面片T_j的外部，将其投影至可行域边界，使其依然满足线性约束。

8.如权利要求1所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤八中，计算曲线相邻两顶点{q_j,q_j+1}之间的近似测地线，并将其作为线段q_jq_j+1在曲面上的投影。

9.如权利要求8所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤八具体为：将相邻两顶点所在的区域进行局部参数化，在参数域计算欧氏路径，并将其映射至原曲面，以此作为近似测地线，亦即投影结果；根据相邻两顶点的拓扑关系计算局部参数域：若两顶点位于同一面片上，则无需投影，其参数域即为该面片；若其位于不同的面片，则需考虑如下三种情况：

1)若两面片共享一条边，则将该两面片刚性地摊平至平面；

2)若两面片共享一个顶点，则将该共享顶点的1-环邻域面片，按局部保角映射摊平至平面；

3)若两面片无共享单形，则运用离散指数映射方法计算近似测地线。

10.如权利要求9所述的网格曲面离散样条曲线设计方法，其特征在于，所述步骤八中，对于1)和2)两种情况，若摊平后的局部区域为非凸，连接两点的欧氏路径有可能位于该区域外部，此时将内角大于180度的“凹顶点”的1-环邻域作为新的局部区域进行展开并利用情形2)的方法重新计算该区域的参数域，如此循环直至找到有效欧氏路径。

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