CN103489221A - 四边形网格共形参数化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种四边形网格共形参数化方法，其用于直接对四边形网格曲面进行参数化，包括如下步骤：S11、输入四边形网格；S12、对所述四边形网格的边界进行保长参数化，得到边界条件；S13、求解所述四边形网格的角度系统，得到共形能量函数的角度输入；S14、构建共形能量函数，并基于所述共形能量函数对所述四边形网格进行网格参数化。利用本发明提供的所述四边形网格共形参数化方法，可以直接对四边形网格进行参数化，而无需把每个四边形进一步剖分为两个三角形，然后采用基于三角形网格的参数化方法来对曲面进行参数化。

Description

四边形网格共形参数化方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学技术领域，尤其涉及一种四边形网格共形参数化方法。

背景技术

网格参数化指的是将一个网格曲面映射到欧式平面，一般要求能保持边长或角度不变。网格参数化技术在纹理贴图、网格修复、三维建模、网格分割以及数据拟合等方面都具有广泛的应用。目前几何曲面一般用两种网格表示：即三角形网格和四边形网格。现有的参数化技术主要集中于对三角形网格曲面的参数化，代表性工作有：

1）基于Cauchy-Riemann方程的离散化方法，Cauchy-Riemann方程是用来判断一个映射是否是共形映射。此类方法的重点在于如何基于三维网格来离散化Cauchy-Riemann方程。

2）基于角度的方法，这类方法是通过最小化平面角度和三维角度比值的方法来参数化网格。

3）基于能量函数的方法，这类方法首先将边界固定（首先映射到平面上或者指定为平面上的某些对应点），基于此边界条件，求解一个分片线性映射函数，此函数需要最小化某个能量泛函，如Dirchlet函数等。

4）基于Circle Packing的方法，此类方法的出发点是共形映射将无穷小圆映射成无穷小圆，基于此事实，研究者提出了一系列的共形参数化方法，目标均是找到一个这样的共形映射。

四边形网格的主曲率方向正好在四边形的边上，所以对基于四边形网格的模型进行变形比其他类型网格模型更加自然真实，也更加容易操控。在很多实际应用中，四边形网格都无法用三角形网格来替代。因此，目前最著名的三维建模软件，如Maya和3DS Max都支持四边形网格，在动画建模中也一般使用四边形网格。但是，对四边形网格曲面的参数化，现行做法主要是把每个四边形进一步剖分为两个三角形，然后采用基于三角形网格的参数化方法来对曲面进行参数化，而没有直接对四边形网格曲面进行参数化的技术。这种方案没有考虑到四边形的本身性质，而且，将四边形网格的参数化独立成两个不同的处理过程，对于四边形参数化来说，这并非一种最佳的方法。因此，有必要发展直接对四边形网格进行参数化的方法。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种可解决上述技术问题的四边形网格共形参数化方法。

一种四边形网格共形参数化方法，其用于直接对四边形网格曲面进行参数化，包括如下步骤：

S11、输入四边形网格；

S12、对所述四边形网格的边界进行保长参数化，得到边界条件；

S13、求解所述四边形网格的角度系统，得到共形能量函数的角度输入；

S14、构建共形能量函数，并基于所述共形能量函数对所述四边形网格进行网格参数化。

本发明一较佳实施例中，步骤S12中，将所述四边形网格的边界多边形保长地展开到平面上。

本发明一较佳实施例中，通过求解边界参数化约束优化方程：

来将所述四边形网格的边界多边形保长地展开到平面上，最终得到对边界角的参数化结果{θ_i}，其中，下标i表示边界顶点的索引、l_i表示第i条边界的长度、

是三维网格边界上顶点的角度、θ_i是

在参数化平面所对应的角度、

表示直线

和直线

的夹角、n是边界角的个数。

本发明一较佳实施例中，步骤S13中，包括求解能量函数：

$\begin{array}{c}{\arg \min }_{\left\{{\mathrm{\θ}}_j\right\}}{\mathrm{\Σ}}_j\left|\right|{\mathrm{\θ}}_j^{3d}-{\mathrm{\θ}}_j|{|}^2\\ s.t.\∀{\mathrm{\θ}}_j>0\end{array},$

最终得到四边形网格内部点的参数化结果{θ_j}。

本发明一较佳实施例中，求解所述能量函数时，需满足所述边界参数化约束优化方程及如下条件：

a.对每个内顶点，与之相关联的所有角的角度和是2π，即：

$\∀v_i\∈V_{\mathrm{in}}:$ ∑_jθ_j＝2π，

其中，V_in表示四边形网格中内部点的集合、θ_j是与顶点v_i所关联的角；

b.每个四边形的内角和是2π，令θ_j、θ_j+1、θ_j+2、θ_j+3是四边形q＝{θ_jθ_j+1θ_j+2θ_j+3}的四个内角，则它们之和是2π，即：

θ_j+θ_j+1+θ_j+2+θ_j+3＝2π。

本发明一较佳实施例中，步骤S14中，构建如下共形能量函数：

$\begin{array}{c}{E}_p=\underset{\left[v_i{v}_j\right]\∈E}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})\left|\right|u_i-u_j|{|}^2\\ +\underset{\left[v_i{v}_{j^{\′}}\right]\∈\mathrm{Ed}}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})\left|\right|u_i-u_{j^{\′}}|{|}^2\end{array},$

其中，E和Ed分别代表边集合和对角线集合、u_i是顶点v_i的坐标。

本发明一较佳实施例中，进一步包括：

最小化所述共形能量函数，对所述共形能量函数中E_p关于u_i求导数，得到：

$\begin{array}{c}\frac{\∂E_p}{\∂u_i}=2\underset{v_j\∈\mathrm{dN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})(u_i-u_j)\\ +2\underset{v_{j^{\′}}\∈\mathrm{iN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})(u_i-u_j)\end{array},$

其中，dN(i)表示直接和v_i相连的边的顶点的集合、iN(i)表示和v_i共一个四边形但不与v_i直接相连的顶点的集合；

令上式的右端等于0，得到一个线性方程；

求解所述线性系统，便可得到最终的参数化结果，即获得顶点{v_i}的坐标{u_i}。

相较于现有技术，利用本发明提供的所述四边形网格共形参数化方法，可以直接对四边形网格进行参数化，而无需把每个四边形进一步剖分为两个三角形，然后采用基于三角形网格的参数化方法来对曲面进行参数化。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其它目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

图1为本发明一较佳实施例提供的四边形网格共形参数化方法的流程图；

图2为图1所示四边形网格共形参数化方法的步骤S12中边界参数化约束优化方程中各参数的定义图；

图3为图1所示四边形网格共形参数化方法的步骤S14中共形参数化能量函数中各参数的定义图；

图4a至图4d为利用图1所示四边形网格共形参数化方法获得的四边形网格参数化结果图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细的说明。

请参阅图1，本发明一较佳实施例提供一种四边形网格共形参数化方法，其用于直接对四边形网格曲面进行参数化，所述四边形网格共形参数化方法包括以下步骤：

S11、输入四边形网格。

对于一个三维离散曲面M^3d＝{V^3d，E^3d，Q^3d}，其中

分别是顶点、边和面的集合，如果集合Q^3d中的任何一个面元

都是四边形，则称M^3d是一个四边形网格曲面，简称四边形网格S。

对于所述四边形网格S，本发明提供的四边形网格共形参数化方法通过如下主要步骤来实现参数化：S12、对所述四边形网格的边界进行保长参数化，得到边界条件；S13、求解所述四边形网格的角度系统，得到共形能量函数的角度输入；S14、构建共形能量函数，并基于所述共形能量函数对所述四边形网格进行网格参数化。

最终参数化得到一个平面四边形网格M＝{V，E，Q},其中V＝{v_i}、E＝{e_i}、Q＝{q_i}分别是顶点、边和四边形的集合。

可以理解的是，参数化的最终目的是得到顶点{v_i}的坐标{u_i}。

以下，本实施例将对以上步骤进行详述：

S12、对所述四边形网格的边界进行保长参数化，得到边界条件。

在参数化四边形网格之前，需要得到边界条件，因此要将四边形网格的边界多边形保长地展开到平面上。本实施例中，采用下列边界参数化约束优化方程来实现这一目标。

其中，下标i表示边界顶点的索引、l_i表示第i条边界的长度、是三维网格边界上顶点的角度、θ_i是

在参数化平面所对应的角度、

表示直线和直线

的夹角、n是边界角的个数，边界参数化约束优化方程(1)中各参数的含义具体请参阅图2。

可以理解的是，此约束优化问题可以用拉格朗日(Lagrangian)方法进行求解，具体可以参考文献M.Desbrun,M.Meyer,P.Schroder,A.H.Barr,Implicit Fairing of Irregular Meshes Using Diffusion and Curvature Flow,Proc.Of SIGGRAPH,317-324(1999).。

求解边界参数化约束优化方程(1)，最终得到对边界角的参数化结果{θ_i}。

S13、求解所述四边形网格的角度系统，得到共形能量函数的角度输入。

四边形网格角度系统计算的是参数化后展开到平面上的网格，其对应原始模型的内部角的角度在平面上的角度值。对于参数化得到的平面四边形网格M＝{V,E,Q}，应当满足以下条件：

a.对每个内顶点，与之相关联的所有角的角度和是2π，即：

$\∀v_i\∈V_{\mathrm{in}}:$ ∑_jθ_j＝2π   (2)

其中，V_in表示四边形网格中内部点的集合、θ_j是与顶点v_i所关联的角。

b.每个四边形的内角和是2π，令θ_j、θ_j+1、θ_j+2、θ_j+3是四边形q＝{θ_jθ_j+1θ_j+2θ_j+3}的四个内角，则它们之和是2π，即：

θ_j+θ_j+1+θ_j+2+θ_j+3＝2π   (3)

角度系统的作用就是使得平面四边形网格M和三维网格M^3d之间对应的内角具有较大相似性，同时满足以上三个约束条件(1)、(2)和(3)。即，角度系统的求解是优化能量函数：

$\begin{array}{c}{\arg \min }_{\left\{{\mathrm{\θ}}_j\right\}}{\mathrm{\Σ}}_j\left|\right|{\mathrm{\θ}}_j^{3d}-{\mathrm{\θ}}_j|{|}^2\\ s.t.\∀{\mathrm{\θ}}_j>0\end{array}---\left(4\right)$

同时满足上面三个约束条件(1)、(2)和(3)。

上述角度系统的目标函数是一个二次优化问题，同样可以用经典的Lagrangian方法求解。

求解上述能量函数(4)，最终得到四边形网格内部点的参数化结果{θ_j}。

S14、构建共形能量函数，并基于所述共形能量函数对所述四边形网格进行网格参数化。

在步骤S12和步骤S13的基础上，本实施例构建如下共形能量函数，并利用其进行网格参数化。

$\begin{array}{c}{E}_p=\underset{\left[v_i{v}_j\right]\∈E}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})\left|\right|u_i-u_j|{|}^2\\ +\underset{\left[v_i{v}_{j^{\′}}\right]\∈\mathrm{Ed}}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})\left|\right|u_i-u_{j^{\′}}|{|}^2\end{array}---\left(5\right)$

其中，E和Ed分别代表边集合和对角线集合、u_i是顶点v_i的坐标。式中cot中各角度的意义请参阅图3。

值得说明的是，图3中各个角度记号均属于步骤S12中的边界点或者步骤S13中的内点，为了区分多个角，本实施例不再用θ_j来标记，而采用图3所示的新符号。

为了将3D网格展开到二维平面上，需要最小化共形能量函数(5)，本实施例中，对式(5)中E_p关于u_i求导数，得到：

$\begin{array}{c}\frac{\∂E_p}{\∂u_i}=2\underset{v_j\∈\mathrm{dN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})(u_i-u_j)\\ +2\underset{v_{j^{\′}}\∈\mathrm{iN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})(u_i-u_j)\end{array}---\left(6\right)$

其中，dN(i)表示直接和v_i相连的边的顶点的集合、iN(i)表示和v_i共一个四边形但不与v_i直接相连的顶点的集合。

令式(6)的右端等于0，即可得到一个线性方程，求解该线性系统，便可得到最终的参数化结果，即获得顶点{v_i}的坐标{u_i}。

请参阅图4a至图4d，为基于所述四边形网格共形参数化方法获得的四边形网格参数化结果。其中，图4a和图4c分别为输入的四边形网格，图4b和图4d分别是用所述四边形网格共形参数化方法生成的纹理映射结果。

可以理解的是，本发明提供的所述四边形网格共形参数化方法的本质在于：将四边形网格共形地参数化到欧式平面上。因此，基于本发明提供的所述四边形网格共形参数化方法，可以进行不同的应用，如网格分割、网格拟合、纹理映射等。

可知，利用本发明提供的所述四边形网格共形参数化方法，可以直接对四边形网格进行参数化，而无需把每个四边形进一步剖分为两个三角形，然后采用基于三角形网格的参数化方法来对曲面进行参数化。

以上所述，仅是本发明的实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (7)

1.一种四边形网格共形参数化方法，其用于直接对四边形网格曲面进行参数化，其特征在于，包括如下步骤：

S11、输入四边形网格；

S12、对所述四边形网格的边界进行保长参数化，得到边界条件；

S13、求解所述四边形网格的角度系统，得到共形能量函数的角度输入；

S14、构建共形能量函数，并基于所述共形能量函数对所述四边形网格进行网格参数化。

2.如权利要求1所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，步骤S12中，将所述四边形网格的边界多边形保长地展开到平面上。

3.如权利要求2所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，通过求解边界参数化约束优化方程：

来将所述四边形网格的边界多边形保长地展开到平面上，最终得到对边界角的参数化结果{θ_i}，其中，下标i表示边界顶点的索引、l_i表示第i条边界的长度、是三维网格边界上顶点的角度、θ_i是

在参数化平面所对应的角度、

表示直线

和直线

的夹角、n是边界角的个数。

4.如权利要求3所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，步骤S13中，包括求解能量函数：

$\begin{array}{c}{\arg \min }_{\left\{{\mathrm{\θ}}_j\right\}}{\mathrm{\Σ}}_j\left|\right|{\mathrm{\θ}}_j^{3d}-{\mathrm{\θ}}_j|{|}^2\\ s.t.\∀{\mathrm{\θ}}_j>0\end{array},$

最终得到四边形网格内部点的参数化结果{θ_j}。

5.如权利要求4所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，求解所述能量函数时，需满足所述边界参数化约束优化方程及如下条件：

a.对每个内顶点，与之相关联的所有角的角度和是2π，即：

$\∀v_i\∈V_{\mathrm{in}}:$ ∑_jθ_j＝2π，

其中，V_in表示四边形网格中内部点的集合、θ_j是与顶点v_i所关联的角；

b.每个四边形的内角和是2π，令θ_j、θ_j+1、θ_j+2、θ_j+3是四边形q＝{θ_jθ_j+₁θ_j+2θ_j+3}的四个内角，则它们之和是2π，即：

θ_j+θ_j+1+θ_j+2+θ_j+3＝2π。

6.如权利要求1所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，步骤S14中，构建如下共形能量函数：

$\begin{array}{c}{E}_p=\underset{\left[v_i{v}_j\right]\∈E}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})\left|\right|u_i-u_j|{|}^2\\ +\underset{\left[v_i{v}_{j^{\′}}\right]\∈\mathrm{Ed}}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})\left|\right|u_i-u_{j^{\′}}|{|}^2\end{array},$

其中，E和Ed分别代表边集合和对角线集合、u_i是顶点v_i的坐标。

7.如权利要求6所述的四边形网格共形参数化方法，其特征在于，进一步包括：

最小化所述共形能量函数，对所述共形能量函数中E_p关于_ui求导数，得到：

$\begin{array}{c}\frac{\∂E_p}{\∂u_i}=2\underset{v_j\∈\mathrm{dN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}^r}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^l}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}^r}{4})(u_i-u_j)\\ +2\underset{v_{j^{\′}}\∈\mathrm{iN}\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(\cot \frac{{\mathrm{\γ}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4}+\cot \frac{{\mathrm{\η}}_{{\mathrm{ij}}^{\′}}}{4})(u_i-u_j)\end{array},$

其中，dN(i)表示直接和v_i相连的边的顶点的集合、iN(i)表示和v_i共一个四边形但不与v_i直接相连的顶点的集合；

令上式的右端等于0，得到一个线性方程；

求解所述线性系统，便可得到最终的参数化结果，即获得顶点{v_i}的坐标{u_i}。

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