CN105302951A - 一种有限元网格曲面剖分方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种有限元网格曲面剖分方法，该方法包括步骤：(1)有限元数据的预处理，得到一个节点表和一个单元表，节点表是节点的所有信息和所属单元的索引列表，单元表是单元的所有信息和构成该单元的索引；(2)用鼠标在屏幕上画任意曲线，得到屏幕上二维坐标点的集合，用RBF方法构建方程，这个方程代表了上一步画的曲线，求三维有限元数据的所有点在该方程下的值，其中值为正代表在曲线上方，值为负代表在曲线下方，值为零的点为切点，遍历有限元所有单元，插值生成所有离散的切点，把这些离散的切点进行三角化，生成曲面剖面。

Description

一种有限元网格曲面剖分方法

技术领域

本发明属于数值计算的技术领域，具体地涉及一种有限元网格曲面剖分方法。

背景技术

有限元法是20世界60年代出现的一种数值计算方法，最初用于固体力学的数值计算，上世纪70年代英国科学家ZinenkiewiczO.C等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场、电磁场、应力场等。有限元法的最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。

随着计算机技术的飞速发展，有限元法无论在理论上还是应用上都取得了巨大的成功，已经成为了工业设计、土木施工等领域的不可缺少的工具，越来越多大型且复杂的工程设计都是由有限元法来模拟的。商业上也有许多有限元分析软件，例如:Abaqus、ANSYS、Hypermesh等。软硬件上的突破，加上近些年来工业、土木、经济等发展迅速，都成就了有限元法在设计和分析领域的不可或缺的地位。

在有限元分析法中，一个重要的思想就是“分”，也就是对模型进行剖分。通过有限元法进行单元的剖分，进而更深一步进行单元分析，再将剖分后的单元合并成单元集合，继而可以对整体结构进行综合分析。刘怀辉等人曾经提出用AFT的改进算法进行平面区域的有限元三角网格剖分；周勇等人则提出用BST树来模拟剖分过程，以便实现任意有限元网格的深度排序；Matsutomo等人利用粗网格计算磁通线，计算电磁场的不同密度来完成网格剖分。

然而，现有的有限元剖分方法通常存在一些问题。例如，只能对平面有限元网格进行剖分；剖分之前需要指定切面方程来完成剖分；剖分算法效率较低；剖分之后合并成集合单元真实感不强。针对这些问题，我提出了一种新的有限元剖分方法，这个方法基于RBF插值函数，将用户在屏幕上画出的任意曲线进行插值方程构建，通过有限元网格模型与方程的位置关系来完成有限元网格的曲面剖分。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种有限元网格曲面剖分方法，其使得剖分效率大幅提高，简化了交互过程，提升了视觉效果，同时这种新方法不但可以完成曲面剖分，更可以轻松实现平面剖分。

本发明的技术解决方案是：这种有限元网格曲面剖分方法，该方法包括以下步骤：

(1)有限元数据的预处理，得到一个节点表和一个单元表，节点表是节点的所有信息和所属单元的索引列表，单元表是单元的所有信息和构成该单元的索引；

(2)用鼠标在屏幕上画任意曲线，得到屏幕上二维坐标点的集合，用RBF方法构建方程，这个方程代表了上一步画的曲线，求三维有限元数据的所有点在该方程下的值，其中值为正代表在曲线上方，值为负代表在曲线下方，值为零的点为切点，遍历有限元所有单元，插值生成所有离散的切点，把这些离散的切点进行三角化，生成曲面剖面。

利用任意曲线上的点构建完成插值方程之后，发现对有限元单元进行任意曲面剖分只可能存在三种情况，曲线上方的点、曲线下方的点和位于曲线上的点。因此，本发明将RBF插值函数应用到了有限元剖分中，将用户在屏幕上画出的任意曲线进行插值方程构建,通过有限元网络模型与方程的位置关系来完成有限元网格的曲面剖分,从而使得剖分效率大幅提高，简化了交互过程，提升了视觉效果，同时这种新方法不但可以完成曲面剖分，更可以轻松实现平面剖分。

附图说明

图1是本方法的流程图。

图2是六面体单元的编号示意图。

具体实施方式

这种有限元网格曲面剖分方法，该方法包括以下步骤：

(1)有限元数据的预处理，得到一个节点表和一个单元表，节点表是节点的所有信息和所属单元的索引列表，单元表是单元的所有信息和构成该单元的索引；

(2)用鼠标在屏幕上画任意曲线，得到屏幕上二维坐标点的集合，用RBF方法构建方程，这个方程代表了上一步画的曲线，求三维有限元数据的所有点在该方程下的值，其中值为正代表在曲线上方，值为负代表在曲线下方，值为零的点为切点，遍历有限元所有单元，插值生成所有离散的切点，把这些离散的切点进行三角化，生成曲面剖面。

利用任意曲线上的点构建完成插值方程之后，发现对有限元单元进行任意曲面剖分只可能存在三种情况，曲线上方的点、曲线下方的点和位于曲线上的点。因此，本发明将RBF插值函数应用到了有限元剖分中，将用户在屏幕上画出的任意曲线进行插值方程构建,通过有限元网络模型与方程的位置关系来完成有限元网格的曲面剖分,从而使得剖分效率大幅提高，简化了交互过程，提升了视觉效果，同时这种新方法不但可以完成曲面剖分，更可以轻松实现平面剖分。

优选地，如图2所示，所述步骤(1)中有限元的单元是六面体单元，该单元具有8个点。

优选地，在所述步骤(2)包括以下分步骤：

(2.1)根据公式(2)-(4)构建RBF插值函数

$f\left(x\right)={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^n{d}_j\mathrm{\Φ}(x-c_j)+P\left(x\right)---\left(2\right)$

$h_i={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^k{d}_j\mathrm{\Φ}(c_i-c_j)+P\left(c_i\right)---\left(3\right)$

$\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\Φ}}_{11}& {\mathrm{\Φ}}_{12}& \mathrm{...}& {\mathrm{\Φ}}_{1k}& 1& c_1^x& c_1^y& c_1^z\\ {\mathrm{\Φ}}_{21}& {\mathrm{\Φ}}_{22}& \mathrm{...}& {\mathrm{\Φ}}_{2k}& 1& c_2^x& c_2^y& c_2^z\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ {\mathrm{\Φ}}_{k1}& {\mathrm{\Φ}}_{k2}& \mathrm{....}& {\mathrm{\Φ}}_{kk}& 1& c_k^x& c_k^y& c_k^z\\ 1& 1& \mathrm{...}& 1& 0& 0& 0& 0\\ c_1^x& c_2^x& \mathrm{...}& c_k^x& 0& 0& 0& 0\\ c_1^y& c_2^y& \mathrm{...}& c_k^y& 0& 0& 0& 0\\ c_1^z& c_2^z& \mathrm{...}& c_k^z& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ .\\ .\\ .\\ d_k\\ p_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ .\\ .\\ .\\ h_k\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中c_i表示了约束集合中的编号为i的点的坐标，1≤i≤k代表了1～K范围下的点的编号，分别代表了约束集合中编号为K的点的x,y,z分量坐标,Φ(x)＝|x|²log(|x|)代表了径向基函数，其中x＝c_i-c_j代表了c_i，c_j两点之间的距离，那么Φ_ik也就代表了编号为i的点与编号为k的点之间的欧氏距离，h_i＝f(c_i)代表了编号为i的坐标点的函数值，d_j表示权重，P(x)是关于线性常量f的一次多项式。构建插值方程的过程可以理解为，已知约束集合所有点的坐标c_i、每两个点的径向基函数Φ_ik和函数值h_i，来求未知变量即权重d_j和一次多项式P(x)的过程；

(2.2)对三维模型做坐标变换，把模型坐标系变换到屏幕坐标系下，然后将变换后的屏幕坐标系下的值带入插值函数求解；

(2.3)对于每一个六面体单元，遍历12条边，如果一条边上的两端点的函数值的乘积是小于0的，那么这条边上的两个点，一个位于曲线的上方，一个位于曲线的下方，该条边上有切点，且切点对于插值函数的函数值为0；得到这条边上两个端点的坐标pos₀、pos₀，函数值v₀、v₁,得到切点位置与这条边的比例系数u

$u=\frac{0-v_0}{v_1-v_0}---\left(5\right)$

之后插值生成切点的坐标pos

pos＝pos₀*(1-u)*pos₁-u(6)；

(2.4)对切点进行三角网格化；

(2.5)将所有三角化的图元连接在一起，将图元数据、切点连接关系的信息从CPU传输到GPU端，继而生成剖面。

优选地，在所述步骤(2.4)中，对于切割后得到五边形的条件是切点满足：①一条棱上的点；②与该棱平行的两条棱上的点；③与该棱垂直面上的与之不相交的棱的两条棱的中点。

优选地，在所述步骤(2.4)中，对于切割后得到六边形的条件是切点满足：①先取一个顶点引出的三条棱除了竖棱外的另外两条棱的中点；②与①中两条棱其分别相交的两条棱的中点；③与①中两条棱的平行面上的平行棱且任意两条棱不通过另一条棱相连接的两条棱的中点。

优选地，在所述步骤(2.4)中采用了哈希图的方法来确定棱上的切点三角化后下一个切点是位于哪条棱上。

如图1所示，现在给出一个本发明的详细实施例。

1.有限元数据的预处理

一般来讲，有限元数据可以理解成采样点数据的空间网格，这些数据包括了属性数据和网格的拓扑结构(有限元单元)，比较常用的有限元单元就是六面体单元。

数据读入过程是建立节点与单元关系的过程，每个节点都有自己的编号ID，X,Y,Z坐标，属于哪些单元(拓扑结构)。此外，每个单元也会记录下自己的编号ID，组成该单元的8个点的编号，单元材质，单元类型等信息。这个过程建立完成后，就可以得到一个节点表，可一个单元表。节点表中有节点的所有信息和所属单元的索引列表，而单元表中有单元的所有信息和8个构成该单元的索引。

2.基于RBF插值函数网格剖分优化算法

该算法的主要流程如图1所示。在对有限元数据预处理之后，我们采用了一种简便快捷的交互方式。通过这个过程，可以得到屏幕上二维坐标点的集合，该集合为下文即将要提到的平滑函数提供必要的输入。之后，用RBF方法构建方程，这个方程代表了上一步画的曲线。接着，求三维有限元数据的所有点在该方程下的值，其中值为正代表在曲线上方，值为负代表在曲线下方，值为零的点恰好为切点。然后，遍历有限元所有单元，插值生成所有离散的切点。继而，把这些离散的切点进行三角化。最终生成曲面剖面。

2.1构建RBF插值函数

该算法中的核心就是求得平滑函数，对于二维离散点的情况，把这个插值过程描述为，给定包含K个不同点的集合{c₁,c₂,…c_k}和对应的K个实数集合{h₁,h₂,…h_k}，找到一个平滑的函数f(x),这个函数满足f(c_i)＝h_i,1≤i≤k。

为了要解决这个问题，首先定义一个可以匹配所有给定数据点的单一函数，然后定义一个可以限制插值函数的能量方程E，其中能量方程E可以写成：

$E={\∫}_{\mathrm{\Ω}}{f}_{xx}^2\left(x\right)+2f_{xy}^2\left(x\right)+f_{yy}^2\left(x\right)---\left(1\right)$

最小化方程(1)。其中符号表示在x方向上的二次偏导数，符号表示在x方向和y方向的混合二次偏导数，符号表示在y方向上的二次偏导数。其中的能量方程可以理解成为区域Ω上的f(x)的平方曲率和函数。那么该问题的目标就是，找到一个f(x)既可以满足所有约束条件又能让公式(1)最小。该方程是一个理想方程的变分问题。

公式1可以用径向基函数Φ(x)＝|x|²log(|x|)的权重和来计算，用该径向基函数，可以把插值方程改写成

$f\left(x\right)={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^n{d}_j\mathrm{\Φ}(x-c_j)+P\left(x\right)---\left(2\right)$

在上面的方程中c_i表示了约束集中的位置，d_j表示权重，P(x)是关于线性常量f的一次多项式。确定权重d_j和P(x)的系数，径向基函数就可以很自然地在满足限制条件的基础上最小化方程1。因此，该方法是一个精确的解决方法，当用有限元分析法时不受近似值和离散错误影响。为了得到在满足插值限定条件f(c_i)＝h_i,1≤i≤k下的权重集合d_j，可以将式2替代为

$h_i={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^k{d}_j\mathrm{\Φ}(c_i-c_j)+P\left(c_i\right)---\left(3\right)$

因为这个方程相对于未知变量d_j和P(x)的系数是线性的，因此可以用线性方法来计算。

对于三维的插值方程来说，让Φ_ij＝Φ(c_i-c_j)，这个线性系统可以写成如下形式：

$\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\Φ}}_{11}& {\mathrm{\Φ}}_{12}& \mathrm{...}& {\mathrm{\Φ}}_{1k}& 1& c_1^x& c_1^y& c_1^z\\ {\mathrm{\Φ}}_{21}& {\mathrm{\Φ}}_{22}& \mathrm{...}& {\mathrm{\Φ}}_{2k}& 1& c_2^x& c_2^y& c_2^z\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ {\mathrm{\Φ}}_{k1}& {\mathrm{\Φ}}_{k2}& \mathrm{....}& {\mathrm{\Φ}}_{kk}& 1& c_k^x& c_k^y& c_k^z\\ 1& 1& \mathrm{...}& 1& 0& 0& 0& 0\\ c_1^x& c_2^x& \mathrm{...}& c_k^x& 0& 0& 0& 0\\ c_1^y& c_2^y& \mathrm{...}& c_k^y& 0& 0& 0& 0\\ c_1^z& c_2^z& \mathrm{...}& c_k^z& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ .\\ .\\ .\\ d_k\\ p_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ .\\ .\\ .\\ h_k\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(4\right)$

上式(4)线性系统是正定半对称的，因此d_j和p_j会得到一个唯一解。

2.2有限元数据坐标转换后计算函数值

在得到该插值函数之后，就可以用这个函数来剖分三维实体，因为构建的插值函数是在屏幕坐标系下，那么需要对三维模型做坐标变换，把模型坐标系变换到屏幕坐标系下，然后将变换后的屏幕坐标系下的值带入插值函数求解，那么对于实体上每一个点，只可能有三种情况，恰好处于插值函数的点，插值函数上方的点，和插值函数下方的点。有了实体有限元数据与插值函数的位置关系后，就可以对每一个单元进行切割，生成切点。

2.3生成离散切点

求新生成的切点的算法是，对于每一个六面体单元，遍历12条边，边的编号如图2所示。如果一条边上的两端点的函数值的乘积是小于0的，说明这条边上的两个点，一个位于曲线的上方，一个位于曲线的下方，那么证明该条边上一定会有切点，且切点对于插值函数的函数值为0。得到这条边上两个端点的坐标pos₀、pos₁，函数值v₀、v₁,可以得到切点位置与这条边的比例系数u

$u=\frac{0-v_0}{v_1-v_0}---\left(5\right)$

之后插值生成切点的坐标pos

pos＝pos₀*(1-u)*pos₁*u(6)

2.4切点三角网格化

在计算得到所有切点之后，为了要生成剖面，需要对这些离散的点进行三角网格化。对实体模型曲面剖分可以看成是对每一个小的单元进行平面剖分，然后由所有的微平面构造出曲面。一个平面对正方体切割产生的点只可能有3、4、5、6个点四种情况，也就是切割后只可能生成三角形、四面性、五边形和六边形。对三角形和四边形三角化跟容易，也很好理解，三角形是用平面截去正方形的一个角就可以，四边形则用平面切开正方形即可。例如，切割后所生成的四个切点分别位于所在正方体编号为0、1、8、9的棱上，四个切点构成两个三角形，那么三角化的编号顺序为0、1、8、9，也就是第一个三角形的编号为0、1、8，第二个三角形的编号为1、8、9。同理适用于切割后得到五边形和六边形的情况，利用哈希图的方法规定切点的顺序，使三角化后的剖面更加平滑，避免出现剖面空洞与图形相交的情况。

对于切割后得到五边形的条件是切点必须满足以下情况：①一条棱上的点；②与该棱平行的两条棱上的点；③与该棱垂直面上的与之不相交的棱的两条棱的中点。用这5个点构成的平面去切割正方体肯定是个五边形。

对于切割后得到六边形的条件是切点必须满足以下情况。①先取一个顶点引出的三条棱除了竖棱外的另外两条棱的中点；②与①中两条棱其分别相交的两条棱的中点；③与①中两条棱的平行面上的平行棱且任意两条棱不通过另一条棱相连接的两条棱的中点。经过这六个点确定一个六边形。

要满足三角化，必须明确离散的点的连接顺序，也就是确定棱上的切点三角化后下一个切点是位于哪条棱上。对于三个点的情况很容易得出，但是对于4,5,6个点的情况就不方便计算。为了加快算法速度，采用了哈希图的方法，这样可以利用很少的空间来最大化优化速度。其中产生四个切点的情况有15种，五个切点的情况有24种，六个切点的情况有4种。

2.5剖面生成

将所有三角化的图元连接在一起，将图元数据、切点连接关系等信息从CPU传输到GPU端，继而生成剖面。

为了验证本发明提出的算法对有限元曲面剖分的表现，将从交互、功能、速度和应用上进行展示。编程语言为C/C++，电脑配置CPU型号为IntelCorei7-47903.6GHz，内存容量4G，显卡为NVIDAGeForceGT630。

采用在屏幕上画任意曲线的交互方式，这个方式比起传统的平面方程方式，对于用户有更大的自由度，不必提前计算好所要的平面方程是什么，方便快捷。

在功能上，很好地完成了对有限元数据的任意曲面剖分，生成插值点信息精准并且曲面光滑。此外，该算法不仅可以生成任意曲面，还可以生成平面。并且同时显示剖面和切割后的实体。

在速度上，对于上百万级的单元，完成一次剖分只需要不到2秒钟，非常迅速。

对于市面上大部分有限元软件，很少有可以实现在屏幕上任意画线对有限元数据进行剖分的，而且大部分有限元软件，计算结果都很慢，而且对硬件要求很高，运用本发明的算法可以很轻松地解决以上问题。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (6)

1.一种有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)有限元数据的预处理，得到一个节点表和一个单元表，节点表是节点的所有信息和所属单元的索引列表，单元表是单元的所有信息和构成该单元的索引；

(2)用鼠标在屏幕上画任意曲线，得到屏幕上二维坐标点的集合，用RBF方法构建方程，这个方程代表了上一步画的曲线，求三维有限元数据的所有点在该方程下的值，其中值为正代表在曲线上方，值为负代表在曲线下方，值为零的点为切点，遍历有限元所有单元，插值生成所有离散的切点，把这些离散的切点进行三角化，生成曲面剖面。

2.根据权利要求1所述的有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，所述步骤(1)中有限元的单元是六面体单元，该单元具有8个点。

3.根据权利要求2所述的有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，在所述步骤(2)包括以下分步骤：

(2.1)根据公式(2)-(4)构建RBF插值函数

$f\left(x\right)={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^n{d}_j\mathrm{\Φ}(x-c_j)+P\left(x\right)---\left(2\right)$

$h_i={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^k{d}_j\mathrm{\Φ}(c_i-c_j)+P\left(c_i\right)---\left(3\right)$

$\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\Φ}}_{11}& {\mathrm{\Φ}}_{12}& ...& {\mathrm{\Φ}}_{1k}& 1& c_1^x& c_1^y& c_1^z\\ {\mathrm{\Φ}}_{21}& {\mathrm{\Φ}}_{22}& ...& {\mathrm{\Φ}}_{2k}& 1& c_2^x& c_2^y& c_2^z\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ .& .& & .& .& .& .& .\\ {\mathrm{\Φ}}_{k1}& {\mathrm{\Φ}}_{k2}& ...& {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{kk}}& 1& c_k^x& c_k^y& c_k^z\\ 1& 1& ...& 1& 0& 0& 0& 0\\ c_1^x& c_2^x& ...& c_k^x& 0& 0& 0& 0\\ c_1^y& c_2^y& ...& c_k^y& 0& 0& 0& 0\\ c_1^z& c_2^z& ...& c_k^z& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ .\\ .\\ .\\ d_k\\ p_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ .\\ .\\ .\\ h_l\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中c_i表示了约束集合中的编号为i的点的坐标，1≤i≤k代表了1～K范围下的点的编号，分别代表了约束集合中编号为K的点的x,y,z分量坐标,Φ(x)＝|x|²log(|x|)代表了径向基函数，其中x＝c_i-c_j代表了c_i，c_j两点之间的距离，那么Φ_ik也就代表了编号为i的点与编号为k的点之间的欧氏距离，h_i＝f(c_i)代表了编号为i的坐标点的函数值，d_j表示权重，p(x)是关于线性常量f的一次多项式。构建插值方程的过程可以理解为，已知约束集合所有点的坐标c_i、每两个点的径向基函数Φ_ik和函数值h_i，来求未知变量即权重d_j和一次多项式P(x)的过程；

(2.2)对三维模型做坐标变换，把模型坐标系变换到屏幕坐标系下，然后将变换后的屏幕坐标系下的值带入插值函数求解；

(2.3)对于每一个六面体单元，遍历12条边，如果一条边上的两端点的函数值的乘积是小于0的，那么这条边上的两个点，一个位于曲线的上方，一个位于曲线的下方，该条边上有切点，且切点对于插值函数的函数值为0；得到这条边上两个端点的坐标pos₀、pos₁，函数值v₀、v₁,得到切点位置与这条边的比例系数u

$u=\frac{0-v_0}{v_1-v_0}---\left(5\right)$

之后插值生成切点的坐标pos

pos＝pos_n*(1-u)*pos₁*u(6)；

(2.4)对切点进行三角网格化；

(2.5)将所有三角化的图元连接在一起，将图元数据、切点连接关系的信息从CPU传输到GPU端，继而生成剖面。

4.根据权利要求3所述的有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，在所述步骤(2.4)中，对于切割后得到五边形的条件是切点满足：①一条棱上的点；②与该棱平行的两条棱上的点；③与该棱垂直面上的与之不相交的棱的两条棱的中点。

5.根据权利要求3所述的有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，在所述步骤(2.4)中，对于切割后得到六边形的条件是切点满足：①先取一个顶点引出的三条棱除了竖棱外的另外两条棱的中点；②与①中两条棱其分别相交的两条棱的中点；③与①中两条棱的平行面上的平行棱且任意两条棱不通过另一条棱相连接的两条棱的中点。

6.根据权利要求5所述的有限元网格曲面剖分方法，其特征在于，在所述步骤(2.4)中采用了哈希图的方法来确定棱上的切点三角化后下一个切点是位于哪条棱上。