CN111462328B - 一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法 - Google Patents

一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法 Download PDF

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CN111462328B CN202010207231.5A CN202010207231A CN111462328B CN 111462328 B CN111462328 B CN 111462328B CN 202010207231 A CN202010207231 A CN 202010207231A CN 111462328 B CN111462328 B CN 111462328B
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Abstract

本发明公开了一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，包括：给定n个拓扑结构相同的三维网格模型作为关键帧，获取所有关键帧的二面角和边长数据矩阵D；使用局部线性嵌入降维方法把矩阵D降到二维，得到n个二维点的集合d；对降到二维后的d做Delaunay三角剖分；对剖分得到的曲面做基于渐进插值的Loop曲面细分；用户通过设计的交互系统的界面在细分完成后的曲面上选取任意数量的点，交互系统根据用户所选择的点生成一条经过这些点的三次B样条曲线；对该三次B样条曲线做采样，得到一组由二面角和边长构成的向量，根据这些向量重构出网格的三维坐标，完成多个三维网格的平滑插值。本发明不仅能构造一个形状曲线，还可以充分利用给定关键帧形成空间。

Description

一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法
技术领域
本发明涉及计算机辅助设计及应用的技术领域，尤其是指一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法。
背景技术
计算机辅助设计技术(Computer-Aided Design，CAD)指的是，把计算机和相关图形设备当做一种辅助工具，帮助工程领域的设计人员设计产品的技术。该技术能有效加快产品设计分析速度，提高制造效率和制造精度，并最终实现经济效益的提高。
形状插值，是数字几何处理三维建模的一个重要方法，在计算机动画和几何设计中有着广泛的应用。形状插值的目的是通过建立给定的两个或两个以上几何模型之间点的对应关系，获取新模型的点，然后建立起符合客观物理规律或主观视觉经验的自然形状过渡。网格模型，是对曲面或空间的一种离散化表示，具体而言，是三维空间中，利用顶点位置以及顶点之间的连接关系对模型的一种表示方式。
形状插值大致分为两类：基于线性的形状插值和基于全局优化的形状插值。目前，大多数形状插值还是属于线性插值。线性插值通常是提取几何量，找到这些几何量之间的线性关系来处理给定的形状，或者把一个变形形状转换成另一个，然后通过线性插值来计算中间形状的相应量。然而，这两种机制仅使用两个关键帧来创建中间形状，或者在给定一组关键帧的情况下，对连续关键帧对，两两之间插值然后连接来产生一个连续的形状序列。另一类形状插值是基于全局优化的，全局优化指的是同时建立所有插入帧的能量函数的方法。全局优化方法又分为基于几何约束和基于物理约束。基于几何约束，可以认为是寻找高维黎曼流形上测地线的过程。因此往往造成计算量大的问题。基于物理约束，尤其是基于固体力学的方法因其兼顾物体内部和边界需要较大的计算量，而且求解时需要初始化，其结果是否可用受初始化影响很大。因此，对于生成网格序列而言，不管是基于线性还是基于全局优化的插值方法，都有效率不高或者生成的网格质量不稳定等问题而不利于工程应用。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提出了一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，该方法用三次B样条在二面角和边长量所限定的形状空间中，插值给定的关键帧，能够极大地减少计算时间，并保持形状特征，同时产生平滑过渡的模型序列；此外，该方法不仅能构造一个形状曲线，还可以充分利用给定关键帧形成空间。
为实现上述目的，本发明提供的技术方案为：一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，包括以下步骤：
1)给定n个拓扑结构相同的三维网格模型作为关键帧，获取每个关键帧的二面角和边长数据向量Φi，其中i＝1,2,...,n，所有数据向量构成数据矩阵
Figure BDA0002421542880000021
2)使用局部线性嵌入降维方法把矩阵D降到二维，得到n个二维点的集合d＝{φ1,φ2,…,φn}，其中φi表示Φi的投影；
3)对降到二维后的n个二维点的集合d做Delaunay三角剖分；
4)对剖分得到的曲面做基于渐进插值的Loop曲面细分；
5)用户通过设计的交互系统的界面在细分完成后的曲面上选取任意数量的点，交互系统根据用户所选择的点生成一条经过这些点的三次B样条曲线，该样条曲线是C2连续的，C2连续指的是样条曲线处处二阶可导且导函数连续；
6)对该三次B样条曲线做采样，得到一组由二面角和边长构成的向量，根据这些向量重构出网格的三维坐标，从而得到插值结果为C2连续的模型序列，完成多个三维网格的平滑插值。
在步骤2)中，局部线性嵌入降维，其权重的计算方法为：局部线性嵌入降维首先找到
Figure BDA0002421542880000039
的线性嵌入结构，然后对下面的最优化问题求解，从而得到当前所有关键帧的k个最近邻的权重，最优化问题求解见下面的公式：
Figure BDA0002421542880000031
其中，ε(W)表示上式等号右边结果达到最小时W的取值，而W＝(wij)n×k是满足规范约束条件
Figure BDA0002421542880000032
的重构权重矩阵，wij表示对应的/>
Figure BDA0002421542880000033
的权重，/>
Figure BDA0002421542880000034
表示/>
Figure BDA0002421542880000035
中Φi的第j个最近的邻居，令每个关键帧的邻居数目/>
Figure BDA0002421542880000036
随着W已知，能够通过下面公式找到关键帧的投影位置：
Figure BDA0002421542880000037
其中，
Figure BDA0002421542880000038
表示d中φi的k个最近的邻居。
在步骤4)中，渐进插值的细分操作，包括计算极限网格、控制网格和Loop细分；用Delaunay三角化算法对d进行处理得到一个有n个顶点的二维三角网格d0，要使d0插入新顶点且Loop细分曲面通过d0的所有顶点，则要使用迭代过程来找到一个封闭控制网格及其与d0的顶点的直接关系，包括以下步骤：
4.1)计算极限网格：
考虑二维三角网格d0上的Loop极限网格为l0，对于d0的所有内部顶点φ0，首先计算其在l0上的极限顶点φ0，∞，对于Loop曲面，通过价为k的极限控制顶点的约束求解计算；其中Q是对应顶点φ0的k个邻居顶点Qi，i＝1,2,...k的平均值；当迭代0次时，内部顶点的约束方程如下：
φ0,∞＝ωkφ0+(1-ωk)Q
Figure BDA0002421542880000041
Figure BDA0002421542880000042
边界顶点按其价，即邻居数目，分为两类，价为4的为规则顶点，否则为奇异顶点；假设V1、
Figure BDA0002421542880000043
V0、/>
Figure BDA0002421542880000044
分别表示待计算的规则点、待计算的非规则点、规则邻点和非规则邻点，那么边界顶点的计算共有六种组合，①/>
Figure BDA0002421542880000045
②/>
Figure BDA0002421542880000046
③
Figure BDA0002421542880000047
④/>
Figure BDA0002421542880000048
⑤/>
Figure BDA00024215428800000411
⑥
Figure BDA00024215428800000410
4.2)计算控制网格：
计算d0的每个顶点与它在l0上对应的极限顶点的距离：
D0＝d0-l0
将该距离与d0相加得到控制网格d1：
d1＝d0+D0
控制网格d1由顶点集合φ1构成；
4.3)重复步骤4.1)、4.2)t次，即迭代t次，在这个过程中产生了一系列控制网格dt和一系列对应的Loop极限曲面lt上，当t趋近于无穷时，dt和lt的距离趋近于0，当dt和lt的距离小于给定阈值时，停止迭代；
4.4)达到停止迭代条件后，对此时的控制网格做五次Loop细分，其细分结果产生大量顶点，且该细分曲面通过d0原有的所有顶点。
在步骤5)中，以用户选择的点作为三次B样条的实际控制顶点，求其理论控制顶点，最终得到一条穿过用户选择的点的三次B样条曲线。具体地，插值n+1个用户选定的点pi，i＝0,1,...,n的三次B样条曲线Li(t)，i＝0,1,...,n为：
Figure BDA0002421542880000051
其中，t是自变量，qi是理论控制顶点，pi是实际控制顶点，且因为要三次B样条曲线穿过用户选择的所有点pi，所以在每段曲线左端点处有Li(0)＝pi，此时有n-2个方程，n个未知数，因此需要限制首尾两端点的微分，令
Figure BDA0002421542880000052
表示两端点为自由边界，求出理论控制顶点qi，i＝1,...,n-2；再通过理论控制顶点得到穿过用户选择的点的三次B样条曲线。
在步骤6)中，对步骤5)得到的三次B样条曲线做采样，投影平面上该采样点与其所在的细分网格中的某个三角形的三个顶点形成一个连接关系，将该连接关系传播到由二面角和边长所限定的高维空间中；在高维空间中，根据此连接关系，该采样点对应的高维向量由其所在细分网格中的三角形的三个顶点对应的高维向量做重心坐标插值得到；该高维向量由二面角和边长构成，再利用二面角和边长能够重构出三维网格的顶点坐标，从而实现三维网格的插值。。
本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：
1、本发明方法可以快速、有效的插值给定的多个三维网格模型，并保证生成的模型质量。
2、本发明方法构造了一个由二面角和边长所限定的高维空间中的形状流形，该流形通过局部线性嵌入能有效地投影到平面空间。
3、本发明方法渐进地插值出一个穿过所有关键帧投影点的Loop曲面细分网格，并将其连接关系传播到高维形状空间，这将极大地丰富动画序列的选择，满足用户对任意数量的关键帧的任意顺序进行插值的需求。
4、本发明设计一个交互式界面，帮助用户无需专业知识也能获取期望的高维网格插值序列，具有一定的市场价值和推广价值。
总之，本发明构造了一个由二面角和边长所限定的高维形状流形，并将三维网格形状视为该流形中的一个点，利用系统界面实现与用户的交互同时转移平面细分曲面的连通性到该高维形状空间中，从而使用户能自由选择生成其期望的平滑且高质量插值序列。
附图说明
图1为本发明逻辑流程示意图。
图2为本发明对仙人掌三维网格模型做插值的流程示意图。
图3为基于渐进插值的Loop曲面细分流程示意图。
图4为计算Loop极限网格边界顶点的掩码示意图。
图5为对仙人掌三维网格模型插值结果示意图。
图6为大变形插值示意图。
图7为用户对三维网格进行插值的实现界面示意图。
具体实施方式
下面结合具体实施例及附图对本发明作进一步详细的说明。
如图1和图2所示，本实施例所提供的基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，包括以下步骤：
1)获取基础数据，包括用户给定的所有关键帧模型的二面角和边长数据。假定给出的关键帧有
Figure BDA0002421542880000061
共n个，如图2中(a)展示了该方法实施前由用户给定的4个模型作为关键帧。所有关键帧Mi＝(V,E,F),i＝1,2,...,n，都有着相同的拓扑结构，其中V,E,F分别代表一个关键帧的顶点，边长和面的信息，令|V|,|E|,|F|分别表示一个关键帧的顶点数，边数和面数。那么每个关键帧的二面角和边长数据Φi＝(Θi,Li)就是一个|E|×2维的矩阵，其中Θi表示|E|条边长的二面角向量且Li表示相应的|E|条边的边长向量。所有关键帧的二面角和边长数据为一个|E|×2n行的矩阵/>
Figure BDA0002421542880000071
2)对该矩阵
Figure BDA00024215428800000713
实施局部线性嵌入降维，把矩阵由2nE维降到二维，得到n个二维点，如图2中(b)所示。具体地，定义d＝{φ1,φ2,...,φn}是给定的n个关键帧/>
Figure BDA0002421542880000073
的投影，其中φi是Φi的投影，φi∈R2且Φi∈R|2E|，R2表示二维空间，R|2E|表示2E维空间。局部线性嵌入降维首先找到/>
Figure BDA0002421542880000074
的线性嵌入结构，通过对下面的最优化问题的求解来得到当前所有关键帧的k个最近邻的权重，见下面的公式：
Figure BDA0002421542880000075
其中，ε(W)表示上式等号右边结果达到最小时W的取值，而W＝(wij)n×k是满足规范约束条件
Figure BDA0002421542880000076
的重构权重矩阵，wij表示对应的/>
Figure BDA0002421542880000077
的权重，/>
Figure BDA0002421542880000078
表示/>
Figure BDA0002421542880000079
中Φi的第j个最近的邻居，令每个关键帧的邻居数目/>
Figure BDA00024215428800000710
随着W已知，能够通过下面公式找到关键帧的投影位置：
Figure BDA00024215428800000711
其中，
Figure BDA00024215428800000712
表示d中φi的k个最近的邻居。
3)对降到二维后的n个点做Delaunay三角剖分，如图2中(c)所示，得到一个包含4个三角形的曲面d。
4)对剖分得到的曲面做基于渐进插值的Loop曲面细分，细分结果如图2中(d)所示，因为是基于渐进插值的，所以细分结果会穿过初始4个降维点。渐进插值的流程如图3所示，流程图中的t表示迭代次数，初值为0。具体地，包括以下步骤：
4.1)计算极限网格：
考虑二维三角网格d0上的Loop极限网格为l0，对于d0的所有内部顶点φ0，首先计算其在l0上的极限顶点φ0，∞，对于Loop曲面，通过价为k的极限控制顶点的约束求解计算；其中Q是对应顶点φ0的k个邻居顶点Qi，i＝1,2,...k的平均值；当迭代0次时，内部顶点的约束方程如下：
φ0,∞＝ωkφ0+(1-ωk)Q
Figure BDA0002421542880000081
Figure BDA0002421542880000082
边界顶点按其价，即邻居数目，分为两类，价为4的为规则顶点，否则为奇异顶点。边界顶点的计算共有六种组合，如图4中(b)至(g)所示，其中实心点表示待计算的点，圆形表示规则点，菱形表示非规则点；
4.2)计算控制网格：
计算d0的每个顶点与它在l0上对应的极限顶点的距离：
D0＝d0-l0
将该距离与d0相加得到控制网格d1：
d1＝d0+D0
控制网格d1由顶点集合φ1构成；
4.3)重复步骤4.1)、步骤4.2)t次，即迭代t次，在这个过程中产生了一系列控制网格dt和一系列对应的Loop极限曲面lt上，当t趋近于无穷时，dt和lt的距离趋近于0。当dt和lt的距离小于给定阈值时，停止迭代；
4.4)达到停止迭代条件后，对此时的控制网格做五次Loop细分，其细分结果产生很多顶点，且该细分曲面通过d0原有的所有顶点。
5)用户在细分完成后的曲面上选取任意多个点，系统根据用户所选择的点生成一条经过这些点的三次B样条曲线，如图2中(e)所示，假设用户选取了4个点，分别是①、②、③、④，系统根据这4个点自动生成了一条三次B样条曲线。具体地，插值n+1个用户选定的点pi，i＝0,1,...,n的三次B样条曲线Li(t)，i＝0,1,...,n为：
Figure BDA0002421542880000091
其中，t是自变量，qi是理论控制顶点，pi是实际控制顶点，且因为要三次B样条曲线穿过用户选择的所有点pi，所以在每段曲线左端点处有Li(0)＝pi，此时有n-2个方程，n个未知数，因此需要限制首尾两端点的微分，令
Figure BDA0002421542880000092
表示两端点为自由边界，求出理论控制顶点qi，i＝1,...,n-2；再通过理论控制顶点得到穿过用户选择的点的三次B样条曲线。
6)对该三次B样条曲线做采样，最终能得到一组由二面角和边长构成的向量，根据这些向量重构出三维网格的三维坐标，从而得到过渡平滑的三维模型序列。如图2中(f)所示，其中(1)、(5)、(9)、(13)分别对应着上一步的①，②，③和④，表示用户选定的仙人掌模型的关键帧，其余的仙人掌模型则为系统生成的插值结果。
综上所述，使用本发明提供的上述方法能得到有效高质量的插值序列。图5展示了使用该方法得到的仙人掌网格模型在姿势具有较大弯曲角度的情况下能避免尖角的产生并得到平滑的插值序列，其中，从左至右分别是选取的关键帧点、模型序列的俯视图、前视图和右视图。图6中(a)和(b)都展示了使用本发明在大变形下的插值，其中图6中(a)的(1)、(4)、(7)、(10)、(13)是关键帧，图6中(b)的(1)、(6)、(11)是关键帧,这些关键帧之间都具有较大变形，部分三角形面片旋转角度超过180°甚至360°，插值结果表明在这样大的变形下该方法仍能实现插值序列的自然过渡。图7为用户对三维网格进行插值的实际操作界面示意图。通过实验结果可以看出，本发明方法可以快速、有效地对三维网格模型进行插值，并保持网格的形状特征，非常适合应用于获取任意给定的网格模型之间的插值序列，值得推广。
以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)给定n个拓扑结构相同的三维网格模型作为关键帧，获取每个关键帧的二面角和边长数据向量Φi，其中i＝1,2,...,n，所有数据向量构成数据矩阵
Figure QLYQS_1
2)使用局部线性嵌入降维方法把矩阵
Figure QLYQS_2
降到二维，得到n个二维点的集合d＝/>
Figure QLYQS_3
，其中/>
Figure QLYQS_4
表示Φi的投影；
3)对降到二维后的n个二维点的集合d做Delaunay三角剖分；
4)对剖分得到的曲面做基于渐进插值的Loop曲面细分；
5)用户通过设计的交互系统的界面在细分完成后的曲面上选取任意数量的点，交互系统根据用户所选择的点生成一条经过这些点的三次B样条曲线，该样条曲线是C2连续的，C2连续指的是样条曲线处处二阶可导且导函数连续；
6)对该三次B样条曲线做采样，得到一组由二面角和边长构成的向量，根据这些向量重构出网格的三维坐标，从而得到插值结果为C2连续的模型序列，完成多个三维网格的平滑插值。
2.根据权利要求1所述的一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，其特征在于，在步骤2)中，局部线性嵌入降维，其权重的计算方法为：局部线性嵌入降维首先找到
Figure QLYQS_5
的线性嵌入结构，然后对下面的最优化问题求解，从而得到当前所有关键帧的k个最近邻的权重，最优化问题求解见下面的公式：
Figure QLYQS_6
其中，ε(W)表示上式等号右边结果达到最小时W的取值，而W＝(wij)n×k是满足规范约束条件
Figure QLYQS_7
的重构权重矩阵，wij表示对应的/>
Figure QLYQS_8
的权重，/>
Figure QLYQS_9
表示/>
Figure QLYQS_10
中Φi的第j个最近的邻居，令每个关键帧的邻居数目/>
Figure QLYQS_11
随着W已知，能够通过下面公式找到关键帧的投影位置：
Figure QLYQS_12
其中，
Figure QLYQS_13
表示d中/>
Figure QLYQS_14
的k个最近的邻居。
3.根据权利要求1所述的一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，其特征在于，在步骤4)中，渐进插值的细分操作，包括计算极限网格、控制网格和Loop细分；用Delaunay三角化算法对d进行处理得到一个有n个顶点的二维三角网格d0，要使d0插入新顶点且Loop细分曲面通过d0的所有顶点，则要使用迭代过程来找到一个封闭控制网格及其与d0的顶点的直接关系，包括以下步骤：
4.1)计算极限网格：
考虑二维三角网格d0上的Loop极限网格为l0，对于d0的所有内部顶点
Figure QLYQS_15
，首先计算其在l0上的极限顶点/>
Figure QLYQS_16
，对于Loop曲面，通过价为k的极限控制顶点的约束求解计算；其中Q是对应顶点/>
Figure QLYQS_17
的k个邻居顶点Qi，i＝1,2,...k的平均值；当迭代0次时，内部顶点的约束方程如下：
Figure QLYQS_18
＝ωk/>
Figure QLYQS_19
+(1-ωk)Q
Figure QLYQS_20
Figure QLYQS_21
边界顶点按其价，即邻居数目，分为两类，价为4的为规则顶点，否则为奇异顶点；假设V1、
Figure QLYQS_23
V0、/>
Figure QLYQS_25
分别表示待计算的规则点、待计算的非规则点、规则邻点和非规则邻点，那么边界顶点的计算共有六种组合，①/>
Figure QLYQS_27
②/>
Figure QLYQS_24
③
Figure QLYQS_26
④/>
Figure QLYQS_28
⑤/>
Figure QLYQS_29
⑥
Figure QLYQS_22
4.2)计算控制网格：
计算d0的每个顶点与它在l0上对应的极限顶点的距离：
D0＝d0-l0
将该距离与d0相加得到控制网格d1：
d1＝d0+D0
控制网格d1由顶点集合
Figure QLYQS_30
构成；
4.3)重复步骤4.1)、4.2)t次，即迭代t次，在这个过程中产生了一系列控制网格dt和一系列对应的Loop极限曲面lt上，当t趋近于无穷时，dt和lt的距离趋近于0，当dt和lt的距离小于给定阈值时，停止迭代；
4.4)达到停止迭代条件后，对此时的控制网格做五次Loop细分，其细分结果产生大量顶点，且该细分曲面通过d0原有的所有顶点。
4.根据权利要求1所述的一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，其特征在于，在步骤5)中，以用户选择的点作为三次B样条的实际控制顶点，求其理论控制顶点，最终得到一条穿过用户选择的点的三次B样条曲线；插值n+1个用户选定的点pi，i＝0,1,...,n的三次B样条曲线Li(t)，i＝0,1,...,n为：
Figure QLYQS_31
/>
其中，t是自变量，qi是理论控制顶点，pi是实际控制顶点，且因为要三次B样条曲线穿过用户选择的所有点pi，所以在每段曲线左端点处有Li(0)＝pi，此时有n-2个方程，n个未知数，因此需要限制首尾两端点的微分，令
Figure QLYQS_32
表示两端点为自由边界，求出理论控制顶点qi，i＝1,...,n-2；再通过理论控制顶点得到穿过用户选择的点的三次B样条曲线。
5.根据权利要求1所述的一种基于渐进插值细分曲面的多个三维网格模型插值方法，其特征在于：在步骤6)中，对步骤5)得到的三次B样条曲线做采样，投影平面上采样点与其所在的细分网格中的某个三角形的三个顶点形成一个连接关系，将该连接关系传播到由二面角和边长所限定的高维空间中；在高维空间中，根据此连接关系，该采样点对应的高维向量由其所在细分网格中的三角形的三个顶点对应的高维向量做重心坐标插值得到；该高维向量由二面角和边长构成，再利用二面角和边长能够重构出三维网格的顶点坐标，从而实现三维网格的插值。
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