CN104268317B - 机械零件圆角结构形状优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机械零件圆角结构形状优化方法，用于解决现有机械零件圆角结构形状优化方法实用性差的技术问题。技术方案是首先根据机械零件整体结构尺寸建立全局直角坐标系，利用全局直角坐标系下双圆弧起点、终点以及求得的连接点、圆心的坐标和各段圆弧的半径信息绘制多圆弧曲线，采用绘制的双圆弧曲线作为圆角曲线，选取双圆弧起点、终点坐标的坐标分量和由双圆弧的弦向量逆时针旋转到与双圆弧的公切线重合所转过的角度作为优化设计变量。之后，进行有限元建模、分析和灵敏度求解，得到优化后的双圆弧曲线形式的圆角结构。该方法能够对机械零件的圆角结构进行有效的形状优化，在改善机械零件结构性能的同时，便于数控加工，工程实用性强。

Description

机械零件圆角结构形状优化方法

技术领域

本发明涉及一种机械零件形状优化方法，特别是涉及一种机械零件圆角结构形状优化方法。

背景技术

在航空航天、船舶、汽车等制造领域中，由于安装、定位、承载、减重甚至美观上的需要，很多机械零件上设计有圆角结构，而圆角结构会引起应力集中，降低零件的使用寿命。传统设计方法中，考虑到切削加工的可行性，圆角结构的形状通常采用单段四分之一圆弧曲线的设计，这种设计方法虽然在一定程度上降低了应力集中程度，但是盲目性大，往往达不到理想的效果。

文献1“Shi X,Mukherjee S.Shape optimization in three-dimensionallinear elasticity by the boundary contour method[J].Engineering Analysis withBoundary Elements,1999,23(8):627-637.”公开了一种轴肩圆角结构的形状优化设计方法，其主要思想是使用三次样条曲线描述轴肩圆角结构，通过调整轴肩圆角结构曲线上的3个沿轴向均匀分布的控制点的径向坐标，实现了在最大等效应力不超过许用应力的约束下，以减轻轴的结构重量为目标的轴肩圆角结构的形状优化设计。

文献2“Van Miegroet L,Duysinx P,Stress concentration minimization of2D filets using X-FEM and level set function[J].Structural andMultidisciplinary Optimization,2007,33(4-5):425-438.”公开了一种使用广义超椭圆曲线对带圆角平板的圆角结构进行面积约束下以降低应力集中为目标的形状优化设计方法。广义超椭圆曲线的方程为：

式中，a、b、m、n均为正数，a和b中数值较大的为超椭圆长半轴，数值较小的为超椭圆的短半轴，m和n为超椭圆的指数。其主要思想是用广义超椭圆曲线的四分之一来描述带圆角平板的圆角结构，通过调整超椭圆的长半轴a、短半轴b和两个指数m与n来对带圆角平板的圆角结构进行优化，最终获得满足材料用量约束的具有最小应力集中的圆角结构。

文献3“苏步青,刘鼎元.计算几何[M].上海:上海科学技术出版社,1981:195-204.”中公开了一种用于船体生产数控系统的双圆弧曲线，其主要思想是根据已知的双圆弧起点坐标和终点坐标，以及双圆弧在起点处和终点处的切线方向，取双圆弧连接点处公切线与双圆弧弦的夹角为0，求得双圆弧每段圆弧的半径、圆心坐标和双圆弧连接点的坐标，从而得到绘制双圆弧曲线的所有必要信息。

文献1和文献2公开的方法虽然能够实现满足结构性能指标的圆角结构的形状优化设计，但是由于文献1中使用的三次样条曲线与文献2中使用的广义超椭圆曲线在加工制造时数控代码量大，加工效率低，加工成本高，实用性较差。文献3公开的方法得到的双圆弧曲线的数控代码量较小，更适合于数控加工制造，实用性强。但是由于文献3公开的方法取双圆弧连接点处公切线与双圆弧弦的夹角为0，这是从提高双圆弧曲线光顺性的角度来考虑的，并未考虑结构的重量以及在特定载荷下的应力集中等结构性能。用文献3公开的方法求得的双圆弧曲线不能保证所设计出的圆角结构满足结构重量不超重，应力集中程度最小等设计要求，不适合直接用于机械零件圆角结构的设计制造。

发明内容

为了克服现有机械零件圆角结构形状优化方法实用性差的不足，本发明提供一种机械零件圆角结构形状优化方法。该方法首先根据机械零件的整体结构尺寸建立全局直角坐标系，确定双圆弧的起点、终点坐标和双圆弧在起点、终点的切线向量信息，将双圆弧经过平移、旋转从全局直角坐标系中变换到以双圆弧的弦为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴的局部直角坐标系中，在局部直角坐标系中求出双圆弧的连接点坐标、双圆弧各段圆弧的半径以及各段圆弧的圆心坐标，最后通过旋转、平移将双圆弧的连接点和各段圆弧的圆心从局部直角坐标系变换到全局直角坐标系中，利用全局直角坐标系下双圆弧的起点、终点以及求得的连接点、圆心的坐标和各段圆弧的半径信息绘制多圆弧曲线，采用绘制的双圆弧曲线作为圆角曲线，选取双圆弧起点、终点坐标的全部或部分坐标分量和由双圆弧的弦向量逆时针旋转到与双圆弧的公切线重合所转过的角度作为优化设计变量。之后，进行有限元建模、分析和灵敏度求解，由求得的灵敏度信息进行优化迭代，得到优化后的双圆弧曲线形式的圆角结构。这种方法能够对机械零件的圆角结构进行有效的形状优化设计，得到的双圆弧曲线形式的圆角结构，在改善机械零件的结构性能的同时，便于数控加工，工程实用性强。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种机械零件圆角结构形状优化方法，其特点是采用以下步骤：

(a)根据机械零件的整体结构尺寸，建立全局直角坐标系x⁰Oy⁰，选定双圆弧的起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰，P₁ ⁰和P₂ ⁰在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标分别为和双圆弧在起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰在全局直角坐标系中分别为和建立以双圆弧的弦P₁ ⁰P₂ ⁰为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴、以双圆弧的起点P₁ ⁰为原点的局部直角坐标系xP₁y，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点分别记为P₁和P₂，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点处的切线向量分别记为V₁和V₂。

(b)双圆弧在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的弦向量弦向量的长度为全局直角坐标系x⁰Oy⁰横轴的单位向量为e₁＝(1,0)，计算从全局直角坐标系x⁰Oy⁰的横轴顺时针旋转到局部直角坐标系xP₁y的横轴转过的角度α：

从全局直角坐标系x⁰Oy⁰变换到局部直角坐标系xP₁y的平移向量T和旋转矩阵R分别为：

其中，Δx和Δy分别是平移向量T在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的横轴和纵轴分量。

(c)在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧在起点和终点处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰与弦向量的夹角θ₁和θ₂为：

(d)在局部直角坐标系xP₁y中，弦向量逆时针旋转到和双圆弧起点与双圆弧连接点的连线P₁P重合所转过的角度弦向量顺时针旋转到和双圆弧终点与双圆弧连接点的连线P₂P重合所转过的角度其中，δ是由双圆弧的弦向量逆时针旋转到与双圆弧的公切线AA₁A₂重合所转过的角度。为了保证双圆弧曲线不出现反弯的连接方式，δ的取值范围为|δ|＜δ_min＝min{|θ₁|,θ₂|}，δ_min是δ绝对值的上限。

(e)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁PP₂中，由正弦定理求得向量与的长度：

(f)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁O₁D₁中，计算双圆弧的第一段圆弧c₁的半径R₁：

R₁＜0表明第一段圆弧的走向是从P₁到P取顺时针方向。其中，P₁是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₁是双圆弧的第一段圆弧c₁的圆心，P是双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，是从双圆弧的起点至双圆弧的连接点的向量，D₁是的中点。

在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₂O₂D₂中，计算双圆弧的第二段圆弧c₂的半径R₂：

R₂＜0表明第二段圆弧的走向是从P到P₂取顺时针方向。其中，P₂是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₂是双圆弧的第二段圆弧c₂的圆心，是从双圆弧的终点至双圆弧的连接点的向量，D₂是的中点。

(g)计算双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的坐标P(x₀,y₀)：

其中，E是自双圆弧的连接点P向弦向量作垂线的垂足。

(h)计算第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在局部直角坐标系xP₁y中的坐标O₁(x_O1,y_O1)和O₂(x_O2,y_O2)：

其中，F是自第一段圆弧的圆心O₁向弦向量作垂线的垂足，G是自第二段圆弧的圆心O₂向弦向量作垂线的垂足。

(i)计算双圆弧的连接点在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标以及第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标和

(j)在有限元软件中利用全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标终点坐标和求得的连接点坐标两段圆弧的半径R₁、R₂以及圆心坐标绘制双圆弧曲线，作为机械零件的圆角结构的几何模型轮廓曲线。

(k)在有限元软件中创建机械零件的除圆角结构以外其他部分的几何模型，生成机械零件的全部几何模型。设定材料属性、单元类型和网格边长，对机械零件的几何模型划分有限元网格，施加位移边界条件和载荷，建立机械零件的有限元分析模型。

(l)选取全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标与终点坐标中的全部或部分坐标分量以及由弦向量逆时针旋转到和公切线重合所转过的角度δ为设计变量。设定设计变量的初始值与变化范围，选取优化目标函数和约束函数，建立机械零件圆角结构的形状优化问题的数学模型为：

其中，S为设计变量序列，k为设计变量个数；f(S)为优化目标函数；g_j(S)为第j个约束函数，为第j个约束函数的上限，m为约束函数个数；s_i为第i个设计变量，s _i 为第i个设计变量的下限，为第i个设计变量的上限。

(m)将模型进行一次有限元分析，通过灵敏度分析，求得目标函数和约束条件关于设计变量的灵敏度，选取梯度优化算法GCMMA对机械零件原有的圆角结构进行优化迭代，经过优化后，得到优化后的圆角结构。

本发明的有益效果是：该方法首先根据机械零件的整体结构尺寸建立全局直角坐标系，确定双圆弧的起点、终点坐标和双圆弧在起点、终点的切线向量信息，将双圆弧经过平移、旋转从全局直角坐标系中变换到以双圆弧的弦为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴的局部直角坐标系中，在局部直角坐标系中求出双圆弧的连接点坐标、双圆弧各段圆弧的半径以及各段圆弧的圆心坐标，最后通过旋转、平移将双圆弧的连接点和各段圆弧的圆心从局部直角坐标系变换到全局直角坐标系中，利用全局直角坐标系下双圆弧的起点、终点以及求得的连接点、圆心的坐标和各段圆弧的半径信息绘制多圆弧曲线，采用绘制的双圆弧曲线作为圆角曲线，选取双圆弧起点、终点坐标的全部或部分坐标分量和由双圆弧的弦向量逆时针旋转到与双圆弧的公切线重合所转过的角度作为优化设计变量。之后，进行有限元建模、分析和灵敏度求解，由求得的灵敏度信息进行优化迭代，得到优化后的双圆弧曲线形式的圆角结构。这种方法能够对机械零件的圆角结构进行有效的形状优化设计，得到的双圆弧曲线形式的圆角结构，在改善机械零件的结构性能的同时，便于数控加工，工程实用性强。

实施例1中应用本发明方法对轴肩圆角结构进行应力约束下以减重为目标的形状优化设计。实施例1轴肩圆角结构的双圆弧优化设计结果在满足应力约束的前提下，轴的体积为3047.93mm³，相比于文献1中轴肩圆角结构初始设计时的3541.36mm³降幅为13.93％，比文献1中三次样条曲线优化设计结果的3140.4mm³还要再低2.94％。实施例1优化设计结果的双圆弧曲线与文献1中的三次样条曲线相比，数控代码量较小，加工效率高，加工成本低，更适合于数控加工制造工艺，具有更好的工程实用性。

实施例2中应用本发明方法对带圆角平板的圆角结构进行面积约束下以降低应力集中为目标的形状优化设计。实施例2中初始设计的最大横向应力为1.565Pa，优化设计结果的最大横向应力为1.133Pa，与实施例2的初始设计相比，降幅为27.6％。文献2中初始设计的最大横向应力为1.563Pa，优化后的最大横向应力为1.11809Pa，与文献2的初始设计相比，降幅为28.47％。实施例2中优化设计的最大横向应力降幅与文献2中的最大横向应力降幅很接近。实施例2中带圆角平板的圆角结构双圆弧曲线的优化设计结果与文献2中的广义超椭圆曲线的优化设计结果相比，数控代码量小，加工效率高，加工成本低，工程实用性更强。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是双圆弧曲线从全局直角坐标系向局部直角坐标系变换的示意图。

图2是双圆弧曲线在局部直角坐标系中的示意图。

图3是本发明实施例1应用本发明方法的轴肩圆角结构初始设计时轴子午面的几何尺寸与边界条件和载荷以及全局直角坐标系和局部直角坐标系建立情况示意图。

图4是本发明实施例1应用本发明方法的轴肩圆角结构优化设计结果的轴子午面的双圆弧曲线形式的轴肩圆角结构的形状以及全局直角坐标系与局部直角坐标系建立情况示意图。

图5是本发明实施例2应用本发明方法的带圆角平板初始设计时的几何尺寸与载荷示意图。

图6是本发明实施例2应用本发明方法的带圆角平板初始设计时四分之一简化模型的边界条件和载荷以及全局直角坐标系与局部直角坐标系建立情况示意图。

图7是本发明实施例2应用本发明方法的带圆角平板优化设计结果的四分之一简化模型的双圆弧曲线形式的圆角结构的形状以及全局直角坐标系与局部直角坐标系建立情况示意图。

图8是文献1中轴肩圆角结构初始设计时轴的结构形状轴测示意图。

图9是文献1中轴肩圆角结构初始设计时轴的子午面形状示意图。

图10是文献1中轴肩圆角结构优化设计结果的轴的子午面形状示意图。

图11是文献2中带圆角平板优化设计结果的四分之一简化模型的超椭圆曲线形式的圆角结构的形状示意图。

具体实施方式

以下实施例参照图1-7。

实施例1：针对文献1中轴肩圆角结构的形状进行优化。轴是回转体结构，可仅考虑轴的子午面，为简化计算，使用轴对称分析方法对模型进行分析。本实施例使用双圆弧曲线对轴肩圆角结构的形状进行优化设计。如无特殊标明，本实施例中的长度单位均为mm，角度单位均为rad，为了简洁起见，文中不再一一标出。

(a)根据轴的整体结构尺寸，为了便于使用轴对称分析方法，须让轴的对称轴与全局直角坐标系的y轴相一致，据此建立全局直角坐标系x⁰Oy⁰，选定双圆弧的起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰，P₁ ⁰和P₂ ⁰在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标分别为和双圆弧在起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰在全局直角坐标系中分别为和建立以双圆弧的弦P₁ ⁰P₂ ⁰为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴、以双圆弧的起点P₁ ⁰为原点的局部直角坐标系xP₁y，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点分别记为P₁和P₂，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点处的切线向量分别记为V₁和V₂。

(b)双圆弧在全局直角坐标系中的弦向量弦向量的长度为全局直角坐标系x⁰Oy⁰横轴的单位向量为e₁＝(1,0)，因从全局直角坐标系的横轴顺时针旋转到局部直角坐标系xP₁y的横轴转过的角度

从全局直角坐标系x⁰Oy⁰变换到局部直角坐标系xP₁y的平移向量T和旋转矩阵R分别为：

其中，Δx和Δy分别是平移向量T在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的横轴和纵轴分量。

(c)在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧在起点和终点处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰与弦向量的夹角θ₁和θ₂为：

(d)在局部直角坐标系xP₁y中，弦向量逆时针旋转到和双圆弧起点与双圆弧连接点的连线P₁P重合所转过的角度弦向量顺时针旋转到和双圆弧终点与双圆弧连接点的连线P₂P重合所转过的角度其中，δ是由弦向量逆时针旋转到和公切线AA₁A₂重合所转过的角度，初始设计中取为0.1745rad，即10°。为了保证双圆弧曲线不出现反弯的连接方式，δ的取值范围为|δ|＜δ_min＝min{|θ₁|,θ₂|}，δ_min是δ绝对值的上限。本实施例中轴肩圆角结构初始设计时δ_min＝0.6055rad＝34.7102°。

(e)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁PP₂中，由正弦定理求得向量与的长度：

(f)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁O₁D₁中，计算双圆弧的第一段圆弧c₁的半径R₁：

R₁＜0表明第一段圆弧的走向是从P₁到P取顺时针方向。其中，P₁是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₁是双圆弧的第一段圆弧c₁的圆心，P是双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，是从双圆弧的起点至双圆弧的连接点的向量，D₁是的中点。

在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₂O₂D₂中，计算双圆弧的第二段圆弧c₂的半径R₂：

R₂＜0表明第二段圆弧的走向是从P到P₂取顺时针方向。其中，P₂是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₂是双圆弧的第二段圆弧c₂的圆心，是从双圆弧的终点至双圆弧的连接点的向量，D₂是的中点。

(g)计算双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的坐标P(x₀,y₀)：

其中，E是自双圆弧的连接点P向弦向量作垂线的垂足。

(h)计算第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在局部直角坐标系xP₁y中的坐标O₁(x_O1,y_O1)和O₂(x_O2,y_O2)：

其中，F是自第一段圆弧的圆心O₁向弦向量作垂线的垂足，G是自第二段圆弧的圆心O₂向弦向量作垂线的垂足。

(i)计算双圆弧的连接点在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标以及第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标和

(j)在商用有限元软件ANSYS中利用全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标终点坐标和求得的连接点坐标两段圆弧的半径R₁、R₂以及圆心坐标绘制双圆弧曲线，作为轴的轴对称模型中轴肩圆角结构的几何轮廓曲线。

(k)在商用有限元软件ANSYS中创建轴子午面的除双圆弧轴肩圆角结构以外其他部分的几何模型，生成轴子午面的全部几何模型；设定材料的杨氏模量为10⁷Pa，泊松比为0.3，单元类型为轴对称的平面实体单元PLANE82，网格边长为0.3mm，对轴的子午面划分有限元网格；施加位移边界条件：约束横坐标为零的节点的横向位移为0，约束纵坐标为零的节点的纵向位移为0；施加载荷：在轴的小端施加T₁＝100Pa的沿纵轴正向的均布拉伸载荷，建立轴的轴对称有限元分析模型。

(l)选取全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标的横坐标以及由弦向量逆时针旋转到和公切线AA₁A₂重合所转过的角度δ为设计变量。设定设计变量的初始值为9，的上限为9，下限为5；由于设计变量δ的上下限会随着优化迭代过程而变化，因此将δ归一化，有设定的初始值为0.6440，对应的δ＝10°，取δ_norm的上限为0.999，下限为0.001。选取轴的体积为目标函数，节点最大von Mises等效应力不超过许用应力为约束函数，建立轴肩圆角结构形状优化问题的数学模型为：

其中，S为设计变量序列，包含与δ_norm两个设计变量；f(S)为优化目标函数，Volume为轴的体积；σ_max为节点最大von Mises等效应力，σ_i为第i个节点的von Mises等效应力，n为节点的个数，为许用应力，为120MPa；为设计变量的下限，为5，为设计变量的上限，为9；δ _norm 为设计变量δ_norm的下限，为0.001，为设计变量δ_norm的上限，为0.999。

(m)使用商用有限元软件ANSYS对轴的轴对称有限元分析模型进行一次计算，通过参数化结构优化设计平台BOSS Quattro进行灵敏度分析，求得目标函数和约束函数关于设计变量的灵敏度，选取梯度优化算法GCMMA(G1oba11y Convergent Method of MovingAsymptotes)对轴肩圆角结构进行优化迭代，经过优化后，得到优化后的双圆弧曲线形式的轴肩圆角结构。

实施例1轴肩圆角结构的双圆弧优化设计结果的设计变量的取值为6.3306，δ_norm的取值为0.3689，对应的δ_min＝15.7289°，由弦向量逆时针旋转到和公切线AA₁A₂重合所转过的角度δ＝2δ_minδ_norm-δ_min＝-4.1246°。轴肩圆角结构的优化设计结果由一段直线段和一组双圆弧组成。在轴子午面模型的全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧的起点坐标为终点坐标为双圆弧的连接点坐标为第一段圆弧的圆心坐标为半径为R₁＝1.3025；第二段圆弧的圆心坐标为半径为R₂＝27.1415。实施例1的优化结果在满足最大等效应力约束的前提下，轴的体积为3047.93mm³，相比文献1中初始设计时的3541.36mm³降幅为13.93％，比文献1中优化设计结果的3140.4mm³还要低2.94％。对比本实施例和文献1中轴肩圆角结构优化前和优化后的形状，实施例1优化设计结果的双圆弧曲线比文献1中优化设计结果的三次样条曲线更加适合于数控加工制造工艺，数控代码量小，加工效率高，加工成本低，具有更好的工程实用性。

实施例2：针对文献2中带圆角平板的圆角结构形状进行优化。由于带圆角平板结构的对称性，为了简化计算，取结构的四分之一进行分析，使用双圆弧曲线对圆角结构进行形状优化设计。如无特殊标明，本实施例中的长度单位均为mm，角度单位均为rad，为了简洁起见，文中不再一一标出。

(a)根据带圆角平板的整体结构尺寸，取结构左下角的四分之一模型进行分析，建立全局直角坐标系x⁰Oy⁰，选定双圆弧的起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰，P₁ ⁰和P₂ ⁰在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标分别为和双圆弧在起点P₁ ⁰和终点P₂ ⁰处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰在全局直角坐标系中分别为和建立以双圆弧的弦P₁ ⁰P₂ ⁰为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴的局部直角坐标系xP₁y，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点分别记为P₁和P₂，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点处的切线向量分别记为V₁和V₂。

(b)双圆弧在全局直角坐标系中的弦向量弦向量的长度为全局直角坐标系x⁰Oy⁰横轴的单位向量e₁＝(1,0)，因从全局直角坐标系的横轴顺时针旋转到局部直角坐标系xP₁y的横轴转过的角度

从全局直角坐标系x⁰Oy⁰变换到局部直角坐标系xP₁y的平移向量T和旋转矩阵R分别为：

其中，Δx和Δy分别是平移向量T在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的横轴和纵轴分量。

(c)在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧在起点和终点处的切线向量V₁ ⁰和V₂ ⁰与弦向量的夹角θ₁和θ₂为：

(d)在局部直角坐标系xP₁y中，弦向量逆时针旋转到和双圆弧起点与双圆弧连接点的连线P₁P重合所转过的角度弦向量顺时针旋转到和双圆弧终点与双圆弧连接点的连线P₂P重合所转过的角度其中，δ是由弦向量逆时针旋转到和公切线AA₁A₂重合所转过的角度，初始设计中取为0.1745rad，即10°。为了保证双圆弧曲线不出现反弯的连接方式，δ的取值范围为|δ|＜δ_min＝min{|θ₁|,|θ₂|}，δ_min是δ绝对值的上限。本实施例带圆角平板的圆角结构初始设计时δ_min＝0.7854rad＝45°。

(e)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁PP₂中，由正弦定理求得向量与的长度：

(f)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁O₁D₁中，计算双圆弧的第一段圆弧c₁的半径R₁：

R₁＜0表明第一段圆弧的走向是从P₁到P取顺时针方向。其中，P₁是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₁是双圆弧的第一段圆弧c₁的圆心，P是双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，是从双圆弧的起点至双圆弧的连接点的向量，D₁是的中点。

在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₂O₂D₂中，计算双圆弧的第二段圆弧c₂的半径R₂：

R₂＜0表明第二段圆弧的走向是从P到P₂取顺时针方向。其中，P₂是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₂是双圆弧的第二段圆弧c₂的圆心，是从双圆弧的终点至双圆弧的连接点的向量，D₂是的中点。

(g)计算双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的坐标P(x₀,y₀)：

其中，E是自双圆弧的连接点P向弦向量作垂线的垂足。

(h)计算第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在局部直角坐标系xP₁y中的坐标O₁(x_O1,y_O1)和O₂(x_O2,y_O2)：

其中，F是自第一段圆弧的圆心O₁向弦向量作垂线的垂足，G是自第二段圆弧的圆心O₂向弦向量作垂线的垂足。

(i)计算双圆弧的连接点在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标以及第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标和

(j)在商用有限元软件ANSYS中利用全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标终点坐标和求得的连接点坐标两段圆弧的半径R₁、R₂以及圆心坐标绘制双圆弧曲线，作为带圆角平板的圆角结构几何模型的轮廓曲线。

(k)在商用有限元软件ANSYS中创建四分之一带圆角平板的除圆角结构以外其他部分的几何模型，生成带圆角平板的四分之一几何模型；设定材料的杨氏模量为1Pa，泊松比为0.3，单元类型为PLANE82，网格边长为0.4mm，对四分之一带圆角平板划分有限元网格；施加位移边界条件：约束横坐标为零的节点的横向位移为0，约束纵坐标为零的节点的纵向位移为0；施加载荷：对横坐标为-150mm的节点施加T_x＝1Pa的沿横轴负向的均布拉伸载荷，建立四分之一带圆角平板的有限元分析模型。

(l)选取全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标的横坐标终点坐标的纵坐标以及由弦向量逆时针旋转到和公切线重合所转过的角度δ为设计变量。设定设计变量的初始值为-90，上限为-80，下限为-149；设定设计变量的初始值为-60，上限为-30，下限为-58；由于设计变量δ的上下限会随着优化迭代过程而变化，因此将δ归一化，有设定的初始值为0.6111，对应的δ＝10°，取δ_norm的上限为0.999，下限为0.001，选取最大节点横向应力为目标函数，平板四分之一模型的面积不超过面积上限为约束函数，建立带圆角平板的圆角结构的形状优化问题数学模型为：

其中，S为设计变量序列，包含与δ_norm三个设计变量；f(S)为优化目标函数，为节点最大横向应力，为第i个节点的横向应力，n为节点的个数；Area为平板四分之一模型的面积，A₀为初始设计带圆角平板四分之一模型的面积，为6493.14mm²；为设计变量的下限，为-149，为设计变量的上限，为-80；为设计变量的下限，为-58，为设计变量的上限，为-30；δ _norm 为设计变量δ_norm的下限，为0.001，为设计变量δ_norm的上限，为0.999。

(m)使用商用有限元软件ANSYS对四分之一带圆角平板的有限元分析模型进行一次计算，通过参数化结构优化设计平台BOSS Quattro进行灵敏度分析，求得目标函数和约束条件关于设计变量的灵敏度，选取梯度优化算法GCMMA(G1oba11y Convergent Methodof Moving Asymptotes)对四分之一带圆角平板的圆角结构进行优化迭代，经过优化后，得到优化后的双圆弧曲线形式的圆角结构。

实施例2带圆角平板的圆角结构双圆弧优化设计结果的设计变量的取值为-113.5536，的取值为-44.5767，δ_norm的取值为0.7054，对应的δ_min＝15.2264°，由弦向量逆时针旋转到和公切线AA₁A₂重合所转过的角度δ＝2δ_minδ_norm-δ_min＝6.2550°。带圆角平板的圆角结构的优化设计结果由一段直线段和一组双圆弧组成。在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧的起点坐标为终点坐标为连接点坐标为第一段圆弧的圆心坐标为半径为R₁＝-461.0626；第二段圆弧的圆心坐标为半径为R₂＝-12.7127。实施例2中初始设计的最大横向应力为1.565Pa，优化设计结果的最大横向应力为1.133Pa，与本实施例的初始设计相比，降幅为27.6％；文献2中初始设计的最大横向应力为1.563Pa，优化后的最大横向应力为1.11809Pa，与文献2的初始设计相比，降幅为28.47％。实施例2的优化设计结果的最大横向应力降幅与文献2中优化设计结果的最大横向应力降幅很接近。对比实施例2和文献2中带圆角平板的圆角结构优化前和优化后的形状，实施例2优化设计结果的双圆弧曲线比文献2中优化设计结果的广义超椭圆曲线数控代码量小，加工效率高，加工成本低，更适合于数控加工制造工艺，工程实用性更强。

Claims (1)

1.一种机械零件圆角结构形状优化方法，其特征在于包括以下步骤：

(a)根据机械零件的整体结构尺寸，建立全局直角坐标系x⁰Oy⁰，选定双圆弧的起点P₁ ⁰和终点P₁ ⁰和在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标分别为和双圆弧在起点P₁ ⁰和终点处的切线向量V₁ ⁰和在全局直角坐标系中分别为和建立以双圆弧的弦P₁ ⁰ 为横轴、以垂直于弦的方向为纵轴、以双圆弧的起点P₁ ⁰为原点的局部直角坐标系xP₁y，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点分别记为P₁和P₂，将局部直角坐标系xP₁y中双圆弧的起点和终点处的切线向量分别记为V₁和V₂；

(b)双圆弧在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的弦向量弦向量的长度为全局直角坐标系x⁰Oy⁰横轴的单位向量为e₁＝(1,0)，计算从全局直角坐标系x⁰Oy⁰的横轴顺时针旋转到局部直角坐标系xP₁y的横轴转过的角度α：

从全局直角坐标系x⁰Oy⁰变换到局部直角坐标系xP₁y的平移向量T和旋转矩阵R分别为：

$T=(\mathrm{\Δ}x,\mathrm{\Δ}y)=(-x_1^0,-y_1^0)$

$R=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\α}& -sin\mathrm{\α}\\ sin\mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]$

其中，Δx和Δy分别是平移向量T在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的横轴和纵轴分量；

(c)在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中，双圆弧在起点和终点处的切线向量V₁ ⁰和与弦向量的夹角θ₁和θ₂为：

(d)在局部直角坐标系xP₁y中，弦向量逆时针旋转到和双圆弧起点与双圆弧连接点的连线P₁P重合所转过的角度弦向量顺时针旋转到和双圆弧终点与双圆弧连接点的连线P₂P重合所转过的角度其中，δ是由双圆弧的弦向量逆时针旋转到与双圆弧的公切线AA₁A₂重合所转过的角度；为了保证双圆弧曲线不出现反弯的连接方式，δ的取值范围为|δ|<δ_min＝min{|θ₁|,|θ₂|}，δ_min是δ绝对值的上限；

(e)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁PP₂中，由正弦定理求得向量与的长度：

(f)在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₁O₁D₁中，计算双圆弧的第一段圆弧c₁的半径R₁：

R₁<0表明第一段圆弧的走向是从P₁到P取顺时针方向；其中，P₁是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₁是双圆弧的第一段圆弧c₁的圆心，P是双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，是从双圆弧的起点至双圆弧的连接点的向量，D₁是的中点；

在局部直角坐标系xP₁y中的ΔP₂O₂D₂中，计算双圆弧的第二段圆弧c₂的半径R₂：

R₂<0表明第二段圆弧的走向是从P到P₂取顺时针方向；其中，P₂是双圆弧的起点在局部直角坐标系xP₁y中的表示，O₂是双圆弧的第二段圆弧c₂的圆心，是从双圆弧的终点至双圆弧的连接点的向量，D₂是的中点；

(g)计算双圆弧的连接点在局部直角坐标系xP₁y中的坐标P(x₀,y₀)：

其中，E是自双圆弧的连接点P向弦向量作垂线的垂足；

(h)计算第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在局部直角坐标系xP₁y中的坐标O₁(x_O1,y_O1)和O₂(x_O2,y_O2)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{O1}=\stackrel{\&OverBar;}{P_{1}F}=\left|R_1\right|sin{\mathrm{\&theta;}}_1\\ y_{O2}=-\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}F}=-\left|R_1\right|{\mathrm{cos\&theta;}}_1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{O2}=\stackrel{\&OverBar;}{P_{1}G}=L-\left|R_2\right|sin\left|{\mathrm{\&theta;}}_2\right|\\ y_{O2}=-\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}G}=-\left|R_2\right|cos\left|{\mathrm{\&theta;}}_2\right|\end{array}\right.$

其中，F是自第一段圆弧的圆心O₁向弦向量作垂线的垂足，G是自第二段圆弧的圆心O₂向弦向量作垂线的垂足；

(i)计算双圆弧的连接点在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标以及第一段圆弧c₁和第二段圆弧c₂的圆心在全局直角坐标系x⁰Oy⁰中的坐标和

$P^0(x_0^0,x_0^0)=(x_0,y_0)R^T-T=(x_0,y_0)\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\&alpha;}& sin\mathrm{\&alpha;}\\ -sin\mathrm{\&alpha;}& \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right]+(x_1^0,y_1^0)$

$O_1^0(x_{O1}^0,y_{O1}^0)=(x_{O1},y_{O1})R^T-T=(x_{O1},y_{O1})\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\&alpha;}& \sin \mathrm{\&alpha;}\\ -sin\mathrm{\&alpha;}& \cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right]+(x_1^0,y_1^0)$

$O_2^0(x_{O2}^0,y_{O2}^0)=(x_{O2},y_{O2})R^T-T=(x_{O2},y_{O2})\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\&alpha;}& sin\mathrm{\&alpha;}\\ -sin\mathrm{\&alpha;}& cos\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right]+(x_1^0,y_1^0)$

(j)在有限元软件中利用全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标终点坐标和求得的连接点坐标两段圆弧的半径R₁、R₂以及圆心坐标绘制双圆弧曲线，作为机械零件的圆角结构的几何模型轮廓曲线；

(k)在有限元软件中创建机械零件的除圆角结构以外其他部分的几何模型，生成机械零件的全部几何模型；设定材料属性、单元类型和网格边长，对机械零件的几何模型划分有限元网格，施加位移边界条件和载荷，建立机械零件的有限元分析模型；

(l)选取全局直角坐标系x⁰Oy⁰中双圆弧的起点坐标与终点坐标中的全部或部分坐标分量以及由弦向量逆时针旋转到和公切线重合所转过的角度δ为设计变量；设定设计变量的初始值与变化范围，选取轴的体积或最大节点横向应力为目标函数，选取节点最大von Mises等效应力不超过许用应力或平板四分之一模型的面积且不超过面积上限为约束函数，建立机械零件圆角结构的形状优化问题的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{cc}find& S=\&lsqb;s_1,s_2,\mathrm{...},s_k\&rsqb;\\ \min imize& f\left(S\right)\\ subjectto& g_j\left(S\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{g_j},j=1,2,\mathrm{...},m\\ & \underset{\&OverBar;}{s_i}\&le;s_i\&le;\stackrel{\&OverBar;}{s_i},i=1,2,\mathrm{...},k\end{array}\right.$

其中，S为设计变量序列，k为设计变量个数；f(S)为优化目标函数；g_j(S)为第j个约束函数，为第j个约束函数的上限，m为约束函数个数；s_i为第i个设计变量，s _i 为第i个设计变量的下限，为第i个设计变量的上限；

(m)将模型进行一次有限元分析，通过灵敏度分析，求得目标函数和约束条件关于设计变量的灵敏度，选取梯度优化算法GCMMA对机械零件原有的圆角结构进行优化迭代，经过优化后，得到优化后的圆角结构。